2014北京中考数学试题及答案
2014北京中考数学
2014北京中考数学
2014北京中考数学试卷共包含选择题、解答题和填空题。
选择题部分包括选择题和填图题，解答题部分包括解答题和应用题。
以下是该试卷的具体内容。
选择题：
1. 已知等式 cosA=3/5，且A为锐角，则sinA等于多少？
2. 下列四个数a、b、c、d中，最小的数是2，最大的数是9，其中数b比数a大，数c比数a小，数c比数d大，那么数b
与数d的大小关系是？
3. 圆的面积叫做圆的……
4. 请画出一个直角三角形ABC，其中∠ABC=90°。
填图题：
5. 按比例画出一个直角三角形，∠A=90°，∠B=30°，
BC=4cm。
解答题：
6. 若一个数减去3的一半再加4的结果是35，那么这个数是
多少？
7. 把一个正方形ABCD的四个顶点都连线，得到四条线段，称为正方形的……
8. 已知直线l过点A(1,1)，过点P（2，2），那么直线l的
斜率是多少？
应用题：
9. 小明在生产线上每隔10秒能生产出一个零部件，小红在生产线上每隔8秒能生产出一个零部件，他们同时开始工作，请
问他们两个人在生产线上首次同时完成任务需要多少秒？
10. 下列三个等式中，哪一个等式的解集是{3}？
a) 2x-5=7
b) 3x+4=3x+2
c) 4x-1=2x-7
解答题和填空题已省略题目描述部分。
以上是2014北京中考数学试卷的部分内容，试卷难度适中，结构合理。
考生需要在规定的时间内，准确、快速地完成试卷中的各种题型，以展示自己的数学能力。
希望考生能够充分准备，有信心在考试中取得好成绩。
2014北京中考西城一模数学试题及答案
北京市西城区2014年初三一模试题数 学 2014.4考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟。
2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4. 在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。
一、选择题（本小题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 的绝对值是（ ）2- A. B. C. D. 22-1212-2. 2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约13 100 000人，创历史新高，将数字13 100 000用科学计数法表示为（ ）A. B. C. D. 613.110⨯71.3110⨯81.3110⨯80.13110⨯3. 由5个相同的正方体组成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）4. 从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是（ ）A. B. C. D. 294959235. 右图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm 水面宽为，则水的最大深度为（ ）AB 8cm CD A. B. C. D. 4cm 3cm 2cm 1cm 6. 为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（ ）A.极差是6B.众数是7C.中位数是8D.平均数是107. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）x 2210mx x +-=m A. B. C. 且 D. 且1m <-1m >1m <0m ≠1m >-0m ≠8. 如图，在平面直角坐标系中，以点为顶点任作一直角，使其两边分别与轴、xOy (23)A ，PAQ ∠x y 轴A. B. C. D.主视方向第5题图的正半轴交于点、，连接，过点作于点，设点的横坐标为，的长为P Q PQ A AH PQ ⊥H P x AH y ，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）y x 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式： 。
2014北京中考数学门头沟一模试题及答案
2014北京中考数学门头沟一模试题及答案数 学学校 姓名 准考证号_____________一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．-2的绝对值是A ．-2B ．2C ．12 D ． 12- 2. 法国《费加罗报》4月 7日报道，根据来自其他媒体的数据，自从搜索马航失联航班MH370之日起，到目前为止，搜寻费用已超过50 000 000美元，请将50 000 000用科学计数法表示A. 7510⨯B. 8510⨯C. 80.510⨯D. 90.510⨯3. 如图1所示，小红随意在地板上踢键子，则键子恰落在黑色方砖上的概率为A ．45 B ．35 C ．25 D ．154. 下列图案中既是中心对称图形也是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．5. 小亮和小强进行投飞镖比赛，比赛结束后对他们的成绩进行统计，小亮的平均得分是 9.1环，方差是2.5；小强的平均得分是9.1环，方差是1.9，请问谁的综合技术更稳定些．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
图1DAA．小亮B．小强C．都稳定D．无法判断6. 如图2，直线AB∥CD，∠BAE=28О，∠ECD=50О，则∠E＝A．68ОB．78ОC．92ОD．102О7.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是A．πB．2πC．3πD．4π8.如图3，是由矩形和半圆组成的一个封闭图形，其中AB=8，AD=DE=FC=2点P由D点出发沿DE→半圆→FC运动，到达C点停止运动.设AP的长为x,△ABP的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A B. C.D.二、填空题(本题共16分，每小题4分)9. 在函数y=中，自变量x的取值范围是.10.分解因式29x y y-=____________________.11. 如图4，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB=32，∠A=30°，则⊙O的直径为 .12. 如图5，已知直线l：y=，过点A1(1,0)作x轴的垂线交直线l于点B1，在线段A1B1右侧作等边三角形A1B1C1，过点C1作x轴的垂线交x轴于A2，交直线l于点B2，在线段A2B2右侧作等边三角形A2B2C2，按此作法继续下去则B2的坐标为_______________；B n的坐标为________________.(n为正整数)BDAC28°50°E图2图3图4三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13. 计算：(012tan 602014--+o14．求不等式组503512(1)x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-⎩，．的整数．．解 15. 已知2430a a --=，求代数式22(1)(1)a a a --+的值.16.如图6，已知点C ，E ，B ，F 在同一直线上，AC ∥DF ，AC =DF ，BC =EF ，求证：AB =DE17．一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于A （1，4），B （-2（1）求m 的值;（2）求k 和b 的值；（3）结合图象直接写出不等式0mkx b x-->的解集.图5图618．某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话:通过这段对话,请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数.四、解答题(本题共20分，每小题5分)19.如图7，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ， （1）求证：四边形OCED 是矩形;（2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE 的值.20.如图8，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC .（1）若∠CP A =30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小.21.某市对初三学生的体育成绩进行了一次监测，体育成绩评定分为四个等级：A ,B ,C ,D ；A 代表优秀；B 代表良好；C 代表合格；D 代表不合格，为了准确监测出全区体育成绩的真实水平，特别从农村、县镇、城市三地抽取5000人作为检测样本，相关数据如下扇形统计图和条形统计图记者： 图7图8（1）请你通过计算补全条形统计图；（2）若该市今年有100000人参加中考体育考试，请你估算一下今年大约有多少学生中考体育考试成绩能在合格以上.22. 折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形—“叠加矩形”。
2014年北京市丰台区中考二模数学试题及答案
丰台区2014年初三统一练习（二） 2014.6一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1.中国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量约为28000亿立方米，约占全球水资源的6%.将28000用科学记数法表示为A ．28×103B ． 2.8×104C ． 2.8×105D ． 0.28×1062. 21-的相反数是 A ．2- B ．2 C ．21 D ．21-3. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．三棱柱4. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形的边数是A ．5B ．6C ．7D ．85.某班第一小组6名女生在测仰卧起坐时，记录下她们的成绩（单位：个/分）： 45，48，46，50，50，49.这组数据的平均数是 A ．49 B ．48 C ．47 D ．466.将多项式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是 A ．2(2)a x - B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-7.如图，在等边ABC △中，BC=6，点D,E 分别在AB ，AC 上， DE ∥BC ，将ADE △沿DE 翻折后，点A 落在点A ’处.连结A A ’并延长，交DE 于点M ，交BC 于点N.如果点A ’为MN 的中点，那么ADE △的面积为 A ．3 B ．33 C ．36 D ．398.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一个钉子.动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A-B-C 方向以每秒2cm 的速度运动，到C 点停止，点Q 沿A-D 方向以每秒1cm 的速度运动，到D 点停止.PQ两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，当遇到钉子后，俯视图左视图主视图NM A'E DCBAxE DC BA–1–2–3–4–51234橡皮筋会自动弯折。
北京市延庆区2014年中考数学一模试题及参考答案和评分标准
