均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解【开题报告】
三维谐振子在均匀磁场 能量本征值
三维谐振子在均匀磁场能量本征值三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值是一个重要的物理问题，它在量子力学中有着广泛的应用。
本文将围绕这个主题展开讨论，并探讨其相关的物理现象和理论。
我们需要了解什么是三维谐振子。
三维谐振子是指一个粒子在三个相互垂直的方向上受到恢复力的作用而产生的振动系统。
在经典力学中，三维谐振子的运动可以描述为一个简谐振动。
而在量子力学中，三维谐振子的运动则需要用到薛定谔方程来描述。
在经典力学中，三维谐振子的能量是连续的，而在量子力学中，能量是量子化的，只能取离散的数值。
当一个三维谐振子置于一个均匀磁场中时，磁场将对其产生影响。
这是因为磁场可以通过与谐振子的轨道运动相互作用，改变谐振子的能量。
这种相互作用被称为磁偶极子相互作用。
磁偶极子相互作用的起源是由于谐振子带有磁矩。
磁矩是描述物体磁性的物理量，它与物体的旋转和轨道运动有关。
当谐振子带有磁矩时，它会受到磁场的力矩作用，并发生能级的改变。
根据量子力学的理论，三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值可以通过解薛定谔方程得到。
薛定谔方程描述了系统的波函数随时间的演化，从而确定了系统的能量本征值。
在求解薛定谔方程时，我们可以采用分离变量法，将三维谐振子的波函数表示为三个坐标的乘积形式。
然后将波函数代入薛定谔方程，通过求解得到能量本征值和对应的波函数。
通过解薛定谔方程，我们可以得到三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值的表达式。
这个表达式与磁场的强度、谐振子的质量和频率等参数有关。
不同的参数取值会导致能量本征值的变化，从而影响谐振子的行为。
三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值的研究对于理解量子力学中的基本原理和应用具有重要意义。
它不仅为实验提供了理论依据，也为相关技术的发展提供了指导。
在实际应用中，三维谐振子在均匀磁场中的能量本征值可以用于研究原子、分子和凝聚态物质的性质。
例如，在核磁共振成像中，磁场对原子核的能级结构产生影响，从而使得原子核能够吸收和发射特定频率的电磁波，实现成像。
各向异性谐振子的能级简并
各向异性谐振子的能级简并刘永宏指导教师：焦志莲(太原师范学院物理系，太原030031 )【摘要］给出了二维、三维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各向异性谐振子的能级简并问题。
【关键词］各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并。
0.引言各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的《量子力学导论》就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析。
但是对于各向异性谐振子的问题，则很少有教材中进行专门的讨论。
各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性，且在一定的近似条件下, 可转变为各向同性谐振子来处理。
所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加深对各向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础。
本文先给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题。
1.各向异性谐振子的能级及波函数i.i 二维各向异性谐振子的能量及波函数当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在oxy坐标系中可以表示为H(x,y) P x2P2 1 2 2 1 2 2(1)2 2 2 x X 2 y y令P2H x 亠2122 2x x ,H yP 2y21y y(2)求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为1 1E n x,n y (n x -)h x (n y -)h y (3)n x,n y(X,y) n x( x X) n y( y y) ( 4 )其中，各维波函数为1.2 三维各向异性谐振子的能量及波函数1 2 2z Z) N z exp( 2 z z)H z ( z z);2各向异性谐振子的能级简并般情况下，各向异性谐振子的能级并不简并。
