5.1：波动方程与波的能量
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大学物理波动方程和波的能量
经过 △t 时刻后波以速度 u 向右移动了 u△t
位于x处的质点做简谐振动，时间上比 x=0 点迟
△t=x/u
y
y(x,t)
u△t
·==·A·Ac·c·oo·s·sω·ω·((·tt--·△x··/·ut·)）·······0···x··································X ···
16
例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u
F
F为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
已知： 1.5102 kg / m , F 6N , t=0的波形如图所示
求：振幅，波长，波速和波的周期、波函数及质元振动速度表 达式
由图可见：A=0.04m、λ=0.4m、
u
F
6 1.5102
20m / s
波前—某时刻处在最前面的波面。
在各向同性均匀介质中， 波线与波阵面垂直. 球面波、平面波见右图。
五、波长、波速、频率和周期
波线 波面
波线 波面
先看一个波的传播过程：设振源的振动方程
y=Acos(ωt -π/2)
7
y=Acos(ωt -π/2)
·0 ··4····8····1·2···1·6···20 ···t = 0 ·······u ·····················t = T/4
当振源的初位相不为0时
12
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 ,
T
代入
y
A cos 2 Tt
x
Tu
1
T
y
A
cos2
t
x
y Acos[2t 2x ]
其中2πx/λ表 y 示由于坐标产 ut
波 的 能 量
• 在这方面波动与振动的情况是完全不同的。
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
高二物理竞赛课件：波动方程和波的能量
平面波波面
障碍物
平面波
12
惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于其它波， 如电磁波等。
例：在波线上有相距2.5 cm的A、B两点，已知点B
的振动相位比点A落后30，振动周期为2.0 s ，求波 速和波长。
解：因在波线上相距l两点的相位差为2
所以 波速为
l 2π 2.5 102m 0.30m
π
6
P wuS 1 A2 2uS
2 能流密度 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的
平均能流称为能流密度，也称波强度。
I P wu 1 A2 2u
S
2
w 1 A22
28
能量密度 介质中单位体积的波动能量
w E E A2 2 sin 2 (t x )
ΔV SΔx
u
1. 能量密度随时间做周期变化，变化周期为波动周期的1/2
w 1 T wdt 1 A22
T0
2
w
o
t
波的平均能量密度与振幅的平方、 频率的平方和 介质密度的乘积成正比。
7
二、波的能流和能流密度 (energy flux density)
能流：单位时间内通过介质中某 面积的能量
如图，单位时间内通过S 面的 能量，等于体积 uS 中的能量
S u
平均能流 在一个周期内通过S面的能流的平均值
波动方程和波的能量
1
一、波的能量
波源 振动
介质 介质质元运动 波动 介质弹性形变
动能 势能
能量来自波源。 波源的能量随着波传播到波所到达的各处。
现以平面简谐纵波在均匀直棒中的传播为例， 讨论介质中的能量传播
2
纵波 u
a
b
动能
大学物理 波的能量 惠更斯原理
u = Y
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
波的特性与波动方程
波的特性与波动方程波是一种能量以振荡或传播的方式传递的物理现象。
它们可以是机械波，例如通过介质传播的声波或水波，也可以是电磁波，例如光波或无线电波。
波的特性与波动方程密切相关，通过波动方程我们可以描述波的行为和性质。
一、波的特性1. 频率和周期波的频率是指在单位时间内波所振动的次数，通常以赫兹（Hz）来衡量。
而波的周期是指波所振动完成一次周期所需要的时间，周期的倒数即为频率。
频率和周期是波的基本特性，对于同一类型的波，频率越高，周期越短。
2. 波长和波速波长是指波的一个完整振动周期所对应的距离，通常用λ表示，单位是米。
波长与频率成反比，即波长越短，频率越高。
