三维各向异性谐振子的能级简并
谐振子的能级特性与对称性分析
谐振子的能级特性与对称性分析陈绍敏（湖北大学物理学与电子技术学院 2002级物理学）引 言在经典力学中，谐振子是被约束在一根轴线上运动的粒子，作用在它上的是恢复力，它与粒子的位移成正比，它的解是众所周知的，它的运动是一种正弦运动，它在原点附近振荡，相应的量子力学问题是质量为μ，角频率为ω的一维粒子具有哈密顿量)(212222q P H ωμμ+=的问题，位置变量q 和动量p 由对易关系i p q =],[联系本文将研究质量为μ的k 维粒子上有哈密顿量∑=+=ki i i q p H 12222)(21ωμμ的问题，特别是将用群论观点来研究谐振子的能级简并度特性与对称性分析。
§1 二维各向同性谐振子的态函数及能级特性（1）采用平面极坐标，二维谐振子势能2221)(ρμωρ=V（1）Schrödinger 方程为ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂-E 22222221112ρμωϕρρρρρμ （E>0） （2） 令 )(),(ρϕρϕR e im =ψ（3）采用自然单位1===ωμ ，自然单位中各特征量如下 谐振子势中的特征量则径向方程表示为0)()2(122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+ρρρρρρR E m d d d d （E>0） （4）0→ρ时变为0)(12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ρρρρρR m d d d d （可参看径向方程的解在奇点0=r 邻域的行为） 令s R ρ∝，代入上式，得022=-m s所以 ||s m =±可以证明，0→ρ时渐进行为||m R -∝ρ的解是物理上不能接受的，予以抛弃，故||)(m R ρρ∝ )0(→ρ当∞→ρ，得0)(222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρρρR d d 所以[]2/exp )(2ρρ±∝R ，而满足束缚态边界条件的解只能取2()exp 2R ρρ⎡⎤∝-⎣⎦，所以 ||2()exp 2()m R u ρρρρ⎡⎤=-⎣⎦代入（11）式，得()0]1||22[21||222=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++u m E d du m d u d ρρρρ （5） 再令 2ρξ=（6） 得 ()0221||1||22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++u E m d du m d u d ξξξξ（7）上式是合流超几何方程，它在0=ξ邻域的解析解表为),,(ξγαF ，相应参数为 221||E m -+=α1||+=m γ（8）束缚态边界条件要求,221||ραn Em -=-+=,2,1,0=ρn所以二维各向同性谐振子的能量本征值为)1||2(++=m n E ρ（自然单位）或 ,2,1,0||2),1(=+=+=m n n n E n ρ （9）未归一化的波函数为),1||,(),(2||ρρϕρψρϕρ+-∝m n F e m im m n（10）不难求出能级n E 的简并度为,3,2,1)1(=+=n f n（11）（2）二维各向同性谐振子还可以分解成二个彼此独立的一维谐振子，采用直角坐标，因各向同性，其振子强度0ωωω==y x ，故()222021y x V +=μω 相应的能量 002121ωω ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x n n n n E yx0)1(ω +=n E n y x n n n +=,2,1,0,,=n n n y x对于给定n ，有n n x ,2,1,0=相应的 0,2,1, --=n n n n y所以有)1(+n 个量子态y x n n ψ，能级n E 的简并度为)1(+=n f n 2,1,0=n与（11）式同关于能级简并度与对称性的关系，前人指出过，系统出现简并，往往意味着与Hamilton 量的对称性相联系。