以下我们分别就二维、三维谐振子情况，对能级简并进行了讨论。
2.1二维各向异性谐振子的能级简并 能级E n x,n y所对应的量子状态只有一个，即n x ,n y(X, y)态，可以用(“x , n y )表示这个能态。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
二维谐振子薛定谔方程
二维谐振子薛定谔方程二维谐振子是量子力学中的一个重要模型，它模拟了粒子在二维势场中的运动。
薛定谔方程描述了二维谐振子的波函数演化过程，是解析求解的方程之一。
在这个模型中，我们可以看到粒子在势场中的受限运动，同时也展现了量子力学的一些独特性质。
二维谐振子的薛定谔方程是一个偏微分方程，它描述了波函数随时间和空间的演化。
波函数是描述粒子状态的数学对象，它包含了粒子的位置和动量信息。
根据薛定谔方程，我们可以得到波函数随时间的演化方程，从而可以预测粒子在势场中的运动轨迹。
二维谐振子的势场可以用一个简单的数学形式表示，通常是一个二次型势能。
这个势能在空间中呈现出一个类似于碗形的形状，粒子在这个势场中受到束缚，只能在势能的局部范围内运动。
这种束缚导致了粒子的能量是量子化的，只能取特定的离散值。
薛定谔方程的解可以用一系列的波函数模式表示，每个模式对应着一个能量本征态。
这些能量本征态可以看作是粒子在势场中的稳定状态，它们的波函数具有特定的空间分布。
这些分布形状呈现出环形和径向波动的特征，反映了粒子在二维势场中的受限运动。
除了能量本征态，薛定谔方程的解还包含了能量本征值，它们对应着不同的能级。
能级之间的能量差值是固定的，而且是量子化的，这意味着粒子在这个势场中具有离散的能量。
这种离散性质是量子力学的独特之处，与经典力学的连续性相对应。
二维谐振子的薛定谔方程是量子力学中一个重要的模型，它不仅提供了粒子在二维势场中运动的描述，还展现了量子力学的一些基本原理。
通过解析求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数，从而可以预测和描述粒子在势场中的运动和性质。
这个模型在物理学和化学中有广泛的应用，对于理解和研究微观世界的行为具有重要意义。
均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解【开题报告】
毕业论文开题报告物理学均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解一、选题的背景与意义在研究物理学问题时，为了更好的揭示和理解物理现象背后的规律性，我们需要对研究对象进行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依据是抓住主要矛盾、忽略次要因素。
在物理学上我们熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如说质点模型、理想气体模型、点电荷模型等等还有很多。
谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。
在各种周期性振动中，最简单、最基本的振动形式就是简谐振动。
在自然界中广泛存在和碰到简谐振动。
任何体系在平衡位置附近的小振动，例如，分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都是简谐振动，且在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干独立的一维谐振动。
最重要的是谐振子还往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种改进，所以谐振子的运动的研究，无论在理论上或在应用上都是很重要的。
一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决。
后来Dirac用算子代数的方法给出极其漂亮的解。
而我所要研究的均匀磁场中二维谐振子的模型也是最基础最简单的模型。
它直接为三维谐振子出场做了铺垫。
虽然比一维谐振子只多了一个在均匀磁场和维数，但是他们俩却有本质的区别，最重要的不同就是在均匀磁场中的二维谐振子出现了相干项，这直接加大了本征值和其波函数的求解难度。
这直接要求我们寻找新的方法新的途径去解决它。
因为它是多么的重要仅仅是在均匀磁场，不均匀的又怎么办，再加一个电场又该怎么办，所以在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型是最简单最重要的且最具有代表性的一个模型，而且这模型也是我们物理系研究生阶段最基础也最熟悉的模型。
在这样看来在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型就显示出更重要的意义。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题（ⅰ）重复推导出求解均匀磁场中二维各向异性谐振子模型的本征值和相应的波函数。
