量子物理2_Schroedinger方程及其应用(谐振子)详解
量子力学中的量子振荡器和谐振子
量子力学中的量子振荡器和谐振子量子力学是描述微观世界的一门理论，它涉及到许多重要的概念和现象。
其中，量子振荡器和谐振子是量子力学中的两个基本概念，它们在量子力学的研究中起着重要的作用。
量子振荡器是一种能够在不同能级之间跃迁的系统。
它可以用来描述许多物理系统，比如光子、原子和分子等。
在量子力学中，量子振荡器的能级是量子化的，而不是连续的。
这意味着量子振荡器只能处于特定的能量状态，而不能处于连续的能量状态。
量子振荡器的能级之间的跃迁可以通过吸收或发射能量来实现。
当一个量子振荡器吸收能量时，它会从一个低能级跃迁到一个高能级；当它发射能量时，它会从一个高能级跃迁到一个低能级。
这种能级之间的跃迁是量子力学中的一个基本过程，它与光的发射和吸收有着密切的关系。
谐振子是一种特殊的量子振荡器，它的能级之间的能量差是等差的。
谐振子在量子力学中有着广泛的应用，比如描述原子核的振动和分子的振动等。
谐振子的能级结构可以通过解谐振子的薛定谔方程来得到，其中包含了谐振子的势能和动能。
谐振子的能级之间的跃迁可以通过激发和退激发来实现。
当一个谐振子被激发时，它会从一个低能级跃迁到一个高能级；当它被退激发时，它会从一个高能级跃迁到一个低能级。
谐振子的能级之间的跃迁也是量子力学中的一个基本过程，它与光的散射和吸收有着密切的关系。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程可以通过量子力学的数学工具来描述。
量子力学使用波函数来描述量子系统的状态，波函数的演化可以通过薛定谔方程来描述。
在量子力学中，波函数的模的平方给出了系统处于不同能级的概率。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程也可以通过实验来观测和验证。
实验可以利用光的发射和吸收等现象来研究量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程。
实验结果与理论预测的一致性可以验证量子力学的有效性和准确性。
总之，量子振荡器和谐振子是量子力学中的两个基本概念，它们在描述微观世界的物理系统中起着重要的作用。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程可以通过量子力学的数学工具来描述，并可以通过实验来观测和验证。
量子谐振子
量子谐振子
随着科学技术的进步，材料科学也发展得越来越快。
量子谐振子技术是其中的新技术，它具有很多优点，可以提高材料的性能。
本文将详细介绍量子谐振子的原理和应用。
量子谐振子技术是利用原子对辐射产生谐波而获得的一种技术，它把原子在高能状态与低能状态之间产生的单重谐波能转换成可以
用来控制材料特性的多重谐波能。
量子谐振子的基本原理是，当原子穿过某些材料时，它们会受到特定的辐射，这种辐射是由量子物理学中称为“量子谐振子”的谐振效应引起的。
这种谐振作用能够控制原子在不同能量状态之间的转变，从而调节材料的特性，如温度、强度等。
量子谐振子技术可以控制材料的特性，如拉伸、疲劳、抗冲击、抗湿变形等性能。
在工业应用中，由于量子谐振子可以提高材料的抗冲击性，因此广泛用于航空航天工程、军工工程、与其他特殊环境的高性能材料的研制。
量子谐振子也在汽车、微电子、电子元器件等领域得到了广泛应用。
此外，量子谐振子还广泛用于生物技术领域，用于识别和检测抗原和抗体、蛋白质结构和功能、生物物质及活性物质的组织、细胞器等研究中。
此外，量子谐振子技术更新换代可以改善医学检测、医疗治疗以及对药物的筛选，提高医疗效果。
随着科技的发展，量子谐振子技术应用范围越来越广，在各个领域均“贴”出自己的身影。
量子谐振子可以提高材料性能，广泛应用
于航空航天、军工、汽车、微电子、生物、医疗等领域，具有重要的科学和应用价值。
未来，量子谐振子技术必将发挥更大的作用，为更多的材料科学领域做出更多的贡献。
量子力学中的量子振荡与谐振子
量子力学中的量子振荡与谐振子量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它与经典力学有着根本的区别。
在量子力学中，粒子的行为不再是连续的，而是离散的。
量子振荡和谐振子是量子力学中的两个重要概念，它们在研究微观粒子的行为和性质时起着关键作用。
首先，让我们来了解一下量子振荡。
在经典力学中，振荡是指物体在平衡位置附近的周期性运动。
而在量子力学中，由于粒子的行为是离散的，振荡的性质也有所不同。
量子振荡是指粒子在量子态之间的跃迁过程，它是量子系统中的一种基本行为。
量子振荡可以通过量子力学中的哈密顿量来描述。
哈密顿量是描述量子系统能量的算符，它包含了粒子的动能和势能。
在哈密顿量的作用下，量子系统的态会发生变化，从一个量子态跃迁到另一个量子态。
这种跃迁过程就是量子振荡。
一个典型的量子振荡系统是谐振子。
谐振子是量子力学中的一种理想化模型，它具有简单而规律的振动行为。
谐振子的哈密顿量包含了粒子的动能和势能项，其中势能项是一个二次函数，对应于弹簧的势能。
谐振子的量子态可以用波函数来描述，波函数的形式是一个高斯函数，它表征了粒子在谐振子势场中的分布。
谐振子的量子态可以通过量子数来描述。
量子数是量子系统的一种特征，它决定了系统的能量和其他性质。
谐振子的量子数包括主量子数、角量子数和磁量子数。
主量子数决定了谐振子的能量级，角量子数决定了谐振子的角动量，磁量子数决定了谐振子在磁场中的行为。
谐振子的量子态之间的跃迁可以通过产生湮灭算符来描述。
产生湮灭算符是量子力学中的一种数学工具，它用来描述粒子的产生和湮灭过程。
在谐振子系统中，产生湮灭算符可以将一个谐振子的量子态变换为另一个谐振子的量子态，从而描述了谐振子的量子振荡。
谐振子的量子振荡还可以通过能谱来研究。
能谱是描述量子系统能量分布的一种方式，它可以用来表示谐振子的不同能级。
谐振子的能谱是离散的，能级之间的间隔是固定的，这与经典力学中连续的能谱有着明显的区别。
谐振子的能谱可以通过解谐振子的薛定谔方程来得到，薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。
