二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数关系_樊利芳
谐振子的能量与动量分析
谐振子的能量与动量分析谐振子是物理学中一个重要的概念，它可以用来描述许多自然界中的现象。
在本文中，我们将探讨谐振子的能量与动量分析。
首先，我们需要了解谐振子的基本概念。
谐振子是指一个系统在受到外界作用力的驱动下，产生周期性振动的现象。
在经典力学中，谐振子可以用一个简单的数学模型来描述，即简谐振动模型。
这个模型假设谐振子的振幅和周期是恒定的，并且其运动是可预测的。
谐振子的能量分析是研究谐振子在振动过程中能量的变化情况。
根据能量守恒定律，谐振子的总能量在振动过程中保持不变。
总能量可以分解为动能和势能两部分。
在谐振子的振动过程中，动能和势能之间不断转化，但它们的总和始终保持不变。
动能是谐振子振动过程中具有的能量，它与谐振子的速度有关。
当谐振子通过平衡位置时，速度最大，此时动能也最大。
而当谐振子达到最大位移时，速度为零，动能也为零。
因此，在谐振子的振动过程中，动能的变化是周期性的。
势能是谐振子在振动过程中具有的能量，它与谐振子的位移有关。
当谐振子通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
而当谐振子达到最大位移时，势能最大。
因此，在谐振子的振动过程中，势能的变化也是周期性的。
除了能量分析，我们还可以研究谐振子的动量分析。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
在谐振子的振动过程中，动量也是周期性变化的。
当谐振子通过平衡位置时，速度最大，动量也最大。
而当谐振子达到最大位移时，速度为零，动量也为零。
因此，在谐振子的振动过程中，动量的变化也是周期性的。
谐振子的能量与动量分析可以帮助我们更好地理解谐振子的振动特性。
通过对能量和动量的分析，我们可以推导出谐振子的振动频率和振幅与其物理特性的关系。
这对于研究谐振子在不同条件下的行为具有重要的意义。
总之，谐振子的能量与动量分析是研究谐振子振动特性的重要方法。
通过对能量和动量的变化规律的研究，我们可以更好地理解谐振子的振动行为。
谐振子作为一个重要的物理模型，在物理学的研究中扮演着重要的角色。
关于谐振子的量子力学研究进展
x的矩阵元
xm l =
1 A
Nm
Nl
[
(
2
l+
1)
lm l +
1 2
lm( 1 + l) ] ,
( x2 ) m l =
( 2m +
3 2
)
G LX
Dm l
+
( m + 1) ( m +
3 2
)
ÛLGX D( m+
1)
l
+
m (m +
1 2
)
ÛLGXD( m-
1)
l,
进而得到了动量算符
p 的矩 阵元
2008年 11 月 第 18卷 第 6 期
榆 林学院学报 JOU RNA L O F YU L IN CO LLEGE
N ov. 2008 V o.l 18 N o. 6
关于谐振子的量子力学研究进展
蔡春芳 1. 2
( 1. 汉中职业技术学院, 陕西 汉中 723000; 2. 陕西师范大学, 陕西 西安 710p(
p4
1)
-
[
l(
l+
1) - lc( lc+ 4p( p+ 1)
1)
]2
3nl | rp- 2 |nclc4
2001年陈刚 [ 11] 又给出了三维各向同性谐振子径向矩阵元的一个递推关系
3nl | rp- 2 |nclc4
- 2p[ l( l+ 1) +
lc( lc+ 1) ] + p( p- 1) ( p+ 1) + [
间问题的奇宇称性, 再用幂级数方法求解, 通过导出波函数乘坐标算符的邻居关系得出坐标算符的矩阵元。
二维谐振子能级和波函数
二维谐振子能级和波函数背景介绍二维谐振子是一个重要的量子力学模型，它可以用于描述许多物理系统，例如薄膜的振动、氢分子离子的振动等。
在这个模型中，谐振子的势能是二维平面上的一个二次势能，由此得到的能级和波函数具有一些特殊的性质。