DA GAB CED F 北京市延庆区2014年中考数学一模试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确 的，请将所选答案在答题卡相应位置涂黑.1．23-的绝对值是 A ．23- B ．23C ．32-D ．322. 在第六次全国人口普查，截至2010年11月1日零时，延庆县常住人口为317000人，将317000用科学记数法表示应为A ．3.17×105B ．31.7×104C ．3.17×104D ．0.317×1063. 一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 A ．12B ．15C ．27D ．574. 如图，直线a ∥b ，EF ⊥CD 于点F ，∠2=65°，则∠1的度数是 A ．15° B ．25° C ．45° D ．65°5. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是A ．等边三角形B ．菱形 C. 平行四边形 D ．矩形6．小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度．测量时，使直角边DE 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ；使斜边DF 与点A 在同一条直线上．测得边DE 离地面的高度GB 为1.4m ，点D 到AB 的距离DG 为6m （如图所示）．已知DE =30cm ，EF =20cm ，那么树AB 的高度等于A ．4 mB ．5.4 mC ．9 mD ．10.4 m7．某中学足球队9名队员的年龄情况如下：年龄（单位：岁） 14 15 16 17 人数1422则该队队员年龄的众数和中位数分别是A ．15，15B ．15，16C ．15，17D ．16，15 8．如图，在△ABC 中，AB=5cm ，BC=12cm ，动点D 、E 同时从点 B 出发，点D 由B 到A 以1cm/s 的速度向终点．．A ．作匀速运动，点 考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.21FED CbaC ADBFEABCDEFMAFE B CDNFE BAMCDE沿BC-CA以2.4cm/s的速度向终点．．A．作匀速运动，那么△BDE的面积S与点E运动的时间t之间的函数图象大致是A． B． C． D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：3269a a a-+== __________ ．10．若分式3xx-的值为0，则x的值等于．11．某一次函数的图象经过点（1，－2），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：．12．如图，正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中，点E在CB的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且BE=CD，DB延长线交AE于点F．图1中∠AFB的度数为，图2中∠AFB度数为，若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为．（用含n的代数式表示）图1 图2 图3三、解答题（本题共35分，每小题5分）13．如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF；求证：∠D=∠A14．计算：101()2sin458(23--︒++-π) .15．解不等式组:215432x xx x+>-⎧⎨≤+⎩16．已知2+0x y=，求代数式(2)()()2x x y x y x y+-+-+的值.17．在平面直角坐标系xOy中，一次函数3y x=的图象与反比例函数kyx=的图象的一P E A个交点为A （1，n ）. （1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）若P 是坐标轴上一点（P 不与O 重合），且满足PA OA =，直接写出点P 的坐标.18列方程或方程组解应用题：为了响应市政府“绿色出行”的号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段．．．．．．．，自驾车的平均速度是自行平均车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多23小时．求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少．四、 解答题（本题共15分，每小题5分）19. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长 DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接CF ．（1）求证: 四边形BCFD 是平行四边形； （2）若BD =4，BC =6，∠F =60°，求CE 的长.20. 以下是根据2013年某旅游县接待游客的相关数据绘制的统计图的一部分，请根据图1，图2回答下列问题：（1）该旅游县5~8月接待游客人数一共是280万人，请将图1中的统计图补充完整； （2）该旅游县6月份4A 级景点接待游客人数约为多少人？（3）小明观察图2后认为，4A 级景点7月份接待游客人数比8月多了，你同意他的看 法吗？说明你的理由.21. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是边BC 的中点．以CD 为直径作⊙O ，交边AC 于点P ，连接BP ，交AD 于点E ．F E DC B A某旅游县5~8月各月 接待游客人数统计图 某旅游县5~8月4A 级景点接待游客人 数占该县当月游客人数百分比的统计图 80601008月7月6月月份5月游客人数（万人）100806040200 图 1 30%20%15%50%010%20%30%40%50%百分比5月月份6月7月8月 图2（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果PB 是⊙O 的切线，BC =4，求PE 的长．22. 阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、 BC 、CA 至A 1、B 1、C 1，使得A 1B =AB ，B 1C =BC ，C 1A =CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1， 得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值．小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A 1C 、B 1A 、C 1B ，因为A 1B =AB ， B 1C =BC ，C 1A =CA ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以111A BC B CA C AB ABC S =S =S =S =a ∆∆∆∆，由此继续推理，从而解决了这个问题．（1）请直接写出S 1= ；（用含字母a 的式子表示）． 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、 B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其 面积为S 2，求S 2的值．（3）如图4，P 为△ABC 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，设△APE 的面积为y ，△BPF 的面积为x ，①求△APE ，△BPF ，△APF 面积之间的关系； ②求△ABC 的面积．五、解答题（本题共22分，第23题、24题各7分，25题8分）23. 已知：抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中 点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ． （1）求m 的值；（2）求∠CDE 的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果 存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．C1B 1A 1C B A A B C A 1B 1C 1A B C C 1A 1B 184P 353040F D EC B A 图1 图2 图3 图4G PM F E D C BA2y x O 1321D C 1231O xy224. 如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点．点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连接EG 、FG ．（1）设AE =x 时，△EGF 的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是MG 的中点，求点P 运动路线的长．25. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：线段AB 及点P ，任取AB 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段AB 的距离，记作d （P →AB ）． （1）如图1，已知C 点的坐标为（1，0），D 点的坐标为（3，0），求点P （2，1）到线段CD 的距离d （P →CD ）为 ；（2）已知：线段EF ：y=x （0≤x ≤3），点G 到线段EF 的距离d （P →EF ）为2，且点G 的横坐标为1，在图2中画出图，试求点G 的纵坐标．图1 图2以下为草稿纸CADB FE----------------5分------------------4分--------------------------5分--------------------------4分 --------------------------2分① ②----------------5分----------------4分 ----------------2分 延庆县2013—2014学年第二学期毕业考试答案 初 三 数 学一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B AD B CB AD二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）题号 910 11 12 答案2(3)a a -3略60，90，nn 180)2(- 说明：12题分值：1分,1分,2分三、解答题（本题共35分，每小题5分） 13． 证明： ∵AC ∥DF∴∠C =∠F 在△DEF 和△ACB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC C F AC DF∴ABC DEF ∆≅∆ ∴∠D=∠A14．解：101()2sin 458(23--︒++-π)= 1222223++⋅-24+=15.215432x x x x +>-⎧⎨≤+⎩ 解：由①得：x>-6 由①得：2≤x ∴26≤<-x16. (2)()()2x x y x y x y +-+-+-----------2分 -----------5分 -----------4分-----------3分 -----------5分-----------3分 -----------2分-----------1分 -----------5分-----------2分 -----------1分 -----------3分 M-----------2分-----------1分-----------4分 =2)(2222+--+y x xy x =22222++-+y x xy x 222++=xy y 2)2(++=x y y ∵2+0x y = ∴原式=2 17.⑴ ∵点A(1,n)在一次函数3y x =的图象上， ∴n=3．∴点A 的坐标为(1,3)． ∵点A 的反比例函数xky =的图象上， ∴k=3．∴反比例函数的解析式为3=y ．⑵ 点P 的坐标为(2,0)或(0,6)． 18. 解：自行车平均速度为x km/h ，自驾车平均速度为2x km/h由题意得：3222020=-x x 解方程得：60-30=2x ∴x =15，经检验：x =15是所列方程的解，且符合实际意义， ∴2x =30答：自行车速度为15km/h ，汽车的速度为30km/h ．19..证明：（1）∵ D 、E 分别是AB 、AC 的中点∴BC DE BC DE 21,//=∵EF ＝DE∴BC EF 21=∴BC DF EF DE ==+∴四边形BCFD 是平行四边形（2）过点C 作CM ⊥DF 于M ， ∵平行四边形BCFD∴CF=BD=4 DF=BC=6FEDCBA----------5分 ----------3分 ---------2分 -----------5分-----------4分 -----------2分 -----------4分-----------3分-----------5分-----------1分-----------2分∴EF ＝DE=3 ∵∠F =60° ∴∠MC F =30° ∴2F 21MF ==C Rt △CMF 中，12MF -CF MC 222== Rt △NMF 中，13C EM CE 22=+=M20.（1）图略（2）9%1560=⨯（万人） （3）12%3040=⨯（万人） 16%2080=⨯（万人）所以小明说的不对21.证明：（1）∵AB=AC ，点D 是边BC 的中点 ∴∠ADC=∠ADB=90° ∴AD 是⊙O 的切线（2）∵AD 是⊙O 的切线 PB 是⊙O 的切线 ∴PE=DE 连接OP∴∠BPO=90°∴∠BPO=∠ADB =90° ∴BDE ∆∽△BPO ∴BPBDOP DE = ∵BC=4∴CD=BD=2 ∴OP=1,OB=3 ∴22DE =∴22PE =22.