振动和波的能量

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大学物理——第4章-振动和波

A sin1 + A sin2 2 tan = 1 A cos1 + A cos2 1 2
合成初相与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω

波的能量知识

A0 r0 r y= cos ω (t − ) r u
r1
式中r为离开波源的距离，A0为r = r0处的振幅。
小结：小结：波动能量 u 1 x 2 2 2 d dV内： Wk = ρdVA ω sin ω (t − ) 2 u dV 1 x S 2 2 2 dW p = ρdVA ω sin ω ( t − ) 2 u x 2 2 2 dW = ρdVA ω sin ω (t − ) u 不守恒 dW 1 2 2 平均能量密度：平均能量密度： w = = ρω A dV 2 1 2 2 2 能流密度（波强）：能流密度（波强）： I = ρ A ω u ∝ A 2
10、3 波的能量能流密度一波动能量的传播 1 波的能量波的传播是能量的传播，波的传播是能量的传播，传播过程中,媒质中的质点由不动到动，过程中,媒质中的质点由不动到动，具只动能 W K ,媒质形变具只势能 W P .
以固体棒传播纵波为例分析波动能量的传播. 固体棒传播纵波为例分析波动能量的传播传播纵波为例分析波动能量的传播
u= E
2
Sdx = dV dy ∂y 考虑到 y 是 x 和 t 的函数，故应是 dx ∂x ∂y ω x 1 2 ∂y 2 = A sin ω (t − ) dW P = u ρdV ( ) 而 ∂x u u 2 ∂x
ρ
E = u2ρ
1 x 2 2 2 dWP = ρdVA ω sin ω(t − ) 2 u
E 纵波 u = 固体：固体：
ρ ρ
G 横波 u =
弹性模量
杨氏模量：杨氏模量：
应力 F S E= = 应变 ∆L L
x d W = ρ d VA ω sin ω (t − ) u (2) 任一体积元都在不断地接收和 ) 放出能量，即不断地传播能量. 放出能量，即不断地传播能量任一体积元的机械能不守恒. 积元的机械能不守恒波动是能量传递的一种方式 .

波的能量

dV
u
波函数
y A cos (t x / u)
y A sin (t x / u) 质元振动速度 v t 1 2 •动能 dEk dm v 2 1 2 2 2 ( dV ) A sin (t x / u) 2
1 2 2 2 dEk ( dV ) A sin (t x / u) 2
2 2 2
三.平均能流、波强
1.平均能流
单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量。 u 在介质中取体积 V体，
波速方向垂直于面积S 长为 u ，则能流为
V体
u
S
P wV体 T/ T wuS 单位：焦耳/秒，瓦，J•s-1，W 与功率相同
1 2 2 P wuS A uS 2
2.平均能流密度----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量。
1 P 2 2 I wu A u 2 S
单位：J•s1•m2 ， W •m2
2 2 2
4.波动的能量与振动能量的区别
• 振动能量中Ek、EP相互交换，系统总机械能守恒。 •波动能量中Ek、EP同时达到最大，同时为零，总能量随时间周期变化。
二、能量密度 1.能量密度
dE w 单位体积内的能量 dV 2 2 2 dE ( dV ) A sin (t x / u)
2.波动的势能
由于介质发生形变而具有势能，可以证明体元内具有的势能与动能相同。
1 2 2 2 •势能 dEP ( dV ) A sin (t x / u) 2 同时达到最大平衡位置处 Ek、EP 同时达到最小最大位移处
3.波动的能量
dE dEk dБайду номын сангаасP