二维谐振子问题
二维谐振子问题谐振子是物理学中的重要概念，它是一个模型，用来描述一些物理系统中的振动行为。
二维谐振子是在二维平面上运动的谐振子，其运动受到势能的限制。
本文将详细介绍二维谐振子的问题。
1. 物理模型二维谐振子是在二维平面上进行谐振运动的一个模型。
它的运动可以用平面直角坐标系描述，其中坐标轴分别表示系统的两个自由度。
例如，我们可以将一个质点在平面上的水平和垂直方向的运动表示为x 和y坐标。
2. 势能表达式二维谐振子的势能可以通过一个势能函数来表示。
对于简谐振动而言，势能函数是一个二次型。
在二维谐振子问题中，势能函数表达式如下：V(x, y) = (1/2)kx^2 + (1/2)ky^23. 运动方程根据拉格朗日力学的原理，我们可以得到描述二维谐振子运动的运动方程。
通过求解运动方程，我们可以得到系统在不同时间点上的位置和速度。
对于二维谐振子而言，其运动方程如下：m(d^2x/dt^2) = -kxm(d^2y/dt^2) = -ky4. 能级和频率二维谐振子问题中，我们可以进一步计算能级和频率。
能级是指系统的不同能量状态，而频率则是指系统的振动频率。
通过求解运动方程，我们可以得到系统的能级和频率表达式。
对于二维谐振子而言，能级和频率计算公式如下：E = (n + 1/2)hwf = w/(2π)其中，n为能级的量子数，h为普朗克常数，w为角频率。
5. 二维谐振子的性质二维谐振子具有许多特殊的性质。
例如，它的能级是量子化的，且能级之间的能量差是相等的。
此外，二维谐振子的振动模式可以分为横向和纵向振动。
横向振动发生在一个平面内，而纵向振动则垂直于该平面。
6. 应用二维谐振子模型在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在光学中，二维谐振子模型可以用来描述光波在平面波导中的传播行为。
在微观尺度下，二维原子排列也可以看作是一种二维谐振子系统。
结论二维谐振子问题是物理学中的一个重要问题，它描述了平面上的谐振子运动行为。
二维大地电磁各向异性研究的开题报告
二维大地电磁各向异性研究的开题报告1. 研究背景和意义在地球物理探测领域中，大地电磁法是一种重要的无损勘探方法，它广泛应用于石油勘探、矿产勘探、地下水勘探和环境地球物理等领域。
随着大地电磁法理论和技术的不断发展，各向异性效应越来越得到了广泛关注。
大地电磁法各向异性是指当探测器在不同方向上取向不同时，测得的电磁响应产生不同的效果。
因此，研究大地电磁法各向异性对于提高探测结果的准确性和可靠性具有极其重要的意义。
2. 研究目的和内容本文旨在通过对二维大地电磁法各向异性进行研究，探索各向异性效应对探测结果的影响及其机理。
主要内容包括：（1）分析二维各向异性电磁场响应的理论基础和数学模型，并探究响应表征与解释的方法。
（2）建立各向异性二维大地电磁数学模型，并采用数值模拟方法计算合成的电磁场响应，从而探讨各向异性效应对大地电磁勘探的影响。
（3）实地应用研究方法对某石油勘探区域进行二维大地电磁法的勘探，并进行数据分析和解释。
通过比较各向异性与非各向异性模型的勘探效果，验证各向异性对探测结果的影响。
3. 研究方法和实施计划在本次研究中，主要采用数值模拟和实地观测相结合的方法开展研究。
（1）数值模拟方法：在理论研究和数值计算环节中，我们将采用FEM（有限元法）和BEM（边界元法）等数值计算方法，建立包含各向异性效应的二维大地电磁模型，并计算模型的电磁场响应。
（2）实地勘探方法：我们将选取具有典型各向异性特征的石油勘探区域，采用二维大地电磁勘探技术进行实地观测，并对勘探数据进行分析和解释。
在勘探数据处理中，我们将比对分析不同模型之间的勘探效果，并研究各向异性效应对探测结果的影响。
（3）实施计划：本次研究计划完成时间为一年，具体的实施计划和时间安排如下：第一阶段：文献调研和理论研究（2个月）第二阶段：模型建立和数值模拟（4个月）第三阶段：实地勘探观测、数据处理和分析（4个月）第四阶段：结果整理和撰写论文（2个月）4. 预期结果与贡献本次研究预期能够得到以下成果：（1）建立二维大地电磁各向异性数学模型，探究各向异性效应对勘探结果的影响机理。
二维氢原子和二维谐振子能级波函数间的联系
二维氢原子和二维各向同性谐振子波函数和能级的比较摘 要：二维氢原子和二维各向同性谐振子能级，波函数的求解，归结为解两个完全不同的薛定谔方程。
而本文从二维谐振子的径向方程出发，作适当的变换，得到二维氢原子的径向方程。
由二维氢原子的能级和波函数导出二维各向同性谐振子的能级和波函数。