三维谐振子在均匀磁场 能量本征值
三维谐振子在均匀磁场能量本征值三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值是一个重要的物理问题，它在量子力学中有着广泛的应用。
本文将围绕这个主题展开讨论，并探讨其相关的物理现象和理论。
我们需要了解什么是三维谐振子。
三维谐振子是指一个粒子在三个相互垂直的方向上受到恢复力的作用而产生的振动系统。
在经典力学中，三维谐振子的运动可以描述为一个简谐振动。
而在量子力学中，三维谐振子的运动则需要用到薛定谔方程来描述。
在经典力学中，三维谐振子的能量是连续的，而在量子力学中，能量是量子化的，只能取离散的数值。
当一个三维谐振子置于一个均匀磁场中时，磁场将对其产生影响。
这是因为磁场可以通过与谐振子的轨道运动相互作用，改变谐振子的能量。
这种相互作用被称为磁偶极子相互作用。
磁偶极子相互作用的起源是由于谐振子带有磁矩。
磁矩是描述物体磁性的物理量，它与物体的旋转和轨道运动有关。
当谐振子带有磁矩时，它会受到磁场的力矩作用，并发生能级的改变。
根据量子力学的理论，三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值可以通过解薛定谔方程得到。
薛定谔方程描述了系统的波函数随时间的演化，从而确定了系统的能量本征值。
在求解薛定谔方程时，我们可以采用分离变量法，将三维谐振子的波函数表示为三个坐标的乘积形式。
然后将波函数代入薛定谔方程，通过求解得到能量本征值和对应的波函数。
通过解薛定谔方程，我们可以得到三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值的表达式。
这个表达式与磁场的强度、谐振子的质量和频率等参数有关。
不同的参数取值会导致能量本征值的变化，从而影响谐振子的行为。
三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值的研究对于理解量子力学中的基本原理和应用具有重要意义。
它不仅为实验提供了理论依据，也为相关技术的发展提供了指导。
在实际应用中，三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值可以用于研究原子、分子和凝聚态物质的性质。
例如，在核磁共振成像中，磁场对原子核的能级结构产生影响，从而使得原子核能够吸收和发射特定频率的电磁波，实现成像。
三维谐振子的能级简并度
三维谐振子的能级简并度三维谐振子是量子力学的一个重要模型，用来描述具有三个自由度的谐振系统。
它可以用来研究原子、分子、固体物质等多种系统的能量结构和性质。
能级简并度是指具有相同能量的态的数量，对于理解系统的性质具有重要的意义。
首先，让我们了解什么是谐振子。
谐振子是一个具有恢复力的系统，当受到外力扰动时，它会回到平衡位置附近，形成周期性的振动。
在三维谐振子模型中，它具有三个坐标自由度，分别对应于空间的三个维度。
这三个自由度可以描述为x、y和z方向上的位移。
对于一个具有三个自由度的谐振子，它的能级简并度可以通过求解谐振子的本征态得到。
本征态是系统能量的特定解，对应于具有确定能量的态。
能级简并度指的是具有相同能量的本征态的数量。
在三维谐振子中，每个能级可以用三个整数（nx、ny和nz）来表示，分别对应于x、y和z方向上的量子数。
能级简并度可以通过对这些量子数进行组合得到。
例如，对于能量为E的某个能级，我们可以找到满足以下条件的整数解（nx，ny，nz）：(nx + 1) + (ny + 1) + (nz + 1) = E我们可以将能级简并度定义为满足这个条件的整数解的数量。
根据这个方程，我们可以发现nx、ny和nz的取值范围与能级E有关，但满足该条件的整数解并不唯一。
因此，能级简并度是通过组合nx、ny和nz的不同取值得到的。
