2018版高中数学苏教版必修二学案：2.1.2 第1课时 点斜式
2018版高中数学苏教版必修二学案2.1.6 点到直线的距离
点到直线的距离
学习目标.了解点到直线距离公式的推导方法.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.
知识点一点到直线的距离
思考一般地，对于直线：＋＋＝(≠，≠)外一点(，)，点到直线的距离为，过点分别作轴和轴的平行线，交直线于和，则同线段，，间存在什么关系？
思考根据思考的思路，点到直线＋＋＝的距离怎样用，，及，表示？
思考点到直线的距离公式对于＝或＝时的直线是否仍然适用？
梳理()定义：点到直线的垂线段的长度.
()图示：
()公式：＝.
知识点二两条平行直线间的距离
思考直线：＋－＝上有()、()、(－)三点，直线：＋＋＝与直线平行，那么点、、到直线的距离分别为多少？有什么规律吗？
梳理()定义：夹在两平行线间的公垂线段的长.
()图示：
()求法：转化为点到直线的距离.
()公式：两条平行直线：＋＋＝与：＋＋＝之间的距离＝.
类型一点到直线的距离
例()求点(，－)到下列直线的距离.
①＝＋；②＝；③＝.。
高中数学必修二第三章3.2.1《直线的点斜式方程》课堂学案
高一课堂学案课题：直线的点斜式方程编号：3.2.1编写人：审核人：_____使用人：_____上课时间：______班级_______ 小组_______姓名_______（2）斜率为0，在y 轴上的截距为6 _______ ；（3）过(4,2)A -，倾斜角是120 ____________ ；（4）倾斜角为0150，在y 轴上的截距是-3的直线的斜截式方程为 _________________ .例3：（1）经过点（-5,2）且平行于y 轴的直线方程是______________（2）直线y=x+1绕其上一点p （3,4）逆时针旋转90度得到直线L ，则其点斜式方程为____________________（3）求过点p(1,2)且与直线y=2x+1的平行的直线方程为____________【练】（一）选择题（每题10分，共35分）1. 直线x=1的倾斜角为 ( )A.不存在B.90°C.0°D.180°2. 已知直线l 1:y=2x-1,l 2:y=-x+3,则直线l 1与l 2的位置关系是( )A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直3. 直线23y x =-的斜率和在y 轴上的截距分别等于（ ）A.2，3B. -3，-3C.-3，2D. 2，-34. 直线经过点(2,3)P -，且倾斜角045α=，则直线的点斜式方程是（ ）A. 32y x +=-B. 32y x -=+C. 23y x +=-D. 23y x -=+5. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-6. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）.A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)--(二) 填空题(每题10分，共30分)7. 在y 轴上的截距为2，且与直线34y x =--平行的直线的斜截式方程为 。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时一般式学案苏教版必修2
第3课时一般式【学习目标】1.掌握直线的一般式方程 2 理解关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A ,B 不同时为0）都表示直线 3会进行直线方程的五种形式之间的转化 .ET 问题导学 ---------------------------- 知识点一直线的一般式方程思考i 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用 同时为0）来表示吗？思考2 关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A, B 不同时为0） 一定表示直线吗?思考3当BN 时，方程Ax + By + C = 0（ A , B 不同时为0）表示怎样的直线？ B = 0呢?梳理直线的一般式方程形式条件Ax + By + C = 0( A , B 不知识点二梳理直线的类型一直线的一般式方程命题角度i求直线的一般式方程例i根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程:(1) 斜率是.3,且经过点A(5,3)；(2) 斜率为4，在y轴上的截距为一2;⑶经过点A—1,5) , B(2 , - 1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为一3,—1.B C B C反思与感悟(1)当A MO时，方程可化为x+A+入=o,只需求入，入的值；若BMO,则方程AC AC化为B+y+ B= o，只需确定B，B的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程•(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式•跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是—2,且经过点A(8，—6)的直线方程为______________________________ .⑵经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为 ______________________________ .3⑶在x轴和y轴上的截距分别是空和一3的直线方程为 ___________________________ .