波的能量
波 的 能 量
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
波的能量
dV
u
波函数
y A cos (t x / u)
y A sin (t x / u) 质元振动速度 v t 1 2 •动能 dEk dm v 2 1 2 2 2 ( dV ) A sin (t x / u) 2
1 2 2 2 dEk ( dV ) A sin (t x / u) 2
2 2 2
三.平均能流、波强
1.平均能流
单位时间内垂直通过介质中某一面积 的能量。 u 在介质中取体积 V体 ，
波速方向垂直于面积S 长为 u ，则能流为
V体
u
S
P wV体 T/ T wuS 单位：焦耳/秒，瓦，J•s-1，W 与功率相同
1 2 2 P wuS A uS 2
2.平均能流密度----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向 的单位面积上的平均能量。
1 P 2 2 I wu A u 2 S
单位：J•s1•m2 ， W •m2
2 2 2
4.波动的能量与振动能量的区别
• 振动能量中Ek、EP相互交换，系统总机 械能守恒。 •波动能量中Ek、EP同时达到最大，同时 为零，总能量随时间周期变化。
二、能量密度 1.能量密度
dE w 单位体积内的能量 dV 2 2 2 dE ( dV ) A sin (t x / u)
2.波动的势能
由于介质发生形变而具有势能，可以 证明体元内具有的势能与动能相同。
1 2 2 2 •势能 dEP ( dV ) A sin (t x / u) 2 同时达到最大 平衡位置处 Ek、EP 同时达到最小 最大位移处
3.波动的能量
dE dEk dБайду номын сангаасP
波的能量(新)
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。
波的能量公式
波的能量公式波是运动性物体，它是由能量和物质的共同运动而产生的一种物理现象。
波的能量公式可以用来衡量波的能量，并用于计算物理学中波的性质和行为。
波的能量公式是：E = mc2，其中，E表示波的能量，m表示波的质量，c表示光速。
从这一公式可以看出，波的能量随着质量和光速的增大而增大，因此，如果想让波具有更大的能量，可以改变其质量或者以更大的光速来发出波。
由于波的能量受到质量和光速的影响，所以波的振动频率也受到相同的影响。
由于质量比光速大的多，所以改变波的质量更能明显改变波的振动频率。
例如，如果质量增大，波的振动频率也会随之增大，反之，如果质量减小，波的振动频率会随之减小。
另外，光速也会影响波的振动频率，但其影响不会像质量的影响一样明显。
另外，光速本身是一个恒定的值，并且随着距离的增加而减小，因此，光速对波的振动频率的影响也是一个“减弱”过程，也就是随着距离的增加，波的振动频率会逐步减小。
此外，波的能量公式还可以用于计算波的总能量。
例如，假设一个波可以被分解为多个独立的小波，那么这个波的总能量就可以通过将每个小波的能量加总得到。
也就是说，总能量=小波的能量之和。
最后，波的能量公式还可以用来计算波的机械能。
就是说，波的机械能=波的能量×波的振动频率。
由此可见，波的机械能主要取决于波的能量以及波的振动频率，而这两者又与波的质量以及光速有关，因此，波的机械能也受到质量和光速的影响。
综上所述，波的能量公式不仅可以用来衡量波的能量，而且还可以用来计算波的振动频率、总能量以及机械能，它同时还受到质量和光速的影响。
因此，运用波的能量公式，可以更深入的了解波的性质，从而有助于我们更好的使用它们。
波的能量
式中的I0 和I 分别为x=0 和x=x 处的波的强度。
第三节 波的能量
I I 0e
x
1 2 I 0 uA0 2 2 1 1 2 2 2 2 I uA uA0 e 2 2
x
A A0e
x / 2
A0为x = 0 处的振幅。
W x 2 2 2 w A sin t V u
能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能 量密度 w ：
1 2 2 w A 2
(因为正弦函数的平方在一个周期里的平均值为 1/2)
第三节 波的能量
注意： 波动到达的任意一个体积元时，则： 1、它的动能和势能以及机械能都随时间而发生变化， 并且均为周期性函数。
2、它在任意时刻所具有的势能和动能虽然均相等，
但该体积元的机械能不守恒。
第三节 波的能量
2.波的强度
能流 —— 在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单 位时间内通过S 的能量。
u
d W wSu d t P wSu dt dt
2 2 2
S
uSA sin (t x u)
第三节 波的能量
具体讨论波的吸收衰减
设平面简谐波在均匀介质中沿x轴正方向传播， 在x＝0处，I＝I0，在x处波的强度衰减为I，通过厚度 为dx的一层介质时，由于介质的吸收，波的强度减 弱了－dI，实验表明：
dI Id x
---介质的吸收系数。
代入边界条件求解得：
I I 0e
x
第三节
主要内容：
掌握
波的能量
理解 了解
一、波的能量和强度 二、波的衰减
第三节 波的能量
波的能量 机械波
1 Fx 2
( y x
)2
②
线元的机械能为 W Wk Wp ③
弦线中横波速度 线密度
将F
u
2
和
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
代入①、②ຫໍສະໝຸດ 、③Wk
1 x(y)2
2
t
1 xA2 2 sin 2[(t
2
x u
)
0
]
Wp
1 Fx ( y
2
x
)2
P wudtS wuS
dt 在一个周期中的平均能流为
u s
P 1
T
Pdt wuS
T0
udt
2. 能流密度 垂直通过单位截面积的能流。