能级结构对于一个二维谐振子，它的能级是量子态的集合，每个能级对应一个特定的能量。
根据谐振子的性质，其能级是离散的，也就是说能量是量子化的。
能级之间的能量差是固定的，且相邻两个能级之间的能量差相等。
能级数目二维谐振子的能级数目与主量子数有关，可以通过以下公式计算：N=(n x+n y+1)(n x+n y+2)/2其中，n x和n y是非负整数。
这个公式描述了能级数目与主量子数的关系，说明了能级之间的量子化。
能级间距相邻两个能级之间的能量差是固定的，这个能量差称为能级间距。
可以通过以下公式计算：ΔE=ℏω=(n x+n y+1)ℏω其中，ω是角频率，ℏ是约化普朗克常数。
能级简并性二维谐振子的能级具有很高的简并性，即多个不同的量子态对应的能量是相同的。
这是因为二维谐振子具有旋转对称性，不同的量子态可以通过旋转变换相互转化而得到。
波函数二维谐振子的波函数描述了粒子在二维平面上的概率振幅分布。
波函数可以通过解谐振子的定态薛定谔方程得到。
薛定谔方程二维谐振子的定态薛定谔方程可以写成以下形式：∂2ψ(x,y)∂x2+∂2ψ(x,y)∂y2+mωℏ(x2+y2−2Emω2)ψ(x,y)=0其中，ψ(x,y)是波函数，E是能量，m是粒子的质量。
波函数的形式由于二维谐振子的势能具有旋转对称性，波函数也具有对应的旋转对称性。
波函数可以表示为径向函数和角向函数的乘积形式：ψ(x,y)=R(r)⋅Θ(θ)其中，r是径向坐标，θ是极角。
边界条件对于波函数ψ(x,y)，在二维谐振子的边界上应满足边界条件。
常见的边界条件有硬边界和软边界。
硬边界条件要求波函数在边界上为零，即ψ(x,y)=0。
这代表了无法穿透边界的情况。
二维各向同性谐振子解法
U20 = exp
¡
x2
+ 2
y2
(4x2 ¡ 2); U11 = exp
¡
x2
+ 2
y2
4xy; U02 = exp
¡
x2
+ 2
y2
(4y2 ¡ 2)
(19)
以及
V10 = exp
¡
2 2
(1 ¡ 2); V02 = 2exp(2i); V0¡2 = 2exp(¡2i)
jmj X 1 w1(z) = z 2
cnzn;
w2(z)
=
aw1(z)logz
+
z
¡
jmj 2
X 1
dnzn
n=0
n=0
(10)
其中cn; dn; a为系数,c0 =/ 0; d0 =/ 0,w2(z)同样不符合物理要求.因此无论jmj取何值,满足物理要求的解 都具有形式
jmj X 1
w(z) = z 2
2
第一激发态(N = 1)有二重简并,波函数分别为
U10 = exp
¡
x2
+ 2
y
2
2x; U01 = exp
¡
x2
+ 2
y2
2y
(17)
以及
V01 = exp
¡
2 2
exp(i); V0¡1 = exp
¡
2 2
exp(¡i)
(18)
因为exp(i) = x iy,这两组解通过幺正变换相互联系.第二激发态(N = 2)有三重简并
氢原子的能量与波函数-中正化生系-中正大学
(4)
我們現在假設氫原子的波函數可寫成
ψ (r, θ , φ ) = R (r )Y (θ , φ )
(5)
將(4),(5)帶入薛丁格方程式中得
2 2 ⎞ h2 ⎛ ˆ2Y − Ze RY = ERY ⎜Y d R + Y 2 d R ⎟ + R 1 L 2 2μ ⎜ 4πε 0 r r dr ⎟ 2 μr 2 ⎠ ⎝ dr
2 ⎛ 2 2 2 ⎞ 2 ˆ = − h ⎜ ∂ + ∂ + ∂ ⎟ − Ze H 2 2μ ⎜ ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ⎝ ∂x ⎠ 4πε 0 r
(1)
氫原子的薛丁格方程式在 xyz 座標下無法做變數分離，因此我們改用球座標。在 球座標下，