而波速是指波传播的速度，它等于波长乘以频率。
在给定介质中，波速是恒定的，而波长和频率可以相互改变。
3. 幅度和能量传播波的幅度是指波的振动幅度的最大值或偏离平衡位置的最大距离。
幅度与波的能量传播有关，波的振幅越大，能量传播越强。
例如，在水波中，波浪的高度就是波的振幅，波浪越高，能量传播越远。
二、波动方程波动方程是用来描述波的运动和传播的数学公式。
具体形式和解法取决于波的类型和条件。
1. 一维波动方程一维的波动方程通常用于描述沿一条直线传播的波，其一般形式为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u是波在时刻t和位置x的位移；v是波的传播速度。
这个方程描述了波的传播过程中，位移随时间和位置变化的关系。
2. 二维和三维波动方程二维和三维的波动方程通常用于描述在平面或空间中传播的波，其形式更为复杂。
例如，在二维情况下，波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是波在时刻t和位置(x, y)的位移。
在三维情况下，波动方程还会多出一个偏导数项。
三、波的类型波可以分为多种类型，包括机械波和电磁波。
波动方程与波速 波的能量 惠更斯原理 波的反射与折射
波速小的媒质（光密媒质） 波速大的媒质（光疏媒质）
光密媒质→光疏媒质时， 折射角r >入射角 i ，会发生全反射现象。
光密u1(小)
i
光疏u2(大)
r
动能
v = ∂y = − Aω sinω(t − x )
∂t
u
d
Ek
=
1 2
∆ mv 2
=
1 2
ρ dV
⎜⎛ ∂y ⎟⎞2 ⎝ ∂t ⎠
= 1 ρ dVA 2ω 2 sin 2 ω ⎜⎛ t − x ⎟⎞
2
⎝ u⎠
势 能： 质元长度变化：Δy
质元线应变为
∆y ∆x
由胡克定律，应力为 f = Y ∆y ∆x
F = Y ∂y
S
∂x
Y杨氏模量
F1
=
SY
∂y ( ∂x )x
F2
=
∂y SY ( ∂x )x+∆x
F2
−
F1
=
SY[( ∂y ∂x
)x+∆x
−
∂y ( ∂x )x ]
=
SY
∂ ∂x
( ∂y )∆x ∂x
=
SY
∂2 y ∂x2
∆x
质元的质量 ∆m = ρ S∆x
质元的加速度
a
=
∂2y ∂t 2
（Δx很小）
u1 sin γ = u2 sin i
u2 > u1 ⇒ γ > i
i u1(小) u2(大) r
γ > 900 时，入射波全部反射
回原来介质，称为全反射
i = iC u1(小) u2(大) r = 90°
sin iC
=
u1 u2
波动基本概念-波函数-波的能量
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点(相邻同相点)之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。
, 取决于波源振动频率。
单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。
或
机械波的传播速度完全取决于介质的弹 性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和 介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传 播的机构。
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播 声波，就是由于这原因。
* 能量密度随时间周期性变化，
其周期为波动周期的一半。T
* 能量密度与振幅平方 A2 、频率平方 2
和质量密度 均成正比。
*任意时刻，体元中动能与势能相等，
即动能与势能同时达到最大或极小。 即同相的随时间变化。这不同于孤 立振动系统。
因为波是能量传播的一种形式
波是能量传播的一种形式
波动的能量与振动能量是有区别的。 孤立振动系统的质元动能最大时， 势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;
质元的速度
y
u
A sin[(t
量子力学中的波动方程与波函数解
量子力学中的波动方程与波函数解量子力学是描述微观世界中粒子行为的一套理论体系。
在量子力学中，波动方程与波函数解是非常重要的概念和工具。
本文将就量子力学中的波动方程以及如何求解波函数进行探讨。
一、波动方程的引入在量子力学中，波动方程用于描述粒子在时间演化过程中的行为。
波动方程的基本形式是薛定谔方程，也叫薛定谔波动方程。
它的一般形式如下：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数除以2π，Ψ是波函数，t是时间，H是系统的哈密顿算符。
