能级的简并度
氢原子能级简并度计算公式
氢原子能级简并度计算公式氢原子能级简并度的计算公式，对于很多同学来说，可能是个让人头疼的家伙。
但别怕，咱们一起来把它拿下！先来说说啥是氢原子能级简并度。
想象一下氢原子就像一个神秘的小宇宙，里面的电子在不同的轨道上运行，而每个轨道对应的能量状态就是能级。
简并度呢，就是指同一个能级所对应的可能状态的数目。
那氢原子能级简并度的计算公式到底是啥呢？它是这样的：对于氢原子的某个能级 n ，其简并度为 n^2 。
就拿最简单的例子来说，当 n = 1 时，也就是氢原子的基态，简并度就是 1 ，这意味着电子只有一种可能的状态。
当 n = 2 时，简并度就变成了 4 ，电子就有 4 种可能的状态啦。
我记得之前给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“这就好比你有一把钥匙，这个公式就是帮你找到能打开氢原子能量秘密大门的那把正确钥匙的线索。
”那孩子似懂非懂地点点头。
在学习这个公式的过程中，大家可别死记硬背，得理解它背后的物理意义。
你想想，氢原子里的电子就像个调皮的小精灵，在不同的能级上跳来跳去，而这个公式就是在告诉我们这些小精灵有多少种玩法。
而且，这个公式在解决一些实际问题的时候可厉害啦。
比如说，在研究氢原子的光谱时，我们就得靠它来搞清楚不同谱线对应的能级和状态。
其实啊，物理世界里的很多公式就像是一个个神奇的密码，只要我们掌握了，就能解开大自然隐藏的秘密。
氢原子能级简并度计算公式就是其中的一把关键钥匙。
希望大家在学习这个公式的时候，多思考，多练习，把它变成自己的秘密武器，去探索更多物理的奥秘！。
简并度与能级的关系
简并度与能级的关系简并度是指物质中原子两两结合的形式，而能级指的是原子的能量状态。
二者之间存在着相互关联性，也就是说简并度越高，能级越低，反之则相反。
首先，简并度影响着原子结构的稳定性。
原子结合时，会产生能量，所产生的能量越大，该原子结构的稳定性则越高，它们就会形成更简单的结构，进而产生较高的简并度。
反之，当原子结合时，若能量产生量较小，则结构稳定性较低，就会形成较复杂的结构，进而产生较低的简并度。
因此，简并度与能级之间是有关联的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
其次，当原子结合时，它们会相互吸引，而产生强烈的拉力作用。
拉力越大，该原子结构的稳定性越高，就会形成更简单的结构，进而产生较高的简并度。
同理，当拉力较小时，结构的稳定性也会降低，就会形成较复杂的结构，进而产生较低的简并度。
因此，也可以说简并度与能级之间是相关的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
再次，建立在原子内部的轨道能级也会影响简并度。
基态原子的轨道能级越高，则原子之间自由能越大，结合能量产生量也越大，从而会形成更简单的结构，进而产生较高的简并度；反之，基态原子的轨道能级越低，则原子之间的自由能越小，结合能量产生量也越小，就会形成较复杂的结构，进而产生较低的简并度。
因此，简并度与能级之间也是有关联的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
最后，不同原子间的相互作用也会影响简并度。
原子之间的距离越近，它们就会相互吸引，拉力越大，结构稳定性越高，从而产生较高的简并度。
反之，当原子间距离较远时，它们就不会相互吸引，拉力较小，结构稳定性较低，从而产生较低的简并度。
因此，同样可以说简并度与能级之间也是相关的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
综上所述，简并度与能级之间存在着密切的联系，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
在研究物质的结构时，必须充分考虑它们之间的相互关系，否则很难得到准确到位的结果。
因此，要正确理解简并度与能级之间的关系，还需要深入进一步的研究。
能级简并度
讨论：1、能级的简并度对能级2022na e E n -=，n 为主量子数。
及波函数),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中1--=r n n l 。