2 2 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ 1 ∂2 ⎟ = ∂ + 2 ∂ + 1 ∂ + 1 cot θ ∂ + ∇2 = ⎜ + + ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 r 2 ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 ⎝ ⎠
(20)
由(19)，當 r = 0， M (0) = b0 , M ' (0) = b1 , M " (0) = 2b2 帶入 (20) 得到：
(21)
b0 ( s 2 + s − l 2 − l ) = 0 s = l or − l − 1 (不合)
(20) 是可改寫成
(22)
r 2 M "+[(2l + 2)r − 2Cr 2 )]M '+(2Z / a − 2C − 2Cl ) M = 0
(11)
(11)式稱為 radial equation，或可看成是在 r 方向運動的有效位能
量子化学课件--第五章 谐振子
若 x=0 ， 则 表 明 a0=0 。
其一阶导数：
y(x) a1 2a2 x 3a3x2 ... nan xn1 n1
x=0，则表明a1=0。同理取n阶导数，并使得x=0，则
给出an=0。
[(n 2)(n 1)an2 c2an ]xn 0
n0
(n 2)(n 1)an2 c2an 0
2v 2mE2 0
2mE2 (2v 1)2vm1
E (v 1)hv, v 0,1,2,... 2
（能量量子化，使得一个级数在有限项后中断）
原递推关系式变为：
cn2
2 (n v)
(n 1)(n 2)
cn
为了去掉通解中的另一个无穷级数，必须使任意常数乘
之后等于零。从而剩下一波函数为 ex2 / 2 乘以只含x的
bj x j c j x j (bj c j )x j
j0
j0
j0
类似于上式，我们想要每个和中的求和极限相同以及
x的幂次相同，需要将幂级数展开等式左边的第一项
的求和指标作一变换，令n=k+2，
n(n 1)an xn2 (k 2)(k 1)ak2 xk
n2
k 0
why？
n(n 1)an xn2
n0
n0,2,4
n1,3,5
y
A
(1)k
c2k x2k
B
(1)
k
c x 2k 1 2k 1
k 0
(2k )! k0
(2k 1)!
上式中的两个级数是对于cos(cx)与sin(cx)的Taylor级 数，与下式一致：
y Acos(cx) Bsin(cx)
5.2 一维谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡 位置附近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子 和表面振动以及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此 独立的简谐振动。
二维谐振子问题
二维谐振子问题谐振子是物理学中的重要概念，它是一个模型，用来描述一些物理系统中的振动行为。
二维谐振子是在二维平面上运动的谐振子，其运动受到势能的限制。
本文将详细介绍二维谐振子的问题。
1. 物理模型二维谐振子是在二维平面上进行谐振运动的一个模型。
它的运动可以用平面直角坐标系描述，其中坐标轴分别表示系统的两个自由度。
例如，我们可以将一个质点在平面上的水平和垂直方向的运动表示为x 和y坐标。
2. 势能表达式二维谐振子的势能可以通过一个势能函数来表示。
对于简谐振动而言，势能函数是一个二次型。
在二维谐振子问题中，势能函数表达式如下：V(x, y) = (1/2)kx^2 + (1/2)ky^23. 运动方程根据拉格朗日力学的原理，我们可以得到描述二维谐振子运动的运动方程。
通过求解运动方程，我们可以得到系统在不同时间点上的位置和速度。
对于二维谐振子而言，其运动方程如下：m(d^2x/dt^2) = -kxm(d^2y/dt^2) = -ky4. 能级和频率二维谐振子问题中，我们可以进一步计算能级和频率。
能级是指系统的不同能量状态，而频率则是指系统的振动频率。
通过求解运动方程，我们可以得到系统的能级和频率表达式。