二、波函数的物理意义波函数Ψ是量子力学中描述粒子的状态的函数。
它包含了关于粒子位置、动量等物理量的所有信息。
波函数的模的平方|Ψ|²表示了在某个位置上找到粒子的概率密度。
三、定态薛定谔方程在某些情况下，系统的哈密顿算符H并不显含时间变量。
这时，薛定谔方程可以简化为定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程的形式如下：HΨ = EΨ其中，E是能量本征值，Ψ是相应的能量本征函数或波函数。
四、波函数的求解方法对于简单的量子系统，我们可以通过求解薛定谔方程来得到波函数的解析表达式。
但对于一般的复杂系统，解析解往往难以获得，只能通过近似方法或数值计算来获得波函数的解。
数值方法主要包括薛定谔方程的数值求解和量子力学算符的数值模拟。
常见的数值方法有蒙特卡洛法、矩阵对角化方法、微扰理论等。
五、波函数解的物理意义和应用波函数解提供了关于粒子在量子力学体系中的行为的丰富信息。
通过波函数解，我们可以计算系统的能谱、态密度、相干性等物理量，并进一步研究系统的特性。
波函数解的应用非常广泛。
它在原子物理、凝聚态物理、量子信息等领域都有重要的应用。
例如，在原子物理中，通过求解氢原子的薛定谔方程，可以得到氢原子的波函数，从而计算能级和跃迁概率等物理量。
在凝聚态物理中，波函数解可用于研究晶体结构、电子能带等问题。
在量子信息领域，波函数解是研究量子计算和量子通信等问题的基础。
六、总结波动方程与波函数解是量子力学中的重要概念和工具。
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5) 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性
T 时间周期性
空间周期性
u T k
4. 波的几何描述 波线 波阵面(同相面)
波面
波前(波阵面)
波 线
平面波
球面波
平面波
球面波
例1 有一平面简谐波，其波函数为 y 0.02cos(10t 6 x ) (m) 试求：(1) 周期、频率、波长和波速；(2) 波谷经过原点的时刻； (3) t = 6s 时，各波峰的位置。
G<Y 2. 弦上横波
u横波< u纵波
T — 绳的初始张力 — 绳的线密度
u横
T
3. 流体纵波
k u纵 0
k —容变弹性模量
三、三维平面波波动方程
2 2 2 2 2 u ( ) 2 2 2 2 t x y z
四、固体棒中纵波的波动方程 1. 某截面处的应力、应变关系
( x , t ) A cos[ t
2
( x d ) a ]
o d
波速ｕ
参考点 a
任一点ｐ
一维简谐波的波的表达式
选:原点为参考点,初相a为零,则
·
x
·
x
( x , t ) A cos( t
2
x)
k u
2
称作角波数 (波矢)
x ( x , t ) A cos( t kx ) A cos ( t ) u
第五章 波动 (Wave)
振动在空间的传播过程叫做波动,机械振动在媒质的传播 形成机械波(Mechanical Waves)。 媒质中一质点做振动，通过弹性作用迫使邻近质点也在各自 的平衡位置附近振动起来。由此，一个质点的振动将由近而 远地在媒质中传播开，这就是弹性波。 §5.1 简谐波（Simple Harmonic Wave) 一、 波的产生和传播 1.机械波的产生 1) 产生条件: 波源 媒质 2) 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播
4) 表达式也反映了波是振动状态的传播
o
x
x
x ( t , x ) ( t , 0) u
或： (x+ x, t+ t) = (x,t) x=u t
即同一振动状态从原点传 到 x 处需经历x / u 时间。
其中 x=u t u
o t
t+ t
x
(x,t) cos( t-kx)
t x 或 ( x , t ) A cos 2 ( ) T
简谐波的表达式 (或称波函数)
3. 一维简谐波表达式的物理意义
由(x, t) cos( t-kx)从几方面讨论: 1) 固定 x, (x= x0)
( x 0 , t ) A cos( t kx 0 )
波速ｕ
参考点 a
o
d
·
任一点ｐ
·
x
x 已知: 参考点a 的振动表达式为 a(t，a )= f ( t ) ( f(t)为已知函数)
考虑p点:
a(t，a )= f ( t ) 波速ｕ
a点的振动传到p点 xd 所经历的时间为： t u o
参考点 a
d
·
任一点ｐ
·
x