三维谐振子的能级简并度与能量的关系可以通过计算得到。
对于任意的能级E，我们可以计算满足(nx，ny，nz)条件的整数解的数量。
由于nx、ny和nz是非负整数，因此能级简并度是一个非负整数。
能级简并度的计算可以通过数学方法或计算机模拟来实现。
能级简并度在研究物体的量子性质时具有重要意义。
它反映了系统的对称性和相互作用。
对于一个具有高能量简并度的系统，它的量子态将更加多样化和复杂化。
例如，对于具有较大能量的谐振子，能级简并度将比低能级的谐振子更高，对应着更多的量子态。
这将导致谐振子在热力学平衡态下具有更多的熵，即更多的微观状态数。
能级的简并度
对s态，l=0,m=0 故 磁矩为0，电流为0。
另外，由上式可知
Mz e m 2c
m为轨道角动量的z分量。
上式比值称为回转磁比值或g因子
取 e 2c 为单位，则g因子为 1。
5、类氢离子
类氢离子，如 He ， ， Li Be
共同特点： 原子实 + 一个核外电子 上述结果也都适用。 只需 ①核电荷+e→+Ze 或e2→+Ze2 ②约化质量μ →相应的约化质量 比如对能级公式 4 2 4 e Z e En 2 2 En 2 2 2 n 2 n 作业：p189, 1,3,4
j 是绕z轴的环电流密度。
见右图。 通过dσ的电流元为
dI j d
对磁矩的贡献为 dM z SdI/c
（光速c是由高斯单位制所带来的常数）
其中 S (r sin ) 2 是环面积。 因此总磁矩为 1 1 M z SdI r 2 sin 2 j d c c em | nlm |2 2r sin d 2c
利用球坐标中
1 1 ˆ ˆ ˆ er e e r r r sin 容易求出 j 的各分量 ie * * j ( nlm nlm nlm nlm ) 对 2
含 部分是Pl (cos )亦为实。
m
考虑到波函数中含 r 部分 Rnl (r ) 为实，
z y
z y
z
y
s电子
p电子
4、电流分布与磁矩
由几率流密度分布表达式
i * * j ( nlm nlm nlm nlm ) 2
（表示单位时间通过某一截面的粒子数）
可得电子的电流密度（电子荷电量-e)
能级简并度
讨论：1、能级的简并度对能级2022na e E n -=，n 为主量子数。
及波函数),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中1--=r n n l 。
由于 ,2,01=r n ，所以1,,2,1,0-=n l 相应的有0,,2,11 --=--=n n l n n r而对于给定的角动量l ，磁量子数m 可有2l +1个取值，即l l l m ----=,,2,1,0,,1,即对于给定的n （能级一定）1,,2,1,0-=n l ， 而对于给定的l ，l l l m ----=,,2,1,0,,1, 因此属于n E 能级的所有简并量子态nlm ψ数目为2121)12(1)32()12()12(n n n n n l n l =⋅+-=++-+-=+∑-= (等差数列) 能级E n 的简并度为21)12(nl n l =+∑-=比起一般中心力场的简并度2l +1要高。
一般中心力场粒子的能级l n r E 依赖于量子数r n 和l 但库仑场中，E n 粒只依赖于n ，但是n =n r +l +1故 能级E n 除了对m 简并，对l 也是简并的。
所以库仑场具有更高的对称性。
（对称元素越多，对称性越高，简并度越大） 从径向方程的求解过程可以看出，这是rr V 1)(∝导致的。
2、径向位置几率分布态),,(ϕθψr nlm 中，在dr r r +→球壳内找到电子的几率为r r r r r R r r nl nl nlmd )]([d )]([d d ||22222χψ==Ω⎰rd r两个等号分别对应：角向部分积分掉，rr r R nl nl )()(χ=)(r nl χ的节点数（不包括0=r 和∞=r ）为1--=l n n r其中n r =0称为圆轨道----无节点。
