能量表象中的谐振子问题
谐振子的能级特性与对称性分析
谐振子的能级特性与对称性分析陈绍敏（湖北大学物理学与电子技术学院 2002级物理学）引 言在经典力学中，谐振子是被约束在一根轴线上运动的粒子，作用在它上的是恢复力，它与粒子的位移成正比，它的解是众所周知的，它的运动是一种正弦运动，它在原点附近振荡，相应的量子力学问题是质量为μ，角频率为ω的一维粒子具有哈密顿量)(212222q P H ωμμ+=的问题，位置变量q 和动量p 由对易关系i p q =],[联系本文将研究质量为μ的k 维粒子上有哈密顿量∑=+=ki i i q p H 12222)(21ωμμ的问题，特别是将用群论观点来研究谐振子的能级简并度特性与对称性分析。
§1 二维各向同性谐振子的态函数及能级特性（1）采用平面极坐标，二维谐振子势能2221)(ρμωρ=V（1）Schrödinger 方程为ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂-E 22222221112ρμωϕρρρρρμ （E>0） （2） 令 )(),(ρϕρϕR e im =ψ（3）采用自然单位1===ωμ ，自然单位中各特征量如下 谐振子势中的特征量则径向方程表示为0)()2(122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+ρρρρρρR E m d d d d （E>0） （4）0→ρ时变为0)(12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ρρρρρR m d d d d （可参看径向方程的解在奇点0=r 邻域的行为） 令s R ρ∝，代入上式，得022=-m s所以 ||s m =±可以证明，0→ρ时渐进行为||m R -∝ρ的解是物理上不能接受的，予以抛弃，故||)(m R ρρ∝ )0(→ρ当∞→ρ，得0)(222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρρρR d d 所以[]2/exp )(2ρρ±∝R ，而满足束缚态边界条件的解只能取2()exp 2R ρρ⎡⎤∝-⎣⎦，所以 ||2()exp 2()m R u ρρρρ⎡⎤=-⎣⎦代入（11）式，得()0]1||22[21||222=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++u m E d du m d u d ρρρρ （5） 再令 2ρξ=（6） 得 ()0221||1||22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++u E m d du m d u d ξξξξ（7）上式是合流超几何方程，它在0=ξ邻域的解析解表为),,(ξγαF ，相应参数为 221||E m -+=α1||+=m γ（8）束缚态边界条件要求,221||ραn Em -=-+=,2,1,0=ρn所以二维各向同性谐振子的能量本征值为)1||2(++=m n E ρ（自然单位）或 ,2,1,0||2),1(=+=+=m n n n E n ρ （9）未归一化的波函数为),1||,(),(2||ρρϕρψρϕρ+-∝m n F e m im m n（10）不难求出能级n E 的简并度为,3,2,1)1(=+=n f n（11）（2）二维各向同性谐振子还可以分解成二个彼此独立的一维谐振子，采用直角坐标，因各向同性，其振子强度0ωωω==y x ，故()222021y x V +=μω 相应的能量 002121ωω ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x n n n n E yx0)1(ω +=n E n y x n n n +=,2,1,0,,=n n n y x对于给定n ，有n n x ,2,1,0=相应的 0,2,1, --=n n n n y所以有)1(+n 个量子态y x n n ψ，能级n E 的简并度为)1(+=n f n 2,1,0=n与（11）式同关于能级简并度与对称性的关系，前人指出过，系统出现简并，往往意味着与Hamilton 量的对称性相联系。
三维谐振子的能量表达式
三维谐振子的能量表达式
三维谐振子是量子力学中一个重要的模型，用于描述具有势能为二次型势场的量子粒子的行为。
其能量表达式可以通过求解薛定谔方程获得。