由于 ,2,01=r n ，所以1,,2,1,0-=n l 相应的有0,,2,11 --=--=n n l n n r而对于给定的角动量l ，磁量子数m 可有2l +1个取值，即l l l m ----=,,2,1,0,,1,即对于给定的n （能级一定）1,,2,1,0-=n l ， 而对于给定的l ，l l l m ----=,,2,1,0,,1, 因此属于n E 能级的所有简并量子态nlm ψ数目为2121)12(1)32()12()12(n n n n n l n l =⋅+-=++-+-=+∑-= (等差数列) 能级E n 的简并度为21)12(nl n l =+∑-=比起一般中心力场的简并度2l +1要高。
一般中心力场粒子的能级l n r E 依赖于量子数r n 和l 但库仑场中，E n 粒只依赖于n ，但是n =n r +l +1故 能级E n 除了对m 简并，对l 也是简并的。
所以库仑场具有更高的对称性。
（对称元素越多，对称性越高，简并度越大） 从径向方程的求解过程可以看出，这是rr V 1)(∝导致的。
2、径向位置几率分布态),,(ϕθψr nlm 中，在dr r r +→球壳内找到电子的几率为r r r r r R r r nl nl nlmd )]([d )]([d d ||22222χψ==Ω⎰rd r两个等号分别对应：角向部分积分掉，rr r R nl nl )()(χ=)(r nl χ的节点数（不包括0=r 和∞=r ）为1--=l n n r其中n r =0称为圆轨道----无节点。
可以证明，此时21,|)(|r n n -χ的极值点所在位置为a n r n 2=， ,3,2,1=nn r 称为最可几半径。
量子力学复习题
量⼦⼒学复习题量⼦⼒学复习题(2013)⼀、填空题1. 在空间发现粒⼦的概率密度为_________；概率流密度为_______________。
2. 波尔的量⼦化条件为。
3. 坐标和动量的测不准关系是___________________________。
4. 德布罗意关系为。
5. 对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为________________，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为__________________。
6. ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
7.σ为泡利算符，2σ= ，2,z σσ??=?? ，,x y σσ?= 。
8. 波函数的统计解释为。
9. 隧道效应是指__________________________________。
10. 波函数的标准化条件为。
11. ()(,)nlm nl lm R r Y ψθ?=为氢原⼦波函数，,,n l m 的取值范围为。
12. 表⽰⼒学量的算符应满⾜的两个性质是。
13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 _____________________。
14. 厄⽶算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。
15.[],x x p = ，,y x L L ??=?? ，[],x L y = 。
16. 在z σ表象中，x σ的矩阵表⽰为，x σ的本征值为，对应的本征⽮为。
17. 若两⼒学量,A B 有共同本征函数完全集，则[],A B = 。
18. ⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。
19. 在定态的条件下，守恒的⼒学量是。
20. 原⼦电偶极跃迁的选择定则为。
21. 设体系处在|ψ?态，在该态下测量F 有确定值λ，则表⽰该⼒学量的算符?F与态⽮量|ψ?的关系为。
22. 轨道磁矩与轨道⾓动量的关系为，⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系为。
能级简并度量子力学导论(一)
能级简并度量子力学导论(一)一、引言量子力学是描述自然界的微观世界的一种理论，其基本假设是微观粒子的量子态可以通过波函数来描述。
在量子力学中，有一个重要的概念叫做能级简并度，它是指系统中存在相同的能量值对应的多个态。
在研究物理学中的一些问题时，能级简并度是很重要的一个概念。
二、能级简并度的定义能级简并度可以简单地理解为系统中能量相同的多个态的数量。
一个系统中的能级简并度越高，其热力学性质就越多样化，因为系统中的热力学行为由能级简并度的数量决定。
三、能级简并度的计算能级简并度的计算可以通过统计系统中的态的数量来实现。
这种统计通常依赖于系统的对称性。