（1）S 1=7a ； （2）∵A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1A=2CA根据等高两三角形的面积比等于底之比， ∴S △A 1B C ＝S △B 1C A =S △C 1A B ＝2S △A B C ＝2a----------1分-----------4分∴S 1=19a ； （3）①过点C 作CG ⊥BE 于点G ， ∵S △BPC ＝12BP •CG ＝70；S △PCE ＝12PE •CG ＝35， ∴BPC PCE S BP CG 70===2S PE CG 35∆∆∙∙ ∴BP=2EP即：BP=2EP 同理，APB APE S BP==2S PE∆∆ ∴S △APB =2S △APF ． =x ，S △APE =y ， ∴x +84=2y ． ②∵APB BPD S AP x+84==S PD 40∆∆,APC PCD S AP y+35==S PD 30∆∆又∵x +84=2y ∴ ∵S △BPF∴S △ABC =315．23. （1）∵抛物线过点C （0，3） ∴1-m=3∴m=-2（2）由（1）可知该抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴此抛物线的对称轴x=1 抛物线的顶点D （1，4） 过点C 作CF ⊥DE ，则CF ∥OE ∴F （1，3）所以CF=1，DF=4-3=1 ∴CF=DF 又∵CF ⊥DE∴∠DFC=90°∴∠CDE=45° （3）存在．①延长CF 交抛物线于点P 1，则CP 1∥x 轴，所以P 1正好是C 点关于DE 的对称点时，有DC=DP 1，得出P 1点坐标（2，3）； -----------5分 -----------4分-----------3分----------1分----------3分-----------7分 -----------6分-----------5分由y=-x 2+2x+3得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x=1． ②若以CD 为底边，则PD=PC ， 设P 点坐标为（x ，y ），根据两点间距离公式，得x 2+（3-y ）2=（x-1）2+（4-y ）2， 即y=4-x ．又P 点（x ，y ）在抛物线上，∴4-x=-x 2+2x+3，即x 2-3x+1=0， 解得：253±=x 253-=x ＜1，应舍去； ∴253+=x ∴y=4-x=255-=x 则P 2点坐标（255,253-+） ∴符合条件的点P 坐标为（255,253-+）和（2，3）．24.解：（1）当点E 与点A 重合时， x=0，y=2当点E 与点A 不重合时，0＜x ≤2 在正方形ABCD 中，∠A=∠ADC=90° ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF 在△AME 和△DMF 中⎪⎩⎪⎨⎧DMF ＝∠AME ∠DM＝AM MDF ＝∠A ∠ ∴△AME ≌△DMF （ASA ） ∴ME=MF在Rt △AME 中，AE=x ，AM=1，ME=12+x-----------1分-----------2分∴EF=2ME=212+x过M 作MN ⊥BC ，垂足为N （如图）则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Rt △AME ∽Rt △NMG ∴MGME =NM AM 即21=MG ME ∴MG=2ME=122+x ∴2212122121222+=+⨯+⨯=⋅=x x x MG EF y ∴)20(222≤≤+=x x y(2）如图，PP ′即为P 点运动的距离；在Rt △BMG ′中，MG ⊥BG ′；∴∠MBG=∠G ′MG=90°-∠BMG ；∴tan ∠MBG=2=BGMG ∴tan ∠GMG ′=tan ∠MBG=∴GG ′=2MG=4；△MGG ′中，P 、P ′分别是MG 、MG ′的中点，∴PP ′是△MGG ′的中位线；∴PP ′=即：点P 运动路线的长为2．25. (1) d （P→CD）为 1 （2）在坐标平面内作出线段DE ：y=x （0≤x≤3）．∵点G 的横坐标为1，∴点G 在直线x=1上，设直线x=1交x 轴于点H ，交DE 于点K ，①如图2所示，过点G 1作G 1F ⊥DE 于点F ，则G 1F 就是点G 1到线段DE 的距离， ∵线段DE ：y=x （0≤x≤3）， ∴△G 1FK ，△DHK 均为等腰直角三角形，∵G 1F=2-----------7分-----------6分 -----------5分 -----------4分 ----------5分 -----------2分-----------3分 -----------4分 -----------5分∴KF=2由勾股定理得G1K=2，又∵KH=OH=1，∴H G1=3，即G1的纵坐标为3；②如图2所示，过点O作G2O⊥OE交直线x=1于点G2，由题意知△OHG2为等腰直角三角形，∵OH=1，∴G2O=2∴点G2同样是满足条件的点，∴点G2的纵坐标为-1，综上，点G的纵坐标为3或-1．以上答案仅供参考。
2014年北京市高级中等学校招生考试
2014年北京市高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共32分)一、选择题(本题共32分,每小题4分)下面各题均有四个选项,其中只有一个．．是符合题意的.1.2的相反数是( )A.2B.-2C.-12D.122.据报道,某小区居民李先生改进用水设备,在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨.将300 000用科学记数法表示应为( )A.0.3×106B.3×105C.3×106D.30×1043.如图,有6张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的概率是( )A.16B.14C.13D.124.如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A.圆锥B.圆柱C.正三棱柱D.正三棱锥5.某篮球队12名队员的年龄如下表所示:年龄(岁)18192021人数5412则这12名队员年龄的众数和平均数分别是( )A.18,19B.19,19C.18,19.5D.19,19.56.园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积S(单位:平方米)与工作时间t(单位:小时)的函数关系的图象如图所示,则休息后园林队每小时绿化面积为( )A.40平方米B.50平方米C.80平方米D.100平方米7.如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为( )A.2√2B.4C.4√2D.88.已知点A为某封闭图形边界上一定点,动点P从点A出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x,线段AP的长为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图所示,则该封闭图形可能是( )第Ⅱ卷(非选择题,共88分)二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.分解因式:ax4-9ay2= .10.在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时测得一根旗杆的影长为25 m,那么这根旗杆的高度为m.(k≠0),使它11.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数y=kk的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为.12.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P'(-y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,A n,….若点A1的坐标为(3,1),则点A3的坐标为,点A2 014的坐标为;若点A1的坐标为(a,b),对于任意的正整数n,点A n均在x轴上方,则a,b应满足的条件为.三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.如图,点B在线段AD上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB.求证:∠A=∠E.)-1-3tan 30°+|-√3|.14.计算:(6-π)0+(-1515.解不等式12x-1≤23x-12,并把它的解集在数轴上表示出来.16.已知x-y=√3,求代数式(x+1)2-2x+y(y-2x)的值.17.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.18.列方程或方程组解应用题:小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连结EF,PD.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.20.根据某研究院公布的2009—2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据,绘制的统计图表如下:2013年成年国民倾向的阅读方式人数分布统计图2009—2013年成年国民年人均阅读图书数量统计表年份年人均阅读图书数量(本)2009 3.882010 4.122011 4.352012 4.562013 4.78根据以上信息解答下列问题:(1)直接写出扇形统计图中m的值;(2)从2009到2013年,成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等,估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为本;(3)2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人,若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平,估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为本.⏜的中点,☉O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的中21.如图,AB是☉O的直径,C是kk点,CE的延长线交切线DB于点F,AF交☉O于点H,连结BH.(1)求证:AC=CD;(2)若OB=2,求BH的长.22.阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,点D在线段BC 上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2) .请回答:∠ACE的度数为,AC的长为.参考小腾思考问题的方法,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.图3五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4).(1)求抛物线的表达式及对称轴;(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围.24.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连结BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.25.对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-M≤y≤M,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数y=1k (x>0)和y=x+1(-4<x≤2)是不是有界函数?若是有界函数,求其边界值;(2)若函数y=-x+1(a≤x≤b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b 的取值范围;(3)将函数y=x 2(-1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m 个单位,得到的函数的边界值是t,当m 在什么范围时,满足34≤t≤1?答案全解全析：一、选择题1.B ∵2+(-2)=0,∴2的相反数为-2.故选B.2.B 300 000=3×105.故选B.3.D 6张扑克牌中,点数为偶数的有3张,所以抽到点数为偶数的概率是36=12.故选D.4.C 选项A 、B 中的几何体,三视图中一定有一个圆,与所给的三视图不符,排除A,B;选项D 中的几何体的三视图是三个三角形,与所给的三视图也不相符,排除D.只有选项C 中的几何体与所给的三视图相符,故选C.5.A 年龄为18岁的队员最多,故众数为18;12名队员年龄的平均数为18×5+19×4+20×1+21×212=19.故选A.6.B 休息的过程中是不进行绿化工作的,即绿化面积S 不变化,由图象可知第1~2小时为园林队休息时间,则休息后园林队的绿化面积为160-60=100(平方米),所用的时间为4-2=2(小时),所以休息后园林队每小时绿化面积为100÷2=50(平方米).故选B. 7.C∵CO=AO,∴∠COE=2∠A=45°.∵OC=4,∴CE=OC·sin∠COE=4×√22=2√2.∵AB⊥CD,∴CD=2CE=4√2.故选C.8.A 由图象可知,AP 先由短变长,然后略微变短再变长,最后AP 由长变短.