2017年全国初中数学联合竞赛(四川初赛)
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2017年全国初中数学联合竞赛（四川初赛）
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1、B
2、C
3、D
4、A
5、B
6、C
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7、3 8、40o9、1
9
10、4
三、（本大题满分20分）
11、已知关于x的一元二次方程x2-kx+5=0与x2+5x-k=0只有一个公共的实根，求关于x的方程|x2+kx|=|k|所有的实根之和。
解：设x2-kx+5=0与x2+5x-k=0的公共实根为α，
则α 2-kα+5=0，α 2+5α-k=0， ············································（5分）
两式相减，得(k+5)α -(k+5) =0．·········································（10分）
因为当k=-5时两方程相同，有两个公共的实根，不合题意．所以k≠-5．
因此α =1．从而求得k=6．················································（15分）
所以方程|x2+kx|=|k|即为|x2+6x|=6，x2+6x=6或x2+6x=-6．
显然两方程都有实根，因此方程所有实根之和是-12． ············（20分）
四、（本大题满分25分）
12、如图，已知圆O的直径AB与CD互相垂直，E为OB中点，CE的延长线交
圆O于G，AG交CD于F，求DF
FC
的值。
解：设OE=a，则OA=OB=OC=OD=2a，CE
a，
因为△COE∽△CGD，
所以CO
CG
=
OE
GD
=
CE
CD
，
所以CG=CO CD
CE
⋅
a，
所以EG=CG-CE
a。 ················································（10分）
过G作GH⊥AB于点H，则△COE∽△GHE，
所以CO
GH
=
OE
HE
=
CE
GE
=
5
3
，
所以GH=6
5
a，HE=
3
5
a，于是AH=
18
5
a。
由△AOF∽△AHG，得OF
HG
=
AO
AH
=
5
9
，
所以OF=2
3 a。·······························································（20分）
从而DF=4
3
a，FC=
8
3
a。所以
DF
FC
=
1
2
。 ······························（25分）
法2：连结BG、AC。设OE=BE=a，则OA=OB=OC=OD=2a，CE
a，
因为△ACE∽△GBE，所以AC
GB
=
AE
GE
=
CE
BE
，又AC=
a，
所以BG
。·····························································（10分）
在Rt△ABG中，由勾股定理可得
AG
a。
又因为△AOF∽△AGB，所以AO
AG
=
OF
BG
，
所以OF=AO BG
AG
⋅
=
2
3
a。 ····································（20分）
从而DF=4
3
a，FC=
8
3
a。所以
DF
FC
=
1
2
。 ······························（25分）
法3：设OE=a，则OA=OB=OC=OD=2a，CE
a，
因为△COE∽△CGD，
所以CO
CG
=
OE
GD
=
CE
CD
，
所以DG=OE CD
CE
⋅
a，
CG=CO CD
CE
⋅
a，··········································（10分）
过G作GH⊥CD于点H，则△DGH∽△DCG，
所以DG
DC
=
DH
DG
=
GH
CG
，
可得DH=
2
DG
DC
=
2
16
5
4
a
a
=
4
5
a，GH=
DG CG
DC
⋅
=
2
32
5
4
a
a
=
8
5
a，
由△AOF∽△GHF，得AO
GH
=
OF
FH
，
所以OF
FH
=
5
4
，又OF+FH=2a-
4
5
a=
6
5
a，