二维各向同性不可分小波变换特性分析
小波变换的基本原理和数学模型详解
小波变换的基本原理和数学模型详解一、引言小波变换是一种信号分析的数学工具，可以将信号在时间和频率上进行局部分析。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍小波变换的基本原理和数学模型。
二、小波变换的基本原理小波变换的基本原理是将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些小波基函数的线性组合来表示原始信号。
与傅里叶变换不同的是，小波变换可以实现信号的时频局部化分析，能够更好地捕捉信号的瞬态特性。
三、小波基函数的选择小波基函数是小波变换的核心，不同的小波基函数对信号的分析效果有所不同。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。
这些小波基函数在时域和频域上具有不同的特性，可以根据具体应用的需求选择合适的小波基函数。
四、小波变换的数学模型小波变换的数学模型可以通过连续小波变换和离散小波变换表示。
连续小波变换是对连续信号进行小波变换，可以用积分来表示。
离散小波变换是对离散信号进行小波变换，可以用矩阵运算表示。
五、连续小波变换连续小波变换的数学模型可以表示为：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[ (t-b)/a ] dt其中，W(a, b)表示小波系数，f(t)表示原始信号，ψ(t)表示小波基函数，a和b 分别表示尺度参数和平移参数。
六、离散小波变换离散小波变换的数学模型可以表示为：W(n, k) = ∑f(m)ψ*[ (m-k)/2^n ]其中，W(n, k)表示小波系数，f(m)表示原始信号，ψ(m)表示离散小波基函数，n表示尺度参数，k表示平移参数。
七、小波变换的算法小波变换的计算可以通过快速小波变换算法实现，常用的算法有快速小波变换（FWT）和快速多尺度小波变换（FWMT）。
这些算法可以大大提高小波变换的计算效率，使得小波变换在实际应用中更加可行。
八、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、信号分析等；在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测等；在数据压缩中，小波变换可以用于无损压缩和有损压缩等。
小波分析实验：二维离散小波变换Mallat快速算法
小波分析实验：实验2 二维离散小波变换(Mallat快速算法)实验目的：在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
实验工具：计算机，matlab6.5附录：（1）二维小波分解函数%二维小波分解函数function Y=mallatdec2(X,wname,level)%输入:X 载入的二维图像像数值;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 多极小波分解后的小波系数矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为低通和高通滤波器X=double(X);hh=size(X,2);while t<=level%先进行行小波变换for row=1:hhY(row,1:hh)=mdec1(X(row,1:hh),h,g) ;end%再进行列小波变换for col=1:hhtemp=mdec1( Y(1:hh,col)',h,g);Y(1:hh,col)=temp';endt=t+1;hh=hh/2;X=Y;end%内部子函数，对一行(row)矢量进行一次小波变换，利用fft实现function y=mdec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波分解后的系数lenx=size(x,2);lenh=size(h,2);rh=h(end:-1:1);rrh=[zeros(1,(lenx-lenh)),rh];rrh=circshift(rrh',1)';rg=g(end:-1:1);rrg=[zeros(1,(lenx-lenh)),rg];rrg=circshift(rrg',1)';r1=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrh,lenx)),1); %use para 1r2=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrg,lenx)),1);y=[r1,r2];（2）二维小波重构函数%二维小波重构函数function Y=mallatrec2(X,wname,level)%输入:X 载入的小波系数矩阵;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 重构图像矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为重构低通滤波器和重构高通滤波器hz=size(X,2);h1=hz/(2^(level-1));while h1<=hz% 对列变换for col=1:h1temp=mrec1(X(1:h1,col)',h,g)';X(1:h1,col)=temp;end%再对行变换for row=1:h1temp=mrec1(X(row,1:h1),h,g);X(row,1:h1)=temp;endh1=h1*2;endY=X;%内部子函数，对一行小波系数进行重构function y=mrec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波重构后值lenx=size(x,2);r3=dyadup(x(1,1:lenx*0.5),0); %内插零use para 0r4=dyadup(x(1,(lenx*0.5+1):lenx),0); %use para 0y=ifft(fft(r3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(r4,lenx).