对于二维谐振子而言，能级和频率计算公式如下：E = (n + 1/2)hwf = w/(2π)其中，n为能级的量子数，h为普朗克常数，w为角频率。
5. 二维谐振子的性质二维谐振子具有许多特殊的性质。
例如，它的能级是量子化的，且能级之间的能量差是相等的。
此外，二维谐振子的振动模式可以分为横向和纵向振动。
横向振动发生在一个平面内，而纵向振动则垂直于该平面。
6. 应用二维谐振子模型在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在光学中，二维谐振子模型可以用来描述光波在平面波导中的传播行为。
在微观尺度下，二维原子排列也可以看作是一种二维谐振子系统。
结论二维谐振子问题是物理学中的一个重要问题，它描述了平面上的谐振子运动行为。
谐振子玻尔理论
能级间隔 ΔE = hω = 1.05 × 10−34 × 10 = 1.05 ×10−33 J
振子现有能量 E = 1 kA2 = 1 × 0.1 × (10−3 )2= 5 ×10−8 J
2
2
E
n
=
(n
+
1 2
)hω
)
En
=
−
1 n2
me 4
( 8ε 02h2
)
n=1 E1 = −13.6eV 氢原子基态能量
En
=
1 n2
E1
rn = n2r1
氢原子能量量子化 轨道半径量子化
（三）玻尔氢原子理论值和实验值的比较
由玻尔的频率假设：ν kn
=
1 h (En
−
Ek
)
将玻尔的能级公式代入得到：
En
=
−
1 n2
me 4
⎤ +U(x)⎥Φ(x) =
⎥⎦
EΦ( x)
x<−a 2
Φ1(x) = 0
∞U
x ≤ a Hˆ = − h 2 d 2
2
2m dx 2
U0
−
h2 2m
d 2Φ 2
dx 2
=
EΦ 2
Φ 2′′( x)
+
2mE h2
Φ 2 ( x)
=
0
−
a 2
o
a 2
x
x>a 2
Hˆ
= − h2 d2 2m dx2
+ U0
hν kn = En − Ek
3、角动量量子化假设——电子作圆轨道运动时， 角动量只能取分立值：
二维各向同性谐振子解法
二维各向同性谐振子解法二维各向同性谐振子一维能量本征值问题(我们只讨论束缚态)没有简并,二维各向同性谐振子比一维问题复杂但是比氢原子问题简单,因此可以作为阐述能量定态问题的解法以及能级简并概念(以及其他重要的知识,比如合流超几何函数,简并性与对称性的关系,幺正变换等)的很好的例子.1二维各向同性谐振子二维各向同性谐振子的Hamilton量为H=?12r2+12(x2+y2)其定态问题可以在直角坐标系中分离变量从而化为已知的一维谐振子问题,结果为U n1n2(x;y)=exp ?12(x2+y2) H n1(x)H n2(y);E N=N+1(1)其中N=n1+n2;n1;n2=0;1;2;:::,H n(x)为厄米多项式,这里我们使用未归一化波函数.能级简并度为N+1,波函数的宇称为(?1)N.下面考虑在极坐标系下的解法.坐标变换x= cos ;y= sin (2)其中 >0;06 62 .Hamilton算符H=?12 1 @@ @@ +1 2@2@ 2 +12 2(3)我们寻求定态Schr?digner方程HV( ; )=E V( ; )具有分离变量形式V( ; )=R( ) ( )(4)的解,得出R0+ 2E? 2? 2 R=0; 00+ =0(5) R00+1第二个方程在周期性条件 ( +2 )= ( )下的解为p=0; 1; 2;:::(6) m( )=exp(im );m=当 1时,径向方程的渐近形式R00? 2R 0(7)其渐近解为R( ) exp( 2/2),我们令R( )=exp(? 2/2)w( ),代入到径向方程得到w00+ 1 ?2 w0+ 2E?2?j m j2 2 f=0(8)再令z = 2,替换变量后w 00+ 1z ?1 w 0+14 2E ?2z ?j m j 2z2 w =0其中的微商对新变量z 进行.z =0是指数为 j m j /2的正则奇点1.