博弈论练习3

博弈论练习题二

1.囚徒困境：

假设警察局抓住了两个合伙犯罪的嫌疑犯，但获得的证据并不十分确切，对于两者的量刑就可能取决于两者对于犯罪事实的供认。警察局将这两名嫌疑犯分别关押以防他们串供。两名囚徒明白，如果他们都交代犯罪事实，则可能将各被判刑5年；如果他们都不交代，则有可能只会被以较轻的妨碍公务罪各判1年；如果一人交代，另一人不交代，交代者有可能会被立即释放，不交代者则将可能被重判8年。

（1）请写出这两名嫌疑犯博弈的支付矩阵；

（2）假设这两名嫌疑犯都是极其精明的会打小算盘的自私自利不讲“江湖义气”的人，同时被分别审查不能够进行沟通。请给出每个嫌疑犯的最佳策略；（3）假设允许这两名嫌疑犯在审讯室一起单独呆上10分钟，然后再决定是否坦白。他们能否建立一个攻守同盟，从而双方都只被判一年？

（4）若其中一名囚徒不知道对手是否理性，则他的最佳策略是什么？

（5）说明这两个囚徒的困境在哪里？从“囚徒困境”博弈中你得到了什么启示？（6）利用“囚徒困境”博弈从下面两个现象中选取一个进行解释：①恋人们在恋爱中海誓山盟，最终还是分手；②美苏两国经常会晤，甚至签订核不扩散条约，但军费一年高过一年。

（7）请试举一例“囚徒困境”博弈。

（8）请指出一种走出“囚徒困境”的方法。

2. 商家价格战

出售同类产品的商家之间本来可以通过共同将价格维持在高位而获利，但实际上却是相互杀价，结果都赚不到钱。

请解释这个现象，并站在商家的立场上给出一些避免“价格大战”的方法。

3. 智猪博弈

猪圈中有一头大猪和一头小猪，在猪圈的一端设有一个按钮，每按一下，位于猪圈另一端的食槽中就会有10单位的猪食进槽，但每按一下按钮会耗去相当

于2单位猪食的成本。如果大猪先到食槽，则大猪吃到9单位食物，小猪仅能吃到1单位食物；如果两猪同时到食槽，则大猪吃7单位，小猪吃3单位食物；如果小猪先到，大猪吃6单位而小猪吃4单位食物。

（1）给出这个博弈的支付矩阵；

（2）找出这两头理性“智猪”的最佳策略；

（3）该“智猪博弈”博弈给你的启发是什么？

（4）有些广告具有“外部性”，如假设伊利宣传牛奶能强健国人的体质的广告就不仅仅增加了人们对伊利牛奶的需求，也增加了对其他品牌牛奶的需求。试结合“智猪博弈”说明为什么只有大企业才愿意花巨额金钱打广告？

（5）请试举一个“智猪博弈”的例子。

4.情侣博弈和纳什均衡

大海和丽娟是一对热恋中的情侣。难得的周末晚上到了，他们面临着如何安排节目的博弈。大海是个超级球迷，希望丽娟能陪她看球赛，而丽娟崇尚钢琴、芭蕾这样的高雅艺术，且这个周末刚好有非常著名的俄罗斯芭蕾舞剧《胡桃夹子》的演出。作为热恋中的情侣，虽然他们非常想看自己喜欢的节目，但是他们更不愿意分开各自度过这个难得的周末。

（1）请根据大海和丽娟的情况构造出博弈的支付矩阵；

（2）纳什均衡的定义是什么？

（3）请给出情侣博弈的纳什均衡（不考虑混合策略纳什均衡）；

（4）情侣博弈中是否存在纳什均衡的多重性问题？若存在，请给出一个解决办法；

（5）请用扩展式表述该“情侣博弈”；

（6）若丽娟先行动，大海看到丽娟的决策之后再作出选择，则情侣博弈就不再是静态博弈，而是动态博弈。请用扩展式（即博弈树）表述该动态博弈；（7）找出上述动态博弈中丽娟和大海的最佳选择，该博弈的结果是什么？（8）在上述动态博弈中，丽娟具有先动优势。请你给具有后动劣势的大海想出一个办法，从而使得他能如愿以偿。

5.博弈的标准式描述

培训博弈：两家公司从同一群没有任何技能的人员当中雇佣员工。每家公司可以选择是否培训员工。培训员工能够提高生产率，但是对手可能会把他们培训好的员工挖走。因此，两家公司员工的净生产率总是一样，虽然如果更多的员工经过培训后，其净生产率会大打提高。受训员工的比例和净生产率的关系如下表所示（假设每家公司都是要么培训其所有的员工，要么培训一般，要么一个都不培训，所以培训比例只有0、50%、100%三种可能）：

问题：这个博弈的“参与者”是谁？他们的战略是什么？请写出该博弈的支付矩阵。该博弈是否存在占优战略和占优战略均衡？如果存在，分别是什么？

6.石头、剪刀、布

“石头、剪刀、布”是一个校园猜拳游戏。苏珊和苔丝是玩这个游戏的两个孩子，她们同时选择石头、剪刀或布的手势。输赢规则如下：

布包石头（布赢石头） 石头砸碎剪刀（石头赢布） 剪刀剪碎布（剪刀赢布）

问题：请写出这个博弈的支付矩阵。其存在占优战略均衡吗？存在纳什均衡吗（考虑混合策略纳什均衡）？你认为小女孩们会如何玩这个游戏？

7.请看下面的三个博弈：

参与人2

X

Y A

B 参与人1

（1） 请找出协调博弈、斗鸡博弈和猜硬币博弈；

（2） 假设你是参与人2。每个博弈都是你先行动，接着你可以选择要不要参与

人1看到你怎样做，最后才由参与人1采取行动。在哪几个博弈中，你希望让参与人1看到你怎样做？

8.猜硬币博弈

某个村庄上只有一名警察，他要负责整个村的治安。小村的两头住着两个全村最富有的村民A 和B ，A 、B 分别需要保护的财产为2万元、1万元。整个小村某一天来了个小偷，要在村中偷盗A 和B 的财产，这个消息被警察得知。因为分身乏术，警察一次只能在一个地方巡逻；而小偷也只能偷盗其中一家。若警察在某家看守财产，而小偷也选择了去该富户家，就会被警察抓住；若警察没有看守财产的富户家而小偷去了，则小偷偷盗成功。

在这个博弈中，对警察和小偷是否存在一个最佳的纯策略？若不存在，假若你是这名警察，你会怎么做？

参与人2 X

Y A

B 参与人1

参与人2

X

Y A

B 参与人1