对于一个三维谐振子，其势能可以表示为： V(x, y, z) = ½ m ω² (x² + y² + z²)
其中，m表示粒子的质量，ω表示谐振子的角频率，x、y、z分别为粒子在三个坐标方向上的位置。
薛定谔方程为：H ψ(x, y, z) = E ψ(x, y, z)
其中H是哈密顿算符，E是能量的本征值，ψ(x, y, z)是波函数。
通过求解薛定谔方程，可以得到三维谐振子的能量本征值（即能级）的表达式。
对于三维谐振子，能级的表示方式为（n₁, n₂, n₃），其中n₁、n₂、n₃是非负整数，表示在x、y、z三个方向上的量子数。
三维谐振子的能量本征值表达式为：E(n₁, n₂, n₃) = ℏω (n₁ + n₂ + n₃ + 3/2)
其中，ℏ是约化普朗克常数。
这个能级表达式显示了三维谐振子的能量是量子化的，具有粒子在三个坐标方向上的量子数之和的线性关系。
不同的能级对应不同的量子数组合，每个量子数对应一个特定的能量。
这个能级结构解释了谐振子的能级分裂以及能量的离散性。
量子力学中的量子振荡与谐振子
量子力学中的量子振荡与谐振子量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它与经典力学有着根本的区别。
在量子力学中，粒子的行为不再是连续的，而是离散的。
量子振荡和谐振子是量子力学中的两个重要概念，它们在研究微观粒子的行为和性质时起着关键作用。
首先，让我们来了解一下量子振荡。
在经典力学中，振荡是指物体在平衡位置附近的周期性运动。
而在量子力学中，由于粒子的行为是离散的，振荡的性质也有所不同。
量子振荡是指粒子在量子态之间的跃迁过程，它是量子系统中的一种基本行为。
量子振荡可以通过量子力学中的哈密顿量来描述。
哈密顿量是描述量子系统能量的算符，它包含了粒子的动能和势能。
在哈密顿量的作用下，量子系统的态会发生变化，从一个量子态跃迁到另一个量子态。
这种跃迁过程就是量子振荡。
一个典型的量子振荡系统是谐振子。
谐振子是量子力学中的一种理想化模型，它具有简单而规律的振动行为。
谐振子的哈密顿量包含了粒子的动能和势能项，其中势能项是一个二次函数，对应于弹簧的势能。
谐振子的量子态可以用波函数来描述，波函数的形式是一个高斯函数，它表征了粒子在谐振子势场中的分布。
谐振子的量子态可以通过量子数来描述。
量子数是量子系统的一种特征，它决定了系统的能量和其他性质。
谐振子的量子数包括主量子数、角量子数和磁量子数。
主量子数决定了谐振子的能量级，角量子数决定了谐振子的角动量，磁量子数决定了谐振子在磁场中的行为。
谐振子的量子态之间的跃迁可以通过产生湮灭算符来描述。
产生湮灭算符是量子力学中的一种数学工具，它用来描述粒子的产生和湮灭过程。
在谐振子系统中，产生湮灭算符可以将一个谐振子的量子态变换为另一个谐振子的量子态，从而描述了谐振子的量子振荡。
谐振子的量子振荡还可以通过能谱来研究。
能谱是描述量子系统能量分布的一种方式，它可以用来表示谐振子的不同能级。
谐振子的能谱是离散的，能级之间的间隔是固定的，这与经典力学中连续的能谱有着明显的区别。
谐振子的能谱可以通过解谐振子的薛定谔方程来得到，薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。
量子化学课件--第五章 谐振子
若 x=0 ， 则 表 明 a0=0 。
其一阶导数：
y(x) a1 2a2 x 3a3x2 ... nan xn1 n1
x=0，则表明a1=0。同理取n阶导数，并使得x=0，则
给出an=0。
[(n 2)(n 1)an2 c2an ]xn 0
n0
(n 2)(n 1)an2 c2an 0
2v 2mE2 0
2mE2 (2v 1)2vm1
E (v 1)hv, v 0,1,2,... 2
（能量量子化，使得一个级数在有限项后中断）
原递推关系式变为：
cn2
2 (n v)
(n 1)(n 2)
cn
为了去掉通解中的另一个无穷级数，必须使任意常数乘
之后等于零。从而剩下一波函数为 ex2 / 2 乘以只含x的
bj x j c j x j (bj c j )x j
j0
j0
j0
类似于上式，我们想要每个和中的求和极限相同以及
x的幂次相同，需要将幂级数展开等式左边的第一项
的求和指标作一变换，令n=k+2，
n(n 1)an xn2 (k 2)(k 1)ak2 xk
n2
k 0
why？
n(n 1)an xn2
n0
n0,2,4
n1,3,5
y
A
(1)k
c2k x2k
B
(1)
k
c x 2k 1 2k 1
k 0
(2k )! k0
(2k 1)!