可以证明，此时21,|)(|r n n -χ的极值点所在位置为a n r n 2=， ,3,2,1=nn r 称为最可几半径。
磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量的对角化
磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量的对角化摘要：本文主要研究了磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量对角化问题的处理方法。
文中首先介绍了谐振子系统及其相关的理论知识以及与其相关的数学知识，给出了磁场中三维各向异性谐振子的哈密顿量, 建立了磁场中三个质量相同，频率不同，各向异性带电谐振子量子系统。
其次，通过对三维各项异性谐振子哈密顿量在磁场中对角化的研究，了解到这些耦合谐振子的运动方程不仅可以由海森伯运动方程表示还可以用薛定谔方程的相似形式很好的表现出来。
通过一定的变换使海森伯运动方程解耦合，从而利用这些结果也使哈密顿量对角化。
最后通过计算给出磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量对角化的具体形式。
关键字：谐振子；哈密顿量；矩阵；对角化目录引言 (1)1 相关知识介绍 (2)1.1数学方法运用于对角化 (2)1.1.1线性谐振子问题研究 (2)1.1.2 关于矩阵的对角化 (2)1.2 量子力学基础知识 (2)1.2.1 薛定谔方程的表示形式 (2)1.2.2 海森伯运动方程 (3)1.2.3 算符的引入 (3)2 磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量的对角化 (4)2.1 磁场中三维各向异性谐振子的哈密顿量 (4)2.2 对易关系的计算 (4)2.3 对坐标算符和动量算符的海森伯运动方程的研究 (5)2.4 矩阵A的对角化 (7)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (16)引言我们都知道，如果一个系统由于其具有波动性、普遍存在性以及可对大量围绕平衡点振动的物理现象进行模拟，那么这个系统常被称做是一种经典的物理系统。
含时量子谐振子系统就是其中之一。
除了经典系统这一特点之外，它的数学表示是二次方形式，只涉及位置和速度，为其在经典、量子计算过程中精确求解奠定了良好基础。
本文的初衷就是希望通过设计一种谐振子系统，利用耦合来实现量子计算。
这种想法无论在基础物理还是现代实验中都很受重视，近年来，大量文献期刊开始将注意力集中于耦合谐振子，尤其是多维的耦合谐振子。
(整理)北京大学量子力学期末试题
量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。
第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t时，波函数为()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
三维谐振子升降算符
三维谐振子升降算符1. 引言概述部分的内容可以介绍三维谐振子以及其在物理学中的重要性。
以下是概述部分的一个可能内容：1.1 概述三维谐振子是一种重要的物理模型，在量子力学和量子光学等领域中被广泛应用。
它是谐振子模型的一种扩展，考虑了三个相互垂直的方向上的振动。
三维谐振子模型适用于描述许多系统的动力学行为，包括分子振动、晶格振动、原子和分子的电子运动等。
通过研究三维谐振子，我们可以深入了解这些系统的能级结构、态密度、波函数等基本性质，为理解和解释实验结果提供了重要的理论基础。
三维谐振子模型的基本特征是其势能具有二次型形式，即具有一个极小值点，并且在该点附近近似为简谐势能。
由于三个相互垂直的方向上的振动彼此独立，我们可以将三维谐振子的波函数表示为三个方向上的一维谐振子波函数的乘积形式。
在三维谐振子模型中，升降算符起到了极其重要的作用。