⑷经过点R(3 , - 2) , P2(5 , - 4)的直线方程为____________________________ .命题角度2由含参数的一般式求参数2 2例 2 设直线I 的方程为(m—2n—3) x- (2 m+ m- 1)y + 6 —2m= 0.(1) 若直线I在x轴上的截距为—3,则m= ___________ ;⑵若直线I的斜率为1，则n= ___________ .反思与感悟⑴方程Ax+ By+ C= 0表示直线，需满足A, B不同时为0.(2) 令x = 0可得在y轴上的截距.令y = 0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式•(3) 解分式方程注意验根•跟踪训练2 已知直线I仁x + my+ 6= 0, 12：( m- 2)x+ 3y + 2m= 0,当直线11与直线12的斜率相等，且I i与12不重合时，求m的值•类型二直线方程的综合应用例 3 已知直线I : 5ax- 5y-a+ 3= 0.(1) 求证：不论a为何值，直线I总经过第一象限;(2) 为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.反思与感悟一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式.另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式跟踪训练3 设直线I的方程为(a+ 1)x+ y + 2 - a= 0 ( a+ 1工0).(1)若I在两坐标轴上的截距相等，求I的方程；(2)若I不经过第二象限，求实数a的取值范围1. 已知直线的一般式方程为2x+ y—4 = 0,且点(0 , a)在直线上，则a= _____________ .2. 已知直线I的倾斜角为60°,在y轴上的截距为一4,则直线I的斜截式方程为_________________一般式方程为 _________ .3. 直线3x—4y+ m= 0在两坐标轴上截距之和为2，则实数m= ________ .4. 直线I仁(2mk 5m^ 2)x—(m i—4)y+ 5= 0的斜率与直线I2：x—y+ 3 = 0的斜率相同，则m= ________ .5. 若方程(吊一3m+ 2) x+ (m- 2)y —2m+ 5= 0 表示直线.(1) 求实数m的取值范围；(2) 若该直线的斜率k = 1,求实数m的值.p—规律与方法 - ------------------------------ 11. 在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷.2. 直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax+ By+ C= 0化为截距式有两种方法：一是令x= 0, y = 0,求得直线在y轴上的截距b和在x轴上的截距a; 二是移常项，得Ax+ By=—C两边除以—C(C M 0)，再整理即可.合案精析问题导学知识点一思考1能.思考2 一定.A C思考3当B M0时，由Ax+ By+ C= 0,得y =—段一目，所以该方程表示斜率为一轴上截距为-C fe直线；C当B= 0 时，A M0,由Ax+ By+ C= 0,得x =一A所以该方程表示一条垂直于x轴的直线.梳理Ax+ By+ C= 0 不同时为0知识点二梳理y—y o= k(x—x o) y = kx + b x i丰x2, y i M y与坐标轴平行及过原点的直线By+ C= 0题型探究例 1 解(1) 3x—y— 5 .3+ 3= 0(2)4 x—y —2 = 0 (3)2 x+ y —3 = 0(4) x + 3y + 3 = 0跟踪训练1 (1) x+ 2y+ 4= 0(2) y —2= 0 (3)2 x—y —3 = 0(4) x + y—1 = 05例 2 (1) — 3 (2) — 2跟踪训练2解由题设l 2的方程可化为y = —m——2x —|m,则其斜率k2=—m子,在y轴上的截距b2 = —2m•「I 1与12斜率相等，但不重合，.•.|1的斜率一定存在，即m M 0.Ax+1 6J 的方程为y 一 m<- m厂 m- 2 1—丁=-m 2 6 l 3m解得m=- 1. ••• m 的值为一1. 例3(1)证明 将直线I 的方程整理为3 5-0 ⑵解直线0A 勺斜率为k == 3. 11-•/ I 不经过第二象限，• a >3. 故a 的取值范围为[3 ,+^).跟踪训练3解⑴由题意知a + 1工0,即a z — 1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为零，此时当a z2时，将方程化为截距式： a + 1a - 2•••截距存在且均不为 0,.・. 彳=a - 2,a + 1 即 a + 1 = 1,• a = 0，即方程为 x + y + 2 = 0. (2)将I 的方程化为y = — (a + 1)x + a -2, •••直线不过第二象限，y -3 = ax -象限，故不论 (1 3 而点A 5, 5I ，且过定点a 为何值，直线I 总经过第一象限.a = 2，即方程为 3x + y = 0；xa -2y a -2=1.—a+1 沁•• v - - aw — 1.a-2< 0,即a的取值范围是(一g, —1].当堂训练1. 42.y= 3x —43. —244.3m—2工0,5.解⑴由题意知* 2m—3m^ 2工0, 解得m^ 2.—吊―3nu?,m—2__1,得m= 0. 3x—y—4 = 0。
高中数学必修二《直线的点斜式方程》PPT
由一般到特殊的思想、数形结合思想、转化思想、方程思想
复习回顾：
一、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角；
（2）直线的斜率； k tan ( 90 ) 倾斜角为 90 时，斜率不存在
（3）两点间斜率公式.