物理-经典力学和量子力学中的谐振子
致谢…………………………………………………………………………………………13
经典力学和量子力学中的谐振子
摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。
而且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)
若定义 ，则方程可以写为： (1.1.4)
又因为： (1.1.5)
然后代回（1.1.4）式，得到：
对方程积分，得： (1.1.6)
其中K是积分常数，设 ，得到：
(1.1.7)
再对方程积分，结果（包括积分常数 ）为：
(1.1.8)
并有一般解为：
(1.1.9)
(2.8)
x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
.(2.9)
利用上面关系，我们可以证明如下等式：
(2.10)
于是引入一个厄米算符
(2.11)
即：
(2.12)
既然与 有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记 的一个本征值为n的本征态为 ：
(2.13)
则
，(2.14)
表示 态的能量本征值为：
(2.15)
关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态
Abstract：Harmonic oscillator is importantin bothclassical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillationwidely existsin nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillatorsystem.In this paper, wemainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevantpropertyof one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator,anditscoherent state in quantum mechanics,finally compareharmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.
schrodinger方程
Schrödinger方程简介Schrödinger方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了量子系统的演化和波函数的行为。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，因此也被称为薛定谔方程。
Schrödinger方程是一个偏微分方程，用于描述粒子在势场中的运动。
它以波函数（或称为量子态）作为基本变量，并通过该波函数来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。
通过解析或数值方法求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在不同状态下的能量、位置以及其他物理性质。
方程形式Schrödinger方程可以根据系统的性质和假设而有所不同。
下面是一般形式的时间依赖Schrödinger方程：其中，•ψ是波函数，表示粒子在空间中的状态；•i是虚数单位；•ℏ是约化普朗克常数；•∂ψ/∂t表示波函数随时间的变化；•H是哈密顿算符，描述了系统的总能量。
这个方程可以看作是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程的量子化。
波函数解释波函数ψ是Schrödinger方程的解，它包含了关于粒子位置和动量的所有信息。
根据波函数的模值平方|ψ|^2，我们可以计算出粒子在不同位置上的概率分布。
这意味着波函数并不直接表示粒子的位置，而是给出了可能找到粒子在某个位置上的概率。
由于波函数是复数，我们无法直接观测到它。
但是通过测量物理量（如能量、动量等），我们可以得到与波函数相关的实际结果。
哈密顿算符哈密顿算符H在Schrödinger方程中起着关键作用。
它描述了系统的总能量，并且根据系统性质和假设有不同形式。
例如，在自由粒子情况下，哈密顿算符可以写为动能项和势能项之和：其中，•T表示动能算符；•V表示势能。
通过将哈密顿算符应用于波函数，我们可以得到Schrödinger方程的具体形式，并进一步求解波函数。
解Schrödinger方程求解Schrödinger方程是理解量子力学中物理系统行为的关键。
苏汝铿量子力学讲义第二章波函数和Schroinger方程
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征谱性质
•
振荡解,连续谱,二度简并,散射态
•
指数衰减解
振荡解
本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
• 简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
➢ 多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
▪ 动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
➢
可描写体系状态,
也可描写体系状态
是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
➢
代表在
出现单色平面波
态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
➢ 处在
的粒子,动量无确定值
2 2
2n 1
n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
2n
3
2
n4
n
1 2
n!