它们是量子力学中的数学工具，用于描述粒子能级之间的跃迁以及求解能量本征值和波函数。
本文将首先对三维谐振子的定义进行介绍，然后重点讨论升降算符的性质和应用。
通过对升降算符的深入研究，我们可以进一步理解三维谐振子模型的量子力学本质，并为相关领域的研究提供有益的指导和启示。
接下来的章节将按照如下结构展开：首先在2.1节中给出三维谐振子的定义，然后在2.2节中系统介绍升降算符的性质和应用。
最后，在结论部分给出对本文所述内容的总结，并展望未来的研究方向。
文章结构部分的内容可以按照下面的方式编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：第1部分：引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的第2部分：正文2.1 三维谐振子的定义2.2 升降算符的介绍第3部分：结论3.1 总结3.2 研究展望通过以上结构，本文将对三维谐振子升降算符进行详细的介绍和探讨。
首先，在引言部分，我们将概述本文的研究内容，并明确文章的目的。
接下来，在正文部分，我们将首先给出对三维谐振子的定义，包括相关的数学表达式和物理意义。
三维谐振子的能级简并度
三维谐振子的能级简并度三维谐振子是一种简单的量子力学模型，用于描述具有三个自由度的系统的能量行为。
其能级具有简并度，即同一能级可以具有多个状态。
在本文中，我们将探讨三维谐振子的能级简并度。
让我们了解一下三维谐振子的哈密顿量。
三维谐振子是一个具有三个自由度的量子系统，其哈密顿量为：H = ∑(m^2 + n^2 + l^2)其中，m、n和l是三个整数，分别代表振子的x、y和z方向上的振动量子数。
这些量子数规定了振子的振动模式和能量。
我们可以根据上述哈密顿量来计算能级。
对于给定的(m,n,l)，系统的能量为：E = ∑(m^2 + n^2 + l^2)这个能量是系统的本征值，可以用来描述系统的状态。
然而，对于同一个能量本征值，可以有多个不同的状态。
这些状态之间的差异在于它们在空间中的取向。
具体来说，对于一个具有给定能量的状态，我们可以选择一个特定的坐标系来描述它的振动模式。
但是，由于空间旋转的对称性，我们可以在任何坐标系中选择相同的能量本征值。
这种对称性意味着同一能级可以具有多个不同的状态，这些状态之间是等价的，因此我们称它们为简并态。
那么，三维谐振子的能级简并度是如何计算的呢？我们可以使用角动量算符来计算简并度。
这些分量分别描述了系统在x、y和z方向上的旋转运动。
我们可以使用角动量算符来计算系统的总角动量。
对于一个具有给定能量的状态，我们可以将它的波函数表示为Lx、Ly和Lz的共同本征函数。
由于这些算符之间的对易关系，我们可以使用它们来构造一组完整的、正交的基函数，这些基函数可以用来表示任何具有给定能量的状态。
我们可以根据波函数的对称性来计算简并度。
具体来说，我们可以考虑波函数在空间旋转下的行为。
如果波函数在空间旋转下保持不变，那么它就是一个对称波函数；如果波函数在空间旋转下变号，那么它就是一个反对称波函数。
我们可以使用对称波函数和反对称波函数来计算简并度。
对于一个具有给定能量的状态，我们可以构造一组对称波函数和一个反对称波函数。
§4 三维各向同性谐振子
§4 三维各向同性谐振子
质量为μ的粒子在势场V(r)中运动
1
R1l
3
2
2l 3 (2l
3)!!
2
(r
)l
1
e2
2r 2
2l
3
2r
2
2
21
9
1
R2l
3
2
2l 3 (2l
5)!!
2
(r)l
1 2r2
e2
(2l 3)(2l 5) (2l 5) 2r 2 4r 4
4
知道了径向波函数，利用已知的球谐函数 形式，很容易写出体系的波函数为
3
2
2l
2nr (2l
nr![(2l
2n1r)!!]12)!!
2
(r)l
1 2r2
e2
F
nr
,
l
3 2
,
2r 2
此时
0 [Rnrl
(r)]2
r 2dr
1
nr表示径向波函数的节点数。
21
8
Nr=0，1，2的径向波函数分别为
1
R0l
3
2
2l 2 (2l
1)!!
