高考数学专题—立体几何(三视图还原求几何体表面积与体积)

高考数学专题—立体几何（三视图还原求表面积、体积）基础知识点：一、面积公式：圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l）侧面展开图底面面积2π底S r=2π底S r=22,ππ上底下底S r S r='=侧面面积2π侧S rl=π侧S rl=()π侧S l r r='+表面积()2π表S r r l=+()π表S r r l=+()22π表S r r r l rl='++'+二、体积公式几何体体积柱体柱体V Sh=(S为底面面积，h为高)2π圆柱V r h=(r为底面半径，h为高) 锥体13锥体V Sh=(S为底面面积，h为高)213π圆锥V r h=(r为底面半径，h为高)基本方法：一、构造长方体或正方体—将还原后的几何体放在长方体或正方体中，一方面有利于计算，另一方面可检查还原是否正确例1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱挖去一个三棱锥，故所求几何体的体积为，故选A．236727611ABB DCC-E FCG-()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭例2、若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为半径为， 球心到底面距离为，设球心为， 由勾股定理得到，，故选A ．例3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）34π32π17π172π52M r 32O 2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2434S R =π=πA ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱（如上右图），在直三棱柱中取的中点，取中点， ，，故答案为C ．例4、一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为，∴故选B ． 例5、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且32π16π36π72π1B BCD -111B C D BCD -111BC D BCD -1BC BC 、12O O、12O O O 3R ==2244336S R =π=⨯=π表6+8+6+8+111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222282222=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=+a b，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为2，，，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为， ∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B ． 二、三线交轨法—三视图即由三种视觉方向形成，故可以在平面图形的端点处形成一条线，然后在线上取合适的点例6、如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．()520,02a b a b +=>>174π214π4π5π1111ABCD A B C D -11A CB D -1111ABCD A B C D -ab 1111ABCD A B C D-R ==()()22222144514a b a ππ=π++=π-+⎝⎭1a =12b =214π【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.例7、某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B例8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由直观图可知，最长的棱为.例9、祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.例10、某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知PD ⊥平面ABCD,所以侧面PAD 和PDC 都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC ⊥平面PAD.又AB ∥DC,所以AB ⊥平面PAD,所以AB ⊥PA,所以侧面PAB 也是直角三角形. 易知PC=2√2,BC=√5,PB=3,从而△PBC 不是直角三角形.故选C.例11、一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17C.16D.15【答案】D【解析】由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.例12、某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3D.403cm 3【答案】C【解析】由题中三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为2 cm,正四棱锥的高为2 cm,则该几何体的体积V=2×2×2+13×2×2×2=323(cm 3),故选C.例13、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6√2B.6C.4√2D.4【答案】B【解析】如图所示的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4.取B 1B 的中点G,即三棱锥G-CC 1D 1为满足要求的几何体,其中最长棱为D 1G,D 1G=√(4√2)2+22=6.例14、如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).例16、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.108 cm3B.100 cm3C.92 cm3D.84 cm3【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故几何体的体积是6×3×6-13×12×3×42=100(cm3).故选B.。