2 n2
n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
§2.3 薛定谔方程
➢ 力学量用算符表示 ➢ 两个惯例
1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程
Schrdinger方程
(9)
ψ * × (7)式-ψ × (9)式 ,得 由
2 ∂ * * 2 2 * i (ψ ψ ) = − 2m (ψ ∇ ψ −ψ∇ ψ ) ∂t
=−
2
2m
∇ ⋅ (ψ *∇ψ −ψ∇ψ * )
(10)
1.2
Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 将上式在空间区域
τ
中积分,由 Gauss 定理,可得
1.2 Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 由式(20)可以看出 在 t 时刻于空间 r 点找到粒子的概率波幅 ψ ( r , t ) 是 t ′(≤ t ) 时刻粒子在空间中各 r ′ 点的概率波幅传播 到 r 点后的相干叠加.
1.2
Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
(12)
(13)
ρ
表示概率密度, j 表示概率流密度.
1.2 Schrödinger 方程
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 因此,式(11)可化为
d ∫τ ρ dτ = − ∫ S j ⋅ dS dt
(14)
上式左边代表在闭区域 τ 中找到粒子的总概率 (或粒子数)在单位时间内的增量,而右边(注意负号!) 则应表示单位时间内通过 τ 的封闭表面 S 而流入 τ 内的概率(粒子数). 所以 j 具有概率流(粒子流)密度的意义,是一 个矢量.
借助于传播子 G ( r , t ; r ′, t ′ ) ,体系在时刻 t 的状态 ψ ( r , t ) 可由时刻 t ′(≤ t ) 的状态 ψ ( r ′, t ′ ) 给出. 对于自由粒子,这个传播子由式(21)明显给出. 可以证明
线性谐振子Schroedinger方程的波包解
一ｚ ｎ ， ｎ（ ‘ ）
， ０ １２３ … ． ｎ＝ ，， ，，
（ ２ ）
口＝
， ∞＝ｖ 厂
为 了得 到 可与 相 应 的经典 运 动解 相 比较 的量 子 波包 解 ， 我们 必 须转 向含时 薛定 谔 方程 ． 谐 振子 含 时薛 简
访
收 稿 日期 ：０ ２—０ —２ ２０ ３ ０
或脉动 ．
关键 词 ： 谐振子 ； 薛定谔方程 ； 相干态 ； 波包
中 图分 类号 ：４ ３１ Ｏ １．
文献 标识 码 ： Ａ
简谐 振 子是 一 种简 单 的运 动模 型 ， 谐振 子 的运 动 可 以作 为 许 多 复 杂 运 动 的基 础 ． 因此 ， 是 一 个有 广泛 它 应 用 价值 的重 要 课题 ． 多 经典 力 学 和量子 力 学教 科 书 中都包 含 有 对这 个课 题 的 一些 讨 论 ． Ｓｈｔ ｉ ｅ 方 许 在 ｃｒ ｎ ｒ ｉ ｇ ｄ 程建 立之后 ， 谐振 子 问题 成 为少 数几 个 可 以精 确求 解 的 问题 之 一 ． ． 过 ， ２不 Ｊ 在一 般 量 子 力 学 的讨 论 中 ， 常 通 是将 经典 谐振 子 的 位 置几 率密 度 与量 子谐 振 子各 本 征态 的模 方 相 比较 ． 是这 种解 释最 近开 始受 到 批评 ］ 但 ３．
作 以 同样 方 式运 动 的量 子 波包 ．
高斯 波包 解 ． 在许 多 参考 文献 中叫作 相 干 态解 ｌ ； 它 ４ 然后 通过 将 简谐 振 子 的线性 Ｓｈｆ ｉ ｅ 方程 分 解 成 两 个 ｃｒｄｎ ｒ ｇ 相互 耦合 的非线 性 方 程 的方法 ， 了可 以得 到相态 的 波包 解 ． 除 还 最
２２ ０
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P(x) n(x) 2
n1 n 10
n2 n 20
En
(n 1) 2
E0 0
E0
1 2
[电磁场量子化理论获得的结果是 En (n 1 2) 不是Planck假设的 En n ]
旧量子论中没有零点能的概念，这是由量子力 学给出的新结果。但可以理解，零点能的存在是为 遵守不确定关系必须的最小能量。
如果最小能量为零，则意味着粒子完全静止， 即 r 0 ; p 0 ，不确定关系破坏。
Shrödinger方程的应用（2）：一维谐振子
1.势能函数
在经典力学中，只要某一个实体在其稳定平衡 点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述