2
(r)l
1
e2
2r 2
当nx固定时，ny有0，1，2，…，N nx 等
N nx 1个取法。
nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即 nz N nx ny
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
各向异性谐振子的能级简并刘永宏 指导教师：焦志莲 （太原师范学院物理系，太原030031）【摘 要】 给出了二维、三维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各向异性谐振子的能级简并问题。
【关键词】各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并。
0. 引 言各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的《量子力学导论》就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析。
但是对于各向异性谐振子的问题，则很少有教材中进行专门的讨论。
各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性，且在一定的近似条件下，可转变为各向同性谐振子来处理。
所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加深对各向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础。
本文先给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题。
1. 各向异性谐振子的能级及波函数1.1 二维各向异性谐振子的能量及波函数当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在oxy 坐标系中可以表示为222222(,)112222y x x y x y P P H x y μωμωμμ=+++ （1） 令 22222211,2222yx x x y y P P H x H y μωμωμμ=+=+ （2）求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为,11()()22x y n n x x y y E n n ωω=+++ （3）,(,)()()x y x y n n n x n y x y x y ααψ=ψψ （4）其中，各维波函数为221()exp()();0,1,2,2x n x x x x x x x x N x H x n ααααψ=-== （5）221()exp()();0,1,2,2y n y y y y y y y y N y H y n ααααψ=-== （6）1.2 三维各向异性谐振子的能量及波函数在三维空间o xyz -中，三维谐振子的哈密顿量为222222222(,,)111222222y x z x y z x y z P P P H x y z μωμωμωμμμ=+++++ （7） 令 222222222111,,222222y x z x x y y z z P P P H x H y H z μωμωμωμμμ=+=+=+ （8）由三维谐振子体系哈密顿量的本征值方程，可以求出的体系哈密顿量的本征值及相应的本征值函数为,,111()()()222x y z n n n x x y y z z E n n n ωωω=+++++ (9),,(,,)()()()x y zx y z nn n n x n y n z x y z x y z αααψ=ψψψ （10）其中，()()x yn x n y x y ααψψ、的具体表示与（5）、（6）式完全相同，z 方向的波函数为221()exp()();0,1,2,2z n z z z z z z z z N z H z n ααααψ=-== (11)2各向异性谐振子的能级简并一般情况下，各向异性谐振子的能级并不简并。
以下我们分别就二维、三维谐振子情况，对能级简并进行了讨论。
2．1 二维各向异性谐振子的能级简并能级,x ynn E 所对应的量子状态只有一个，即,(,)x ynn x y ψ态，可以用（,x y n n ）表示这个能态。
由（3）式可知，当,x y ωω满足一定关系时，能级,x yn n E 有可能出现简并。
设存在另一组态（'',x y n n ），其能量'',xyn n E 与,x y E 相等，即''()()0x x x y y y n n n n ωω-+-= （12）令x y βωω=，下面对各种情况进行讨论。
2．1．1 β为有理数的情形当β为有理数时，x y ω可以表示为x y p q ωω= （13）式中,p q 为不可约正整数，将（13）式代入 （12）式得''()()x x y y yx n n n n q p ωω--=-=- （14）由于（'',,,y y x x n n n n ）的取值均可为0，1，2， ，因此，要使（14）式成立有三种可能 情形：（1）x x n n >'，y y n n <'的情况,'kq n n x x =- kp n n y y -=-'（15）即 kq n n x x +='， kp n n y y -=' （16）由于,0'≥y n kp n y ≥，可得1,2,,.y k n p ⎡⎤=⎣⎦ ，其中y n p ⎡⎤⎣⎦表示p n y 这个数的整数部分。