例如，对于一个具有n个粒子的系统，其能级简并度为$\binom{n}{m}$个，其中m表示每个能量级上的粒子数，因此能量级的数量为$n$。
四、能级简并度的应用能级简并度在物理学中有许多应用，以纳米结构为例。
在纳米尺度下，原子和分子的几何结构和电子结构可能会发生变化，这些变化将导致能级简并度的变化。
理解能级简并度可以帮助解释纳米尺度下的某些性质，如光学、电学以及热学特性。
另外，研究全同粒子系统时，能级简并度的理解也具有重要意义。
通常情况下，全同粒子是难以区分的，因此它们经常存在于能量相同的态中，这些态的数量是由能级简并度决定的。
五、总结能级简并度是量子力学中重要的概念之一，其定义为系统中能量相同的多个态的数量。
能级简并度的计算可以通过统计系统中的态的数量来实现。
能级简并度在许多物理问题的研究中有着重要的应用，特别是在纳米尺度下的物理学研究中，具有重要意义。
原子结构知识：原子能级的简并度
原子结构知识：原子能级的简并度原子结构中的原子能级是一个非常重要的概念。
每个原子都包含许多能级，这些能级代表着原子中电子的状态。
在原子能级中，一个非常重要的概念是简并度。
简并度是指在一个能级中拥有相同能量的电子的个数。
本文将重点介绍原子能级的简并度概念，以及简并度对于原子结构的重要性。
首先，让我们来了解简并度的概念。
简并度是指在一个能级中拥有相同能量的电子的个数。
例如，在氢原子中，2s能级与2p能级都有一个电子。
这意味着这两个能级的简并度为2，因为它们分别有两个能量相同的电子。
类似地，在钠原子中，3s能级和3p能级每个都有一个电子，因此它们的简并度也为2。
需要注意的是，电子的自旋也需要考虑在内。
在原子中，电子的自旋可以是向上或向下，因此同一能级上的两个电子可以有不同的自旋状态。
因此，简并度还需要考虑电子自旋带来的影响。
简并度对于原子结构的理解和研究非常重要。
简并度反映了原子能级的复杂性和多样性。
原子能级的简并度往往决定了化学反应和光谱学性质。
例如，在原子吸收光谱中，原子从低能级跃迁到高能级时，需要吸收与两个能级之间的能量差相同的光子。
如果两个能级的简并度不同，它们之间的跃迁将有不同的概率。
这会影响原子光谱中的强度和线宽。
因此，简并度是理解原子光谱学的重要指标之一。
另外，简并度还在理解原子化学反应中发挥了重要作用。
化学反应通常涉及到原子中的电子跃迁。
当原子中的两个电子跃迁时，它们可能会处于不同的简并状态中。
这将导致化学反应的复杂性和多样性。
例如，在金属催化反应中，催化剂表面上的金属原子可以通过氧分子与环境中的有机分子反应。
这种反应涉及到氧分子中的两个电子从简并的π*能级跃迁到非简并的σ*能级。
这种简并度差异导致反应的选择性和速率往往与其他反应不同。
因此，简并度是理解原子化学反应的重要指标之一。
总而言之，原子能级的简并度是研究原子结构和化学反应的一个非常重要的概念。
简并度反映了原子能级的复杂性和多样性，影响了化学反应和光谱学性质。
能级的简并度.PPT文档38页
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
粒子各运动形式的能级及能级的统计权重
粒⼦各运动形式的能级及能级的统计权重粒⼦各运动形式的能级及能级的统计权重⼀、分⼦运动形式的分类通常，所谓系统处于⼀定的状态，是指宏观状态。
这时，各种宏观性质，如，T，p，U，S等均具有确定的数值。
然⽽，从微观⾓度考察，系统仍处于瞬息万变的运动之中，各个分⼦在不断地改变其运动状态，系统的微观状态仍在不断地发⽣变化。
分⼦的运动形式可分为两⼤类：1、外部运动平动，相应的能量有平动能εt translational energy，以及分⼦间相互作⽤的位能εp。
——分⼦作为整体的平动2、内部运动振动，相应有转动能εr rotational和振动能εv vibrational energy；——构成分⼦的各原⼦间的相对运动，有转动转动和振动⾃旋，相应有电⼦能εe electronic energy；电⼦绕核的运动和⾃旋——原⼦中电⼦绕核的运动核内粒⼦的运动，相应有核能εn nuclear energy。
——核的⾃旋核的⾃旋以及核内粒⼦的运动3、热运动——能量在各分⼦上的分配（或分布）随温度⽽异。
如：平动，当温度升⾼时，具有⾼平动能的分⼦数增多，低平动能的分⼦数减少，所以，平动为热运动。
转动和振动也为热运动。
原则上，电⼦运动和核运动也是热运动，但通常电⼦能级和核能级的能级差很⼤，⼀般的温度变化难以产⽣能级的跃迁或激发，因此，也可以归结为⾮热运动。
4、运动⾃由度对于⼀个具有n个原⼦的分⼦，通常有3n个⾃由度，分别为：3个平动⾃由度（xyz轴⽅向的平动）3个转动⾃由度（围绕三个轴的旋转）3n-6个振动⾃由度对于线型分⼦，转动⾃由度为2（围绕线轴的旋转可忽略），振动⾃由度为3n-5。
