原子的能级

2ψ2 +U(r,t)ψ ψ
2 -— 2
2(r)2 +U(r)
(r)= E(r)
例如： 例如： 自由电子的运动 （1）微观粒子的波粒二象性 ） 自由电子的动量和能量： 自由电子的动量和能量： 动量： ； 动量： p=m0v； 能量（动能）：E=p2/2m0 能量（动能）： ）：
速度一确定运动状态就确定。 速度一确定运动状态就确定。 （2）微观粒子的波动性 ） 自由电子的波函数：自由粒子的波动可以用频率为ν 自由电子的波函数：自由粒子的波动可以用频率为ν 、 波长为λ的平面波表示: 波长为λ的平面波表示 ψ(r,t)=Aexpi2π(kr- ν t) π 波函数模的平方为一常数， 波函数模的平方为一常数，说明自由电子在任何地方出 现的几率均等。 现的几率均等。
1.4.1 原子的能级
1.4晶体中电子的运动 1.4晶体中电子的运动
1.4.1 原子的能级 1. 电子的共有化运动
1.4.2 晶体中电子的状态和能带 1.4.3 晶体中的电子 1.4.4 晶体中电子的运动 有效质量 晶体中电子的运动-有效质量
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原子的能级（电子壳层） 原子的能级（电子壳层）
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波函数在势阱的边界上必须连续， 波函数在势阱的边界上必须连续，
将波函数 将波函数(x)=Asinnπx/a代入薛定谔方程 π 代入薛定谔方程 得 En= 2π2n2/2m0a2 n=1,2, 即被束缚在势阱中的电子， 即被束缚在势阱中的电子，其能量只能取一系列分立 数值------能量量子化。 能量量子化。 数值 能量量子化 能量为E 的波函数 π 能量为 n的波函数n (x)=Asin(nπ/a)x n (x)=0 , ∞ | (x)|2dx=1 归一化 ∫ -∞n ∞ (0 ≤ x ≤ a) (x≤0, x ≥ a) ≤ 得 A=(2/a)1//2
晶体中的电子 严格周期性势场 （周期排列的原子核 势场及大量电子的平 均势场） 均势场）
1. 波函数 德布罗意假设:一切微观粒子都具有波粒二象性 德布罗意假设 一切微观粒子都具有波粒二象性. 一切微观粒子都具有波粒二象性 自由粒子的波长、频率、动量、 自由粒子的波长、频率、动量、能量有如下关系 E=hν= ω ν P= h/λ= k（ = h /2π ） λ （ π 即：具有确定的动量和确定能量的自由粒子，相当 具有确定的动量和确定能量的自由粒子， 于频率为ν和波长为λ的平面波， 于频率为ν和波长为λ的平面波，二者之间的关系如 同光子与光波的关系一样。 同光子与光波的关系一样。 自由粒子的波函数(由一维变化为沿空间任一方向 自由粒子的波函数 由一维变化为沿空间任一方向) 由一维变化为沿空间任一方向 π λ δ 由 ψλ(r,t)=Acos[2π(x/λ - ν t)-δ]
波函数ψ(r,t)描述处于相同条件下大量粒子的一次行为或一个 波函数ψ 波函数 描述处于相同条件下大量粒子的一次行为或一个 粒子的多次行为。 粒子的多次行为。 波函数为几率波------微观粒子的一个运动状态。 微观粒子的一个运动状态。 波函数为几率波 微观粒子的一个运动状态 波函数的归一化 波函数的归一化: 波函数的归一化 C Φ(r,t)= ψ(r,t) 量子力学中态ψ 的叠加： 量子力学中态ψ(r,t)的叠加：体系的不同状态线性叠加也是 的叠加 体系可能实现的状态。 体系可能实现的状态。 定态波函数(r) ： 定态波函数 作用于粒子上的力场不随时间改变, 波函数有较简单的形式： 作用于粒子上的力场不随时间改变 波函数有较简单的形式： ψ(r,t)= (r) f(t)= (r) exp(-iEt/ ) 定态波函数(r)为一个空间坐标函数（振幅波函数）与一个时 定态波函数 为一个空间坐标函数（振幅波函数） 为一个空间坐标函数 间函数的乘积，整个波函数随时间的改变由exp(-iEt/ )因子决 间函数的乘积，整个波函数随时间的改变由 因子决 定。 波函数模的平方： 波函数模的平方：| ψ(r,t)|2= | (r) |2说明粒子的几率分布不随 时间变化。 时间变化。
波函数 n (x)=(2/a)1//2sin(nπ/a)x (0 ≤ x ≤ a) π n (x)=0 (x≤0, x ≥ a) ≤
（2）分析讨论 ） A 能量量子化 相邻能级间的间隔: 相邻能级间的间隔 En=E n+1－En= （ 2 π 2/2m0a2 )(2n+1) 电子的质量: 电子的质量 设：a=100nm 则：En=n2×0.38eV En= n×0.75eV × 设：a=1cm 则： En= n×0.75×10 –14 eV × × m0 =9.1×10 –31 kg ×
2. 原子的能级分裂
当两个原子相距很远时， 当两个原子相距很远时，每个能级都有两个态与之 相应是二度简并； 相应是二度简并； 当原子相互靠近时， 当原子相互靠近时，每个原子中的电子除受本身原 子的势场作用外，又受到另一原子的势场作用； 子的势场作用外，又受到另一原子的势场作用； 结果：二度度简并的能级分裂为彼此相距很近的能级， 原子靠的越近，分裂越厉害。 原子靠的越近，分裂越厉害。