于是（'',y x n n ）有y n p ⎡⎤⎣⎦个可能的组态满足（12）式。
（2）x x n n <'，y y n n >'的情况,'kq n n x x -=- kp n n y y =-'(17) 即 kq n n x x -='， kp n n y y +='（18） 由于,0'≥x n x n kq ≥，可得[]1,2,,x k n q = ，[]x n q 表示x n q 这个数的整数部分（下面的类似表示也代表同样的意义）。
于是（'',y x n n ）还有[]x n q 个可能的组态也满足（12）式。
（3）x x n n ='，y y n n ='的情况这种情况下只有一组能态，即能级,x yn n E 所对应的量子状态只有一个，即(,)x y n n 态。
综合上述三种情况，当xy βω=为有理数时，（'',y x n n ）的可能组态个数共有=f y n p ⎡⎤⎣⎦+[]x n q +1。
（19） 它们均满足（12）式和（14）式，它们的能量均为,x y n n E ，所以此能级的简并度就是f ，由此可见，二维各向异性谐振子的能级简并与参量xy ωω有关。
2．1．2 β为无理数的情形当β为无理数时，要使（12）式成立，必然要求：,0'=-x x n n 即',xx n n =由此还可以得到'y y n n =。
这就说明，当x y ω为无理数时，不可能存在另一组态（'',y x n n ），使其能量也为y x E ,，即能量是非简并的。
2．2三维各向异性谐振子的能级简并三维各向异性谐振子能级,,x y zn n n E ，所对应的量子状态只有一个，即,,(,,)x y znn n x y z ψ态，可以用（,,x y z n n n ）表示这个能态。
根据（9）式，当,,x y z ωωω满足一定关系时，能级,,x y zn n n E 有可能出现简并，设存在另一组态（''',,x y z n n n ），其能量''',,xyzn n n E 与,,x y znn n E 相等，即'''111111()()()()()()222222x x y y z z x x y y z z n n n n n n ωωωωωω+++++=+++++ （20）即 '''()()()0x x x y y y z z z n n n n n n ωωω-+-+-= （21）令x y βω=，y z γωω=，下面对各种情形下的能级简并进行讨论。
2．2．1 0z ω=的情况当0z ω=时，（21）式简化为：''()()0x x x y y y n n n n ωω-+-= （22）对于这种情形，体系能级简并度与二维谐振子能级简并讨论完全相同，在这里面就不再累述。
但是，需要注意0z ω=时，三维谐振子体系并非转化为二维谐振子，此时只是三维谐振子体系哈密顿量转化为2222222(,,)1122222y x z x y z x y P P P H x y μωμωμμμ=++++ （23）与二维各向异性谐振子哈密顿量（1）式比较，相差一项22z P μ，即此时三维谐振子体系在z 轴方向只有动能部分，不存在势能作用。
2．2．2 0z ω≠的情形当0≠z ω时，xy βω=，（21）式变为：'''()()()0x y x y y z z z n n n n n n ββωω⎡⎤+-++-=⎣⎦（24） （1） 当（''y x n n +β）-（y x n n +β）=0时， 得.,,'''z z y y x x n n n n n n ===这种情况下只有一组能态，即能级zn n n y x E ,,所对应的量子状态只有一个，即),,(z y x n n n 态。
（2） 当（''y x n n +β）-（y x n n +β） ≠ 0时，（24）化简为 '''()()y z zx y x y zn n n n n n ωγββω-=-=-+-+ （25） 下面就γ的各种取值情形下的能级简并进行讨论。
（一） γ为有理数的情形当γ为有理数时，yz γωω=可以表示为m n γ= （26）式中,m n 为不可约正整数，将（26）式代入（25）式得：'''()()y z z x y x y z n n mn n n n nωββω-=-=-+-+ （27） 由于（''',,,,,x x y y z z n n n n n n ）的取值均可为0，1，2， ，因此，要使（27）式成立有两种 可能的情形如下：（1） 'z z n n <的情形在此情况下，（27）式为'''()()z z x x y y n n lmn n n n lnβ-=--+- （28） 由于'z z n n <，可得到'z z n n lm -=- （29）''()()x x y y n n n n ln β-+-= （30）由（29）式可以得到'z z n n lm =- （31）由于'0z n ≥，由（31）式得：zn l m≤（32） 又由于0ln ≥，所以对于（30）式的讨论又有以下三种情况：（a ） x x n n >'，'y y n n >情况令：'()x x n n n ββ-=，则由（30）式可得'y y n n ln n β-=- （33）由于'0y y n n -≥，可得：0ln n β-≥，即n l nβ≥（34）所以由（32）与（34）式联立得：z n n l n m β≤≤，于是（''',,x y z n n n ）有1z n n f m nβ⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个可能的组态满足（28）式。