⼆、能级和简并度( energy levels and degeneracy)1、能级——根据量⼦⼒学的理论，微观粒⼦各种运动形式的能量是不连续的，只能是⼀些分离的数值，即能量是量⼦化的，每⼀个量⼦态具有⼀定的能级，象台阶⼀样，每⼀个台阶称为⼀个能级能级。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【章节题库-自 旋】
第8章 自 旋一、填空题1．称______等固有性质______的微观粒子为全同粒子。
【答案】质量；电荷；自旋；完全相同2．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为______，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为______。
【答案】n 2；2n 23．一个电子运动的旋量波函数为，则表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式为______，表示电子自旋向下的几率的表达式为______。
【答案】；二、名词解释题 电子自旋。
答：电子的内禀特性之一：（1）在非相对论量子力学中。
电子自旋是作为假定由Uhlenbeck 和Goudsmit 提出的：每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：；每个电子具有自旋磁矩M s ，它和自旋角动量的关系式：。
（2）在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质—样包含在波动方程中，不需另作假定。
三、简答题 1．请用泡利矩阵，，定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。
答：电子的自旋算符，其中，i ＝x ，y ，z 。
()()()z ,2,,2r r s r ψψψ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭r ()2,/2r ψ()23d ,/2rr ψ-⎰2±=z s μμ2e M S e M sz s ±=→-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110xσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00i i y σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001zσi iS σˆ2ˆ=2．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。
答：总自旋为0。
总自旋为1： 。
3．写出泡利矩阵。
答：，，4．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。
答：让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
5．完全描述电子运动的旋量波函数为，试述及分别表示什么样的物理意义。
答：表示电子自旋向下，位置在处的几率密度；表示电子自旋向上的几率。
物化总结
第九章统计热力学初步主要公式及其适用条件1. 分子能级为各种独立运动能级之和2. 粒子各运动形式的能级及能级的简并度（1）三维平动子简并度：当a = b = c时有简并,()相等的能级为简并的。
（2）刚性转子（双原子分子）：其中。
简并度为：g r,J = 2J +1。
（3）一维谐振子其中分子振动基频为，k为力常数，μ为分子折合质量。
简并度为1，即g v,ν= 1。
（4）电子及原子核全部粒子的电子运动及核运动均处于基态。
电子运动及核运动基态的简并度为常数。
3.能级分布微态数定域子系统：离域子系统：温度不太低时（即时）：一般情况下：系统总微态数：4. 等概率定理在N，V，U确定的情况下，系统各微态出现的概率相等。
5. 玻尔兹曼分布（即平衡分布，也即最概然分布）Stirling公式：粒子的配分函数：玻尔兹曼分布：能级i的有效容量：6. 配分函数的析因子性质7. 能量零点的选择对配分函数的影响若基态能级能量值为，以基态为能量零点时，能量值常温下，平动及转动配分函数与能量零点选择几乎无关，但振动配分函数与能量零点选择有关。
即：电子运动与核运动的配分函数，与能量零点选择也有关。
