江苏大学-常微分方程-2-26 -引言-引例、基本问题

1.1 引 言 [教学内容] 1. 介绍方程0a 0,c xb xa2基本问题; 2.介绍代数方程组22ij)(aA ,bxA 

基本问题; 3. 引入物理、生态中微分方程模型及其关心的问题; 4. 介

绍本课程基本问题及其内容安排和考核目标. [教学重难点] 重点是知道微分方程基本问题，难点是如何根据实际问题建微分方程模型. [教学方法] 自学1、2、讲授3、4，课堂练习 [考核目标] 1. 会求解一元二次方程; 会求出一元三次方程所有有理根; 2. 会求出线性齐次代数方程组基本解系; 3. 会用微元法和导数的物理和几何意义建立微分方程模型.

1. 代数方程的相关准备: 例1. (1) 求解0652xx，264552x, 解得3,221xx.

例2. 考察0βx2，假设参数β可以变动，则0β时，方程有两个实根，0β时，方程没有实根，0β时，方程恰有一个实根，因此0β是一个分支点，参数β由正变动到零再到负数时，方程根的个数发生了变化；而1β就不是一个分支点。 例3. 如何不通过求解0βxαx2，其中Rβα,来获得解的实根个数及其符号？ 设21λ,λ为方程两个根，则0βxαx)λ(x)λ(x221，于是得到βλλa,λλ2121

，再结合4βαΔ2符号.即可

作业：1. 在βα,平面上画出不同β)(α,点下，方程0βxαx2根分布. 例4. 求解 -6+11 x-6 x2+x3 = 0 , 根据《高等代数》P32定理12, 进行如下试解. 3x系数为1，常系数为-6,于是有理根候选点为3,2,1，经代入验证得到， (x-3) (x-2) (x-1)0. 例5. 求解 -2+x2+x30 , 如果能找到一个有理根，则可转化为一元二次方程。

根据《高等代数》P32定理12, 进行如下试解. 3x系数为1，常系数为-2于是有理根候选点为2,1，经验证1为方程一个根；再由辗转相除法得到 -2+x2+x3 = (x-1)(x^2+2x+2)于是得到方程的根为1,1,1321xixix. 作业：2. (1) 求解 2+4 x+3 x2+x30. (2) 求解方程 -2+7 x-7 x2+2 x30.

思考：如何求解方程2 -2 x- x2+x30，如何获得方程实根个数，如何得到实根近似值？ 思路：1. 一元三次方程的卡当公式、盛金公式(一元五次方程呢？) 几何方法： 2. 数值方法：二分法、牛顿切线法

2. 线性代数方程组的相关准备： 例6. 求解线性非齐次代数方程组 -1+x+5 y=0， -2+2 x+y=0.

解：改写为 bxA，系数行列式 A= 1251，



21b ,yxx



.

由克莱姆法则（参见《高等代数》P83定理4）得到

09012512211y 1,9912511251x

.

练习：3. 求解代数方程组 -1+2 x+3 y=0， -2+3 x+y=0. 例7. 求解线性齐次代数方程组 x+2 y+z=0, 2 x+y-z=0, 2 x+4 y+2 z=0. 解：改写为bxA，再由初等行变换（参见《高等代数》P111定理1及例题）可得，方程

组基础解系为111ξ，而方程组通解c ,ξ cx为任意常数.

例8. 求出矩阵 A= 1221的特征值和相应的特征向量，并求出Nn ,An. 解：A的特征多项式为)1)(3(-122-1|λEA|，于是特征值为3,121。（参见《高等代数》P298定义及例题）

211234

10

5

510 当11时，求解0x E)λ(A1，解得基础解系为11ξ1； 当31时，求解0x E)λ(A2，解得基础解系为11ξ2. 改写0 E)λ(Aii为1,2i ,ξλξAiii，再次用分块矩阵改写为 

212121λλ , )ξ ,ξ()ξ ,ξA(

. 记11-11)ξ ,ξ(P21，于是Λ PAP，或-1P Λ PA.