大小： J dP wu
uS
dS
方向：波的传播方向
矢量表示式： J
wu
J
3. 波的强度 (平均能流密度)
一个周期内能流密度大小的平均值。
2. 能量密度
设绳子的横截面为S ，体密度为 ，则线元单位体积
中的机械能（能量密度）为
w
W Sx
A2
2
sin
2[
(t
x) u
0
]
w(x,t
)
• 平均能量密度
w 1 T wdt 1 A2 2
T0
2
二. 波的强度
1. 能流 在单位时间内通过一定截面的波动能量为能流
1 2
xA2
2
sin
2[
(t
x u
)
大学物理-波的能量
二、波的衍射 衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时
能绕过障碍物的边缘继续前进的现象
能够衍射的条件：缝宽（对缝而言）
a 或障碍物的线度 a
三、波的反射和折射
在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，
下面就讨论波的能量问题
以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能
量的传播作简单说明。
y Acos
(t
x
)
u
波动媒质中一体积元 V中的能量
E EK EP
VA2 2 sin 2 (t x )
二、能流和能流密度（波强）
u
为了精确地描述波的能量分布，引入能量密度
1、能量密度---介质中单位体积中的波动能量
w E A2 2 sin 2 (t x )
V
u
能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布
由间上t 而式周可期知变—w化—的波。的A能2量2 密sin度2是随(t介质ux的) 空间坐标 x 和时
1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射
角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。
介面 i i' i i'
i
“1”
r “2”
2、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射（媒质“1”
进入媒质“2”）时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等
到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之
比
波的能量与强度
波的能量与强度波是一种在空间中传播的物理现象，具有一定的能量和强度。
波的能量与强度是我们研究波动现象的重要指标，它们在多个学科领域中具有广泛的应用。
本文将探讨波的能量与强度的概念、计算方法以及相关的实际应用。
一、波的能量波的能量是指波传播过程中所携带的能量。
根据波的性质和媒介不同，波的能量可以有不同的形式，例如：机械波的能量主要由波动介质的运动能量组成，电磁波的能量则是由电场和磁场的能量共同构成。
波的能量与波的振幅密切相关。
以机械波为例，机械波的传播需要介质的参与，介质中的微观粒子以一定频率和振幅进行振动，从而传递能量。
波的振幅越大，介质微观粒子的振动范围越大，所携带的能量也越大。
波的能量与波速和波长有关。
波的速度指的是波的传播速度，而波长则是波的周期性重复的最短距离。
波的能量与波速和波长正相关，即波速越大、波长越小，波的能量也越大。
二、波的强度波的强度是指波通过单位面积传播或到达某一点的能量。
强度反映了波的能流密度，即单位时间内通过单位面积的能量。
波的强度与波的能量和传播面积有关。
对于机械波，强度与波的能量和波的传播面积呈正比。
以电磁波为例，波的强度与波的能量和电磁波的传播面积呈正比，而与传播距离无关。
三、波的能量和强度的计算波的能量和强度的计算可以根据波动方程和相关参数进行推导。
对于机械波，能量密度（单位体积的能量）可以表示为能量与体积的比值。
波的强度可以表示为能量密度与波速的乘积。
具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ρ * v^2 * A^2其中，ρ是介质的密度，v是波速，A是波的振幅。
波的强度 I = 能量密度 * v对于电磁波，能量密度可以表示为能量与电磁波的传播体积的比值。
波的强度可以表示为能量密度与光速的乘积。
具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ε₀ * E^2波的强度 I = 能量密度 * c其中，ε₀是真空中的电介质常数，E是电场的振幅，c是光速。
四、波的能量与强度的应用1. 医学领域中的超声波技术利用声波的能量和强度，可以检测和治疗疾病。
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波的叠加原理 ：
各列波在相遇区域内，任 一质元的振动是各列波单独存在 时对该质元所引起振动的合振动。
二．波的干涉
相干波源 相干波 波的干涉
1．相干波源：
1、频率相同； 两波源必须满足： 2、振动方向相同；
3、位相差恒定。
y s1 A1 cos(t 1 )
S1
r1 r2
y s2 A2 cos(t 2 )
i
S
ut
波动11
小结：
1 2 2 1、平均能量密度： w A 2
2、平 均 能 流： 3、平均能流密度：
焦 /米 3 瓦特 瓦 /米 2
P w uS
I w u
例1、机械波在弹性介质中传播时，某体积元位移 达到负最大值时，体积元中动能和势能为：【 】 D A、动能最大，势能最大； B、动能最大，势能为0；
y(m) 4 2 O -4
波动8
y(m) 2 t ( s) 4 2 O -4
波动9
2 x(m)
主要内容:
1. 波的能量与简谐振动的能量相比较, 有哪些特点? 2. 什么是波的强度? 它与波的振幅有什么关系?