关键词：量子力学；二维氢原子和谐振子；能级和波函数Relationship of the Energy Level and Wave Function between Two-dimensional Hydrogen Atom andTwo-dimensional Harmonic OscillatorsAbstract:To solve the energy levels and wave functions of two-dimensional hydrogen atom and two-dimensional harmonic oscillators can be put in a nutshell to solve two different time-independent schrōdinger equat ions.This paper first carries out a transformation for two-dimensional hydrogen atom's radial schrodinger equation,then derives two-dimensional harmonic oscillators's energy level and wave function from energy level and wave function of two-dimensional hydrogen atom.Key words: quantum-mechanics; two-dimension; hydrogen atom and harmonic oscillators; energy level and wave function0 引言近年来，由于技术上的进步，有效的低维（二维，一维，零维）体系的制备已在实验上逐步实现。
二维各向同性谐振子解法
二维各向同性谐振子解法二维各向同性谐振子一维能量本征值问题(我们只讨论束缚态)没有简并,二维各向同性谐振子比一维问题复杂但是比氢原子问题简单,因此可以作为阐述能量定态问题的解法以及能级简并概念(以及其他重要的知识,比如合流超几何函数,简并性与对称性的关系,幺正变换等)的很好的例子.1二维各向同性谐振子二维各向同性谐振子的Hamilton量为H=?12r2+12(x2+y2)其定态问题可以在直角坐标系中分离变量从而化为已知的一维谐振子问题,结果为U n1n2(x;y)=exp ?12(x2+y2) H n1(x)H n2(y);E N=N+1(1)其中N=n1+n2;n1;n2=0;1;2;:::,H n(x)为厄米多项式,这里我们使用未归一化波函数.能级简并度为N+1,波函数的宇称为(?1)N.下面考虑在极坐标系下的解法.坐标变换x= cos ;y= sin (2)其中 >0;06 62 .Hamilton算符H=?12 1 @@ @@ +1 2@2@ 2 +12 2(3)我们寻求定态Schr?digner方程HV( ; )=E V( ; )具有分离变量形式V( ; )=R( ) ( )(4)的解,得出R0+ 2E? 2? 2 R=0; 00+ =0(5) R00+1第二个方程在周期性条件 ( +2 )= ( )下的解为p=0; 1; 2;:::(6) m( )=exp(im );m=当 1时,径向方程的渐近形式R00? 2R 0(7)其渐近解为R( ) exp( 2/2),我们令R( )=exp(? 2/2)w( ),代入到径向方程得到w00+ 1 ?2 w0+ 2E?2?j m j2 2 f=0(8)再令z = 2,替换变量后w 00+ 1z ?1 w 0+14 2E ?2z ?j m j 2z2 w =0其中的微商对新变量z 进行.z =0是指数为 j m j /2的正则奇点1.当j m j =0时,这两个指数相同,两个线性无关的解具有形式w 1(z )=X n =01c n z n;w 2(z )=w 1(z )log z +X n =11d n z n (9)其中c n 和d n 为系数,c 0=/0,w 2(z )在z =0发散,不符合物理要求.当j m j >1时,两指数的差为正整数,两个线性无关解的形式为w 1(z )=z j m j 2X n =01c n z n ;w 2(z )=aw 1(z )log z +z ?j m j 2X n =01d n z n (10)其中c n ;d n ;a 为系数,c 0=/0;d 0=/0,w 2(z )同样不符合物理要求.因此无论j m j 取何值,满足物理要求的解都具有形式w (z )=z j m j 2X n =01c n z n ;c 0=/0(11)记幂级数F (z )=P n =01c n z n ,将上式代入到原方程,可以求得系数的递推式c n +1= +n ( +n )(n +1)c n ;n >0(12)其中 =j m j +1, =(j m j +1?E )/2.如果令c 0=1,得到的幂级数F ( ; ;z )=1+ z +12! ( +1) ( +1)z 2+ (13)称为合流超几何函数2.要满足z !1的物理条件,这个级数必须退化为多项式,否则当 1时F ( ; ;z ) exp (z );R exp ( 2/2),这要求=?n ;n =0;1;2;:::(14)此时F ( ; ;z )为n 次多项式.