上式中的两个级数是对于cos(cx)与sin(cx)的Taylor级 数，与下式一致：
y Acos(cx) Bsin(cx)
5.2 一维谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡 位置附近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子 和表面振动以及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此 独立的简谐振动。
第9章 力学量本征值问题的代数解法
。 /2
利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na
(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。 这说明 a n 也是N
7
联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态 可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)
2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14
利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ
ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10
将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5
利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N
受迫量子谐振子若干问题的讨论物理学
受迫量子谐振子若干问题的讨论摘要目前，受迫量子谐振子问题的研究已经成为一个热点，含时受迫谐振子系统是量子力学中能够精确求解其含时薛定谔方程的的少数几个量子系统之一。
本文首先描述了经典的受迫谐振子，后对量子力学中的谐振子作了初步描述，然后依据含时非齐次波个留夫变换的公式体系详细讨论了受迫量子谐振子的薛定谔方程精确解并且用初等的方法探讨了谐振子的跃迁几率问题。
关键词：受迫量子谐振子；薛定谔方程；波函数；跃迁几率ABSTRACTAt present, the research of compelled Quantum harmonic oscillator have already become a hot spot, this is the question we can give a exact solution in Quantum questions .This article first describes the classical harmonic oscillator, latter make a preliminary description of quantum mechanics harmonic oscillator, then discussed the compelled quantum harmonic oscillator in detail and give the Schrödinger equation exact solution and study the transition probability of the harmonic oscillator.Key words:compelled Quantum harmonic; Schrödinger equation; transition probability; transition probability目录引言 (1)1经典谐振子 (2)1.1经典谐振子的描述.................. . (2)1.2阻尼谐振子 (3)1.3受迫谐振子 (5)2受迫谐振子 (6)2.1量子谐振子（一维） (6)2.2受迫量子谐振子薛定谔方程的精确解 (9)2.3谐振子在含时均匀外场下跃迁概率的精确解 (13)参考文献 (17)致谢 (18)引言在物理学的学习过程中，我们经常遇到谐振子的有关问题。
二维及三位谐振子问题
二维及三位谐振子问题二维及三维谐振子问题是量子力学中一个经典且重要的问题。
它通常被用于描述原子、分子以及固体中的振动、电磁场等现象。
在这个问题中，我们需要找到谐振子的能级及其对应的波函数。
对于二维谐振子，首先需要确定系统的势能函数。
二维谐振子的势能函数由两个独立的谐振子势能函数构成，分别沿着x轴和y轴方向。
因此，二维谐振子的势能函数可以表示为V(x,y) = 1/2 mω²(x² + y²)，其中m是谐振子的质量，ω是谐振子的角频率。