*fft(g,lenx));（3）测试函数（主函数）%测试函数（主函数）clc;clear;X=imread('E:\Libin的文档\Course\Course_wavelet\实验2要求\exp2\LENA.bmp');%路径X=double(X);A = mallatdec2(X,'sym2',3);image(abs(A));colormap(gray(255));title('多尺度分解图像');Y= mallatrec2(A,'sym2',3);Y=real(Y);figure(2);subplot(1,2,1);image(X);colormap(gray(255));title('原始图像');subplot(1,2,2);image(Y);colormap(gray(255));title('重构图像');csize=size(X);sr=csize(1);sc=csize(2);mse=sum(sum( (Y-X).^2,1))/(sr*sc);psnr=10*log(255*255/mse)/log(10)小波分析实验：实验1 连续小波变换实验目的：在理解连续小波变换原理的基础上，通过编程实现对一维信号进行连续小波变换，（实验中采用的是墨西哥帽小波），从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
小波变换分析范文
小波变换分析范文小波变换是一种信号分析技术，可以将信号表示为时频域上的函数。
相比于傅里叶变换，小波变换在时域和频域上都具有更好的局部性和分辨率，能够更好地描述非平稳信号。
本文将从小波变换的基本原理、算法和应用领域等方面进行分析。
一、基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，其基本思想是将信号分解成一组基函数（小波基），然后通过对这些基函数与信号的内积运算得到信号在不同尺度上的时频表示。
小波基具有一些特殊的数学特性，如正交性、紧支性和可调节的带宽等，这使得小波变换能够更好地揭示信号的时频信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）来实现。
1.离散小波变换（DWT）离散小波变换将信号分解成不同频率域和尺度域的小波基函数，并通过滤波和下采样操作实现。
具体步骤如下：a.将信号通过低通滤波器和高通滤波器分解为近似系数和细节系数；b.对近似系数进一步进行低通滤波和高通滤波，得到第二层的近似系数和细节系数；c.反复重复上述步骤，直到达到所需的尺度。
2.连续小波变换（CWT）连续小波变换通过将信号与不同尺度和位置上的小波基函数进行内积运算来表示信号的时频信息。
具体步骤如下：a.选取一个母小波函数作为基函数；b.将母小波函数进行尺度变换和平移变换，得到一组具有不同尺度和位置的小波基函数；c.将信号与这组小波基函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的时频表示。
小波变换具有多尺度分析能力，可以在不同尺度上观察信号的局部细节特征，并且能够有效地提取信号的边缘、脉冲和突变等特征。
二、常见小波变换算法1.傅里叶变换转换尺度（FBS）小波变换FBS小波变换是比较基础的小波变换算法，通过将傅里叶变换应用于尺度变换的细节部分，将信号分解成自由基函数的线性组合。
2.快速小波变换（FWT）FWT是一种高效的小波变换算法，可以在O(N)的时间复杂度内实现小波变换。
FWT通过迭代地应用滤波器组合和下采样操作来实现信号的分解和重构。
一种二维不可分小波的构造及其在去噪中的应用的开题报告
一种二维不可分小波的构造及其在去噪中的应用的开题报告一、研究背景及意义小波变换作为一种重要的信号分析工具，已经被广泛应用于图像处理、语音识别、物理信号处理等领域。
在小波变换中，选择合适的小波基是一个重要的问题，传统的小波基主要有Haar、Daubechies、Symlets等系列。
但是，这些小波基具有可分性，即它们可以被分解成一维小波基的张量积形式，因此存在一定的局限性。
为了解决这个问题，一些研究者提出了不可分小波基，如Bivariate CDF 5/3等，但是这些小波基还存在一些问题，如多层小波分解可能会导致低频分量失真等。
因此，探索一种新的二维不可分小波的构造方法，具有重要的理论和应用价值。
本文研究的目的就是探索一种新的二维不可分小波基的构造方法，并在图像去噪中进行应用，从而提高去噪效果和处理速度。