当j m j =0时,这两个指数相同,两个线性无关的解具有形式w 1(z )=X n =01c n z n;w 2(z )=w 1(z )log z +X n =11d n z n (9)其中c n 和d n 为系数,c 0=/0,w 2(z )在z =0发散,不符合物理要求.当j m j >1时,两指数的差为正整数,两个线性无关解的形式为w 1(z )=z j m j 2X n =01c n z n ;w 2(z )=aw 1(z )log z +z ?j m j 2X n =01d n z n (10)其中c n ;d n ;a 为系数,c 0=/0;d 0=/0,w 2(z )同样不符合物理要求.因此无论j m j 取何值,满足物理要求的解都具有形式w (z )=z j m j 2X n =01c n z n ;c 0=/0(11)记幂级数F (z )=P n =01c n z n ,将上式代入到原方程,可以求得系数的递推式c n +1= +n ( +n )(n +1)c n ;n >0(12)其中 =j m j +1, =(j m j +1?E )/2.如果令c 0=1,得到的幂级数F ( ; ;z )=1+ z +12! ( +1) ( +1)z 2+ (13)称为合流超几何函数2.要满足z !1的物理条件,这个级数必须退化为多项式,否则当 1时F ( ; ;z ) exp (z );R exp ( 2/2),这要求=?n ;n =0;1;2;:::(14)此时F ( ; ;z )为n 次多项式.我们得到波函数和能级V n m ( ; )= j m j exp ? 22 F (?n ;j m j +1; 2)exp (im );E N =N +1(15)其中N =2n +j m j =0;1;2;:::.当N 为偶数时,m =0; 2;:::; N ;当N 为奇数时,m = 1; 3;:::; N :这两种情况的简并度都是N +1.作宇称变换时, ! ; ! + ,因此V n m !(?1)m V n m ,但是N 与m 的奇偶性相同,故波函数的宇称为(?1)N .下面,我们看这些波函数间的关系.基态(N =0)没有简并,因此两种解法得到的波函数相同U 00=exp ?x 2+y 22 ;V 00=exp ? 22 (16)1.二阶线性常微分方程正则奇点附近解的一般结论请参考其他数学笔记.2.合流超几何函数是合流超几何方程zF 00+( ?z )F 0? F =0的一类正则解,详细情况请参考有关特殊函数的书籍.第一激发态(N=1)有二重简并,波函数分别为U10=exp ?x2+y22 2x;U01=exp ?x2+y22 2y(17)以及V01= exp ? 22 exp(i );V0?1= exp ? 22 exp(?i )(18)因为exp( i )=x iy,这两组解通过幺正变换相互联系.第二激发态(N=2)有三重简并U20=exp ?x2+y22 (4x2?2);U11=exp ?x2+y22 4xy;U02=exp ?x2+y22 (4y2?2)(19)以及V10=exp ? 22 (1? 2);V02= 2exp(2i );V0?2= 2exp(?2i )(20)显然V10可以由U20与U02组合得到,而2exp( 2i )= 2(cos i sin )2=x2?y2 i2xy(21)因此V0 2要由U20,U02以及U11组合得到.两组波函数同样以幺正变换相联系.2简并,可分离变量以及对称性我们看到,如果一个能量本征值问题可以在两种或两种以上坐标系下用分离变量法求解,那么能级(除了基态)是简并的,因为对于一个能级,在这两种坐标系下得到的本征函数一般不可能相同,它们之间用幺正变换相联系.二维中心势下,用极坐标可以分离变量,但x轴的取向还可以有不同的选择,这给出了能级对m的二重简并.但是,上面的各向同性谐振子还可以在直角坐标系下分离变量,它比一般中心势具有更大的简并性(能级只取决于2n +j m j).三维中心势在球坐标下可以分离变量,但z轴的取向可以有不同的选择,因此能级简并度为2l+1.氢原子问题则具有更大的简并度(n=n r+l+ 1),这相应于如下事实:此问题也可以在旋转抛物面坐标系下分离变量.因此,能级简并与问题的对称性相关.与坐标轴的取向相关的对称性很容易发现,但与(本质上)不同种类的坐标系相关的对称性则不是显而易见的.前者是一种几何对称性,而后者则是动力学对称性.。