通过Schrodinger方程求解，可以得到二维谐振子的能级。
然后，根据能级的结果，可以得到对应的波函数。
二维谐振子的波函数通常用径向波函数和角向波函数的乘积表示。
例如，二维谐振子的基态能级为E₁₀ = (n + 1)ℏω，其中n为量子数，ℏ是约化的Planck常数。
它的波函数由径向波函数R(r)和角向波函数Θ(θ)的乘积组成。
对于三维谐振子，同样需要确定系统的势能函数。
三维谐振子的势能函数由三个独立的谐振子势能函数构成，分别沿着x轴、y轴和z轴方向。
因此，三维谐振子的势能函数可以表示为V(x,y,z) = 1/2 mω²(x² + y² + z²)。
通过Schrodinger方程求解，可以得到三维谐振子的能级。
然后，根据能级的结果，可以得到对应的波函数。
三维谐振子的波函数通常由径向波函数R(r)和两个角向波函数Θ(θ)和Φ(φ)的乘积表示。
总的来说，二维及三维谐振子问题是量子力学中的重要问题，通过求解Schrodinger方程可以得到能级及波函数。
这个问题在原子、分子以及固体物理的研究中有广泛的应用，对我们理解和描述自然现象起到了重要的作用。
升降算符在一维谐振子能级讨论中的应用
第36卷第12期2020年12月商丘师范学院学报JOURNAL OF SHANGQIU NORMAL UNIVERSITY Vol．36No．12Dec．2020收稿日期：2019－12－18基金项目：国家自然科学基金资助项目（51141009）；佳木斯大学科学技术研究面上项目（L2012－045）；黑龙江省省属本科高校基本科研业务费科研项目资助（2018－KYYWF －0956）；佳木斯大学大学生创新创业训练计划项目（2019xj25）作者简介：刘海宽（1998—），男，黑龙江同江人，佳木斯大学在读本科生，主要从事量子物理研究．通讯作者：马佳（1978—），女，黑龙江佳木斯人，佳木斯大学讲师，主要从事理论物理研究．升降算符在一维谐振子能级讨论中的应用刘海宽，张海丰，马佳（佳木斯大学理学院，黑龙江佳木斯，154007）摘要：利用升降算符方法研究了一维谐振子的能级分布问题，给出了占有数表象升降算符^a+、^a 作用下的线性谐振子本征波函数的递推关系，最后利用升降算符讨论了线性谐振子本征波函数的代数表示形式．结果表明升降算符方法在研究谐振子的能级分布和本征波函数方面简洁易懂．关键词：升降算符方法；一维谐振子；能级；本征波函数中图分类号：O431文献标识码：A文章编号：1672－3600（2020）12－0022－05Application of the raising and lowering operators in the discussion of one-dimensionalharmonic oscillator energy levels LIU Hɑikuɑn ，ZHANG Hɑifenɡ，MA Jiɑ（School of Science ，Jiɑmusi University ，Jiɑmusi 154007，China ）Abstract ：Using the raising and lowering operator method ，the energy level distribution of a one-dimensional harmonic oscillator is studied ，and the recurrence relation of the eigenwave function of a linear harmonic oscillator under the action of the elevating operator is given．Finally ，the algebraic representation of the eigenwave function of a linear harmonic oscillator is discussed．The results show that the method is concise and easy to understand in studying the energy level distribution and eigenwave function of harmonic oscillator．