无关有关与能量零点U，H，A，G与定域或离域U，H S，A，G8.配分函数的计算平动:转动（对线性刚性转子）：其中若设，则当T >> Q r时，，其中σ为绕通过质心，垂直于分子的轴旋转一周出现的不可分辨的几何位置的次数，即分子对称数。
对线性刚性转子转动自由度为2。
振动:若设，当T<<Q v时（常温）,振动运动量子化效应突出，不能用积分代替加和：电子运动: 因为电子运动全部处于基态，电子运动能级完全没有开放，求和项中自第二项起均可被忽略。
所以：核运动:9. 热力学能与配分函数的关系此处U i可代表：（1）总热力学能；（2）零点为e0时的热力学能（U0 = U - Nε0）；（3）平动能；q i表示相应的配分函数。
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对s态，l=0,m=0 故 磁矩为0，电流为0。
另外，由上式可知
Mz e m 2c
m为轨道角动量的z分量。
上式比值称为回转磁比值或g因子
取 e 2c 为单位，则g因子为 1。
5、类氢离子
类氢离子，如 He ， ， Li Be
共同特点： 原子实 + 一个核外电子 上述结果也都适用。 只需 ①核电荷+e→+Ze 或e2→+Ze2 ②约化质量μ →相应的约化质量 比如对能级公式 4 2 4 e Z e En 2 2 En 2 2 2 n 2 n 作业：p189, 1,3,4
j 是绕z轴的环电流密度。
见右图。 通过dσ的电流元为
dI j d
对磁矩的贡献为 dM z SdI/c
（光速c是由高斯单位制所带来的常数）
其中 S (r sin ) 2 是环面积。 因此总磁矩为 1 1 M z SdI r 2 sin 2 j d c c em | nlm |2 2r sin d 2c
利用球坐标中
1 1 ˆ ˆ ˆ er e e r r r sin 容易求出 j 的各分量 ie * * j ( nlm nlm nlm nlm ) 对 2
含 部分是Pl (cos )亦为实。
m
考虑到波函数中含 r 部分 Rnl (r ) 为实，
z y
z y
z
y
s电子
p电子
4、电流分布与磁矩
由几率流密度分布表达式
i * * j ( nlm nlm nlm nlm ) 2
（表示单位时间通过某一截面的粒子数）
可得电子的电流密度（电子荷电量-e)
ie * * j ( nlm nlm nlm nlm ) 2
可知u(r)满足
d u 2 2 du (l 1 r ) [2 E (2l 3)]u 0 2 dr r dr
2
令 r 2 通过复合函数求导，上式化为
d 2u 3 du E l 3 / 2 2 (l ) u 0 d 2 2 d 2
l 3 2 32 R1l (r )l (2l 3)!!
1 2
e
1 2r 2 2
2l 3 2 2 r 2
1 l 3 2r 2 2 32 l R2l (r ) e 2 (2l 5)!!
而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1 个取值，即 m l , l 1,,0,1,2,,l 即对于给定的n（能级一定）
l 0,1,2,, n 1
而对于给定的l
m l , l 1,,0,1,2,,l
因此属于En 能级的所有简并量子态 nlm 数目为
l ( l 1)
Rl(r)有两个解： Rl (r ) ~ r , r 但因 l 0 解
r
( l 1)
不满足波函数在r=0处的有界条件 因此，只能取
Rl ~ r
l
(r ~ 0)
r→∞时，方程近似化为 其渐近行为是
1 2 r 2
Rl ~ e
1 r2 2
d 2 Rl r 2 Rl 0 dr 2
上式出现两个奇点： r=0 为正则奇点； r=∞ 为非正则奇点 必须把奇异性分离出来。
r=0时径向方程
d 2 Rl 2 dRl l (l 1) 2 2 E r 2 2 Rl 0 dr r dr r
可写为
2 l (l 1) Rl Rl Rl 0 2 r r
1 3 3 u ~ F ( , , ) F [ (l E ), l , ] 2 2 2
不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几 何函数中断为一个多项式,即α=0或负整数。
即
加上能量的自然单位，得 3 E (2nr l ) , nr 0,1,2, 2 令 N 2nr l 3 则 E EN ( N ) , N 0,1,2 2 1 1 加上长度单位 ( , 非整数参数) r 可得相应的波函数为三项之积
l N 2nr N , N 2, N 4,,1 为奇） （N