选项A 与题目要求相符;选项B 是先由短变长,然后略微变短再变长,接着再略微变短再变长,最后由长变短,与题目要求不符;选项C 是先由短变长,到达第一个顶点后继续变长,到达第二个顶点后开始变短,到达第三个顶点后继续变短,与题目要求不符;选项D 是先由短变长,在经过点A 的直径与圆的另一个交点处时最长,然后开始变短,与题目要求不符.故选A.评析 解决本题的关键是根据图形特征分析函数图象随自变量变化的趋势,结合图形性质通过定性分析来确定选项.属中档题. 二、填空题9.答案 a(x 2+3y)(x 2-3y)解析 ax 4-9ay 2=a(x 4-9y 2)=a(x 2+3y)(x 2-3y).10.答案 15解析 设旗杆的高度为x m,则1.83=k25,解得x=15.即旗杆的高度为15 m.11.答案 y=4k (答案不唯一,满足0<k≤4即可)解析 要使反比例函数的图象与正方形有交点,则至少要经过点B,且k>0,而点B 的坐标为(2,2),所以k 的最大值为4,即0<k≤4. 12.答案 (-3,1);(0,4);-1<a<1,0<b<2解析 由题意可知,点A 2的坐标为(0,4),点A 3的坐标为(-3,1),点A 4的坐标为(0,-2),点A 5的坐标为(3,1),…,所以每四个点坐标为一个循环.∵2 014÷4=503……2,∴点A 2 014的坐标与点A 2的坐标一致,为(0,4).因为每四个点坐标为一个循环,所以要求a,b 应满足的条件,只需要知道前4个点的坐标即可.∵点A 1的坐标为(a,b),∴点A 2、A 3、A 4的坐标依次为(-b+1,a+1)、(-a,-b+2)、(b-1,-a+1).∵点A n 均在x 轴上方,∴{k >0,k +1>0,-k +2>0,-k +1>0,∴-1<a<1,0<b<2.评析 解决本题的关键是读懂题目要求,并按照题目要求正确操作.尤其是“在x 轴上方”即为“纵坐标>0”.属中档题. 三、解答题13.证明 ∵BC∥DE, ∴∠ABC=∠D.在△ABC 和△EDB 中,{kk =kk ,∠kkk =∠k ,kk =kk ,∴△ABC≌△EDB. ∴∠A=∠E.14.解析 原式=1-5-3×√33+√3=-4.15.解析 去分母,得3x-6≤4x -3, 移项,得3x-4x≤6-3. 合并同类项,得-x≤3, 系数化为1,得x≥-3.不等式的解集在数轴上表示如下:16.解析 (x+1)2-2x+y(y-2x) =x 2+2x+1-2x+y 2-2xy =x 2-2xy+y 2+1. ∵x -y=√3,∴原式=(x-y)2+1=4.17.解析 (1)证明:∵m≠0,∴mx 2-(m+2)x+2=0是关于x 的一元二次方程.∴Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2.∵(m -2)2≥0,∴方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x=(k +2)±(k -2)2k.∴x 1=1,x 2=2k.∵方程的两个实数根都是整数,且m 为正整数, ∴m=1或2.18.解析 设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x 元. 由题意,得27k =108k +0.54.解得x=0.18.经检验,x=0.18是原方程的解,且符合题意.答:新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元. 四、解答题19.解析 (1)证明:∵BF 是∠ABC 的平分线, ∴∠ABF=∠EBF. ∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF. ∴∠AFB=∠ABF. ∴AB=AF. 同理,AB=BE.∴AF=BE.又∵AF∥BE,∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵AB=AF,∴四边形ABEF 是菱形.(2)过点P 作PG⊥AD 于点G,如图. ∵四边形ABEF 是菱形,∠ABC=60°, ∴△ABE 是等边三角形. ∵AB=4, ∴AE=AB=4, ∴AP=12AE=2.在Rt△AGP 中,可求得∠PAG=60°. ∴AG=AP·cos 60°=1, GP=AP·sin 60°=√3. ∵AD=6, ∴DG=5, ∴tan∠ADP=kk kk =√35. 20.解析 (1)66.0. (2)5.00±0.02.(3)7 500±30.(990÷66.0%×5=7 500) 21.解析 (1)证明:连结BC. ∵AB 是☉O 的直径, ∴∠ACB=90°.∵C 是kk⏜的中点, ∴kk ⏜=kk ⏜. ∴AC=BC.∴∠CAB=∠CBA=45°. ∵BD 是☉O 的切线, ∴∠ABD=90°.可得∠CBD=∠D=45°. ∴BC=CD. ∴AC=CD. (2)连结OC. ∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB=45°. ∴∠COE=90°. ∵E 是OB 的中点, ∴OE=BE.∵∠CEO=∠FEB,∴Rt△COE≌Rt△FBE.∴BF=OC. ∵OB=2,∴BF=2.由勾股定理,得AF=2√5. ∵∠ABF=∠AHB=90°, ∴BH=kk ·kk kk=45√5. 22.解析 ∠ACE 的度数为75°,AC 的长为3.解决问题:过点D 作DF∥AB 交AC 于点F,如图.∴∠DFE=∠BAC=90°,又∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE. ∴kk kk =kk kk =kkkk .∵BE=2ED,AE=2,∴FE=1,∴AF=3. ∵∠CAD=30°,∴FD=√3,AD=2√3. ∵kkkk =2,∴AB=2√3.∵∠ADC=75°,∠CAD=30°,∴∠ACD=75°, ∴AC=AD=2√3.在Rt△ABC 中,由勾股定理可得BC=2√6.评析 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数等知识.解决本题的关键是读懂题目中给出的操作方法,由平行想到相似三角形.属中档题.五、解答题23.解析 (1)∵点A,B 在抛物线y=2x 2+mx+n 上,∴{-2=k ,4=2×32+3m +n.解得{k =-4,k =-2.∴抛物线的表达式为y=2x 2-4x-2.∴抛物线的对称轴为x=1.(2)由题意可知,点C 的坐标为(-3,-4).设直线BC 的表达式为y=kx+b(k≠0).∴{4=3k +k ,-4=-3k +k ,解得{k =43,k =0.∴直线BC 的表达式为y=43x.∴当x=1时,y=43.结合图象可知,点A 在直线BC 的下方,且抛物线的顶点坐标为(1,-4),∴-4≤t≤43.24.解析 (1)补全图形,如图所示.(2)连结AE,如图.∵点E 与点B 关于直线AP 对称,∴AE=AB,∠EAP=∠BAP=20°.∵AB=AD,∴AE=AD,∴∠AED=∠ADF.又∠BAD=90°,∴2∠ADF+40°+90°=180°.∴∠ADF=25°.(3)AB,FE,FD 满足的数量关系为FE 2+FD 2=2AB 2.证明:连结AE,BF,BD,设BF 交AD 于点G,如图.∵点E 与点B 关于直线AP 对称,∴AE=AB,FE=FB.可证得∠FEA=∠FBA.∵AB=AD,∴AE=AD.∴∠ADE=∠AED.∴∠ADE=∠ABF.又∵∠DGF=∠AGB,∴∠DFB=∠BAD=90°.∴FB 2+FD 2=BD 2.∵BD 2=2AB 2,∴FE 2+FD 2=2AB 2.25.解析 (1)y=1k (x>0)不是有界函数;y=x+1(-4<x≤2)是有界函数,边界值是3.(2)对于函数y=-x+1(a≤x≤b,b>a),∵y 随x 的增大而减小,∴y 的最大值是-a+1,y 的最小值是-b+1.∵函数的最大值是2,∴a=-1.又∵函数的边界值是2,∴-b+1≥-2,∴b≤3.∴-1<b≤3.(3)由题意,函数平移后的表达式为y=x 2-m(-1≤x≤m,m≥0).当x=-1时,y=1-m;当x=0时,y=-m;当x=m 时,y=m 2-m. 根据二次函数的对称性,当0≤m≤1时,1-m≥m 2-m;当m>1时,1-m<m 2-m.①当0≤m≤12时,1-m≥m,由题意,边界值t=1-m.当34≤t≤1时,0≤m≤14.∴0≤m≤14.②当12<m≤1时,1-m<m.由题意,边界值t=m.当34≤t≤1时,34≤m≤1. ∴34≤m≤1. ③当m>1时,由题意,边界值t≥m. ∴不存在满足34≤t≤1的m 值.综上所述,当0≤m≤14或34≤m≤1时,满足34≤t≤1.。
北京市昌平区2014年中考数学一模试题及参考答案和评分标准
D BCD BC ADBCA北京市昌平区2014年中考一模数学试题考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分，考试时间120分钟。
2．在答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将答题卡交回。
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．据统计，第22届冬季奥林匹克运动会的电视转播时间长达88000小时，社交网站和国际奥委会官方网站也创下冬奥会收看率纪录. 用科学计数法表示88000为A ．50.8810⨯B ．48.810⨯C ．58.810⨯D ．68.810⨯2． 12-的倒数是A ．12-B ．12C ．2-D ．23. 抽奖箱里有6个除颜色外其他都相同的U 盘，其中1个红色，2个黄色，3个蓝色，摇匀后从中任意摸出一个是黄色的概率为A ．12B ．13 C ．15 D ．164．如图，已知AB ∥CD ，EA 是CEB ∠的平分线，若40BED ∠=︒，则A ∠的度数是 A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°5．下列图形中，既是．．轴对称图形又是．．中心对称图形的是A B CD6．学校体育课进行定点投篮比赛，10位同学参加，每人连续投5次，投中情况统计如下：投中球数量（个） 2 3 4 5 人数（人）1432这10位同学投中球数量．．．．．的众数和中位数分别是 ABCDEABCDEF C '2.2m?4m10m一楼二楼A ．4, 2B . 3，4C . 2，3.5D . 3，3.57．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行. 张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m ）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为A ．5.5mB . 6.2mC . 11 mD . 2.2 m8．如图，在△ABC 中，AB =AC ，tan ∠B =2， BC =32. 边A B 上一动点M 从点B 出发沿B →A 运动，动点N 从点B 出发沿B →C →A 运动，在运动过程中，射线MN 与射线BC 交于点E ，且夹角始终保持45°. 设BE =x ， MN =y ，则能表示y 与x 的函数关系的大致图象是ABC D459yOx11459yOx11459yOx11459yOx11二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．把多项式32m mn 分解因式，结果为 ．10．请写出一个位于第一、三象限的反比例函数表达式，y = ．11．如图，已知平行四边形纸片ABCD 的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D 与点B 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，则△ABE 的周长为 ．ABCM N12． 已知：四边形ABCD 的面积为1. 如图1，取四边形ABCD 各边中点，则图中阴影部分的面积为 ；如图2，取四边形ABCD 各边三等分点，则图中阴影部分的面积为 ；…；取四边形ABCD 各边的n （n 为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为 .A 3B 3C 3D 3AA 1A 2B B 1B 2C C 1C 2D D 1D 2A 2B 2C 2D 2A 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1图3图2图1C DABC D A 1BA三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13.计算： 10184sin 4520142-⎛⎫-︒-+ ⎪⎝⎭．14. 已知：D 是AC 上一点，BC =AE ，DE ∥AB ，∠B =∠DAE .求证：AB =DA .15.解方程：211x x x-=-.16. 已知210x x --=，求22(1)(+3)4x x x x +-+的值．17. 列方程解应用题：王亮的父母每天坚持走步锻炼. 今天王亮的妈妈以每小时3千米的速度走了10分钟后，王亮的爸爸刚好看完球赛，马上沿着妈妈所走的路线以每小时4千米的速度追赶，求爸爸追上妈妈时所走的路程.18. 