波的能量公式

波的能量公式波是运动性物体，它是由能量和物质的共同运动而产生的一种物理现象。

波的能量公式可以用来衡量波的能量，并用于计算物理学中波的性质和行为。

波的能量公式是：E = mc2，其中，E表示波的能量，m表示波的质量，c表示光速。

从这一公式可以看出，波的能量随着质量和光速的增大而增大，因此，如果想让波具有更大的能量，可以改变其质量或者以更大的光速来发出波。

由于波的能量受到质量和光速的影响，所以波的振动频率也受到相同的影响。

由于质量比光速大的多，所以改变波的质量更能明显改变波的振动频率。

例如，如果质量增大，波的振动频率也会随之增大，反之，如果质量减小，波的振动频率会随之减小。

另外，光速也会影响波的振动频率，但其影响不会像质量的影响一样明显。

另外，光速本身是一个恒定的值，并且随着距离的增加而减小，因此，光速对波的振动频率的影响也是一个“减弱”过程，也就是随着距离的增加，波的振动频率会逐步减小。

此外，波的能量公式还可以用于计算波的总能量。

例如，假设一个波可以被分解为多个独立的小波，那么这个波的总能量就可以通过将每个小波的能量加总得到。

也就是说，总能量=小波的能量之和。

最后，波的能量公式还可以用来计算波的机械能。

就是说，波的机械能=波的能量×波的振动频率。

由此可见，波的机械能主要取决于波的能量以及波的振动频率，而这两者又与波的质量以及光速有关，因此，波的机械能也受到质量和光速的影响。

综上所述，波的能量公式不仅可以用来衡量波的能量，而且还可以用来计算波的振动频率、总能量以及机械能，它同时还受到质量和光速的影响。

因此，运用波的能量公式，可以更深入的了解波的性质，从而有助于我们更好的使用它们。

《医用物理学》波的能量与波的衰减

3.5 波的能量与波的衰减
一、波的能量
定义：波传到的介质范围内所有质点的能量之和。
有一平面简谐波
y Acos(t x )
u
在x处取一体积元V 体积为 V 质量为m V
位置为，坐标x
振动能量：E EK EP
1)
EK
1 2
mv 2
1 2
VA2 2
sin2 t
x ， u
2)
EP
1 2
VA2 2
sin 2
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位
距离的振幅为A0,,则距波源r 处的振幅为？
A0 r , A A0
A 1
r
球面简谐波的波动方程：
y A0 cos[(t r ) ]
r
u
的振幅与离波源的距离成反比。
I1S1 I2S2 I1 4r12 I2 4r22
I1 I2
r2 2 r12
r1 r2
I1 I2
成反比,距波源越远，波强越小。
I 1 uA2 2
2
I1 I2
A12 A2 2
r2 2 r12
A1 r2 A2 r1
3.5 波的能量与波的衰减
A1 r2 A2 r1
t
x u
3.5 波的能量与波的衰减
结论：
E
EK
EP
VA2 2
sin 2
t
x u
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小
相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒，是时间t的函数
简谐振动
Ek
1 mA2 2 sin 2 (t
2
)
Ep

第五章振动与波基本知识点

o受迫振动振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。

受迫振动的频率等于驱动力的频率cos()d A t ψωϕ=+tF F d ωcos 0=当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。

这种现象称为共振。

共振2)若两分振动反相(位相相反或相差的奇数倍)x即 φ2φ1=(2k+1) (k=0,1,2,…)ox2x1T 2T合成振动3T 22T则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱, 合振幅最小;  如果 A1=A2，则 A=0t11同方向不同频率简谐振动的合成1、分振动为简单起见，令A1  A2  Ay1  A cos(1t   ),y2  A0 cos(2t   )2、合振动y  y1  y2  1  2    1  2  y   2 A cos  t    t   cos   2    2   合振动不是简谐振动12当1 、2很大且接近时, 2   1   2   1 令：y  A(t )cos  t2  1 )t 式中 A(t )  2 A0 cos( 2 2  1 cos  t  cos( )t 2随t 缓慢变化随t 快速变化合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动 当频率 1 和  2 相近时，两个简谐振动的叠加，使得合振幅时而加强、时而减弱，形成所谓拍现象。

13ψ1 t ψ2 t ψ t拍  拍：合振动忽强忽弱的现象。

 拍频：单位时间内强弱变化的次数。

1 拍  2 2  2  1   2   2 1      2 1  2 2 14波的产生与传播1、波的产生波：振动在媒质中的传播，形成波。

 产生条件：1) 波源—振动物体; 2) 媒质—传播振动的弹性物质.2、机械波的传播机理(1) 波的传播不是媒质中质点的运输, 而是“上游” 的质点依次带动“下游”的质点振动 (2) 某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某处出现——波是振动状态的传播153、机械波的传播特征 波传播的只是振动状态，媒质中各质点并未 “随波逐流”。