x 平衡位置在 p 点的质点，在 t 时刻的位移等于平衡位 置在 a 点的质点在( t – (x-d) / u ) 时刻的位移，即：
2
1 wp Y 2 x
2
能量密度
1 1 w能 w k w p Y 2 t 2 x
2
2
2.平面简谐波的能量密度
x ( x, t ) A cos (t ) u
1 1 • 能量密度 w能 w k w p Y 2 t 2 x
x
u
t
o
x
• 不同时刻对应有不同的波形曲线 • 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况
二、 一维简谐波的表达式(波函数) 1.波函数（Wave Function)
媒质中各质点位移随时间与空间的变化规律的表达式 ------波函数 (t ,x)
讨论: 沿+x方向传播的一维简谐波(u ,) 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A )
动能
1 1 2 W k m Sx t 2 2
2
动能密度
W k 1 wk S x 2 t
2
F Y 由： S x
又：
可得：一段质元所受的弹性力 F Y S x
F k
x 0
u
2 Y 2 2 1 2 2 2 2 比较波动方程 2 x u t2 x t
§5.3 波的能量 (Total Mechanical Energy of Wave)
一、弹性波的能量 能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1.弹性波的能量密度 (以细长棒中传播的平面简谐波为例)
• 横波(Transverse Wave) • 纵波(Longitudinal Wave)
3) 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
· · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · ·t = T/2 · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·t = T · · · · · · · · · · ·· ·
xd xd p (t , x ) a (t , a ) f (t ) u u
沿x轴正方向传播的波的波函数
xd xd p (t , x ) a (t , a ) f (t ) u u
沿x轴负方向传播的波的波函数
2 . 一维简谐波表达式 (简谐波的波函数) （Wave Function for a sinusoidal Wave) 已知: 参考点a 做简谐振动， 其振动表达式为
可求得经过原点的时刻：t
例2 一平面简谐波沿x轴正向传播 波长 = 4m,周期T = 4s,已知x = 0处 质点的振动曲线如图所示。求： (1) 写出x=0处质点的振动表达式； (2) 写出波的表达式； (3) 画出t =1s时时刻的波形曲线。 解：1)由已知可得：
y/m
1 0.5
1 3 4 3 7 3 10 3 13 3
o
-1
t/s
2 (rad/s) T 2 u 1m/s A 1m 初位相为： 由振动曲线可得： 3 相速度为： T x = 0处质点的振动表达式为： y cos( t ) (m) 2 3 x 2）波的表达式为：y cos[ ( t ) ] (m) 2 u 3 y/m 整理后得： y cos( t x ) (m) 1 2 2 3 3）t =1s 的波形曲线为整个上面的波 t/s 8 o 2 形向前(右)传播/4空间距离。 3 3
x
o
x
x+x
x
自由状态 t 时刻
x截面
x+x截面
(x,t)
(x+x, t)
x段的平均应变: [(x+ x,t) - (x,t)] / x
x处截面 t 时刻 : 长应变为 /x；正应力为 F(x,t)/S 正应力 、长应变关系：
F Y S x
虎克定律
2. 波动方程
5 0.63s; v 1 1.6 Hz; 1.05m; u 1.67m / s T 3 T
（2）波谷为：y 0.02 cos(10t 6 x ) 0.02
2k 1 ( s) (k 0,1,2,3...) 10 y 0.02 cos(10t 6 x ) 0.02 （3）波峰为： k 10(m ) (k 0,1,2,3...) t = 6s 时波峰的位置： x 3
2. 波的特征量 1) 波长 : 两相邻同相点间的最小距离；
2) 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率， 即单位时间传过媒质中某点的完整波的个数；
3) 波速u : 单位时间波所传过的距离。
u
T
波速 u又称相速度 (相位传播速度)