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
二、直线的关系
（1）直线的倾斜角；l1 // l2 k1 k2 或斜率都不存在
（2）直线的斜率；l1 l2 k1 k2 1
与直线l1:y=kx+b1平行的所有直线的方程为：y=kx+b
练习2.
1、写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率是
3 ，在 y 轴上的截距是 2； y
2
3 x2 2
（2）斜率是 2，在 y轴上的截距是 4 ； y 2x 4
2、判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)
l1
:
y
1 2
x
3
,
l2
:
y
1 2
y-b=k(x-0), 即y=kx+b。(2)
(0,b)
O
x
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定， 所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
注意：斜截式方程的形式特点并对比一次函数形式
例2.斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
3.指出直线y-4= 3 (x+3)的倾斜角和所经过的定点。
【解析】由点斜式方程的特点，直线过定点(-3，4)，
斜率 k= 3 ，设倾斜角为 α， 则 tanα= 3 ，∴α=120°．
2020高中数学第七章直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式1教学案苏教版
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教课目的( 一 ) 知识教课点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能察看直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．( 二 ) 能力训练点经过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特别的办理问题方法；经过直线的方程特点察看直线的地点特点，培育学生的数形联合能力．( 三 ) 学科浸透点经过直线方程的几种形式培育学生的美学意识．二、教材剖析1．要点：因为斜截式方程是点斜式方程的特别状况，截距式方程是两点式方程的特别状况，教课要点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明获得的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不知足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标知足方程．三、活动设计剖析、启迪、引诱、讲练联合．四、教课过程(一 ) 点斜式已知直线 l 的斜率是 k，而且经过点 P1(x1 ， y1) ，直线是确立的，也就是可求的，如何求直线 l 的方程 ( 图 1-24) ？设点 P(x ，y) 是直线 l 上不一样于P1 的随意一点，依据经过两点的斜率公式得注意方程 (1) 与方程 (2) 的差别：点P1 的坐标不知足方程(1) 而知足方程 (2) ，所以，点P1 不在方程 (1) 表示的图形上而在方程(2) 表示的图形上，方程(1) 不可以称作直线l 的方程．重复上边的过程，能够证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上边的过程逆推，能够证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P1、斜率为 k 的直线 l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确立的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为 0°时 ( 图 1-25) ， k=0，直线的方程是 y=y1．当直线的斜率为 90°时 ( 图 1-26) ，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1 ．(二 ) 斜截式已知直线l 在 y 轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点 (0 ，b) 及直线的斜率 k，求直线的方程，是点斜式方程的特别状况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上边的方程叫做直线的斜截式方程．为何叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在 y 轴上的截距确立的．当 k≠ 0 时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和 b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．(三 ) 两点式已知直线l 上的两点P1(x1 ， y1) 、 P2(x2 ， y2) ，(x1 ≠ x2) ，直线的地点是确立的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程．当 y1≠ y2 时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确立的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下边两点： (1) 方程只合用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行 (x1=x2 或 y1=y2) 时，可直接写出方程； (2) 要记着两点式方程，只需记着左侧就行了，右侧可由左侧见 y 就用 x 代换获得，足码的规律完整同样．(四 ) 截距式例 1已知直线l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a ≠ 0， b≠0) ，求直线l 的方程．本题由老师概括成已知两点求直线的方程问题，由学生自己达成．解：因为直线l 过 A(a ， 0) 和 B(0 ， b) 两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，而后用点斜式方程求得截距式．指引学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确立的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下边三点：(1) 假如已知直线在两轴上的截距，能够直接代入截距式求直线的方程； (2) 将直线的方程化为截距式后，能够察看出直线在 x 轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作图； (3) 与坐标轴平行和过原点的直线不可以用截距式表示．(五)例题例 2 三角形的极点是 A(-5 ， 0) 、 B(3， -3) 、 C(0， 2)( 图 1-27) ，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在指引学生灵巧采用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程原来也能够用两点式获得，为简化计算，我们采用下边门路：由斜截式得：即 5x+3y-6=0 ．这就是直线 BC的方程．由截距式方程得 AC的方程是即 2x+5y+10=0 ．这就是直线AC的方程．(六 ) 课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是能够顾名思义的，要会加以差别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵巧运用．(3)要注意四种形式方程的不合用范围．五、部署作业1． (1.5练习第1题)写出以下直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点 A(2 ， 5) ，斜率是 4；(4)经过点 D(0 ， 3) ，倾斜角是 0°；(5)经过点 E(4 ， -2) ，倾斜角是120°．解：2．(1.5 练习第 2 题 ) 已知以下直线的点斜方程，试依据方程确立各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1 ， 2) ， k=1，α =45°；(3)(1 ， -3) ， k=-1 ，α =135°；3． (1.5练习第3题)写出以下直线的斜截式方程：(2)倾斜角是 135°， y 轴上的截距是 3．4． (1.5 练习第 4 题) 求过以下两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并依据截距式方程作图．(1)P1(2 ， 1) 、 P2(0 ， -3) ；(2)A(0 ， 5) 、 B(5 ， 0) ；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略 )六、板书设计。