或0 ( N为偶) 如N为偶，能级简并度（包括角向部分）为
l 0 , 2 ,, N
(2l 1) 1 5 9 2N 1
(2 N 1) 1 N ( 1) 2 2 1 ( N 1)( N 2) 2
(2l 1) (2n 1) (2n 3) 1 (等差数列)
l 0
n 1
(2n 1) 1 2 n n 2
能级En的简并度为
(2l 1) n 2
l 0
n 1
比起一般中心力场的简并度2l+1要高。 一般中心力场粒子的能级 E n l 依赖于量子数 r nr 和l 但库仑场中,En粒只依赖于n,但是 n=nr+l+ 1 故 能级En除了对m简并，对l也是简并的。 对称元素越多, 所以库仑场具有更高的对称性。 对称性越高，简并度越大 从径向方程的求解过程可以看出，这是
§4 三维各向同性谐振子 质量为μ的粒子在势场V(r)中运动
1 V (r ) 2 r 2 2
ω 是刻画势阱强度的参量。 径向方程为
d 2 Rl 2 dRl 2 1 l (l 1) 2 2 2 ( E r 2 2 Rl 0 dr r dr 2 r
1 2
(2l 3)( 2l 5) 2 2 4 4 (2l 5) r r 4
知道了径向波函数，利用已知的球谐函数 形式，很容易写出体系的波函数为
n lm (r , , ) Rn l (r )Ylm ( , )
r r
讨论： 1、能级简并度
讨论： 1、能级的简并度 2 e 对能级 En n为主量子数 2 2a0 n 及波函数 nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
其中 由于
l n nr 1
nr 01,2,
所以
l 0,1,2,, n 1
相应的有 nr n 1 l n 1, n 2,,0
nl (r )的节点数（不包括r 0和r ） nr n l 1 为
其中nr=0称为圆轨道----无节点。
dr
r
可以证明，此时 | n,n1 (r ) |2 的极值点所在
位置为
rn n a
2
n 1,2,3,
rn 称为最可几半径。 4 2 2r / a 2 如 | 10 | 3 r e 的极大位置由 a d | 10 |2 0 dr 确定。
l 1 2r 2 2
3 2 2 F nr , l , r 2
此时
0
[ Rnr l (r )]2 r 2 dr 1
nr表示径向波函数的节点数。
Nr=0，1，2的径向波函数分别为
1 l 2 2r 2 2 32 R0l (r )l e 2 (2l 1)!! 1 2
所以括号内对r，来说两项相同。即
jr j 0
ie 1 * * 但 j ( nlm nlm nlm nlm ) 2 r sin
且
im (e ) imeim
ie 1 em 1 2 j 2im | nlm | | nlm |2 2 r sin r sin
但 Rl ~ e 不满足波函数在无穷远处的 边界条件（几率为0），故弃之 因此，只能取有界解 这样方程的解可表为
Rl ~ e r )
Rl (r ) r e
l
u (r )
将式 Rl (r ) r l e
1 r2 2
u (r ) 代入方程
d 2 Rl 2 dRl l (l 1) 2 2 E r 2 2 Rl 0 dr r dr r
仍然采用自然单位来化简方程。
令 1 则径向方程
d 2 Rl 2 dRl 2 1 l (l 1) 2 2 2 ( E r 2 2 Rl 0 dr r dr 2 r
化为
d 2 Rl 2 dRl l (l 1) 2 2 E r 2 2 Rl 0 dr r dr r
且r a（玻尔半径）为最小半径 与旧量子论一致。 见下图。
基态： n =1, l = 0
o 4π 0 h 2 r1 0.529 A —玻尔半径 2 me
r 2 Rnl
2
电子出现在 r = r1 的 单位厚度球壳层内的 概率最大
01
10
r r1
3、几率密度分布随角度的变化 态 nlm (r , , )中，在( , )方向的立体角元
3 E EN ( N ) , N 0,1,2 2 能级也是等间距的。 但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子 能级是简并的。
E EN N 2nr l 同一个N，可有不同的nr，l
这表现在
这是V(r) ∝r2的结果。
对于给定的EN或N, nr=0,1,2,…(N-1)/2或N/2
这是合流超几何方程，相应参数为
1 3 3 (l E ), l 2 2 2
方程有两个线性独立的解
u1 ~ F ( , , )
u2 ~ F ( 1, 2 , )
由于r 0时，
1
1
~r
2l 1
, 故有界解为
但前已经证明， 时，F ( , , ) ~ e