二维及三位谐振子问题
二维及三位谐振子问题二维及三维谐振子问题是量子力学中一个经典且重要的问题。
它通常被用于描述原子、分子以及固体中的振动、电磁场等现象。
在这个问题中，我们需要找到谐振子的能级及其对应的波函数。
对于二维谐振子，首先需要确定系统的势能函数。
二维谐振子的势能函数由两个独立的谐振子势能函数构成，分别沿着x轴和y轴方向。
因此，二维谐振子的势能函数可以表示为V(x,y) = 1/2 mω²(x² + y²)，其中m是谐振子的质量，ω是谐振子的角频率。
通过Schrodinger方程求解，可以得到二维谐振子的能级。
然后，根据能级的结果，可以得到对应的波函数。
二维谐振子的波函数通常用径向波函数和角向波函数的乘积表示。
例如，二维谐振子的基态能级为E₁₀ = (n + 1)ℏω，其中n为量子数，ℏ是约化的Planck常数。
它的波函数由径向波函数R(r)和角向波函数Θ(θ)的乘积组成。
对于三维谐振子，同样需要确定系统的势能函数。
三维谐振子的势能函数由三个独立的谐振子势能函数构成，分别沿着x轴、y轴和z轴方向。
因此，三维谐振子的势能函数可以表示为V(x,y,z) = 1/2 mω²(x² + y² + z²)。
通过Schrodinger方程求解，可以得到三维谐振子的能级。
然后，根据能级的结果，可以得到对应的波函数。
三维谐振子的波函数通常由径向波函数R(r)和两个角向波函数Θ(θ)和Φ(φ)的乘积表示。
总的来说，二维及三维谐振子问题是量子力学中的重要问题，通过求解Schrodinger方程可以得到能级及波函数。
这个问题在原子、分子以及固体物理的研究中有广泛的应用，对我们理解和描述自然现象起到了重要的作用。
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收稿日期:2003-01-03基金项目:国家自然科学基金资助项目(10204008)作者简介:樊利芳(1979-),女,河南焦作人,华南师范大学2001级硕士研究生;陈浩(1959-),男,江苏无锡人,博士,华南师范大学教授.文章编号:1000-5463(2004)02-0086-04二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数关系樊利芳,陈 浩(华南师范大学物理与电信工程学院,广东广州510631)摘要:通过坐标转换,找出了二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数之间的对应关系.关键词:二维谐振子;二维氢原子;能量;波函数中图分类号:O413.1 文献标识码:AENERGY AND WAVE FUNCTION OF THE TW O D IMENSIONALHARMON IC OSCILLTOR AND HYDR OGEN ATOMFAN Li -fang ,CHEN Hao(School of Phys ics and Telecommunications Engineering ,South China Normal Univers ity ,Guangzhou 510631,China )A bstract :By the coordinates counterchange ,the relationship bet w een energy and wa ve function of Two dimensional Har monic Oscillator and Hydrogen Atom are found .Key words :two dimensional har monic oscillator ;two dimensional hydrogen atom ;energy ;wavefunction 文献[1]借助于SU (1,1)代数,通过坐标变换将二维谐振子与二维氢原子的能量本征值方程化为同一算符的本征值方程,从而得出它们能量及本征函数间的关系.