2/12/12/12/1

21111|P|P

P*

1-，（伴随矩阵和逆矩阵参见《高等代数》P176定义9和定理

3）， 1)(31)(31)(31)(321P 3(-1 PP Λ PP Λ PP Λ PP Λ PAnnnnnnnn1-nn1-n1-1-1-n）. 练习4. 求出矩阵 A= 2112的特征值和相应的特征向量，并求出Nn ,An.

练习5. 讨论参数a,b取何值时，方程组4zy 2bx3zy bx4zy xa有解，并求出解来？（参见《高等代数》第三章习题17（3）） 思考：考察线性非齐次代数方程组bxA，其中x为10000个未知数构成向量，A为10000阶方阵，如何求解？高斯消元法，初等行变换解法可行吗？ 数值上采用迭代法求解方法。

例9. 关于非线性代数方程组 0202y x0,102xy22解的个数？（参见《高等代数》P150定理10和例题）

小结： 代数方程基本问题：方程根的求解、根个数定性分析、根的数值求解 3. 微分方程模型 导数的物理意义是瞬时变化率，或速度，几何意义是平面曲线上点的切线斜率（参见《数学分析上》P87），二阶导数就是速度的变化率，也就是加速度. 由牛顿运动定律知，物体

运动的加速度等于所受的合力，即Fx m，其中F ,x m,分别表示物体质量、位置和合力，

22dt(t)xd

x运动的加速度。 建模所用方法： 例10. 求一曲线的方程，使得它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两段.

解：设曲线为y(x)y :, 则曲线每一点y) (x,处切线的斜率为(x)y'k，于是切线方程

为x)(X(x)y'yY :L，其中Y) (X,为切线上点坐标. 由切线方程可得切线L与坐标轴交点坐标分别为x))(x)(y'y A(0,和0) (x),y/y'B(x. 由切点y) (x,为A和B的中点知，y2x)(y'y x,2y/y'x0. 化简得到y/xy'. 所求曲线的方程为 xydxdy.

作业 6. P28 习题8(3) 例11. 牛顿冷却定律：在一定温度范围内，一个物体温度变化率与这个物体与其所在环境介质温度的差值成比例。（生活经验：夏天开水冷却得慢，冬天开水冷却得快）

现从冰箱拿出一块冷冻牛肉放置在室温(eT=20 oC)下解冻，5分钟后测定牛肉温度为

0T1，请写出该块牛肉温度随时间变化的规律，并讨论当t趋于无穷时，T的变化趋势.

解：设T(t)表示时刻t牛肉的温度，则1TT(5) 0,T(0). 由牛顿冷却定律知， 0k T),k(TdtdTe为冷却系数. 这说明当外部TTe时，T是上升的，而当TTe，T

是下降的.

作业：7. 设某社会的总人口为N，当时流行一种传染病，得病人数为x. 假设该传染病传染率与得病人数和未得病人数的乘积成比例。试写出得病人数随时间变化的规律，并讨论当t趋于无穷时，x的变化趋势.

例12. 设有高为H米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为S米2. 在开始时，容器装满水，试建立容器内水面高度h随时间变化的规律，并求出水流完所需时间. 解：设自变量为时间t，容器内水面高度为h，容器最低点为原点，向上为h轴正向，如上图建立坐标系. 现用微元法建立h(t)所满足的微分方程. 设在t到Δtt时间内水面高度从

h变化到h+Δh, 这里0Δh, 此时水体积改变量222h)(HHr Δh,r πΔV. 另一方面，假定在t到Δtt时间内流出水的速率不变为v(t)，则t v(t))( SΔV，这里添加符号，是由于0ΔV. 再由能量守恒定律知，流出水的动能增加等于容器水势能减少，设水的密度为,则

2 vΔVρ 21h g ΔVρ

，即h g 2v.

综上知，Δt v(t)S)Δh)(Hπ(H22h，令0Δt得到 )h)(Hπ(Hh g 2 Sdtdh22. 化简得到 )hHh2π(h g 2 Sdtdh2 改写上述导数为微分形式有 dh h g 2 S)hHh2π(dt2， 两边积分得到 )dhhh H2(g 2Sπ dhh g 2 S)hHh2π(dt3/21/22， c)h34Hh52(2gSπt3/25/2，其中c为积分常数. 注意到h(0)=H，定出

c=5/25/25/2H15142gSπ)H34H52(2gSπ.