我们得到波函数和能级V n m ( ; )= j m j exp ? 22 F (?n ;j m j +1; 2)exp (im );E N =N +1(15)其中N =2n +j m j =0;1;2;:::.当N 为偶数时,m =0; 2;:::; N ;当N 为奇数时,m = 1; 3;:::; N :这两种情况的简并度都是N +1.作宇称变换时, ! ; ! + ,因此V n m !(?1)m V n m ,但是N 与m 的奇偶性相同,故波函数的宇称为(?1)N .下面,我们看这些波函数间的关系.基态(N =0)没有简并,因此两种解法得到的波函数相同U 00=exp ?x 2+y 22 ;V 00=exp ? 22 (16)1.二阶线性常微分方程正则奇点附近解的一般结论请参考其他数学笔记.2.合流超几何函数是合流超几何方程zF 00+( ?z )F 0? F =0的一类正则解,详细情况请参考有关特殊函数的书籍.第一激发态(N=1)有二重简并,波函数分别为U10=exp ?x2+y22 2x;U01=exp ?x2+y22 2y(17)以及V01= exp ? 22 exp(i );V0?1= exp ? 22 exp(?i )(18)因为exp( i )=x iy,这两组解通过幺正变换相互联系.第二激发态(N=2)有三重简并U20=exp ?x2+y22 (4x2?2);U11=exp ?x2+y22 4xy;U02=exp ?x2+y22 (4y2?2)(19)以及V10=exp ? 22 (1? 2);V02= 2exp(2i );V0?2= 2exp(?2i )(20)显然V10可以由U20与U02组合得到,而2exp( 2i )= 2(cos i sin )2=x2?y2 i2xy(21)因此V0 2要由U20,U02以及U11组合得到.两组波函数同样以幺正变换相联系.2简并,可分离变量以及对称性我们看到,如果一个能量本征值问题可以在两种或两种以上坐标系下用分离变量法求解,那么能级(除了基态)是简并的,因为对于一个能级,在这两种坐标系下得到的本征函数一般不可能相同,它们之间用幺正变换相联系.二维中心势下,用极坐标可以分离变量,但x轴的取向还可以有不同的选择,这给出了能级对m的二重简并.但是,上面的各向同性谐振子还可以在直角坐标系下分离变量,它比一般中心势具有更大的简并性(能级只取决于2n +j m j).三维中心势在球坐标下可以分离变量,但z轴的取向可以有不同的选择,因此能级简并度为2l+1.氢原子问题则具有更大的简并度(n=n r+l+ 1),这相应于如下事实:此问题也可以在旋转抛物面坐标系下分离变量.因此,能级简并与问题的对称性相关.与坐标轴的取向相关的对称性很容易发现,但与(本质上)不同种类的坐标系相关的对称性则不是显而易见的.前者是一种几何对称性,而后者则是动力学对称性.。
求解平面转子本征问题的因式分解方法
求解平面转子本征问题的因式分解方法傅美欢【摘要】讨论了平面转子的可因式分解性,用因式分解的方法求解了平面转子的本征问题,并计算了均匀强电场下平面转子的能级和波函数.【期刊名称】《南京工业职业技术学院学报》【年(卷),期】2010(010)004【总页数】3页(P71-73)【关键词】平面转子;因式分解;升、降算符;能量本征值;本征函数【作者】傅美欢【作者单位】南京工业职业技术学院,人文数理系,江苏,南京,210046【正文语种】中文【中图分类】O413.1引言用因式分解方法求解Schrödinger方程是量子力学中的一种重要的解析求解方法，长期以来一直受到人们的重视，现在仍有许多研究和广泛应用。
Schr dinger提出解决一维谐振子能量本征值问题的因式分解方法[1]，由此引进了升、降算符的概念，谐振子相邻能级和本征态通过这些算符可以联系起来。
Infeld 和Hull等对这种方法进行了系统化，归纳出6类可以因式分解的问题[2]，并将它们应用于电磁理论和量子理论的一些问题。
人们已经用因式分解方法对一维谐振子问题、三维中心力场中Hamilton量的可因式分解性问题等作了比较广泛的研究[3-7]。
如L de la Pena等人应用这种方法处理了一维谐振子、角动量和刚性转子的本征问题[3]；F M Fernandez等人将这种方法应用于中心力场，对N维各向同性谐振子、N维氢原子和Morse振子的本征值作了很简洁的计算[4]；曾谨言等人研究了径向Schrödinger方程的可因式分解性，并得出了各向同性谐振子、氢原子的四类升、降算符[5，6]。
本文讨论了有外场作用时平面转子的可因式分解性，在推导出升、降算符的基础上求解了平面转子的本征问题。
1 平面转子的可因式分解性在无外场作用时，转子的Hamilton量为[8](1)式中I为转子的转动惯量。