但从其结果上看两者间的关系是存在问题的.本文分析了文献[1]中某些做法的欠妥之处,并在此基础上将直角坐标系下二维氢原子的本征值方程转化成与曲线坐标系下二维谐振子的本征值方程相同的形式.从而得出他们间的能量及波函数的对应关系.1 对问题的分析文献[1]经过运算最后得出二维氢原子同二维谐振子的能级关系为E n =-2μe 4s ω2E 2α.2004年5月May 2004 华南师范大学学报(自然科学版)JOUR NAL OF SOUTH CHIN A NOR MAL UNIVER SITY (NA TUR AL SCIENCE EDITION ) 2004年第2期 No .2,2004从其结果上看作者并没有说明上式中n 和a 的对应关系,容易使人误认为:n =a .实际上通过解薛定谔方程可得到二维氢原子的能级[2]:E n =-μe 4s 2n 22 其中n =123252……则知:上式中n 和a 的对应关系为:n =a 2+12(其中a =0,2,4,6……).再来比较文献[1]中的(10)式与(30)式:将E a =(a +1) ω代入(10)式得到 F 3在o -x .y 坐标系下的本征值E =a +12 (a =0,1,2,3……)(1)将E n =-μe 4s 2n 2 2代入(30)式得 F 3在o -u .v 坐标系下的本征值E =n n =123252……(2) 同一个算符在不同的坐标系下其本征值是相等的.但比较(1)式和(2)式知: F 3在两坐标系下的本征值是不相等的.由此说明文献[1]的运算过程是存在问题的.下面讨论导致上述错误结果的原因.首先文献[1]在进行坐标变换u = ω2e 2s (x 2-y 2);v = ωe 2s xy (3)后,称新坐标系o -u .v 为直角坐标系.本文认为这种说法是不正确的,因为在上述坐标变换中原点保持不变,所以只有把直角坐标系o -x .y 绕原点旋转后,得到的新坐标系才可能是直角坐标系.即只有当上述变换为正交变换时得到的新坐标系o -u .v 才可能为直角坐标系.但由正交变换的性质判断上述变换显然不是正交变换[3].所以文献[1]在接下来的讨论中将o -u .v 看作直角坐标系,从而用到直角坐标系的性质来处理问题就导致了上述错误结果的产生.实际上经过上述变换后得到的新坐标系是一个以u ,v 为参数的曲线坐标系.于是文献[1]中将o -x .y 坐标系下的算符 F 1, F 2, F 3经过变换得到o -u .v 坐标系下的算符后,算符中的r ′=u 2+v 2不再代表两点间的距离.但是文中将o -u .v 坐标系下的算符 F 3+ F 1作用在二维氢原子的本征值方程上( F 3+ F 1) H ′ψn (u ,v )=( F 3+ F 1)E n ψn (u ,v )(4)式中二维氢原子的能量算符 H ′=- 22μ ′2-e 2s r ′为直角坐标系下的能量算符,r ′代表氢原子的半径.显然它与上面r ′=u 2+v 2中的r ′所代表的意义不同,所以(4)式中将它们等同起来的做法是不对的.正确的做法应该是将氢原子的本征值方程也变换到o -u .v 曲线坐标系下:- 3ωμe 2s u 2+v 2 2 u 2+ 2 v 2-e s 2 ωu 2+v 2ψn (u ,v )=E n ψn (u ,v )然后再将o -u .v 坐标系下的算符 F 3+ F 1作用在该本征值方程上.那么再用文献[1]中的方法就不可能将氢原子的本征值方程化为 F 3的本征值方程了.