高中数学《直线的点斜式方程》公开课优秀教学设计
高中数学《直线的点斜式方程》公开课优秀教学设计《直线的点斜式方程》教学设计一．内容解析《直线的点斜式方程》选自人教版数学必修二的这一节，其主要内容是直线的点斜式方程和斜截式方程。
在本节课的学习中，学生们将迈出探究解析几何学的第一步，在“数”和“形”之间建立联系。
这为后续学习直线与直线的位置关系等内容，提供了重要的思想方法。
高一学生具有一定直观感知能力，也具备一次函数和直线的斜率等知识储备，但还没有尝试过用代数方法解决几何问题，同时分析论证的能力有待提高，因此在概念的推导过程中可能会比较困难。
二．目标及目标解析 1.目标理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2. 目标解析在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
三．教学问题诊断分析学生在初中已经学习了一次函数,知道一次函数的图象是一条直线,因此学生对研究直线的方程可能心存疑虑,产生疑虑的原因是学生初次接触到解析几何,不明确解析几何的实质,因此应跟学生讲请解析几何与函数的区别. 学生能听懂建立直线的点斜式的过程,但可能会不知道为什么要这么做.因此还是要跟学生讲清坐标法的实质——把几何问题转化成代数问题,用代数运算研究几何图形性质. 于学生没有学习“曲线与方程”,因此学生难以理解直线与直线的方程,甚至认为验证直线是方程的直线是多余的.这里让学生初步理解就行,随着后面教学的深入和反复渗透,学生会逐步理解的. 四．教学支持条件分析利用几何画板的作图功能，直观形象体现直线的变化规律，提高课堂效率. 五．教学过程设计【温故知新】1、直线l的倾斜角是?，则直线的斜率是2、已知直线上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则直线的斜率是3、在直角坐标系内确定一条直线的几何要素是什么?【合作探究】一、直线的点斜式方程如果直线l经过点p0(x0,y0)，且斜率为k，你能否用给定的条件将直线上所有点的坐标(x,y)满足的关系表示出来？思考：经过点p0(x0,y0)，且斜率为k的直线的点斜式方程是直线的点斜式方程的推导依据是k?y?y0与y?y0?k?x?x0?的区别在哪？x?x0例1、写出下列直线的方程(1)直线l经过点p0(?2,3)，且倾斜角??45；(2)直线l经过点p0(?2,3)，且倾斜角??0；(3)直线l经过点p0(?2,3)，且倾斜角??90. 小结：直线的点斜式方程及其适用范围是经过点p0(x0,y0)，且斜率为0的直线的方程是经过点p0(x0,y0)，且斜率不存在的直线的方程是二、直线的斜截式方程如果直线l过点(0,b)，且斜率为k，则直线的方程是什么？思考：斜率为k，与y轴的交点是(0,b)的直线的斜截式方程是截距与距离有什么区别？直线的斜截式方程有什么特点？直线的斜截式方程与一次函数的表达式有什么关系？其中k和b的几何意义是什么？例2、写出下列直线的斜截式方程(1)斜率是-2,在y 轴上的截距是4; (2)斜率是-2,在y 轴上的截距是-4; (3)斜率是-2,在x 轴上的截距是4. 例3、已知直线l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 试讨论：l1∥l2 的条件是什么？l1?l2的条件是什么？000小结：直线的斜截式是点斜式的特殊情况，斜截式方程及其适用范围是斜截式中y?kx?b中k是直线的，b是直线的求直线截距的方法两条直线l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2, l1∥l2的条件是，l1?l2的条件是【能力提升】思考：1、b?R，方程y?2x?b表示的直线有什么特点？2、k?R，方程y?1?k(x?2)表示的直线有什么特点？【课堂小结】1、这节课你有哪些收获? 2、已知直线上两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，根据本节课所学内容你能表示出直线的方程吗？六．目标检测设计1、已知直线kx?y?1?3k?0，当k变化时，所有的直线恒过定点2、求直线y??3(x?2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程. 3、求斜率为4、直线y?kx?b通过第一、三、四象限，则有A、k?0,b?0B、k?0,b?0C、k?0,b?0D、k?0,b?0 5、三角形的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3)，求BC边上的高所在直线的方程. 3，且与坐标轴围成的三角形的周长是12的直线方程. 4《直线的点斜式方程》课例点评本节课是直线方程的起始课，也是解析几何思想方法的初步渗透。
2018版高中数学苏教版必修二学案：1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球[001]正式版(最新整理)
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念思考数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球是如何形成的？梳理将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的、、所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.如图所示：知识点二球思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？梳理球的结构特征球定义相关概念图形及表示球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球球心：半圆的，半径：半圆的，直径：半圆的如图可记作：体，简称球球O知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.类型一旋转体的基本概念例1 判断下列各说法是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.反思与感悟(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误.跟踪训练1 下列说法正确的是.(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上.类型二旋转体中的有关计算例2 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2 和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练2 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2 倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.类型三复杂旋转体的结构分析例3 直角梯形ABCD 如图所示，以DA 所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.引申探究若本例中直角梯形分别以AB、BC 所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.