Key words ：raising and lowering operator method ；one-dimensional harmonic oscillator ；energy levels ；eigenwave function在量子力学中，谐振子模型是非常典型的物理模型之一，被广泛利用和研究，例如：肖奎等对一维线性谐振子波函数及概率分布的可视化进行分析［1］；张小伟分析了电场中线性谐振子本征值问题［2］；呼和满都拉等简单分析了一维谐振子升降算符的性质并对电子自旋角动量的升降算符进行了研究［3－5］；田杏霞等结合角动量升降算符分析矩阵表示和表象变换性质［6］；梁霄利用代数解法对升降算符进行了研究［7］；寻大毛研究了轨道角动量的升降算符［8］；王东方等在电子自旋和角动量耦合问题研究中使用了升降算符［9］；寻大毛等对轨道角动量量子数的升降算符进行了研究［10］．分析文献可以看出，对谐振子本征值问题求解多采用微分方程的解法，由于数学推导繁琐，理解起来较为困难，而占有数表象升降算符^a+、^a 在很多问题的研究中被广泛的应用，比较容易理解，所以本文旨在利用升降算符的方法研究谐振子的能量和波函数等．1用升降算符表示的哈密顿算符一维谐振子的哈密顿算符可以表示为H ^=12m ^p 2+12m ω2x 2（1）坐标和动量算符满足对易关系［x ，^p］=i （2）令Q ^=m ω槡x （3a ）P ^=1m 槡ω ^p （3b ）^a=1槡2（Q ^+iP ^）（4a ）^a+=1槡2（Q ^－iP ^）（4b ）则可以得到^a ，^a +，Q ^，P ^各个量之间的对易关系，进而将H ^利用^a ，^a +表示出来，并可以在H ^的表象中给出^a，^a +，Q ^，P ^，x ，^p 的矩阵元．根据式（2），易得［Q ^，P ^］=1［x ，p ］=i （5）［^a ，^a +］=12［Q ^+iP ^，Q ^－iP ^］=－i ［Q ^，P ^］=1（6）［^a ，^a +，^a ］=［^a ，^a +］^a =^a （7）［^a +，^a +，^a ］=^a +［^a +，^a ］=－^a +（8）由式（4）可得^a+^a =12（Q ^－iP ^）（Q ^+iP ^）=12（Q ^2+P ^2）+i 2（Q ^P ^－P ^Q ^）=12（Q ^2+P ^2－1）（9）所以H ^算符改写为H ^=p 22m +12m ω2x 2=12 ω（P ^2+Q ^2）= ω^a+^a +()12（10）2能量本征值的推导取任意波函数|ψ〉，在其上取^a+^a 的内积可得〈ψ|^a +^a |ψ〉=|^a |ψ〉|2≥0（11）所以H ^算符在|ψ〉上的内积为〈H ^〉=〈ψ|H ^|ψ〉≥12ω（12）当|ψ〉恰好为H ^算符的本征态时，则〈H ^〉=E ，则式（12）变为E ≥12 ω（13）说明能量值的最小值为12ω．按照式（7）和改写后的H ^算符易知［^a ，H ^］=［^a ，^a +，^a ］ ω=^aω（14）^a（H ^－ ω）=H ^^a （15）取本征矢|E'〉，并将其被算式（15）作用易得H ^^a|E'〉=^a （H ^－ ω）|E'〉=（E'－ ω）^a |E'〉（16）可见^a |E'〉也是H ^算符的本征矢，能量值为E'－ ω，于是可以得到由E'表示的等间距的各个能级E'，E'－ ω，E'－2 ω，…（17）对于基态的能量，根据式（10）H ^|E 0〉= ω^a+^a +()12|E 0〉= ω2|E 0〉（18）易得E 0= ω/2（19）根据式（8）和式（10）可得H ^^a+=^a +（H ^+ ω）（20）32第12期刘海宽，等：升降算符在一维谐振子能级讨论中的应用H ^^a+|E'〉=（E'+ ω）^a +|E'〉（21）可见即^a +|E'〉亦是哈密顿算符H ^的本征矢，相应的能量为E'+ ω，于是同样可以得到由E'表示的等间距的各个能级的另一种形式E'，E'+ ω，E'+2 ω， (22)另外，由式（6）可以对式（10）做进一步的处理为H ^= ω^a^a +－()12（23）当将式（23）作用在|E'〉上，易知E'≥ω2，可见式（23）中E'的取值没有最大值，所以总的能级分布为E n =n +()12ω，n =0，1，2， (24)3能量本征波函数的推导下面x 表象中利用升降算符^a+，^a 求解谐振子的本征函数．设谐振子基态波函数为ψ0（x ），由于^a |0〉=0（25）根据式（3）和式（4）可得（i ^p+m ωx ）ψ0（x ）= d d x+m ω()x ψ0（x ）=0（26）令α=m ω槡，则式（26）变为d d x ψ0+α2x ψ0=0（27）解得ψ0（x ）=N 0e－α2x 22（28）式中N 0是归一化常数，按照波函数的归一性∫+ɕ－ɕ|ψ0（x ）|2d x =1（29）所以N 0=槡απ14（30）另外，由于^a+|0〉=|1〉（31）则有ψ1（x ）=^a+ψ0（x ）=1槡2αx －1αd d ()x ψ0（x ）（32）所以ψ1槡=2αx ψ0=2槡απ1/4αxe－α2x 2/2（33）ψn =1槡n ^a +x ψn －1=12槡n αx －1αd d ()x ψn －1（34）令ξ=αx（35）则ψn =12槡n ξ－d d ()ξψn －1（36）所以利用基态波函数式（28）可以得到ψn =12nn ()！