下面介绍另一种方法来寻求二维谐振子同二维氢原子的能级及波函数间的关系.87 第2期樊利芳等:二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数关系 2 二维谐振子同二维氢原子的能量及波函数关系文献[4]给出哈密顿算符在曲线坐标系下的表示形式H =- 22∑ij q i G ij q j + 24∑ij ln |G | q i G i j q j+V .式中G i j =∑a 1m a q i x a q j x a ;q i ,q j为曲线坐标系的参数;x a 为直角坐标系的参数.经计算得出o -u .v 曲线坐标系下的哈密顿算符为: H =- 3ωμe 2su 2+v 2 2 u 2+ 2 v 2+V (u ,v ),(5)其中v 为势函数.二维谐振子在直角坐标系下的本征值方程- 22μ 2 x 2+ 2 y2+12μω2(x 2+y 2)-E a (x ,y )=0.(6)上式经过(3)式变换到o -u .v 曲线坐标系下的本征值方程由(5)式可得- 3ωμe 2s u 2+v 2 2 u 2+ 2 v 2+μωe 2s u 2+v 2ψ(u ,v )=E a ψ(u ,v ).(7) 由(3)式坐标变换关系知:当x 和y 同时正负反号时,u 和n 的值不变.也即是说(6)式中只有满足偶宇称的态经过(3)式才能变换到(7)式.所以(7)式中能级E a =(a 1+a 2+1) ω,a 1+a 2取零或偶数. 下面将二维氢原子的本征值方程转化成(7)式的形式.二维氢原子在直角坐标系下的本征值方程为- 22μ 2 x 2+ 2 y 2-e 2s x 2+y 2-E n φ(x ,y )=0.(8)方程两边同乘以2 ωe 2sx 2+y 2并整理得- 3ωμe2s x 2+y 2 2 x 2+ 2 y 2-2 ωE n e 2sx 2+y 2φ(x ,y )=2 ωφ(x ,y ).(9)方程两边同乘以-μe 4s 2 2E n 并令ζ=-2 2E n μe 4s x ;η=-2 2E n μe 4sy ,则(9)式可变为- 3ωμe 2sζ2+η2 2 ζ2+ 2 η2+μωe 2s ζ2+η2ψ(ζ,η)=2 ω-μe 4s 2 2E n ψ(ζ,η).(10)比较(7)式与(10)式得E a =2 ω-μe 4s 2 2E n 即:E n =-2μe 4s ω2E 2a .(11) 令L =a 1+a 22=0,1,2,3…,则(11)式变为488 华南师范大学学报(自然科学版)2004年 上式即二维氢原子的能量本征值,它与通过解薛定谔方程得到二维氢原子的能级是相同的[2].下面来看二维谐振子与二维氢原子波函数间的关系,由(7)式与(10)式知:ψ(u ,v )与ψ(ζ,η)是对应的.即只要求出ψ(u ,v ),将其中的参数u ,v 换成ζ,η即可求出ψ(ζ,η).(x ,y )= e 2s ω(u 2+v 2+u ),e 2s ω(u 2+v 2-u )=ψ(u ,v ).(12)上式通过将直角坐标系下的二维谐振子的波函数转化到o -u .v 坐标系下得到ψ(u ,v ).然后通过ψ(ζ,η)同φ(x ,y )之间的转换关系求出二维氢原子在直角坐标系下的波函数φ(x ,y ).即:ψ(ζ,η)=ψ-2 2E n μe 4s x ,-2 2E n μe 4s y =φ(x ,y ).(13) 通过(12)式和(13)式就可以将直角坐标系下二维谐振子的波函数转化成二维氢原子的波函数.将直角坐标系下二维氢原子的本征值方程转化成与曲线坐标系下二维谐振子的本征值方程相同的形式.从而得出他们间的能量及波函数的对应关系.参考文献:[1] 文盛乐.二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数[J ].量子电子学报,2002,19(3):200-204.[2] 曾谨言.量子力学(卷Ⅰ)[M ].第3版.北京:科学出版社,2001:345-347.[3] 张禾瑞,郝炳新.高等代数[M 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