跟踪训练3 如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.1.下列说法正确的是.(填序号)①圆锥的母线长等于底面圆的直径；②圆柱的母线与轴平行；③圆台的母线与轴平行；④球的直径必过球心.2.可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为.3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为cm.4.下列说法正确的有个.①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.5.如图所示的平面图形绕轴l 旋转一周后，形成的几何体是由哪些简单几何体构成？1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.处理组合体问题常采用分割思想.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.答案精析问题导学知识点一思考 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．梳理 一边 一直角边 垂直于底边的腰 圆柱 OO ′ 圆锥 SO 圆台 OO ′ 知识点二思考 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体． 梳理 圆心 半径 直径 知识点三一条定直线 旋转体 题型探究例 1 解 (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2) 错．直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．(3) 正确． (4) 错．应为球面．跟踪训练 1 ④⑥例 2 解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD (如图所示)．由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知腰长为 12 cm ， 所以高AM＝ ＝3 15(cm)．(2)如图所示，延长 BA ，OO 1，CD ，交于点 S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为 l ，122－(5－2)23则由△SAO 1∽△SBO ，l －12 2 可得 ＝ ，l 5 解得 l ＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm. 跟踪训练 2 h 1∶h 2＝2∶1例 3 解 以 AD 为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．引申探究解 以 AB 为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示．以 BC 为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体．如图②所示．跟踪训练 3 解 如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．当堂训练1．②④ 2.④ 3.10 4.25. 解 过原图形中的折点向旋转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、直角三角形，旋转后的图形如图所示，由一个圆柱 O 1O 2、一个圆台 O 2O 3 和一个圆锥 OO 3 组成．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
最新版教材高中数学必修二知识讲解_直线的点斜式与两点式_提高
直线的点斜式与两点式方程【学习目标】(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式； (2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。
【要点梳理】要点一：直线的点斜式方程方程)(00x x k y y -=-由直线上一定点及其斜率决定，我们把)(00x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.要点诠释：1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线；2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为1y y =；3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1x x =.4.0y y k x x -=-表示直线去掉一个点),(000y x P ；)(00x x k y y -=-表示一条直线.要点二：直线的斜截式方程如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，根据直线的点斜式方程可得)0(-=-x k b y ，即b kx y +=.我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距，方程b kx y +=由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程b kx y +=叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.要点诠释：1.b 为直线l 在y 轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3.当0≠k 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程b kx y +=中，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距. 要点三：直线的两点式方程 经过两点),(),,(222111y x P y x P (其中2121,y y x x ≠≠)的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.要点诠释：1.这个方程由直线上两点确定；2.当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.3.直线方程的表示与),(),,(222111y x P y x P 选择的顺序无关.4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()y y x x y y x x --=--，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．要点四：直线的截距式方程若直线l 与x 轴的交点为A(a ，0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中0,0≠≠b a ，则过AB 两点的直线方程为1=+bya x ，这个方程称为直线的截距式方程.a 叫做直线在x 轴上的截距，b 叫做直线在y 轴上的截距.要点诠释：1.截距式的条件是0,0≠≠b a ，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y 轴上的截距；令y= 0得直线在x 轴上的截距. 要点五：中点坐标公式若两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且线段12P P 的中点坐标为(x ，y)，则x=122x x +，y=122y y +，则此公式为线段12P P 的中点坐标公式．要点六：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．【典型例题】类型一：点斜式直线方程例1．已知直线l 过点（1，0），且与直线1)y x =-的夹角为30°，求直线l 的方程。
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2.1.2 直线的方程
第1课时 点斜式
学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜
截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.
