二维各向异性谐振子能级简并与对称性关系

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三维谐振子的能级简并度

三维谐振子的能级简并度三维谐振子是量子力学的一个重要模型，用来描述具有三个自由度的谐振系统。

它可以用来研究原子、分子、固体物质等多种系统的能量结构和性质。

能级简并度是指具有相同能量的态的数量，对于理解系统的性质具有重要的意义。

首先，让我们了解什么是谐振子。

谐振子是一个具有恢复力的系统，当受到外力扰动时，它会回到平衡位置附近，形成周期性的振动。

在三维谐振子模型中，它具有三个坐标自由度，分别对应于空间的三个维度。

这三个自由度可以描述为x、y和z方向上的位移。

对于一个具有三个自由度的谐振子，它的能级简并度可以通过求解谐振子的本征态得到。

本征态是系统能量的特定解，对应于具有确定能量的态。

能级简并度指的是具有相同能量的本征态的数量。

在三维谐振子中，每个能级可以用三个整数（nx、ny和nz）来表示，分别对应于x、y和z方向上的量子数。

能级简并度可以通过对这些量子数进行组合得到。

例如，对于能量为E的某个能级，我们可以找到满足以下条件的整数解（nx，ny，nz）：(nx + 1) + (ny + 1) + (nz + 1) = E我们可以将能级简并度定义为满足这个条件的整数解的数量。

