大学物理-波的能量

能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布 能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）
由上式可知——波的能量密度是随介质的空间坐标 x 和时 波的能量密度是随介质的空间坐标 由上式可知 w = ρA2ω 2 sin 2 ω(t − x ) 而周期变化的。 间 t 而周期变化的。 u 讨论： ）确定的介质质点（ 一定），能量变化的时间 一定）， 讨论：1）确定的介质质点（x一定），能量变化的时间 x π x 周期为 π ω 2 2 2）在同一时刻（t一定），能量密度在空间上的周 ）在同一时刻（ 一定），能量密度在空间上的周 一定）， λ 期为波长的一半。 期为波长的一半。
二、波的衍射 衍射（绕射） 波动在传播过程中遇到障碍物时 衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘继续前进的现象 能够衍射的条件： 能够衍射的条件：缝宽（对缝而言） 对缝而言）
a≤λ或Biblioteka 碍物的线度a≤λ三、波的反射和折射 1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射 、反射定律：波在媒质介面上传播时， 一平面内。 角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。
10--3波的能量
一、波的能量
波动过程中介质的质点并不随波移动， 波动过程中介质的质点并不随波移动，而是能量随着波动 向外传播出去，即波动过程是能量的传播过程。 向外传播出去，即波动过程是能量的传播过程。 那么，为什么说波动的过程是能量传播的过程呢？ 那么，为什么说波动的过程是能量传播的过程呢？ 由于在波动时， 由于在波动时，任一介质元与周围的介质质点之间有 相互作用的弹性力作功，通过作功就发生了能量交换， 相互作用的弹性力作功，通过作功就发生了能量交换，使 能量随波向前传递（任一介质元的能量是不守恒的）。 能量随波向前传递（任一介质元的能量是不守恒的）。 在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动， 在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时， 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的， 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，
2、波动过程中，体元中的动能与势能“同相”---同 、波动过程中，体元中的动能与势能“同相” 同 时达到最大，同时达到最小。 时达到最大，同时达到最小。 3、介质中无能量积累。 、介质中无能量积累。 4、传播振动形式和能量的波称为形波。 、传播振动形式和能量的波称为形波。
以横波为例定性说明 (注意与振动能量相区别 注意与振动能量相区别) 注意与振动能量相区别 动能、 同时达到最大值、最小值。 动能、势能 同时达到最大值、最小值。
形变最小 →0， ， 振动速度最小 →0
y
r u
a
b
x
形变最大， 形变最大，振动 速度最大
r u
y
B P A Q
x
质元A 质元 质元P 质元 质元B 质元 质元Q 质元
（填吸收、释放）能量 填吸收、释放） 填吸收、释放） （填吸收、释放） 能量 填吸收、释放） （填吸收、释放） 能量 （填吸收、释放）能量 填吸收、释放）
对球面波： 对球面波：
1 1 2 2 2 Q ρuω A S1T = ρuω 2 A2 S2T 1 2 2
S1 = 4πr12;
S2 = 4πr
2 2
∴ A r1 = A2r2 1
振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离 振幅与离波源的距离成反比。 的振幅为A则距波源 处的振幅为A/r 则距波源r 的振幅为 则距波源 处的振幅为 波的强度与距离的平方成反比。 波的强度与距离的平方成反比。 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数： 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
x
y + ∆y
x y = Acosω(t − ) 1）体积元的动能 ） u ∂y x v = = − Aω sin ω(t − ) ∂t u
1 1 x 2 2 2 2 ∆Ek = ∆mi v = ρ∆VA ω sin ω(t − ) 2 2 u
2）体积元的势能 ∆E ）
x
∆x
u
1 x 2 2 2 ρ∆VA ω sin ω(t − ) P = 2 u
下面就讨论波的能量问题 以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例， 以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能 量的传播作简单说明。 量的传播作简单说明。 x
y = Acosω(t − ) u 波动媒质中一体积元 ∆V 中的能量 y ∆x + ∆y
x
x
∆x
y + ∆y
u
ρ.Y ∆m i
y
∆V
∆x + ∆y S
i
介面
“1” “2” r