可求出其本征函数和相应的能量本征值分别为(2)m=0, ±1, ±2,…(3)如果有外场V(φ)作用，则(4)定义与量子数m有关的升、降算符式中f(m,φ)与g(m,φ)待定，以满足因式分解的要求，即A-(m+1)A+(m)=H+c1(m) A+(m-1)A-(m)=H+c2(m)(8)这里c1(m)和c2(m)与φ无关。
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毕业论文开题报告
物理学
均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解
一、选题的背景与意义
在研究物理学问题时，为了更好的揭示和理解物理现象背后的规律性，我们需要对研究对象进行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依据是抓住主要矛盾、忽略次要因素。
在物理学上我们熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如说质点模型、理想气体模型、点电荷模型等等还有很多。
谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。
在各种周期性振动中，最简单、最基本的振动形式就是简谐振动。
在自然界中广泛存在和碰到简谐振动。
任何体系在平衡位置附近的小振动，例如，分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都是简谐振动，且在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干独立的一维谐振动。
最重要的是谐振子还往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种改进，所以谐振子的运动的研究，无论在理论上或在应用上都是很重要的。
一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决。
后来Dirac用算子代数的方法给出极其漂亮的解。
而我所要研究的均匀磁场中二维谐振子的模型也是最基础最简单的模型。
它直接为三维谐振子出场做了铺垫。
虽然比一维谐振子只多了一个在均匀磁场和维数，但是他们俩却有本质的区别，最重要的不同就是在均匀磁场中的二维谐振子出现了相干项，这直接加大了本征值和其波函数的求解难度。
这直接要求我们寻找新的方法新的途径去解决它。
因为它是多么的重要仅仅是在均匀磁场，不均匀的又怎么办，再加一个电场又该怎么办，所以在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型是最简单最重要的且最具有代表性的一个模型，而且这模型也是我们物理系研究生阶段最基础也最熟悉的模型。
在这样看来在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型就显示出更重要的意义。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
（ⅰ）重复推导出求解均匀磁场中二维各向异性谐振子模型的本征值和相应的波函数。
（ⅱ）在此基础上，计算一个特例—均匀磁场中二维各向同性谐振子模型的本征值和相应的波函数，并进行比较。
三、研究的方法与技术路线
（ⅰ）温习量子力学和数理方法，阅读和学习文献【1】，理解在均匀磁场中各向异性二维谐振子模型。
（ⅱ）利用幺正变换重复推导出在均匀磁场中各向异性二维谐振子模型的本征值和相应的波函数。
（ⅲ）在此基础上，计算一个特例—均匀磁场中二维各向同性谐振子模型的本征值和相应的波函数，并进行比较。
四、研究的总体安排与进度
2010年12月24日之前完成开题论证；
2011年02月01日之前完成内容（1）；
2011年03月25日之前完成内容（2）；
2011年04月04日之前完成论文初稿；
2011年04月29日之前毕业论文定稿；
五、主要参考文献
[1] 田志良, 游阳明，恒定均匀磁场中带电谐振子的运动分析，沧州师范专科学校
学报，2004
[2] 陈皓，周园园，磁场中谐振子的量子与经典对应，辽宁师专学报，2009
[3] 吴奇学，带电粒子在均匀磁场与三维各向同性谐振子场中运动的双波描述，物
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[5] 马志民，二维谐振子的双波函数描述，哈尔滨师范大学自然科学学报，2002
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[7] 赵素琴，均匀磁场中三维各向同性谐振子微扰矩阵元的普遍表达式，大学物理，2007
[8] 韩萍，李菲菲，量子谐振子与经典谐振子的比较，渤海大学学报（自然科学版），2007
[9] 李体俊，一维谐振子薛定谔方程的一种解法，云南民族大学学报（自然科学版），2008
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