波速取决于媒质的性质；而在波源相对媒质静止的情 况下，波的频率是由波源的频率决定的。
YS 可得： k x
该小段杆的弹性势能：
YS k x
2
1 1 YS 1 2 2 YSx W k k 2 2 x 2 x
W p 1 Y 势能密度 w p S x 2 x
棒中有纵波时
0
4
8
12
16
20
结论：
(1) 质元并未“随波逐流” ，波的传播不是媒质质元的传播； (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动； (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出 现---波是振动状态的传播； (4) 同相点----质元的振动状态相同。 相邻 波长 相位差2
o
x1
x
x2
x
F1
F Y S x x
F2 x2截面
· ·
(x,t)
截面S
2 ( Sx ) 2 F2 F1 , t
T 时间周期性
空间周期性
u T k
4. 波的几何描述 波线 波阵面(同相面)
波面
波前(波阵面)
波 线
平面波
球面波
平面波
球面波
例1 有一平面简谐波，其波函数为 y 0.02cos(10t 6 x ) (m) 试求：(1) 周期、频率、波长和波速；(2) 波谷经过原点的时刻； (3) t = 6s 时，各波峰的位置。
G<Y 2. 弦上横波
u横波< u纵波
T — 绳的初始张力 — 绳的线密度
u横
T
3. 流体纵波
k u纵 0
k —容变弹性模量
三、三维平面波波动方程
2 2 2 2 2 u ( ) 2 2 2 2 t x y z
四、固体棒中纵波的波动方程 1. 某截面处的应力、应变关系
( x , t ) A cos[ t
2
( x d ) a ]
o d
波速ｕ
参考点 a
任一点ｐ
一维简谐波的波的表达式
选:原点为参考点,初相a为零,则
·
x
·
x
( x , t ) A cos( t
2
x)
k u
2
称作角波数 (波矢)
x ( x , t ) A cos( t kx ) A cos ( t ) u
第五章 波动 (Wave)
振动在空间的传播过程叫做波动,机械振动在媒质的传播 形成机械波(Mechanical Waves)。 媒质中一质点做振动，通过弹性作用迫使邻近质点也在各自 的平衡位置附近振动起来。由此，一个质点的振动将由近而 远地在媒质中传播开，这就是弹性波。 §5.1 简谐波（Simple Harmonic Wave) 一、 波的产生和传播 1.机械波的产生 1) 产生条件: 波源 媒质 2) 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播
4) 表达式也反映了波是振动状态的传播
o
x
x
x ( t , x ) ( t , 0) u
或： (x+ x, t+ t) = (x,t) x=u t
即同一振动状态从原点传 到 x 处需经历x / u 时间。
其中 x=u t u
o t
t+ t
x
(x,t) cos( t-kx)
t x 或 ( x , t ) A cos 2 ( ) T
简谐波的表达式 (或称波函数)
3. 一维简谐波表达式的物理意义
由(x, t) cos( t-kx)从几方面讨论: 1) 固定 x, (x= x0)
( x 0 , t ) A cos( t kx 0 )
波速ｕ
参考点 a
o
d
·
任一点ｐ
·
x
x 已知: 参考点a 的振动表达式为 a(t，a )= f ( t ) ( f(t)为已知函数)
考虑p点:
a(t，a )= f ( t ) 波速ｕ
a点的振动传到p点 xd 所经历的时间为： t u o
参考点 a
d
·
任一点ｐ
·
x
x 平衡位置在 p 点的质点，在 t 时刻的位移等于平衡位 置在 a 点的质点在( t – (x-d) / u ) 时刻的位移，即：
2
1 wp Y 2 x
2
能量密度
1 1 w能 w k w p Y 2 t 2 x
2
2
2.平面简谐波的能量密度
x ( x, t ) A cos (t ) u
1 1 • 能量密度 w能 w k w p Y 2 t 2 x
x
u
t
o
x
• 不同时刻对应有不同的波形曲线 • 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况
二、 一维简谐波的表达式(波函数) 1.波函数（Wave Function)
媒质中各质点位移随时间与空间的变化规律的表达式 ------波函数 (t ,x)
讨论: 沿+x方向传播的一维简谐波(u ,) 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A )