反比例函数1m y x+=在第二象限的图象如图所示. （1）直接写出m 的取值范围； （2）若一次函数112y x =-+的图象与上述反比例函数图象交ABC DEy于点A ，与x 轴交于点B ，△AOB 的面积为32，求m 的值.四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）19. 已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C =60°，AB =1，BC =33 ，CD =23.（1）求tan ∠ABD 的值； （2）求AD 的长.20. 某校为了更好地开展“阳光体育一小时”活动，围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么（只写一项）？”的问题，对本校学生进行了随机抽样调查，以下是根据得到的相关数据绘制的统计图的一部分.204080图2图1%其它 10%踢毽子 20%跳绳 40%投篮各运动项目的喜欢人数占抽样总人数百分比统计图抽样调查学生最喜欢的运动项目的人数统计图兴趣爱好人数其它跳绳投篮踢毽子80604020各年级学生人数统计表年级 七年级 八年级 九年级 学生人数180120请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）请将图1和图2补充完整；（3）已知该校七年级学生比九年级学生少20人，请你补全上表，并利用样本数据估计全DCBA校学生中最喜欢踢毽子运动的人数约为多少？21. 如图，已知A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，P 是直径CD 的延长线上的一点，且AP =AC .（1）求证：AP 与⊙O 相切； （2）如果AC =3，求PD 的长.22. 图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B =90°，∠A =45°，62BC ，∠F =90°，∠EDF =30°，EF =2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD =10，则AD = ；（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD 的最大度数为 ；②当FC ∥AB 时，AD = ；③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD = ;④△FCD 的面积s 的取值范围是 .AB CDEF图2ABC备用图图1FE DCB A五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8分，共22分）DPO CAB23. 如图，已知二次函数y =ax 2＋bx －23（a ≠0）的图象经过点A ，点B ． （1）求二次函数的表达式； （2）若反比例函数2y x=（x ＞0）的图象与二次函数y =ax 2＋bx －23（a ≠0）的图象在第一象限内交于点()C p q ，，p 落在两个相邻的正整数之间，请你直接写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数k y x=（x ＞0，k ＞0）的图象与二次函数y =ax 2＋bx －23（a ≠0）的图象在第一象限内交于点()D m n ，，且23m <<，试求实数k 的取值范围．24．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG .（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE =DG ； （2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数； （3）如图3，如果α=45°，AB =2，AE =42，求点G 到BE 的距离.A BCD E FG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图1-31-1-11yA B xO-11-11xO y25. 无论k 取任何实数，对于直线y kx =都会经过一个固定的点(0,0)，我们就称直线y kx =恒过定点(0,0).（1）无论m 取任何实数，抛物线2(13)2y mx m x =-++恒过定点()00A x y ，，直接写出定点A 的坐标；（2）已知△ABC 的一个顶点是（1）中的定点()00A x >，且B ∠，C ∠的角平分线分别是y 轴和直线y x =，求边BC 所在直线的表达式； （3）求△ABC 内切圆的半径.昌平区2013—2014学年初三第一次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 2014．5 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案BCBCADAD二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）题 号9101112答 案 ()()m m n m n +-1x（比例系数大于0即可）1012,79，221n- （给1,1，2分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解：原式=222-42+12⨯- ……………………………………………………………………… 4分=-1． ………………………………………………………………………………… 5分14．证明：∵DE //AB ,∴∠EDA =∠CAB . ………………………………………… 1分在△DAE 和△ABC 中，,,,EDA CAB DAE B AE BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩…………………………………… 3分DAE ∆∴≌(AAS).ABC …………………………… 4分∴.AB DA = ………………………………………………………………………………… 5分15．解：22(1)x x x x --=-. …………………………………………………………………… 1分ABC DE2222x x x x -+=-. …………………………………………………………………… 2分2x -=-. …………………………………………………………………………………… 3分2x =. ……………………………………………………………………………………… 4分 经检验：2x =是原方程的解. ……………………………………………………………… 5分 16．解：原式22(21)(3)4x x x x x =++-++…………………………………………………… …1分3232234x x x x x =++--+………………………………………………………… 2分24x x =-++………………………………………………………………………… 3分2()4x x =--+.210,x x --=21x x ∴-=． …………………………………………………………………… 4分∴原式=14 3.-+=……………………………………………………………………… 5分 17．解：设爸爸追上妈妈时所走的路程为x 千米. ………………………………………………… 1分根据题意，得：1346x x -=. …………………………………………………………………………………… 3分解得：2x =. ………………………………………………………………………………… 4分 答：爸爸追上妈妈时所走的路程为2千米. ……………………………………………… 5分 18. 解：（1）1m <-. …………………………………………………………………………… 1分A BCDEF（2）令0,y =则110.2x -+= 2(2,0).x B ∴=即 …………………………………………………………………… 2分2.OB ∴=3,2AOB S ∆=132.22A y ∴⨯⨯=3.2A y ∴= ………………………………………………………………………………… 3分∵点A 在直线112y x =+上，131.22x ∴-+=1x ∴=-. ………………………………………………………………………………… 4分3(1,).2A ∴-311.2m ∴+=-⨯5.2m ∴=- ……………………………………………………………………………… 5分四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19. 解：(1) 作DE BC ⊥于点E .∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =23，∴3, 3.CE DE ==………………………………………………… 1分 ∵BC =33+，∴333 3.BE BC CE =-=+-=∴ 3.DE BE == ………………………………………………… 2分 ∴在Rt △BDE 中，∠EDB = ∠EBD =45º.∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º，∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º.∴tan ∠ABD =1. ………………………………………………………………………………3分(2) 作AF BD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º, AB =1，2.2BF AF ∴==……………………………………………………………………… 4分 ∵在Rt △BDE 中，3DE BE ==，∴3.2BD =∴3.252222DF BD BF =-=-= ∴在Rt △AFD 中，22.13AD DF AF =+= ……………………………………… 5分20.（1）解：408020=200.20%40%10%或或（名） …………………………………………………… 1分 （2）如图所示： ……………………………………………………………………………… 3分603020406080踢毽子投篮跳绳其它人数兴趣爱好抽样调查学生最喜欢的运动项目的人数统计图各运动项目的喜欢人数占抽样总人数百分比统计图投篮跳绳 40%踢毽子 20%其它 10%%图1图2804020（3）表中填200. ……………………………………………………………………………… 4分（180+120+200）⨯20%=100. ………………………………………………………… 5分答：全校学生中最喜欢踢毽子运动的人数约为100名.21. （1）证明：连接OA .∵60B ︒∠=.∴120AOC ∠=︒. ∴60AOP ∠=︒.∵OA =OC ,∴30OAC ACO ∠=∠=︒. ………………… 1分 ∵AP =AC , ∴30P ACP ∠=∠=︒. …………………… 2分∴90PAO ∠=︒. ∴OA PA ⊥.又∵点A 在⊙O 上， ∴PA 是⊙O 的切线. ………………………………………………………… 3分 (2)在Rt △PAO 中，30P ∠=︒，∴2PO AO =. 又∵AC =3， ∴AP =AC =3.根据勾股定理得:3AO =. …………………………………………………… 4分∴3AO DO ==，23PO =. ∴3PD =. ……………………………………………………………………………5分22．解：（1）2. ……………………………………………………………………………………… 1分（2）① 60°. ………………………………………………………………………………… 2分②39-. ……………………………………………………………………………… 3分③23. ……………………………………………………………………………………… 4分 ④3326s ≤≤. ………………………………………………………………………… 5分五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8分，共22分） 23．解：（1）由图可知：点A 、点B 的坐标分别为（-3,0），（1,0）， ……………………………… 1分且在抛物线232y ax bx =+-上， B ACOPD∴3,2393.2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：1,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ……………………………………………… 2分 ∴二次函数的表达式为213.22y x x =+- ……………………………………………… 3分 （2）两个相邻的正整数为1,2. ………………………………………………………………… 4分 （3）由题意可得：2213222221333.322k k ⎧>⨯+-⎪⎪⎨⎪<⨯+-⎪⎩， ………………………………………………………………………… 6分解得：5 < k < 18. (7)分∴实数k 的取值范围为5 < k < 18.24．（1）证明：如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAE +∠EAD =90°. ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE=AG ，∠EAD +∠DAG =90°.