根据这个方程，我们可以发现nx、ny和nz的取值范围与能级E有关，但满足该条件的整数解并不唯一。

因此，能级简并度是通过组合nx、ny和nz的不同取值得到的。

三维谐振子的能级简并度与能量的关系可以通过计算得到。

对于任意的能级E，我们可以计算满足(nx，ny，nz)条件的整数解的数量。

由于nx、ny和nz是非负整数，因此能级简并度是一个非负整数。

能级简并度的计算可以通过数学方法或计算机模拟来实现。

能级简并度在研究物体的量子性质时具有重要意义。

它反映了系统的对称性和相互作用。

对于一个具有高能量简并度的系统，它的量子态将更加多样化和复杂化。

例如，对于具有较大能量的谐振子，能级简并度将比低能级的谐振子更高，对应着更多的量子态。

这将导致谐振子在热力学平衡态下具有更多的熵，即更多的微观状态数。

振动量子数

振动量子数振动量子数是描述原子或分子振动状态的一个量子数，它是量子力学中的一个重要概念。

在原子或分子的振动过程中，振动量子数决定了振动的能量和振动的频率。

振动量子数的具体值取决于体系的性质和振动模式，不同的振动模式对应不同的振动量子数。

振动量子数的值通常用整数来表示，取决于振动模式的不同。

对于一维谐振子的振动模式，振动量子数为n，可以取0、1、2、3等非负整数。

对于二维谐振子的振动模式，振动量子数为两个非负整数n1和n2，可以分别取0、1、2、3等非负整数。

而对于三维谐振子的振动模式，振动量子数为三个非负整数n1、n2和n3，可以分别取0、1、2、3等非负整数。

振动量子数的不同取值对应不同的振动状态和能量。

振动量子数越大，振动的能量越高，振动频率也越高。

振动模式的能量可以用振动量子数的平方来表示，即 E = (n + 1/2)hν，其中E为能量，n 为振动量子数，h为普朗克常数，ν为振动频率。

振动频率与振动量子数之间存在简单的线性关系，频率随着振动量子数的增加而增加。

振动量子数还可以用来描述原子或分子的振动状态的简并度。

简并度是指具有相同能量的不同状态的数目。

对于一维谐振子的振动模式，简并度为1，即每个能级都只有一个振动状态。

对于二维谐振子的振动模式，简并度为(n1 + 1)(n2 + 1)，即每个能级有(n1 +1)(n2 + 1)个振动状态。

对于三维谐振子的振动模式，简并度为(n1 + 1)(n2 + 1)(n3 + 1)，即每个能级有(n1 + 1)(n2 + 1)(n3 + 1)个振动状态。

振动量子数的概念不仅适用于谐振子的振动模式，也可以应用于其他类型的振动系统。

例如，对于刚性转动系统，振动量子数可以用来描述转动的角动量。

对于分子的转动和振动的耦合模式，振动量子数可以用来描述转动和振动之间的相互作用。

振动量子数的概念对于研究原子、分子和固体的振动性质以及能量转移过程非常重要。

振动量子数是量子力学中用来描述原子或分子振动状态的一个重要概念。

二维谐振子哈密顿量

二维谐振子哈密顿量引言二维谐振子是量子力学中经常用到的一个模型，它能够帮助我们理解和描述许多实际系统的行为，比如分子振动、晶格振动等。在研究二维谐振子时，哈密顿量是一个非常重要的概念。本文将详细介绍二维谐振子哈密顿量的定义、性质和应用。

哈密顿量的定义在量子力学中，哈密顿量（Hamiltonian）是描述一个系统动力学演化的一个重要量。二维谐振子的哈密顿量通常表示为H，可以通过经典谐振子模型推导出来。二维谐振子的哈密顿量可以写成以下形式：

𝐻=𝑝𝑥̂22𝑚+𝑝𝑦̂22𝑚+12𝑚𝜔2(𝑥̂2+𝑦̂2) 其中，𝑥̂和𝑦̂是二维谐振子的位置算符，𝑝𝑥̂和𝑝𝑦

̂是动量算符，m是质量，𝜔是振动频

率。这个哈密顿量所描述的系统具有两个自由度，即在x和y方向上的自由运动。

哈密顿量的性质二维谐振子的哈密顿量具有一些重要的性质：

1. 能量的量子化根据量子力学的原理，能量是量子化的，即存在能量量子化级别。由于哈密顿量描述了系统的能量，因此二维谐振子的能量也是量子化的。根据哈密顿量的本征值问题，我们可以得到系统的不同能级。

2. 位置和动量的不确定关系根据量子力学的原理，位置算符和动量算符之间存在不确定关系，即无法同时精确测量。这个不确定关系由著名的海森堡不确定性原理给出：

𝛥𝑥𝛥𝑝≥ℏ2 其中，𝛥𝑥表示位置的不确定度，𝛥𝑝表示动量的不确定度，ℏ为约化普朗克常数。二维谐振子的哈密顿量涉及位置算符和动量算符，因此也存在位置和动量的不确定关系。

3. 能级间的跃迁由于二维谐振子的能量是量子化的，不同能级之间存在能量差。根据量子力学的原理，系统可以从一个能级跃迁到另一个能级，这称为跃迁。二维谐振子的哈密顿量描述了系统的能级结构，因此可以研究能级间的跃迁行为。

哈密顿量的应用二维谐振子的哈密顿量在许多物理学领域中具有广泛的应用。以下列举了一些典型的应用：

三维谐振子的能级简并度

三维谐振子的能级简并度三维谐振子是一种简单的量子力学模型，用于描述具有三个自由度的系统的能量行为。

其能级具有简并度，即同一能级可以具有多个状态。

在本文中，我们将探讨三维谐振子的能级简并度。

让我们了解一下三维谐振子的哈密顿量。

三维谐振子是一个具有三个自由度的量子系统，其哈密顿量为：H = ∑(m^2 + n^2 + l^2)其中，m、n和l是三个整数，分别代表振子的x、y和z方向上的振动量子数。