它，振子的振动频率为ω 。若振子离开平衡位置位
移了x0 后作简谐振，总能量 E 正比于 x02 。 若选取振动的平衡位置为坐标原点，并选取其
为势能的零点，则振动的势能函数为
U
(x)
1 2
kx 2
1 2
m 2 x2
m — 振子质量
ω— 固有频率
x — 位移
分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似 地看作处于以平衡位置为中心的弹性力场中。
例如：双原子分子中两原子
间的势能 U是其间距 r 的函数。
在稳定平衡点r = r0 处，势能有 一极小值U0。在这点附近，U(r)
r0
光被晶体散射的实验证实了零点能的存在。
光被晶体散射是由于晶体中原子的振动。按量 子力学以前的理论，当温度趋向于绝对零度时，原 子能量趋于零，即原子趋于静止，这时就不会引起 光的散射。
实验结果是，温度趋向于绝对零度时，散射光 的强度趋向于某一不为零的极限值。
可见，即使在绝对零度，原子仍有零点振动。
此外，引起表面张力、吸附作用等现象的分子 间的范德瓦尔斯力，也只有用零点能才能得到很好 的解释。
H ( ) ck k , k0
Байду номын сангаас
ck 2
2k ( 1)
(k 2)(k 1)
ck
给定两个任意常数c0和c1 ，就可获得两个独立解。
函数 H( ) 能表达成级数形式，要求此级数必
须能收敛。可是，当 k 时，ck2 / ck ~ 2 / k ，即
所得的 H( )会与exp( 2 ) 2k / k ! 的相邻系数比
3.能量量子化
由 2E
及 2n 1 n 0,1,2,
得线性谐振子的能量[本征值]为
En
(n 1 ),
2
n 0,1,2,
讨论
①量子线性谐振子的能量只能取分立值
②相邻能级差均匀 En1 En
③存在零点能(基态能量)：
E0
1 2
零点能
普朗克量子化假设 En n
量子力学结果
(
x)
2m
2
(E
1 2
m
2
x
2
)(
x)
0
引入无量纲变量 x x0
d2
d 2
2m
x02
2
E
m x02
2
2
0
选择
x0
,
m
记
2mx02 E
2
2E
则
d2
d 2
(
)
(
2
)(
)
0
求解此变系数二阶常微分方程，就可获得波函数。
d 2
d 2
(
2
)
0
考察波函数(在) 时的渐近行为，发现它在 时很接近 或 。注意到e波 2函2 数的e标 2准2 条件（概
4. 一维线性谐振子的波函数
回到变系数二阶常微分方程
d 2
d 2
(
2
)
0
对应不同的 2n 1 ，方程有不同的解 Hn( ) Hn( ) 称为厄米多项式，可用下式表示
Hn( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dH n ( d
)
2nH n1 (
)
Hn1( ) 2 Hn( ) 2nHn1( ) 0
可以展成( r -r0 )的幂级数。
由于 U (r) 0 ，
r rr0
U(r)
U0
k 2
(r
r0 )2
这正是线性谐振子的势能形式。
在经典物理中，由于谐振子的位移 x 是任意 的，因此谐振子的能量E 可以具有任意连续值。
量子力学对原子的振动又是如何描述的呢？
2. 一维谐振子的定态薛定谔方程
d2 dx 2
相同，这样得到的
k0
( ) H ( )e 2 2 ~ e e 2 2 2 e 2 2
在 时仍然会是发散的，除非----
1 2n, n 0,1,2,
这样，在某n项之后的ck都为0，即 H( ) 截断为一个 多项式 Hn( ) --称为Hermite多项式。 也就是说，只有当 2n 1 时原方程才有合理解。
所以最终解，即对应于能量En的波函数为
2 x2
n( x) NnHn( x)e 2
其中
m
Nn (
)1 2 2n n!
─ 归一化常数
对这个结果，我们通过计算机作图来了解它的特征
n0 n2
n1 n3
同样能量的经典谐振子，其运动范围由红线表示。
在经典力学中，一个谐振子在x→x + dx 的区域
率密度必须有限），只会是
( ) e 2 2 . 故此将波函数写成如下形式 ( ) H ( )e 2 2
于是 H( ) 应满足方程
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H
0
-- Hermite 方程
此方程可以采用级数法求解， H ( ) ck k
系数ck满足的递推关系
k0
2k ( 1)
ck2 (k 2)(k 1) ck
内找到质点的概率P(x)dx 与质点在此区间逗留的时
间成dt 正比
P( x)dx dt T
相应的概率密度为 P( x) 1 1 Tdx / dt Tv
对于经典谐振子 x Acos(t )
v
Asin(t
)
A(1
x2 A2
)
1 2
所以
x2 1 P( x) (1 A2 ) 2
按量子力学，粒子出现的概率密度为