∴∠BAE =∠DAG . ………………………………… 1分 ∴△ABE ≌△(SAS)ADG .∴BE=DG . …………………………………………………………………………… 2分（2）解：45°或135°. ………………………………………………………………………… 4分（3）解：如图3，连接GB 、GE .图2A BC D E FGGFD A由已知α=45°，可知∠BAE =45°. 又∵GE 为正方形AEFG 的对角线， ∴∠AEG =45°. ∴AB ∥GE .∵42AE =, ∴GE =8，1==162BEG AEGAEFG SSS =正方形. ……………………………………………………………… 5分过点B 作BH ⊥AE 于点H . ∵AB =2，∴2BH AH ==. ∴32HE =. ∴25BE =. ………………………………………………………………………6分设点G 到BE 的距离为h . ∴11251622BEGS BE h h =⋅⋅=⨯⨯=. ∴1655h =. ……………………………………………………………………………… 7分 即点G 到BE 的距离为1655.25．解：(1) （0,2），（3，-1）. ………………………………………………………………… 2分(2) ∵△ABC 的一个顶点是（1）中的定点()00A x >， ∴()3,1A -. ……………………………………………………………………………… 3分∵B ∠，C ∠的角平分线所在直线分别是y 轴和直线y x =，xO y 1-11-1GF ABCE Dy = x∴点B 、点C 在点A 关于y 轴、直线y x =的对称点所确定的直线上.作点A 关于y 轴的对称点()3,1D --，作点A 关于直线y x =的对称点()1,3E -. 直线DE 与y 轴的交点即为点B ，与直线y x =的交点即为点C. 连接AB ，AC. 设直线BC 的表达式为y kx b =+.则有3,13.k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩ 解之，得2,5.k b =⎧⎨=⎩所以，25BC y x =+.…………………………5分 (3) ∵B ∠，C ∠的角平分线所在直线分别是y 轴和直线y x =，y 轴和直线y x =的交点O 即为△ABC 内切圆的圆心.……………………………………………………………………………………………………6分过点O 作OF BC ⊥于F ，则OF 即为△ABC 内切圆的半径. ………………………………7分设BC 与x 轴交点为点G ，易知,052G -⎛⎫⎪⎝⎭ , ()0,5B .∴552BG =.∵1122BOGS OB OG GB OF =⋅⋅=⋅⋅, ∴5OF =，即△ABC 内切圆的半径为5. …………………………………………… 8分说明：学生给出的解法与评标的解法不同，正确者要参照评分标准相应给分。
2014-2023年北京市中考真题数学试题汇编：新定义
M ， N 间的“闭距离”，记作d （ M ， N ）．
已知点 A （ −2 ，6）， B （ −2 ， −2 ）， C （6， −2 ）． （1）求d （点 O ， ABC ）； （2）记函数 y = kx （ −1 ≤ x ≤ 1， k ≠ 0 ）的图象为图形 G ，若d （ G ， ABC ） = 1，直接写出 k 的取值范
（1）如图，点 A, B1, C1, B2 , C2 , B3, C3 的横､纵坐标都是整数．在线段 B1C1, B2C2 , B3C3 中， O 的以点 A 为中心 的“关联线段”是______________；
（2） ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A(0,t ) ，其中 t ≠ 0 ．若 BC 是 O 的以点 A 为中心的“关联线
P' ，点 P' 关于点 N 的对称点为 Q ，称点 Q 为点 P 的“对应点”． (1)如图，点 M (1,1), 点 N 在线段 OM 的延长线上，若点 P(−2, 0), 点 Q 为点 P 的“对应点”．
①在图中画出点 Q ； ②连接 PQ, 交线段 ON 于点T.求证： NT = 1 OM ;
6
5 5
,
0
．对于线段
MN
上一点
S，存在
O
的弦
PQ
，使得点
S
是弦
PQ
的“关联
点”，记 PQ 的长为 t，当点 S 在线段 MN 上运动时，直接写出 t 的取值范围． 2．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M (a,b), N. 对于点 P 给出如下定义：将点
P 向右 (a ≥ 0) 或向左 (a < 0) 平移 a 个单位长度，再向上 (b ≥ 0) 或向下 (b < 0) 平移 b 个单位长度，得到点
2014-2023北京中考真题数学汇编：几何综合
2014-2023北京中考真题数学汇编几何综合 一、解答题1．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中、()045B C αα∠=∠=°<<°，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；(2)如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF ∠的大小，并证明．2．（2022·北京·统考中考真题）在ABC 中，90ACB ∠= ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．3．（2021·北京·统考中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明； （2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明． 4．（2020·北京·统考中考真题）在ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．7．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.8．（2016·北京·中考真题）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有P A=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明P A=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明P A=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证P A=PM，只需证P A=CK，PM=CK．请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A=PM（一种方法即可）．9．（2015·北京·统考中考真题）在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）参考答案1．(1)见解析(2)90AEF ∠=°，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是FCH V 的中位线，然后求出B ACH ∠∠=，设DMDE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()SAS ABF ACH ≅ ，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∵C α∠=， ∴D DEC M E C α∠−∠∠==， ∴C DEC ∠=∠， ∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是MC 的中点；（2）90AEF ∠=°； 证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵DF DC =，∴DE 是FCH V 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∴2FCH α∠=， ∵B C α∠=∠=， ∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形， ∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DMDE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+， ∴DFCD n ==， ∴FM DF DM n m =−=−， ∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =−=+−−=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH = ∠=∠ =，∴()SAS ABF ACH ≅ ，∴AF AH=，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．2．(1)见解析(2)CD CH =；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明()SAS FCE BCD ≅ ，得出CFE CBD ??，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证()SAS MEC BDC ≅ ，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM ???，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．【详解】（1）证明：在FCE △和BCD △中，CE CD FCE BCD CF CB = ∠=∠ =， ∴ ()SAS FCE BCD ≅ ，∴ CFE CBD ??，∴ EF BD ∥，∵AF EF ⊥，∴BD AF ⊥．（2）解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，∵90ACB ∠= ，CM ＝CB ，【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．5．（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.【分析】（1）根据题意画出图形即可．（2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN ≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可【详解】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM=α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN=150°，PM=PN∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α∵∠AOB=30°∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α∴∠OMP=∠OPN8．（1）80°；（2）①补图见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；四点共圆。
北京市海淀区2014年中考一模数学试题及答案