12ξ－d d ()ξnψ0=απ2n n 槡()！12ξ－d d ()ξne －ξ22=N n H n （ξ）e －ξ22（37）式（37）中N n =απ2n n 槡()！12（38）42商丘师范学院学报2020年4升降算符作用下本征波函数递推关系推导取谐振子能量本征矢为|n 〉，则正交归一化条件为〈n'|n 〉=δn'n（39）由于升降算符对|n 〉的作用满足^a|n 〉=λ（n ）|n －1〉（40a ）^a+|n 〉=υ（n ）|n +1〉（40b ）式中λ、υ待定，所以式（40）的共轭为〈n |^a +=λ*（n ）〈n －1|（41a ）〈n |^a =υ*（n ）〈n +1|（41b ）所以由式（40）和式（41）可得λ*λ=〈n |^a+^a |n 〉=n （42a ）υ*υ=〈n |^a+^a |n 〉=〈n |（^a +^a +1）|n 〉=n +1（42b ）可以解得λ（n ）=槡n （43a ）υ（n ）=n 槡+1（43b ）亦即^a |n 〉=槡n |n －1〉（44a ）^a +|n 〉=n 槡+1|n +1〉（44b ）所以^a和^a +不为零的矩阵元^a n －1，n =〈n －1|^a |n 〉=槡n （45a ）^a +n +1，n =〈n +1|^a +|n 〉=n 槡+1（45b ）^a n'n =〈n'|^a |n 〉=槡n δn'，n －1（46a ）^a +nn'=〈n |^a +|n'〉=^a n'n =槡n δn ，n'+1（46b ）下边给出坐标算符和动量算符作用在能量本征态上的递推关系．由于Q ^=1槡2（^a++^a ）（47a ）P ^=i 槡2（^a +－^a ）（47b ）所以Q ^|n 〉=n +1槡2|n +1〉+n槡2|n －1〉（48）P ^|n 〉=in +1槡2|n +1〉－i n 槡2|n －1〉（49）Q ^和P ^的非零矩阵元表示为Q ^n +1，n =Q ^n ，n +1=n +1槡2（50a ）P ^n +1，n =－P ^n ，n +1=in +1槡2（50b ）同理，由于x =m 槡ωQ ^= 2m 槡ω（^a ++^a ）（51a ）^p =m 槡ω P ^=im ω 槡2（^a+－^a）（51b ）所以x |n 〉=2m 槡ω（n 槡+1|n +1〉+槡n |n －1〉）（52a ）^p|n 〉=i m ω 槡2（n 槡+1|n +1〉－槡n |n －1〉）（52b ）易知x 、^p 的非零的矩阵元为52第12期刘海宽，等：升降算符在一维谐振子能级讨论中的应用x n +1，n =x n ，n +1=n +12 m ()ω12（53a ）p n +1，n =－p n ，n +1=i n +12m ()ω 12（53b ）5本征波函数递推关系的应用下边应用谐振子的能量本征态|n 〉的递推关系求解算符x ，^p ，x 2，^p 2的期望值以及不确定度△x ，△p ．根据式（39）和（52）易知珋x =〈n |x |n 〉=0（54a ）珋p =〈n |珋p |n 〉=0（54b ）由式（51a ）（51b ）易知x 2=2m ω（^a ++^a ）2= 2m ω（^a 2+^a +2+2^n+1）（55）^p2= 2m ω（^a +－^a ）2= 2m ω（2^n +1－^a 2－^a +2）（56）根据式（52）易知x 2=〈n |x 2|n 〉=m ωn +()12（57）p 2=〈n |p 2|n 〉=m ω n +()12（58）所以△x =（x 2－珋x2）12=m ωn +()[]1212（59）△p =（p 2－珋p 2）12=m ω n +()[]1212（60）△x ·△p =n +()12（61）6结论首先用升降算符把哈密顿算符表示出来，接着在x 表象中利用升降算符^a +，^a 求解谐振子的本征函数，推导出升降算符作用下本征波函数递推关系，并将本征波函数递推关系的应用下边应用谐振子的能量本征态|n 〉的递推关系求解算符x ，^p ，x 2，^p 2的期望值以及不确定度△x ，△p ．参考文献：［1］肖奎，罗子安．一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示［J ］．企业科技与发展，2019（03）：161－162．［2］张小伟．关于电场中线性谐振子问题的求解［J ］．黑龙江科学，2017，8（10）：178－180．［3］呼和满都拉．一维谐振子升降算符的性质及应用［J ］．集宁师范学院学报，2015，37（03）：97－101．［4］呼和满都拉．电子自旋角动量的升降算符［J ］．哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（04）：79－81．［5］郭华．电子自旋角动量升降算符研究［J ］．贵州工程应用技术学院学报，2015，33（03）：132－141．［6］田杏霞．应用角动量升降算符分析角动量的矩阵表示和表象变换［J ］．通化师范学院学报，2014，35（08）：35－36+50．［7］梁霄．量子力学中代数解法之若干升降算符［J ］．大学物理，2013，32（09）：23－27．［8］寻大毛．轨道角动量量子数的升降算符［D ］．长沙：湖南大学，2010，6．［9］王东方．升降算符在电子自旋和角动量耦合中应用［J ］．佳木斯大学学报，2012，30（05）：749－750．［10］寻大毛．角动量量子数l 的升降算符和球谐函数的生成［J ］．大学物理，2011，30（01）：19－22．［责任编辑：王军］62商丘师范学院学报2020年。
量子力学中的谐振子模型与能级结构
量子力学中的谐振子模型与能级结构量子力学是一门研究微观粒子行为的科学，其中谐振子模型是研究非常重要且常见的一种模型。
在这篇文章中，我们将探讨谐振子模型在量子力学中的应用以及与其相关的能级结构。
1. 谐振子模型的基本概念谐振子模型是通过描述一种具有平衡位置的物理系统的振动来建立的。
它假设系统的势能函数与物体偏离平衡位置的平方成正比，即V(x) = kx^2，其中k是弹性常数，x是物体相对平衡位置的位移。
在量子力学中，谐振子模型可以应用于描述原子核、分子振动以及固体中的晶格振动等多个领域。
2. 能级结构的计算在量子力学中，我们通过求解谐振子模型的定态薛定谔方程来计算其能级结构。
定态薛定谔方程可以写为HΨ = EΨ，其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
由于谐振子的哈密顿算符是一个二次型，我们可以将其转化为简化形式，使其更易于求解。
3. 能级结构的计算方法求解谐振子模型的能级结构有多种方法，其中最常用的方法是升降算符法和求解本征值问题。
升降算符法是通过定义两个算符a±来实现的，这两个算符分别与谐振子的产生和湮灭操作相关联。
利用这两个算符，我们可以构造出能量算符和Hamilton算符的升降算符，从而求解出能级。
4. 能级结构的性质谐振子的能级结构具有一些特殊的性质。
首先，能级是均匀分布的，能量间隔相等。
其次，能级是分立的，不存在连续能量的情况。
此外，谐振子模型的基态能量是非零的，且存在一个最低能级。
这些性质使得谐振子模型成为描述实际物理系统的重要工具。
5. 谐振子模型的应用谐振子模型在物理学中有广泛的应用。
它可以用来描述原子核振动、固体中的晶格振动以及分子的振动等现象。
此外，在量子计算和量子通信领域，谐振子模型也被广泛应用于构建量子比特和实现量子门操作。
总结：本文主要介绍了量子力学中谐振子模型与能级结构的相关内容。
谐振子模型是描述具有平衡位置的物理系统振动的模型，求解谐振子的能级结构可以通过升降算符法和解本征值问题等方法来实现。
关于谐振子运动若干问题的讨论
对于宏观谐振子， 解决的方法是牛顿定律。而微观情
况下是用粒子在某位置出现的机率来描述粒子的运动情
况。因为这实际上的粒子的运动并非像宏观模型那样， 振
子的往复运动对粒子的一次运动毫无规则而言， 所谓的振
幅只是在大量多次运动的基础之上，粒子出现机率最大
处。因此， 微观谐振子的能量也并非像宏观那样连续而是
池 Ｊｏｕｒｎａｌ
州 师 专 学 ｏｆ Ｃ ｈｉ ｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ
报 Ｃ ｏｌ ｌ ｅｇｅ
关于谐振子运动若干问题的讨论
吴从容
（合肥市 １ ６８ 中学， 安徽 合肥 ２３００００）
［摘要］ 从理想情况下谐振子运动的基本物理现象出发， 建立物理模型， 从宏观和微观两个方面对话振子模理进行讨 论。这种物理研究方法的学习有利于培养学生的科研能力。 ［关键词］ 谐振子； 宏观； 微观 ［中图分类号］Ｏ ４１ ［文献标识码］Ａ
趋于无限远时的渐近行为。在 ξ → ∞ ， （ １１） 式中系数为 （ ξ → ∞）
ψ ≈ Ae
−
ξÁ Á
+ Be
ξÁ
２
由于 ξ → ∞ 时收敛的要求， 上式中含正指数的第二
项必须舍去， 于是应当设
ψ (ξ ) = e Á U (ξ ) 将（ １２） 代入（ １１） 式可 Ｕ （ ξ） 得满足的方程 dÁ u du − 2ξ + (γ − 1) = 0 dξ Á dξ
有线性阻力情况下一般指该阻力正比于谐振子的运 谐振子的运动方程可列为：
F=m
动速度 （例如空气阻力、 地面阻等） 加上这个阻力的作用，
d Á xÁ dx = −kx − γ dt Á dt
率， β 是阻尼因子）
k γ 令 = ω ， = 2β m m