知识点一 直线的点斜式方程
思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P
0
的任意一点，那么x，y应满足什么关系？
思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
梳理
点斜式
已知条件 点P(x0，y0)和______
图示
方程形式 y－y0＝________
适用条件 斜率存在
知识点二 直线的斜截式方程
思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？
思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？
梳理
斜截式
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
适用条件 斜率存在
类型一 直线的点斜式方程
例1 写出下列直线的点斜式方程.
(1)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直.
反思与感悟 (1)求直线的点斜式方程
已知定点P(x0，y0)，若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k(x－x0)；若斜
率k为0，则其方程为y－y0＝0；若斜率不存在，则其方程为x＝x0.
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外.
跟踪训练1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.
(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜
式方程为________________.
类型二 直线的斜截式方程
例2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是
________________________________________________________________________.
(2)直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y
轴上的截距相等，则l的斜截式方程为__________________________________________.
反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的
直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线.
(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，
也可以是负数和零，而距离是一个非负数.
跟踪训练2 已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程.
(1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)；
(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形.
类型三 直线方程的简单应用
例3 求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.
反思与感悟 利用待定系数法求直线方程
(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率.
(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y轴上的截距.
跟踪训练3 已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的直线方程.
1.直线3x－y＋m＝0的倾斜角为________.
2.已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|a
＋b|＝________.
3.过点(1,0)且在y轴上的截距为－12的直线方程是______________.
4.已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方
程为________________________________________________________________________.
5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为
________________________________________________________________________.
1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有
y－y
1
x－x
1
＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整
条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.
2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，
即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次
式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截
式方程.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 由斜率公式得k＝y－y0x－x0，
则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．
思考2 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.
梳理 斜率k k(x－x0)
知识点二
思考1 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b.
思考2 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．
梳理 y＝kx＋b
题型探究
例1 解 (1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.
(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．
跟踪训练1 (1)x＝－3
(2)y＋2＝3(x＋1)
例2 (1)y＝3x＋3或y＝3x－3
(2)y＝－2x－2
跟踪训练2 解 (1)由题意得直线l的斜率为k＝m－nn－m＝－1，
所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2.
(2)因为直线l在y轴上的截距为－2，
所以l与y轴的交点为P(0，－2)，
而直线l与坐标轴围成等腰三角形，
又是直角三角形，
所以l与x轴的交点为Q(－2,0)或(2,0)．
由过两点的斜率公式得k＝－1或1，
所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2.
例3 解 设直线方程为
y－4＝k(x＋3)(k≠0)．
当x＝0时，y＝4＋3k，
当y＝0时，x＝－4k－3，
∴3k＋4－4k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，
∴k＝4或k＝－13.
故直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，
即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
跟踪训练3 解 设直线方程为y＝16x＋b，则当x＝0时，y＝b；
当y＝0时，x＝－6b.
由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为
y＝16x＋1或y＝16x－1.
当堂训练
1．60° 2.3 3.x－2y－1＝0
4．x－2y＝0 5.x＝3