动能
1 1 2 W k m Sx t 2 2
2
动能密度
W k 1 wk S x 2 t
2
F Y 由： S x
又：
可得：一段质元所受的弹性力 F Y S x
F k
x 0
u
2 Y 2 2 1 2 2 2 2 比较波动方程 2 x u t2 x t
§5.3 波的能量 (Total Mechanical Energy of Wave)
一、弹性波的能量 能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1.弹性波的能量密度 (以细长棒中传播的平面简谐波为例)
• 横波(Transverse Wave) • 纵波(Longitudinal Wave)
3) 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
· · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · ·t = T/2 · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·t = T · · · · · · · · · · ·· ·
xd xd p (t , x ) a (t , a ) f (t ) u u
沿x轴正方向传播的波的波函数
xd xd p (t , x ) a (t , a ) f (t ) u u
沿x轴负方向传播的波的波函数
2 . 一维简谐波表达式 (简谐波的波函数) （Wave Function for a sinusoidal Wave) 已知: 参考点a 做简谐振动， 其振动表达式为
可求得经过原点的时刻：t
例2 一平面简谐波沿x轴正向传播 波长 = 4m,周期T = 4s,已知x = 0处 质点的振动曲线如图所示。求： (1) 写出x=0处质点的振动表达式； (2) 写出波的表达式； (3) 画出t =1s时时刻的波形曲线。 解：1)由已知可得：
y/m
1 0.5
1 3 4 3 7 3 10 3 13 3
o
-1
t/s
2 (rad/s) T 2 u 1m/s A 1m 初位相为： 由振动曲线可得： 3 相速度为： T x = 0处质点的振动表达式为： y cos( t ) (m) 2 3 x 2）波的表达式为：y cos[ ( t ) ] (m) 2 u 3 y/m 整理后得： y cos( t x ) (m) 1 2 2 3 3）t =1s 的波形曲线为整个上面的波 t/s 8 o 2 形向前(右)传播/4空间距离。 3 3
x
o
x
x+x
x
自由状态 t 时刻
x截面
x+x截面
(x,t)
(x+x, t)
x段的平均应变: [(x+ x,t) - (x,t)] / x
x处截面 t 时刻 : 长应变为 /x；正应力为 F(x,t)/S 正应力 、长应变关系：
F Y S x
虎克定律
2. 波动方程
5 0.63s; v 1 1.6 Hz; 1.05m; u 1.67m / s T 3 T
（2）波谷为：y 0.02 cos(10t 6 x ) 0.02
2k 1 ( s) (k 0,1,2,3...) 10 y 0.02 cos(10t 6 x ) 0.02 （3）波峰为： k 10(m ) (k 0,1,2,3...) t = 6s 时波峰的位置： x 3
2. 波的特征量 1) 波长 : 两相邻同相点间的最小距离；
2) 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率， 即单位时间传过媒质中某点的完整波的个数；
3) 波速u : 单位时间波所传过的距离。
u
T
波速 u又称相速度 (相位传播速度)
波速取决于媒质的性质；而在波源相对媒质静止的情 况下，波的频率是由波源的频率决定的。
YS 可得： k x
该小段杆的弹性势能：
YS k x
2
1 1 YS 1 2 2 YSx W k k 2 2 x 2 x
W p 1 Y 势能密度 w p S x 2 x
棒中有纵波时
0
4
8
12
16
20
结论：
(1) 质元并未“随波逐流” ，波的传播不是媒质质元的传播； (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动； (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出 现---波是振动状态的传播； (4) 同相点----质元的振动状态相同。 相邻 波长 相位差2
o
x1
x
x2
x
F1
F Y S x x
F2 x2截面
· ·
(x,t)
截面S
2 ( Sx ) 2 F2 F1 , t