北京市海淀区2014年初三一模试题 数学 2014．5一、选择题 1．13-的绝对值是A ． 3-B ． 3C ． 13- D ． 132． 据教育部通报，2014年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为1720000． 数字1720000用科学记数法表示为A ．517.210⨯B ．61.7210⨯C ．51.7210⨯D ．70.17210⨯ 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D4．一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为A ．23B ．12C ．13D ．165．如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB=8，OC =3，则⊙O 的半径长为 A ．3 C ．4 D ．56．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x 与方差2s ：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．如图，在ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BED=150°，则∠A 的大小为 A ．150° B ．130° C ．120°D ．100°8．如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：24xy x -= ．10．已知关于x的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_________．11．如图，矩形台球桌ABCD 的尺寸为2.7m ⨯1.6m ，位于AB 中点处的台球E 沿直线向BC 边上的点F 运动，经BC 边反弹后恰好落入点D 处的袋子中，则BF 的长度为 m.12．在一次数学游戏中，老师在AB C 、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为0a ，0b ，0c ，记为0G =（0a ，0b ，0c ）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n 次操作后的糖果数记为n G =（n a ，n b ，n c ）．E DCBA F EDCB A 1.6m2.7m（1）若0G =（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；（2）小明发现：若0G =（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么2014G =________． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：0(3π)-++︒60tan211()3--14． 解不等式组：49132.2x x x x >-⎧⎪⎨+>⎪⎩，15． 已知2340x x +-=，求代数式2(3)(3)(23)x x x +++-的值．16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º， D 是AC 上的一点，且AD=BC ，DE ⊥AC 于D ， ∠EAB =90º． 求证：AB=AE ．17．列方程（组）解应用题：某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务. 求原计划每年建造保障性住房多少万套？EDCB A18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax a =-（a 为常数）的图象与y 轴相交于点A ，与函数2(0)y x x=>的图象相交于点B (m ，1)． （1）求点B 的坐标及一次函数的解析式；（2）若点P 在y 轴上，且△PAB 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，∠ABC =30º，BC=，以AC 为边在△ABC 的外部作等边△ACD ，连接BD ． （1）求四边形ABCD 的面积； （2）求BD 的长．20． 社会消费品通常按类别分为：吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品，其零售总额是反映居民生活水平的一项重要数据．为了了解北京市居民近几年的生活水平，小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分：5310622969007703总额/亿元年份吃类商品8.7%64.1%7.2%用类商品穿类商品烧类商品北京市2009至2013年社会消费品零售总额统计图 北京市2013年各类社会消费品零售总额分布统计图A BCD（1）北京市2013年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为；（2）北京市2013年吃类商品零售总额约为1673亿元，那么当年的社会消费品零售总额约为亿元；请补全条形统计图，并标明相应的数据．．．．．．．；（3）小红根据条形统计图中的数据，绘制了北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表（如下表），其中2013年的年增长率为（精确到1%）；请你估算，如果按照2013年的年增长率持续增长，当年社会消费品零售总额超过10000亿元时，最早要到年（填写年份）．北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DF⊥AC 于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若3cos5C=，CF=9，求AE的长．22．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）.请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；（2）如图4，若∠ABC 的大小为2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC =100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC =100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．25． 对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点P '的坐标为（ba k+，ka b +）（其中k 为常数，且0k ≠），则称点P '为点P 的“k 属派生点”．DCBAABC例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+42，214⨯+），即P'（3，6）．（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P'的坐标为____________；②若点P的“k属派生点”P'的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP'为等腰直角三角形，则k的值为____________；（3）如图, 点Q的坐标为（0，点A在函数y=0x<）的图象上，且点A是点B的“，当线段B Q最短时，求B点坐标．海淀区九年级第二学期一模试题数学试卷答案及评分参考2014．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：0(3π)-++︒60tan 211()3-=13+-…………………………………………………………………4分 =4. ……………………………………………………………………………5分14. 解：49132. 2x x x x >-⎧⎪⎨+>⎪⎩， ①②由①，得3x >-, ……………………………………………………………………2分由②，得1x <, ……………………………………………………………………4分∴原不等式组的解集为31x -<<. …………………………………………………5分15. 解： 2(3)(3)(23)x x x +++-22=69239x x x x ++++- 2=39.x x + ……………………………………………………………………………3分2340,x x +-=23 4.x x ∴+=∴原式()233x x =+=34=12.⨯ ………………………………………………………5分16. 证明：∵∠EAB =90º， ∴∠EAD+∠CAB =90º.∵∠ACB =90º， ∴∠B+∠CAB =90º.∴∠B =∠EAD . ……………………………………………………………………1分 ∵ED ⊥AC ，EDCBA∴∠EDA =90º.∴∠EDA =∠ACB . ………………………………………………………………2分 在△ACB 和△EDA 中， ,,,B EAD BC AD ACB EDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△EDA ． ……………………………………………………………4分 ∴AB=AE ． …………………………………………………………………………5分17. 解：设原计划每年建造保障性住房x 万套. ………………………………………1分根据题意可得:80802(125%)x x-=+ ． ……………………………………………2分 解方程，得 8x =. …………………………………………………………………3分 经检验:8x =是原方程的解，且符合题意． ………………………………………4分答：原计划每年建造保障性住房8万套． ……………………………………………5分18．解：（1）∵B (1)m ,在2(0)y x x=>的图象上， ∴2m =.∴B (2, 1)． …………………………………………………………………………1分 ∵B (2, 1)在直线y ax a =-（a 为常数）上， ∴12,a a =-∴ 1.a = ……………………………………………………………………………2分 ∴一次函数的解析式为 1.y x =- …………………………………………………3分 （2）P 点的坐标为（0，1）或（0，3）． ……………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB =90º，∠ABC =30º，BD =∴1cos ,2BC ABC AC AB AB ∠==,90903060BAC ABC ∠=-∠=-=. ∴14,42cos 2BC AB AC ABC ====⨯=∠. …………………………1分∵△ACD 为等边三角形，∴2AD CD AC ===,60DAC ∠=. 过点D 作DE AC ⊥于E ， 则sin 2sin603DE AD DAC =∠=⨯=∴ABC ACD ABCD S S S =+△△四边形1122AC BC AC DE =⋅+⋅112222=⨯⨯⨯= ………………………………………3分 （2）过点D 作DF AB ⊥于F . ∵180180606060DAF BAC DAC ∠=-∠-∠=--=,∴sin 2sin603DF AD DAF =⋅∠==cos 2cos601AF AD DAF =⋅∠==. ………………………………………4分∴415BF AB AF =+=+=．∵DF AB ⊥，∴在Rt BDF △中，22222528BD DF BF =+=+=.∴BD = …………………………………………………………………5分20． 解：（1）20.0%； ……………………………………………………………………1分（2）8365; ……………………………………………………………………………2分 ………………………………………………3分（3）9%，2016． …………………………………………………………………………5分21． 解：（1）连接,OD AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=.又∵AB AC =，∴D 为BC 的中点.又∵O 为AB 的中点，5310 6229 6900 7703 总额/亿元年份 北京市2009至2013年社会消费品零售总额统计图 8365∴OD //AC .∵DF⊥AC ，∴DF ⊥OD . 又∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 为⊙O 的切线．………………………………………………………………2分（2）∵DF ⊥AC ，9CF =, ∴cos CF C CD=. ∴3915cos 5CF CD C ==÷=.…………………3分 ∵90ADB ∠=，∴90ADC ∠=. ∴cos CD C AC=. ∴31525cos 5CD AC C ==÷=. . ……………………………………………………4分 连接BE .∵AB 是⊙O 的直径，∴90AEB ∠=.又∵DF⊥AC ，∴DF //BE . ∴1CF CD EF BD==. ∴9EF CF ==.∴25997AE AC EF CF =--=--=． ……………………………………5分22． 解：①6；………………………………………………………………………………1分 ②不变. ……………………………………………………………………………2分（1） ……………………………………………………………………3分（2）4+4sin α． ………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23． 解：（1）令2()=0mx m n x n -++，则22=()4=()m n mn m n ∆+--. ………………………………………………………1分 ∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点，∴(0,)A n ，且0n >.又0m <，∴0m n -<.∴2=()0m n ∆->.∴该二次函数的图象与x 轴必有两个交点．………………………………………2分（2）令2()=0mx m n x n -++，解得：121,n x x m ==． 由（1）得0n m<，故B 的坐标为（1，0）. ………………………………………3分 又因为45ABO ∠=，所以(0,1)A ，即=1n .则可求得直线AB 的解析式为1y x =-+.再向下平移2个单位可得到直线:1l y x =--． …………………………………4分（3）由（2）得二次函数的解析式为2(1)1y mx m x =-++∵M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，∴2(1)1q mp m p =-++.∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为(,)p q -.∴点M '在二次函数2(1)1y mx m x =-++-上.