二维各向同性谐振子解法

U20 = exp
¡
x2
+ 2
y2
(4x2 ¡ 2); U11 = exp
¡
x2
+ 2
y2
4xy; U02 = exp
¡
x2
+ 2
y2
(4y2 ¡ 2)
(19)
以及

V10 = exp
¡
2 2
(1 ¡ 2); V02 = 2exp(2i); V0¡2 = 2exp(¡2i)
jmj X 1 w1(z) = z 2
cnzn;
w2(z)
=
aw1(z)logz
+
z
¡
jmj 2
X 1
dnzn
n=0
n=0
(10)
其中cn; dn; a为系数,c0 =/ 0; d0 =/ 0,w2(z)同样不符合物理要求.因此无论jmj取何值,满足物理要求的解 都具有形式
jmj X 1
w(z) = z 2
2
第一激发态(N = 1)有二重简并,波函数分别为




U10 = exp
¡
x2
+ 2
y
2
2x; U01 = exp
¡
x2
+ 2
y2
2y
(17)
以及


V01 = exp
¡
2 2
exp(i); V0¡1 = exp
¡
2 2
exp(¡i)
(18)
因为exp(i) = x iy,这两组解通过幺正变换相互联系.第二激发态(N = 2)有三重简并
cnzn; c0 =/ 0
n=0
(11)
记幂级数F
(z)
=
P1
n=0
cnzBiblioteka n,将上式代入到原方程,可以求得系数的递推式
cn+1
=
(
+n + n)(n +
1)
cn;
n
>
0
(12)
其中 = jmj + 1, = (jmj + 1 ¡ E)/2.如果令c0 = 1,得到的幂级数
F
( ;
;
z)
=
1
此时F ( ; ; z)为n次多项式.我们得到波函数和能级

Vnm(; ) = jmjexp
¡ 2 2
F (¡n; jmj + 1; 2)exp(im); EN = N + 1
(15)
其中N = 2n + jmj = 0; 1; 2; :::.当N 为偶数时,m = 0; 2; :::; N ;当N 为奇数时,m = 1; 3; :::; N :这 两种情况的简并度都是N + 1.作宇称变换时,! ; ! + ,因此Vnm! (¡1)mVnm,但是N 与m的 奇偶性相同,故波函数的宇称为(¡1)N .
二维各向同性谐振子
一维能量本征值问题(我们只讨论束缚态)没有简并,二维各向同性谐振子比一维问题复杂但是比氢 原子问题简单,因此可以作为阐述能量定态问题的解法以及能级简并概念(以及其他重要的知识,比 如合流超几何函数,简并性与对称性的关系,幺正变换等)的很好的例子.
1 二维各向同性谐振子
二维各向同性谐振子的Hamilton量为
下面,我们看这些波函数间的关系.基态(N = 0)没有简并,因此两种解法得到的波函数相同



U00 = exp
¡
x2
+ 2
y2
; V00 = exp
¡
2 2
(16)
1. 二阶线性常微分方程正则奇点附近解的一般结论请参考其他数学笔记 . 2. 合流超几何函数是合流超几何方程zF 00 + ( ¡ z)F 0 ¡ F = 0的一类正则解,详细情况请参考有关特殊函数的书籍.
+
z
+
1 2!
( (
+ +
1) 1)
z2
+

(13)
称为合流超几何函数2.要满足z ! 1的物理条件,这个级数必须退化为多项式,否则当 1时F ( ; ; z) exp(z); R exp(2/2),这要求
= ¡n; n = 0; 1; 2; :::
(14)
2
¡
jmj2 z2
w=0
其中的微商对新变量z进行.z = 0是指数为jmj/2的正则奇点1.当jmj = 0时,这两个指数相同,两个线 性无关的解具有形式
X 1
X 1
w1(z) = cnzn; w2(z) = w1(z)logz + dnzn
(9)
n=0
n=1
其中cn和dn为系数,c0 =/ 0,w2(z)在z = 0发散,不符合物理要求.当jmj > 1时,两指数的差为正整数,两个 线性无关解的形式为
V(; ) = R()()
(4)
的解,得出


R 00
+
1
R0
+
2E
¡
2
¡
2
R = 0; 00 + = 0
(5)
第二个方程在周期性条件( + 2) = ()下的解为
p
m() = exp(im); m = = 0; 1; 2; :::
(6)
当 1时,径向方程的渐近形式
R00 ¡ 2R 0
(7)
其渐近解为R() exp(2/2),我们令R() = exp(¡2/2)w(),代入到径向方程得到



w00 +
1
¡
2
w0 +
2E
¡
2
¡
jmj2 2
f =0
(8)
1
再令z = 2,替换变量后



w00 +
1 z
¡
1
w0
+
1 4
2E ¡ z
(20)
显然V10可以由U20与U02组合得到,而
2exp(2i) = 2(cos isin)2 = x2 ¡ y2 i2xy
(21)
因此V02要由U20,U02以及U11组合得到.两组波函数同样以幺正变换相联系.
2 简并,可分离变量以及对称性
我们看到,如果一个能量本征值问题可以在两种或两种以上坐标系下用分离变量法求解,那么能级 (除了基态)是简并的,因为对于一个能级,在这两种坐标系下得到的本征函数一般不可能相同,它们之 间用幺正变换相联系.二维中心势下,用极坐标可以分离变量,但x轴的取向还可以有不同的选择,这 给出了能级对m的二重简并.但是,上面的各向同性谐振子还可以在直角坐标系下分离变量,它比一 般中心势具有更大的简并性(能级只取决于2n + jmj).三维中心势在球坐标下可以分离变量,但z轴 的取向可以有不同的选择,因此能级简并度为2l + 1.氢原子问题则具有更大的简并度(n = nr + l + 1),这相应于如下事实:此问题也可以在旋转抛物面坐标系下分离变量.因此,能级简并与问题的对称 性相关.与坐标轴的取向相关的对称性很容易发现,但与(本质上)不同种类的坐标系相关的对称性则 不是显而易见的.前者是一种几何对称性,而后者则是动力学对称性.
3
下面考虑在极坐标系下的解法.坐标变换
x = cos; y = sin
(2)
其中 > 0; 0 6 6 2.Hamilton算符


H
=
¡
1 2
1@ @

@ @
+
1 2
@2 @2
+
1 2
2
(3)
我们寻求定态Schrödigner方程HV(; ) = EV(; )具有分离变量形式
H
=
¡
1 2
r2
+
1 2
(x2
+
y2)
其定态问题可以在直角坐标系中分离变量从而化为已知的一维谐振子问题,结果为


Un1n2(x; y) = exp
¡
1 2
(x2
+
y2)
Hn1(x)Hn2(y); EN = N + 1
(1)
其中N = n1 + n2; n1; n2 = 0; 1; 2; :::,Hn(x)为厄米多项式,这里我们使用未归一化波函数.能级简并度 为N + 1,波函数的宇称为(¡1)N.