这些量子数规定了振子的振动模式和能量。

我们可以根据上述哈密顿量来计算能级。

对于给定的(m,n,l)，系统的能量为：E = ∑(m^2 + n^2 + l^2)这个能量是系统的本征值，可以用来描述系统的状态。

然而，对于同一个能量本征值，可以有多个不同的状态。

这些状态之间的差异在于它们在空间中的取向。

具体来说，对于一个具有给定能量的状态，我们可以选择一个特定的坐标系来描述它的振动模式。

但是，由于空间旋转的对称性，我们可以在任何坐标系中选择相同的能量本征值。

这种对称性意味着同一能级可以具有多个不同的状态，这些状态之间是等价的，因此我们称它们为简并态。

那么，三维谐振子的能级简并度是如何计算的呢？我们可以使用角动量算符来计算简并度。

这些分量分别描述了系统在x、y和z方向上的旋转运动。

我们可以使用角动量算符来计算系统的总角动量。

对于一个具有给定能量的状态，我们可以将它的波函数表示为Lx、Ly和Lz的共同本征函数。

由于这些算符之间的对易关系，我们可以使用它们来构造一组完整的、正交的基函数，这些基函数可以用来表示任何具有给定能量的状态。

我们可以根据波函数的对称性来计算简并度。

具体来说，我们可以考虑波函数在空间旋转下的行为。

如果波函数在空间旋转下保持不变，那么它就是一个对称波函数；如果波函数在空间旋转下变号，那么它就是一个反对称波函数。

我们可以使用对称波函数和反对称波函数来计算简并度。

对于一个具有给定能量的状态，我们可以构造一组对称波函数和一个反对称波函数。

R(五章2讲)谐振子(1)

H1 2 , H 2 4 2 2, H 3 8 3 12 , 4 2 H 4 16 48 12,
n ( ) Nn e
2 /2
H n ( )
归一化常数
n ( ) Nn e
1.递推关系：
2 /2
H n ( )
要对它归一化，我们先要了解厄密多项式的一些性质：
从以上本征函数与概率密度曲线图看出，量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的概率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。
例1. 求解三维各向同性谐振子，并讨论它的简并情况
解：
（1）三维谐振子 Hamilton 量
2 2 2 2 d d d ˆ H 2 2 2 2 dx dy dz ˆ H ˆ H ˆ H x y z 1 2
能量为e的粒子在谐振势中的活动范围为0123量子谐振子量子力学中的线性谐振子是指在势场中运动的质量为的粒子方程5在处的有限解为代入方程4可得满足的微分方程如果h真是无穷级数那么在时dhnh164812要对它归一化我们先要了解厄密多项式的一些性质
量子力学与统计物理 Quantum mechanics and statistical physics
d 2H n ( n 2)( n 1) a n2 2 d n 0
代回(7), 得：
a
n 0
n2
(n 1)(n 2) 2 an n ( 1) an 0
n n n n 0 n 0
展开系数间有如下关系
an 2
2n 1 an (n 1)(n 2)
d 2 2 2 d

二维各向同性谐振子在均匀磁场中的能级及简并度变化

Ｅ＝（ｎ｝｝） ∞ ２ｐ＋ｍ＋１ｈｏ（）３
相应于Ｅ的能量本征态，若取守恒量完全集为（，）％ｚ的共同本征态，：则
（，＝Ｒ（）唧ｐ）ｐｅ
ｒｔ＝２＋ＩＩｍ＝０，２… ；ｍ＝０，± １，± ２… ｌ，
则Ｅ＝Ｅ＋Ｅ＝（ｌ） ∞ ，＋１ｈ０
Ｔ／０，２… ，＝ｌ，，Ｔ＝０，２… ｌＩ，，１，
（）２
得能级简度并
＝∑ （一＋）＝（＋），１ｌ，１；ｌ０１ … ｌ其中，＝，，２
＝
Ｏ
若采用平面极坐标，由文献［］１可知，
ｎ
０１２３的能级Ｅ，，，简并度如下：
Ｅ／ｔ０ｈｏ
ｌ
ｎ
（ｏｍ）ｎ，（００，）
（０，
．
｛
ｌ
１
０
ｌ１
２一∞Ｌ∞ ／ｑ２＋∞Ｌ∞ ／ｏ
３ —２ｔ￡ｔ０ｏ／ｏ３３＋２ｔ￡ｔ０ｏ／ｏ４ — ３ｔ￡ｏｏ／ｔ０
ｎ＝０１２３的能级简并度如下：，，，
ｎ
０１
Ｅ／ｌｏｌｏｔ
１２
（ｍ）ｎ，
（，）００（，一１（１０）０，）
．
｛Ｔ
１
２３
４
２３
３４
（２（，一２（，）０，）０）１０（３（，一３（，）１０，）０）１１（，一１）
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青海师专学报（教育科学）

量子力学习题

量子力学习题量子力学习题：1一.微观粒子的波粒二象性 1、在温度下T=0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。

2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。

（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子；（4）温度T=1k时，具有动能的氦原子，其中k为玻尔兹曼常数。