i i' ∠i = ∠i'
2、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射（媒质“1” 、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射（媒质“ 进入媒质“ ） 进入媒质“2”）时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等 到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之 比
sin i u1 = = n21 sin r u2
结论：在波动过程中能量以波的形式沿 x 方向以 u 向
前传播着。 前传播着。
2、平均能量密度--- 能量密度在一个时间周期内的平均值 、平均能量密度
1 T 2 2 2 x 1 2 2 w = ∫ ρA ω sin ω(t − )dt = ρA ω T 0 u 2
为了定量描述波动过程中能量的传播， 为了定量描述波动过程中能量的传播，引入能流和 能流密度的概念 3、能流---单位时间内通过介质中某面积的能量 、能流 单位时间内通过介质中某面积的能量
Qsin ω(t − ) = sin [ω(t + ) − ] u ω u
x+ 2)
x Qsin ω(t − ) = sin 2 ω(t − u
2
u
3）当 x、t都变化时，令 ） 都变化时， 、 都变化时
2 2 2
x x + u∆t 2 2 2 ρA ω sin ω(t − ) = ρA ω sin ω[(t + ∆t) − ] u u w u 表明： 表明：在 t 时刻的 x u∆t t时刻 点的振动能量密度在 t + ∆t时刻 ，传到了 t + ∆t时刻 x + u∆t处 x
1 x 2 2 2 3）体积元的总能量 ∆Ek = ρ∆VA ω sin ω(t − ) ） 2 u 1 x 2 2 2 ∆EP = ρ∆VA ω sin ω(t − ) 2 u x 2 2 2 ∆E = ∆EK + ∆EP = ρ∆VA ω sin ω(t − ) u 指出四点： 指出四点： 1、体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统）,能量以 、体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统） 能量以 U传播，方向与波传播方向相同。 传播， 传播 方向与波传播方向相同。
x = ρ∆VA ω sin ω(t − ) u 能流和能流密度（波强） 二、能流和能流密度（波强）
2 2 2
∆E = ∆EK + ∆EP
为了精确地描述波的能量分布， 为了精确地描述波的能量分布，引入能量密度 1、能量密度 介质中单位体积中的波动能量 、能量密度---介质中单位体积中的波动能量
∆E x 2 2 2 w= = ρA ω sin ω(t − ) ∆V u
证明： 对平面波： 证明： 对平面波： 在一个周期T内通过 1和S2面的能量应该相等 在一个周期 内通过S 内通过
QI1S1T = I2S2T,
S1 = S2 = S
1 1 2 2 2 ρuω A S1T = ρuω 2 A2 S2T 1 2 2
A = A2 平面波振幅相等，波的强度相同。 1 平面波振幅相等，
1 2 2 w uS 1 2 2 w = ρA ω I = = w = ρA ω u u 2 S 2
含义:描述波的能量强弱 含义 描述波的能量强弱. 描述波的能量强弱
分析平面波和球面波的振幅
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方 向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。 向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
A r y = cos[ω( t − ) + ϕ0 ] r u
应用程序
10--4惠更斯原理
一、惠更斯原理 惠更斯原理：介质中任一波阵面上的各点， 惠更斯原理：介质中任一波阵面上的各点，都可看成 是发射子波的波源，其后任一时刻， 是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹 就是新的波前。 就是新的波前。 根据这一原理，可以由某一时刻的波前 某一时刻的波前， 根据这一原理，可以由某一时刻的波前，用几何 作图的方法确定出下一时刻的波前位置， 下一时刻的波前位置 作图的方法确定出下一时刻的波前位置，从而确定出 波的传播方向。 波的传播方向。 若波在各向异性或不均匀介质中传播时， 若波在各向异性或不均匀介质中传播时，同样能 应用惠更斯原理找出波前，确定波的传播方向。但是， 应用惠更斯原理找出波前，确定波的传播方向。但是， 此时波前的几何形状和传播方向都可能发生变化。 此时波前的几何形状和传播方向都可能发生变化。
平均能流---单位时间内通过某面积的平均能量 平均能流 单位时间内通过某面积的平均能量
w uTS 1 2 2 P= = w = uSρA ω uS T 2
4、平均能流密度（波强） 、平均能流密度（波强） 通过垂直于波传播的方向的单位面积 单位面积的平均 通过垂直于波传播的方向的单位面积的平均 能流； 即单位时间内通过垂直于波动传播的方向的 能流； 单位面积中的平均能量。 单位面积中的平均能量。