∵当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，当0p =时，1q =；当3p =-时，124q m =+； ……………………………5分 结合图象可知：(124)2m -+≤， 解得：12m ≥-，………………………………………………………………………6分 ∴m 的取值范围为102m -≤<．……………………………………………………7分 24．解：（1）30°；……………………………… ………………………………………1分 （2）如图作等边△AFC ，连结DF 、BF ．∴AF=FC=AC ， ∠F AC=∠AFC=60°. ∵∠BAC =100°，AB=AC ，∴∠ABC =∠BCA =40°. ∵∠ACD =20°，∴∠DCB=20°. ∴∠DCB=∠FCB=20°. ①∵AC=CD ，AC=FC ，∴DC=FC . ②∵BC=BC ，③∴由①②③，得 △DCB ≌△FCB ，∴DB=BF ， ∠DBC=∠FBC.∵∠BAC =100°， ∠F AC=60°，∴∠BAF =40°. ∵∠ACD =20°，AC=CD ，∴∠CAD=80°. ∴∠DAF=20°. ∴∠BAD=∠F AD=20°. ④ ∵AB=AC ， AC=AF ，∴AB= AF . ⑤2∵AD= AD ，⑥∴由④⑤⑥，得 △DAB ≌△DAF .∴FD= BD .∴FD= BD=FB .∴∠DBF=60°. ∴∠CBD=30°. ………………………………………………………………………4分 （3）120m α=︒-, α=60° 或 240m α=︒- . ……………………………7分 25. 解：（1）①（-2，-4）; ……………………………………………………………1分②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2） .……………3分（2）±1； ……………………………………………………………………………5分 （3）设B （a ，b ）.∵B 的“A ，∴A （a ，b +）. ………………6分∵点A 还在反比例函数y =∴a b -+()∴212b ()=.∵0b >∴b =∴b =+.∴B 在直线y +上．…………………7分过Q 作y +的垂线Q B 1,垂足为B 1，∵(0,Q ，且线段BQ 最短，∴1B 即为所求的B 点，∴易求得3(2B .…………………………………………………………8分注：其他解法请参照给分.。
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1 / 12 2014年北京中考题数学题 一、 选择题（本题共32分，每题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．2的相反数是（ ）． A．2 B．2 C．12 D．12
2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨，将
300000用科学计数法表示应为（ ）．
A．60.310 B．5310 C．6310 D．4
3010
3．如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（ ）．
A．16 B．14 C．13 D．12 4．右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）． A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥
5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示： 年龄（岁） 18 19 20 21 人数 5 4 1 2 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）． A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.5
6．园林队公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：
小时）的函数关系的图像如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）． A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 2 / 12
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，22.5A，4OC，CD
的长为（ ）． A．22 B．4 C．42 D．8
8．已知点A为某封闭图形边界的一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时
针匀速运动一周，设点P的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）．
二．填空题（本体共16分，每题4分） 9．分解因式：24ay9xa=___________________．
10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为
25m，那么这根旗杆的高度为_________________m．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数
(0)kykx
使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为______________．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于点(,)Pxy，我们把点(1,1)Pyx叫做点P伴随点，一直点1A的伴
随点为2A，点2A的伴随点为3A，点3A的伴随点为4A，这样依次得到点1A，2A，3A…，nA…，若点1A
的坐标为(3,1)，则点3A的坐标为__________，点2014A的坐标为__________；若点1A的坐标为(,)ab，对于任意正整数n，点nA均在x轴上方，则a，b应满足的条件为_____________． 三．解答题（本题共30分，每小题5分） 13．如图，点B在线段AD上，BCDE∥，ABED，BCDB． 求证：AE． 3 / 12
14．计算：3-3tan30----15160． 15．解不等式2132121xx，并把它的解集在数轴上表示出来．（添加图）
16. 已知x-y=3,求代数式（x+1 )2 - 2x + y(y-2x) 的值． 17.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0（m≠0)． (1) 求证：方程总有两个实数根； (2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
18．列方程或方程组解应用题 小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0．54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
19． 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF．PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
20．根据某研究院公布的2009-2013年我国成年国民阅读调查报告的部分数据，绘制的统计图表如下： 2013年成年国民 2009~2013年成年国民 倾向的阅读方式人数分布统计图 年人均阅读图书数量统计表
年份 年人均阅读图书数量（本） 2009 3.88 2010 4.12 2011 4.35 4 / 12
2012 4.56 2013 4.78
根据以上信息解答下列问题： （1） 直接写出扇形统计图中m的值； （2） 从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为_______本； （3） 2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 _____本．
21． 如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中
点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH． （1）求证：AC=CD； （2）若OB=2，求BH的长．
22． 阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
E 图1 图2
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：∠ACE的度数为___________，AC的长为_____________． 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 5 / 12
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E， AE=2，BE=2ED，求BC的长．
五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之 间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点 D纵坐标t的取值范围．
24． 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线
AP于点F． （1）依题意补全图1； （2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数； （3）如图2，若45°<∠PAB < 90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
25． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函 6 / 12
数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1） 分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值； （2） 若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b，b > a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围； （3） 将函数2(1,0)yxxmm≤≤≥的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么
范围时，满足 143t？ 7 / 12
2014年北京高级中等学校招生考试 数学答案
一. 选择题（本题共32分，每小题4分）： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B B D C A B C A
二. 填空题（本题共16分，每小题4分）： 题号 9 10 11 12
答案 15 （-3,1）； （0,4）； －1＜a＜1且 0＜b＜2
三. 解答题（本题共30分，每小题 5分）： 13．（本小题满分5分） 证明：∵ BC∥DE ∴ ∠ABC = ∠EDB； 在△ABC和△EDB中： AB = ED； ∠ABC = ∠ EDB； BC = DB； ∴ △ABC ≌ △EDB； ∴ ∠A = ∠E
14.（本小题满分5分）
解：原式 = = =
15.（本小题满分5分）
解： 移项得： ； 合并同类项得： 系数化为1： x ≥ 在数轴上表示出来：
16.（本小题满分5分） 解：化简代数可得：
原式 = = = ∵ 8 / 12
∴ 原式 = = 4 17.（本小题满分5分） （1）证明：可知 △ = = = = = ≥0 ∴ 方程总有两个实数根。 （2）解：由公式法解方程可得：
∴ x1 =x2 = 由题意：方程的两个实数根均为整数 ∴ x2必为整数； 又∵ m为正整数； ∴ m = 1或者2。
18.（本小题满分5分） 解：（方法不唯一）设A、B两地距离为x千米
由题意可知： 解得： x = 150
∴ 纯电动汽车每行驶一千米所需电费为： 四. 解答题（本题共20分，每小题满分5分）： 19.（本小题满分5分） （1）证明：∵因为ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD；AD∥CB ∵ AE平分∠BAD；BF平分∠ABC； ∴ ∠BAE = ∠DAE；∠ABF = ∠CBF； 可知：∠DAE = ∠BEA；∠EBF = ∠AFB； ∴ ∠ABF = ∠AFB ；∠BAE = ∠AEB ∴ AB = BE；AB = AF； ∵ AF ∥ BE ∴ 四边形ABEF为菱形 （2）解：作PH⊥AD ∵ ∠ABC = 60°，AB = BE； ∴ △ABE为等边三角形； ∴ AE = AB = 4；∠DAE = 60°； ∵ ABEF为菱形； ∴ P点为AE中点； ∴ AP = 2；
可知：AH = 1；PH = ； ∵ AD = 6；
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