大学物理-波的能量

x
y + ∆y
x y = Acosω(t − ) 1）体积元的动能） u ∂y x v = = − Aω sin ω(t − ) ∂t u
1 1 x 2 2 2 2 ∆Ek = ∆mi v = ρ∆VA ω sin ω(t − ) 2 2 u
2）体积元的势能 ∆E ）
x
∆x
u
1 x 2 2 2 ρ∆VA ω sin ω(t − ) P = 2 u
形变最小 →0，，振动速度最小 →0
y
r u
a
b
x
形变最大，形变最大，振动速度最大
r u
y
B P A Q
x
质元A 质元质元P 质元质元B 质元质元Q 质元
（填吸收、释放）能量填吸收、释放）填吸收、释放）（填吸收、释放）能量填吸收、释放）（填吸收、释放）能量（填吸收、释放）能量填吸收、释放）
结论：在波动过程中能量以波的形式沿 x 方向以 u 向
前传播着。前传播着。
2、平均能量密度--- 能量密度在一个时间周期内的平均值、平均能量密度
1 T 2 2 2 x 1 2 2 w = ∫ ρA ω sin ω(t − )dt = ρA ω T 0 u 2
为了定量描述波动过程中能量的传播，为了定量描述波动过程中能量的传播，引入能流和能流密度的概念 3、能流---单位时间内通过介质中某面积的能量、能流单位时间内通过介质中某面积的能量
形变最小形变最大形变最大振动速度最大填汲取释放能量填汲取释放填汲取释放填汲取释放能量填汲取释放填汲取释放能量填汲取释放能量能流和能流密度波强二能流和能流密ep为了精确地描述波的能量分布为了精确地描述波的能量分布引入能量密度1能量密度介质中单位体积中的波动能量能量密word版本能量密度描述了介质中各点能量即振动能量的分布能量密度描述了介质中各点能量即振动能量由上式可知波的能量密度是随介质的空间坐标能量密度是随介质的空间坐标由上式可知争论

第三节振动合成物理专题波动方程和波的能量

13
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。

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2．以下说法中错误的有（） A.在简谐振动过程中，机械能一定守恒 B.机械能守恒的振动一定是简谐振动 C.振幅越来越小的振动一定是阻尼振动 D.振幅不变的振动一定是简谐振动
总结
• 物体振动时具有机械能。在振动过程中，物体通过平衡位置时动能最大，势能最小；在最大位移处势能最大，动能最小。
• 波是能量传递的一种形式。
A
B
（D）摆球由B C运动时，动能变大，势能变小。
●○○ BCD
点评
• 单摆（弹簧振子）在振动过程中机械能守恒。
• 远离平衡位置运动时，位移变大势能变大，而动能减小；反之，向平衡位置运动时，动能变大而势能变小。
• 在平衡位置只受重力和绳子拉力，在平衡位置C，拉力F=mg+mv2/L ,平衡位置时动能最大，即v最大，故F也最大。
8.5振动和波的能量
• 物体在做简谐振动的过程中，它的能量形式在不断地转换着。
弹簧振子：动能
弹性势能
单摆：动能
重力势能
例1 如图所示是单摆振动的示意图，正确
的说法是
（）
（A）在平衡位置摆球的动能和势能均达到最大值。
（B）在最大位移处势能最大，力最大，摆球速度最大。
振动分类
阻尼振动按振幅变化分
无阻尼振动
按形成原因分固有振动
受迫振动
3.在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B，而用手拉振子，放手后让其上下振动，其作60次全振动所用的时间是 30s，如果匀速转动把手，弹簧振子也可上下振动，若把手以30r/min的转速匀速
转动，当弹簧振子的振动稳定后，它的振动周期为 s，要想弹簧振子的振幅最大，把手的转速应为 r/s。
8.6 受迫振动
一、阻尼振动与无阻尼振动阻尼振动：振幅越来越小的振动无阻尼振动：等幅振动
二、受迫振动：在周期性外力策动下的振动思考：简谐振动与上述振动有何关系？
练习
1．单摆在空气中做阻尼振动，下列说法中正确的是（）。
A.振动的能量逐渐转化为其他形式的能 B.每一时刻动能都比前一时刻的小 C.每一时刻势能都比前一时刻的小 D.每一时刻机械能都比前一时刻的小