3、若电子和中子的德布罗意波长等于，试求它们的速度、动量和动能。

4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 5、设一电子为电势差U所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000（可见光）（x射线），（射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？量子力学习题：2二.波函数与薛定谔方程 1、设粒子的归一化波函数为，求（1）在范围内找到粒子的几率；（2）在范围内找到粒子的几率；（3）在及范围内找到粒子的几率。

2、设粒子的归一化波函数为，求：（1）在球壳内找到粒子的几率；（2）在方向的立体角内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）（2）（3）4、对于一维粒子，设，求。

5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。

6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。

（1）（2）从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波。

表示沿轴反向传播的平面波。

7、由下列两个定态波函数计算几率流密度（1）；（2）从所得结果证明表示向外传播的球面波，表示向内传播的球面波（即向原点） 8、求波函数的归一化常数A。

9、一粒子在一维势场中运动，求束缚态的能级所满足的方程。

10、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为，求：（1）距势阱内左壁宽度内发现粒子的几率；（2）取向值时，在此区域内找到粒子的几率最大？（3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果与经典情况比较，说明了什么问题？ 11、一粒子在一维势场中运动，势能对原点对称，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

分子的振动形式

分子的振动形式一、引言分子的振动是分子内部原子相对运动的一种形式，是分子的重要特征之一。

分子的振动形式可以通过分子的结构、键的类型和原子的质量等因素来确定。

本文将从分子的对称性、分子中心的振动、分子的基态振动、分子的激发态振动以及分子的谐振子模型等方面进行讨论。

二、分子的对称性与振动分子的对称性是指分子在空间中的排列方式具有某种规则性。

分子的对称性对分子的振动有重要影响。

具有对称性的分子振动会导致一些振动模式在相空间中互相重复，称为简并振动。

而非简并振动则是指分子的振动模式在相空间中不重复。

三、分子中心的振动对称分子中心的振动是指分子中心原子相对于其他原子的振动。

对称分子中心的振动模式通常包括拉伸、弯曲和扭转等。

这些振动模式的频率与键的强度和原子的质量有关。

四、分子的基态振动分子的基态振动是指分子在最低能量状态下的振动。

基态振动的频率通常与分子的势能曲线的特征有关。

对于简单分子来说，基态振动通常包括拉伸振动和弯曲振动。

五、分子的激发态振动分子的激发态振动是指分子在受到外界激发后的振动。

激发态振动的频率与分子的势能曲线的特征以及外界激发的能量有关。

分子的激发态振动可以通过光谱学等方法来研究。

六、分子的谐振子模型谐振子模型是一种简化的模型，用于描述分子的振动。

谐振子模型假设分子的振动是简谐振动，即分子的振动势能与振动坐标之间存在二次关系。

谐振子模型可以用来计算分子的振动频率和振动能量。

七、结论分子的振动形式是分子的重要特征之一，对分子的性质和行为有着重要影响。

通过研究分子的对称性、分子中心的振动、分子的基态振动、分子的激发态振动以及分子的谐振子模型等方面，我们可以更好地理解分子的振动特性。

这对于研究分子的结构、性质和反应机理具有重要意义。

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-电磁场中粒子的运动】

取守恒量完全集为（H，Py，Pz），它们的共同本征函数可以写成其中 py 和 pz 为本征值，可取任意实数．
φ (x，y，z)满足能量本征方程
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因此 φ (x)满足方程
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亦即，对于 φ (x)来说，H 和下式等价：
．
（a）求电子的能级和本征函数；
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，如再受到沿 z 轴
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（b）分别讨论 B→∞和 B→∞两种极限情况以及能级简并度的变化．提示：电子的 Hamilton 量
节，式（3）【详细分析及解答见《量子力学》，卷 I，7.4 节，376～379 页】
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能级简并度为∞．
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在一般情况下，式（4）所示能级是不简并的．但我们有趣地注意到，在磁场强度合适
的情况下，使得
则能级会出现新的简并和新的壳结构。以下先讨论两个特殊的情况．（一般情况下的能级分布和壳结构随磁场强度的变化，见下页图．）
Hamilton 算符为
其中
是速度算符．容易求出 v 的各分量间的对易式为
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如 q＞0，令
（如 q＜0，则 Q、P 的定义互换．）显然就有关系 [Q，P]=i
而 Hamilton 算符则可以写成
（6）
其中
即经典 Larrnor 频率．pz（即μvz）和 Q，P 对易．式（7）中第一
即
所以
利用公式
，可得
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非对易空间(相空间)二维谐振子能谱及波函数的研究

