钢结构第四章答案

习题参考答案

题：欧拉临界荷载的推证（一端固定，一端自由）；

解：由构件x 处截面的力矩平衡，得到方程)()(''y P x h P EIy -+-=δα，

可进行数学推导，求得欧拉临界荷载值。

EI

P Ph x EI

P -EI

P ''δ

αα++

=+

y ，令EI

P k

2

=

，则δ

αα2

222

k h k x k -k ''++=+y ；显然

平衡方程即为二阶常系数非齐次线性方程的求解。 齐次方程求解：0k ''2

=+y ，令rx

e

y =，便可解得ki r ±=，故通解为

sinkx

A coskx A y 21+=。

方程的特解求解：有0x

222e

)x (k h k x k -ϕδαα=++，其中)x (ϕ为一次多项

式，由于0不是特征方程的根，可令21

B B

y +=x ，代入方程得

δ

αα2

2

2

212

)(k h k x k B x B k ++-=+，则α

-=1

B ，δ

α+=h B 2。于是可

得方程的全解为：δ

αα++-+=h x sinkx A coskx

A y 21。

边界条件：⎩

⎨⎧=+-=⇒⎩⎨⎧=-=++⇒==k A h A kA h A y y /)

(000)0(')0(2121αδααδα；

所以：22

sinkh coskh )(y(h)δααα

δαδ++-++-==h h k

h ，将方程进行变换便

可得到h k

αα

δ-=

tankh 2

，即得证P84中的式（4-4b ）。

当2kh

π=时，自由端位移2

δ趋近于无穷大，即构件失稳，则欧拉临

界荷载为2

22

2

E 4h

)2h

(

k EI

P ππ=

==，即22

E 4h

EI P π=

。

4.9题：要求按照等稳定条件确定焊接工字型截面轴心压杆腹板的高厚比。钢材为Q235，杆件长细比为100=λ，翼缘有火焰切割和轧制边两种。计算结果请与规范规定作对比。

解： 轴心压杆的弹性模量修正系数为，

.18287.0)10206/(235))10206/(2351000248.01(1001013.0/)/0248.011013.03

3

2

2

2

2

≤=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=E

f E f y y λλη（

由表4-4，翼缘为火焰切割边的焊接工字型截面的强弱轴均为b 类截面，而翼缘为轧制边的焊接工字型截面的弱轴为c 类截面，故由杆件长细比查附表17-2和17-3得轴心受压构件的稳定系数分别为0.555和0.463。故翼缘为火焰切割边的焊接工字型截面轴心压杆腹板高厚比为，

75

235)

5.025(20.82]

235

555.0)3.01(1210

2068287.043.1[

]

)1(1243.1[

5

.02

3

2

5

.0min 2

2

0=+>=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-⨯=y

y

w

f f E t h λπ

ϕνπη；

局部稳定性：

13

235

23513

23513

06.916

2

/)10300(1==<≈-=

y

f t

b

翼缘为轧制边的焊接工字型截面轴心压杆腹板高厚比为，

75

235)

5.025(00.90]

235

463.0)3.01(12102068287.043.1[

]

)1(1243.1[

5

.02

3

25

.0min 2

2

0=+>=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-⨯=y

y

w

f f E t h λπϕνπη；

局部稳定性：

13

235

23513

23513

75.520

2

/)10240(1==<=-=

y

f t

b

注意：本题等稳定条件为板件的临界应力和构件的临界应力相等，而

不是前面所述的关于x 和y 等稳定系数。

4.18题：如图所示两焊接工字型简支梁截面，其截面积大小相同，跨度均为12m ，跨间无侧向支承点，均布荷载大小相同，均作用于梁的上翼缘，钢材为Q235，试比较说明何者稳定性更好。

解： 均布荷载作用，受弯构件的弯扭失稳，计算其整体稳定性。 （1）、梁的跨中最大弯矩：2

max

8

1M

ql

=

；梁的几何特征参数如下：

mm

l l l y x 12000000===；2

21600101200216300

mm

A =⨯+⨯⨯=；

4

9

3

3

10989.4)12002901232

300(12

1mm

I x ⨯=⨯-⨯=

；

3

69

10099.81232

2

10989.42mm

h I W x x ⨯=⨯⨯=

=

；mm

A I i x x

6.48021600

10989.49

=⨯=

=；

4

7

33

1021.7)101200230016(12

1mm

I y ⨯=⨯+⨯⨯=

；

3

57

10807.4300

2

1021.72mm

h I W y y y ⨯=⨯⨯=

=

；mm

A I i y y

8.5721600

1021.77

=⨯=

=

；

61.2078

.57120000≈=

=

y

y y i l λ；

梁的整体稳定系数b ϕ，52

.01232

3001612000111≈⨯⨯=

=

h

b t l ξ

，758

.013.069.0=+=ξβb

，

2928

.0235

235]0)1232

4.41661.207(

1[10

099.832212160061

.2074320758.0235]

)4.4(

1[43202

6

2

2

1

2

≈⨯

+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯

⨯=++=y

b y x

y

b

b f h

t W Ah

ηλλβϕ；

m

kN f W M

x b ⋅≈⨯⨯⨯=≤85.50921510099.82928.06

max

ϕ，

mm

N m kN l

q /33.28/33.2812

85.5098M 82

2

max

max =≈⨯=

=

。

（2）、梁的跨中最大弯矩：2

max

8

1M

ql

=；梁的几何特征参数如下：