个原子组成晶体时： 由N个原子组成晶体时： 个原子组成晶体时 允带------每一个 度简并的能级都分裂成彼此 每一个N度简并的能级都分裂成彼此 允带 每一个 相距很近的能级， 个能级组成一个能带。 相距很近的能级，这N个能级组成一个能带。 个能级组成一个能带 禁带------允带之间没有能级的带。 允带之间没有能级的带。 禁带 允带之间没有能级的带
经过空间变换、 经过空间变换、公式代入
ψ λ(r,t)=Aexp [-i(Et - rp)/ ]
干涉实验
+ +
极细的带正 电的金属丝 电子枪 电子干涉实验
讨
论
粒子的观点：干涉图样中极大值有较多的电子到达， 粒子的观点：干涉图样中极大值有较多的电子到达，而极 小值很少或没有。 小值很少或没有。 波动的观点：干涉图样中，极大值处波的强度大， 波动的观点：干涉图样中，极大值处波的强度大，极小值 处波的强度为极小或为零。 处波的强度为极小或为零。 统一波和粒子的概念：用一波函数ψ(r,t)描写干涉实验中电子 统一波和粒子的概念：用一波函数ψ 统一波和粒子的概念 描写干涉实验中电子 的状态，则波函数模的平方| 表示t时刻在空间某处波的 的状态，则波函数模的平方 ψ(r,t)|2表示 时刻在空间某处波的 强度，或波函数模的平方表示与t时刻在空间某处单位体积内 强度，或波函数模的平方表示与 时刻在空间某处单位体积内 发现粒子的数目成正比。即波的强度为极大的地方， 发现粒子的数目成正比。即波的强度为极大的地方，找到粒 子的数目为极大，在波的强度为零的地方， 子的数目为极大，在波的强度为零的地方，找到粒子的数目 为零。 为零。 一个粒子的多次重复行为结果与大量粒子的一次行为相同， 一个粒子的多次重复行为结果与大量粒子的一次行为相同， 在某处找到粒子的可能性用几率来表示。 在某处找到粒子的可能性用几率来表示。
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原子结合成晶体时晶体中电子的共有化运动
电子共有化运动------晶体中原子能级上的电子不完 晶体中原子能级上的电子不完 电子共有化运动 全局限在某一原子上， 全局限在某一原子上，可以由一个原子转移到相邻 的原子上去，结果电子可以在整个晶体中运动。 的原子上去，结果电子可以在整个晶体中运动。 电子共有化的原因：电子壳层有一定的交叠， 电子共有化的原因：电子壳层有一定的交叠，相邻 原子最外层交叠最多，内壳层交叠较少。 原子最外层交叠最多，内壳层交叠较少。 注：电子在各原子中相似壳层间运动，且最外电子 电子在各原子中相似壳层间运动， 壳层共有化显著。 壳层共有化显著。
2. 薛定谔方程 微观粒子的运动状态随时间改变的规律------微观粒子 微观粒子 微观粒子的运动状态随时间改变的规律 的运动规律。 的运动规律。 描述微观粒子运动的方程 描述微观粒子运动的方程------薛定谔方程 薛定谔方程 2ψ 2ψ 2ψ 2 = — + — + —2x 2y 2 z 2 ψ i— =-— 2 t 定态薛定谔方程: 定态薛定谔方程
3. 在一维无限深势阱中运动的电子 （1）电子的波函数 ） 电子受力场作用，电子的能量： 电子受力场作用，电子的能量： E=Ek+U(x) 为电子的动能， 为力场的势能） （Ek为电子的动能， U(x) 为力场的势能） 薛定谔方程： 薛定谔方程：E= - ( 2/2m0)d 2/dx2 + U(x)
自由电子的能量等于动能： 自由电子的能量等于动能： E=h ν= ω ω 动能： 动能： p=k 统一粒子性和波动性 有：v= k/m0 E= 2k2/2m0 k值确定电子的运动状态， k值确定电子的运动状态，自由 值确定电子的运动状态 电子的能量是连续的能谱。 电子的能量是连续的能谱。 由自由电子在一维空间运动的薛定谔方程： 由自由电子在一维空间运动的薛定谔方程： E(r) = -( 2/2m0)d(r) 2/dx2 也得： 也得： E= 2k2/2m0 k E
一维无限深势阱的势能： 一维无限深势阱的势能： U(x)= ∞ 0
U(x)
(x≤0, x ≥ a) ≤ (0 ≤ x ≤ a)
0
a
x
一维无限深势阱
方程的通解： 方程的通解： (x)=Asin(kx+δ) δ (x)=0 , 即 (0)=0 (a)=0 有 Asinδ=0，得： δ=0， δ ， ， 则：波函数 (x)=Asinkx (a)=Asinka =0 得 kn=nπ/a π (0 ≤ x ≤ a) (x≤0, x ≥ a) ≤
B 几率分布 |1(x)|2 |2(x)|2 |3 (x)|2 |4 (x)|2
|n (x)|2= (2/a)sin2 ( nπ/a) x π
x a
1.4.3 晶体中电子 1.晶体中的薛定谔方程及其解的形式 晶体中的薛定谔方程及其解的形式 单电子在与晶格同周期的势场中运动， 单电子在与晶格同周期的势场中运动，对于一维 晶格，势能函数为： U(x)=U(x+sa) 晶格，势能函数为： 解薛定谔方程： E= - ( 2/2m0)d 2/dx2 + U(x) 解薛定谔方程： 布洛赫定理：在周期性势场中运动的电子， 布洛赫定理：在周期性势场中运动的电子，满足薛 定谔方程的波函数一定具有如下形式： 定谔方程的波函数一定具有如下形式： k(x)=vk(x)e ikx vk(x) = vk(x+na)