非对易空间(相空间)二维谐振子能谱及波函数的研究非对易空间(相空间)是量子力学中的一个重要概念，它指的是位置和动量不再满足对易关系，而是满足非对易关系。

在非对易空间中，物理量的运算法则与对易空间有所不同，因此非对易空间中物理系统的性质和对易空间中的有所不同。

本文研究的是非对易空间中的二维谐振子的能谱及波函数。

二维谐振子的能谱及波函数二维谐振子是一个重要的物理模型，它在许多领域都有广泛的应用，例如量子力学、统计力学、电子学等。

二维谐振子的哈密顿量可以表示为：$$H=frac{1}{2m}(hat{p}_x^2+hat{p}_y^2)+frac{1}{2}momega_0^2 (hat{x}^2+hat{y}^2)$$其中，$hat{x}$和$hat{p}_x$是位置和动量算符，$hat{y}$和$hat{p}_y$同理，$m$是质量，$omega_0$是振动频率。

在对易空间中，可以求解出二维谐振子的能谱和波函数。

但是，在非对易空间中，物理量的运算法则与对易空间有所不同，因此需要重新求解二维谐振子的能谱和波函数。

在非对易空间中，位置和动量算符的关系为：$$[hat{x},hat{p}_x]=ihbar(1+alphahat{p}_x^2),[hat{y},hat{p} _y]=ihbar(1+alphahat{p}_y^2)$$其中，$alpha$是非对易参数。

通过求解本征值问题，可以得到二维谐振子的能谱和波函数。

在非对易空间中，二维谐振子的能谱为：$$E_{n_x,n_y}=hbaromega_0[(n_x+frac{1}{2})^2(1+alphabeta_x) +(n_y+frac{1}{2})^2(1+alphabeta_y)]$$其中，$n_x$和$n_y$分别是$x$和$y$方向上的量子数，$beta_x$和$beta_y$分别是：$$beta_x=frac{momega_0}{hbar}(1+alphalanglehat{p}_x^2rangle ),beta_y=frac{momega_0}{hbar}(1+alphalanglehat{p}_y^2rangle )$$可以看出，在非对易空间中，二维谐振子的能谱与对易空间中的有所不同，非对易参数$alpha$对能谱的影响也非常显著。