一、波中“质元”的能量
波动的过程是能量传播的过程 波动方程：
x y A cos (t ) u
在空间形成强弱相间的稳定分布，这种现象
成为“波的干涉”（是波的共性）
2）干涉加强减弱的条件：
r1 y1P A1 cos[ (t ) 1 ] u r2 y2 P A2 cos[ (t ) 2 ] u
P点的合振动：
S1
r1 r2
P
S2
yP y1P y2 P A cos(t )
A 2 A0 加强 k , r2 r1 (2k 1) , A 0 减弱 2 k 0,1, 2,3......
例2、已知两相干波源振动的相位差为π，发出
的波到达某相遇点P的波程差为半波长的两倍，则
P点的合振动情况是：【 】 A、始终加强； B、始终减弱； C、时强时弱，呈周期变化； D、时强时弱，没有一定规律.
dE w u S dt P w uS dt dt
u
S
u dt
P w uS
单位：焦/秒＝瓦特
4、平均能流密度（波的强度）：
1）概念：单位面积上的平均能流 2） 表达式：
P w uS I wu S S 1 2 2 I w u A u 2
单位：瓦特/米2
例3、如图，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向相同，
发出波长为λ 的简谐波在P点相遇，已知S1P＝2λ ，S2P式 为
y1 A cos(2 t ，求 / 2) S2的振动表达式。
S1
解： 已知：r2 r1 (2.2 2) ,
幅：
合 振
A A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
（1）一般情况： 2 2 1 (r2 r1 )
2k , (2k 1) , k 0,1, 2,3
A A1 A2加强 A A1 A2 减弱
C、动能为0，势能最大； D、动能为0，势能为0；
习题：10-15
主要内容：
1. 什么是波的叠加原理? 2. 为什么相干波源发出的波才能产生干涉现象? 怎样 确定相干波在相遇点的相位差及叠加后的合振幅?
一．波的迭加原理（又称“波的独立性原理”） 波传播的独立性：
当几列波在空间某处相遇 后，各列波仍将保持其原有的频 率、波长、振动方向等特征,继 续沿原来的传播方向前进。
2 2 2
波的能量与振动能量
振动能量：动能与势能不同步变化，总能守恒。 波的能量：动能与势能随时间同步变化，总能不守恒。
二、描述波能的物理量 1、能量密度：单位体积里的能量。
dE x 2 2 2 w A sin t dV u
2、平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值
2、质元的势能：
可以证明： dE p＝dEk
1 x 2 2 2 dE p dEk A sin t dV 2 u
说明： 最大位移处，动能为零，势能也为零。 平衡位置处，动能最大，势能也最大。
3、质元的总能：
x d E d E k d E p A sin t d V u
上节课主要内容
一．描述波动的特征量 1．波速：
2．波长： 3. 周期： 4. 频率：
= u T
u/
T /u
二、平面简谐波波动方程
y A cos t
x u
三．波形图像
波的图像：表示的是某一时刻各个质元的位移
振动图像：表示的是某一质元各个时刻的位移
(2k 1) (相消干涉), 1 / 2 2 代入： 2 1 (r2 r1 )
r1 r2
P
解得： 2 2k 0.1
S2
y 2 A cos(2 t 0.1 )
习题：10-18、10-20
为相遇点P的相位差
注：
2 1是初相位差
r2 r1是波程差 2 是由波程差引起的相位差
2）特殊情况：
当 A1 A2 A0
则有 2 1 2
1 2 0 时
2
(r2 r1 ) A 2 A0 加强 A0 减弱
2k , 0 (2k 1) ,
1 T 1 T 1 x 2 2 2 w wdt A ω sin ω t dt A2 ω2 T 0 T 0 2 u
1 2 2 w A 2
单位：焦/米3
w w( x , t ) w A2 , 2 ,
3、平均能流：
1） 概念：单位时间垂直通过某个截面S的平均能量 2） 计算式：
质元在x处，质元的质量：
dm Sdx
dV Sdx
dm dV
O
B
C
dm S
x
dx
x
1、质元的动能：
质元的振动速度：
x v A sin t u
质元的振动动能：
1 1 2 dEk dmv dVv 2 2 2 1 x 2 2 2 dEk A sin t dV 2 u
则：ys1和ys2为相干波源 S 2
P
2．相干波：----由相干波源发出的波
由两波源在P点激发的振动 的振动方程为： S1 r1 y1P A1 cos[ (t ) 1 ] u r2 y2 P A2 cos[ (t ) 2 ] S 2 u
r1 r2
P
3．波的干涉：
1）概念：两列“相干波”在空间相遇，相互迭加，