最新-2018年全国初中数学竞赛试题及评分标准《数学周报》杯 精品

中国教育学会中学数学教学专业委员会

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线；

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设1a ，则代数式2

212a a +-的值为( ).

（A ）-6 （B ）24 （C ）10 （D ）12

2．在同一直角坐标系中，函数

x k

y =

（0≠k ）与k kx y +=（0≠k ）的图象大致是

（A ） （B ） （C ） （D ）

3、在等边三角形ABC 所在的平面内存在点P ，使⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PAC 都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P 的个数（ ）

（A ）1 （B ）7 （C ）10 （D ）15

4．若1x >，0y >，且满足3y

y x

xy x x y

==，

，则x y +的值为( ).

（A ）1 （B ）2 （C ）92

（D ）112

5．设33331111

12399

S =

++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．若a 是一个完全平方数，则比a 大的最小完全平方数是 . 。

7．若关于x 的方程2

(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .

8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .

9．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1

y x

=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则2

2

4OC OD - 的值为 .

10．如图，

在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF

内接于△ABC

的周长为

.

80分）

11x 的方程1632=--+bk

x a kx （a 、b 是常数）的

根总是x ＝1，试求a 、b 的值。

12.已知关于x 的一元二次方程2

0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程

20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.

13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交

抛物线2

23

y x =

于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；

（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.

14如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，

且

52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题

1．A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A 二、填空题

6. 2(1)a + 7．3＜m ≤4. 8．1

9

. 9．6. 10．84 三、解答题

11. 解：把x ＝1代入原方程并整理得（b ＋4）k ＝7－2a

要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 不论k 取什么实数均成立，只有⎩

⎨

⎧=-=+02704a b

解之得 27

=

a ，4-=b

12．解：设方程2

0x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程2

0x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得

()()11a a αβαβ+=-++=，，

两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，

所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，

解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩

，

又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（）， 所以

012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，

故3a b c ++=-，或29.

13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　

作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　.

设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）

.由

223y kx t y x =+⎧⎪

⎨=⎪⎩

，， 得

2

203

x kx t --=， 于是 32

P Q x x t =-，即 2

3P Q t x x =-.

于是 222323P P Q Q

x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333

P P Q P P Q P Q

Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---

又因为

P Q

x PC QD x =-，所以BC PC

BD QD =.

因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .

（2） 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知

∠ABP =∠30ABQ =︒，BC

，BD

，

所以 AC

2-，AD

=2.

因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .

于是

PC AC

DQ AD

=

，即a b ，

所以a b +．

由（1）中32

P Q x x t =-，即3

2ab -=-

，所以32ab a b =+=，

于是可求得2a b =

将b =

代入223y x =，得到点Q

1

2）.

再将点Q 的坐标代入1y kx =+

，求得3

k =-