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第２８卷第ｌ期
、】２Ｎｏ
Ｊｕｎｌｆｎｉｎｉｅｓｔ：ｔｒｌｃｅｃｉｏｏｒａＸｉｘａｇＵｎｖｒｉＮａｕａｉｎｅＥｄｔｎｏｙＳｉ
２ｌ年２月０１
／ｂ２１ｒ．０ｌｅ
０引言
在分子振动理论中谐振子势有着广泛的应用，由于它的解析解容易求出，且运算起来极为方便，在处理原子核内的单粒子运动以及进一步研究剩余的其他粒子之间的相互作用时，常常用它做初步近似。然而，
在研究原子核基态及低激发态性质时提出的原子核的壳模型中，考虑核子在各向同性谐振子势场中的运动性质时，发现谐振子的简并度不能说明闭壳层幻数，只有引进部分消除简并的自旋轨道型相互作用时才可以给出一个满意的解释【。可见谐振子势场中的能级简并情况，尤其是各向异性谐振子的能级简并具有非１】常实际的研究意义。本文以二维各向同性谐振子能级简并为基础，利用群论方法得到能级简并与对称性及守恒量之间的关系，类比经典守恒量保证粒子轨道的闭合性，讨论二维各向异性谐振子的能级简并情况。
就意味着存在某种空间变换群，这个群的所有群元都将使哈密顿量守恒，二维各向同性谐振子的简并度比
ＣＨＥＮ－ｈａＺｅｚｎｇ
（ｅａｔｎｆｈｓｓＸｉｘａｇＵｉｅｓｙＸｉｘａｇ４３０，ｈｎ）Ｄｐｒｍｅｔｙｉ，ｎｉｎｎｖｒｉ，ｎｉｎ５０３ＣｉａｏＰｃｔ
Ａｂｓｒｃ：Ｃｏａｅｏｔｅｓｔａｉｎｏｏｒｐｃｈｒｏｉｓｉａｏｎｔ－ｉｎｉｎｈｅａｉｎａｏｇｔｅｔａｔｍｐｒｄｔｈｉｔｆｉｔｏｉａｍｎｃｏｃｌｔｒｉｗｏｄｍｅｓｏ，ｔｅｒｌｔｏｍｎｈｕｏｓｌ
ｔｅｒ，ｈｏｙｗｈｃｓｓｍｉｒｔｈｔｔｅｃａｓｃｌｃｎｅｖｔｎｑａｔｔｓｃｕｄｅｓｒｈｌｓｆｐｒｉｌｓｒｔ．ｉｈｗａｉｌｏｔａｈｌｓｉａｏｓｒａｉｕｎｉｅｏｌｎｕｅｔｅｃｏｅｏａｔｃｅ ’ｏｂｉａｏｉｓＡｎｈｅｅｅａｙｏｎｒｙｌｖｌｆｒｔｅａｓｔｏｉａｏｉｓｉｌｔｒｉｗｏｄｍｅｓｏｓｉｖｓｉａｅｄｔｅｄｇｎｒｃｆｅｅｇｅｅｏｈｎｉｏｒｐｃｈｒｎｃｏｃｌｏｎｔ — ｉｎｉｎｗａｎｅｔｔｄｍａｇｓｓｅｃｌ．ｙｔｍｉａｌｙＫｅｒｓｏｃｌｔｒｇｏｐｔｅｒ；ｎｒｙｌｖｌ；ｙｍｅｒ；ｏｓｒｅｕｎｉｙｗｏｄ：ｓｉａｏ；ｒｕｈｏｙｅｅｇｅｅｓｓｍｌｔｃｎｅｖｄｑａｔｙｙｔ
ｄｇｎｒｃｆｅｅｇｅｅｓｈｙｅｅｅａｙｏｎｒｙｌｖｌ，ｔｅｓｍｍｅｒｎｏｓｒａｉｎｑａｔｉｓｈｖｅｎｏｔｉｅｙｕｉｇｔｅｇｏｐｔｙａｄｃｎｅｖｔｏｕｎｉｅａｅｂｅｂａｎｄｂｓｎｈｒｕｔ
ＴｈｅＲｅａｉｎｂｅｗｅｎＴｗｏｄｍｅｉｎＡｎｓｔｏｉａｍｏｉｓｉａｏｌｔｏｔｅ — ｉｎｓｏｉｏｒｐｃＨｒｎｃＯｃｌｔｒｌ
ＤｅｅｒｃｎｄＳｍｍｅｒｇｎｅａｙａｙｔｙ
１二维各向同性谐振子
二维各向同性谐振子的能量本征值Ｅ＝（＋１（ｎｎ）自然单位），其中ｎｌ０ｌ２… ，简并度为＝，＋ｎ＝，，，
＝，１ｌ ’，ｚ＝，３…。由于系统的空间对称性同基本物理量的守恒定律有着密切关系【，各向同性即空间旋转＋２２Ｊ不变性，因此，二维各向同性谐振子的能量与角动量守恒。然而，我们知道哈密顿量具有某种空间对称性
二维各向异性谐振子能级简并与对称性关系
陈泽章
（乡学院物理系，河南新乡４３０新５０３）
摘
要：从二维各向同性谐振子的能级简并情况出发，利用群论方法得到了能级筒并与对称性及守恒量之
间的关系，类比经典守恒量保证粒子轨道的闭合性，讨论了二维各向异性谐振子的能级简并。关键词：谐振子；群论；能级简并；对称性；守恒量中图分类号：０４３１０５２２１．；７．３文献标志码：Ａ文章编号：１７ — ３６２１）１０２— ２６４３２（０１０ — ０８０