二、研究内容及方法本文的研究内容主要包括以下几个方面：1.探索一种新的二维不可分小波的构造方法2.基于该小波基设计图像去噪算法3.通过实验证明其在去噪中的效果和处理速度为了完成以上目标，本文采取了以下研究方法：1. 研究现有的二维不可分小波的构造方法，并分析其不足之处2. 提出一种新的二维不可分小波的构造方法，并对其进行性质分析3. 基于该小波基设计图像去噪算法，并对其进行实现和测试4. 对比实验分析该小波基和现有小波基在去噪中的效果和处理速度三、预期研究成果和意义本文预期研究出一种新的二维不可分小波的构造方法，并将其应用于图像去噪中。
预期的具体研究成果如下：1. 提出一种新的二维不可分小波的构造方法，并对其进行性质分析2. 探究该小波基在图像去噪中的应用，并设计一种有效的去噪算法3. 通过实验证明该小波基在去噪中的效果和处理速度优于现有的小波基本文的研究成果对于小波变换在图像处理中的应用具有一定的理论和实际意义，有助于提高图像处理的效果和处理速度。
小波变换光谱特征
小波变换光谱特征
小波变换是一种在时频域上分析信号的方法，可将信号分解成不同频率的成分。
在光谱分析方面，小波变换可以提取出光谱中的特定频率和幅度信息。
具体来说，小波变换的光谱特征包括以下几个方面：
1. 频率分辨率：小波变换可以实现高频段的细致分析，对高频信号有较高的频率分辨率。
2. 时间分辨率：小波变换可以对信号进行局部分析，对信号的短时特征有较高的时间分辨率。
3. 峰值位置和幅度：小波变换可以提取出光谱中的峰值位置和峰值幅度，这些信息可以用于物质的光谱鉴定。
4. 频谱形态：小波变换可以对光谱进行形态学分析，提取出光谱中的谷、峰和肩部等形态学特征。
5. 频谱能量：小波变换可以计算出光谱中的能量分布，有助于分析光谱中的能量分布规律。
综上所述，小波变换的光谱特征包括频率分辨率、时间分辨率、峰值位置和幅度、频谱形态和频谱能量等方面。
这些特征可以用于分析光谱中的特定信息，并且在物质的光谱鉴定中有着广泛的应用。
- 1 -。
小波变换完美通俗解读
小波变换完美通俗解读
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠这小波变换！这玩意儿可神奇啦！
你看啊，就好比我们听音乐。
那音乐里有各种不同的声音吧，高音、低音啥的。
小波变换呢，就像是一个超级厉害的音乐分析师，能把这音乐里的各种成分给分得清清楚楚！比如我们平时说话的声音，有高有低，语调也不一样，小波变换就能把这些不同的部分准确地分辨出来。
再想想看，我们看一幅画，上面有各种色彩和线条。
小波变换就像是一个能把这些元素都拆解开来的大师！它可以把画里的细节，什么线条的走向啦，颜色的分布啦，都弄得明明白白。
那这小波变换到底有啥牛的呢？嘿，你想啊，我们在生活中，有时候会遇到很复杂的信息，就像一团乱麻。
而小波变换就能像一把神奇的剪刀，把这团乱麻给理清咯！
比如说医生要看 X 光片，那么多复杂的影像，小波变换就能帮忙找出关键的地方，难道这还不厉害吗？或者是在气象研究中，那么多变幻莫测的气候数据，小波变换就能从中找出规律！你说神不神奇！
“哎呀，那这小波变换也太了不起了吧！”这时候可能有人就问了，“那咱普通人能用它干啥呀？”嘿，用处可大了去了！如果你喜欢摄影，它可以帮你更好地处理照片，让照片更清晰更漂亮。
要是你对声音处理感兴趣，它能让你的音乐听起来更棒！这不就是让我们的生活变得更美好嘛！
总之，小波变换真的是一个超级神奇又超级实用的东西！大家可得好好去了解了解它，说不定就能给你的生活带来意想不到的惊喜呢！别小瞧它哦，它真的超厉害！。
小波变换及分析原理知识
- 252 -小波分析原理1.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。
对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数(,)()x b a b x a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。
其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。
对信号()f x 的连续小波变换则定义为,(,)()(),()f a b Rx b W a b f x dx f x x a ψψ-⎛⎫==〈〉 ⎪⎝⎭其逆变换（回复信号或重构信号）为*1()(,)fR R x b f x W a b dadb C a ψψ⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 信号()f x 的离散小波变换定义为2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞---∞=-⎰其逆变换（恢复信号或重构信号）为(2,2)()(2,2)()j j j j fk j k f t C Wk x ψ+∞+∞=-∞=-∞=∑∑其中，C 是一个与信号无关的常数。
显然小波函数具有多样性。
在MA TLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。
实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。
- 253 -1.2 小波的多尺度分解与重构1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分辨率为2N-的()f x 的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)j j N -≤≤下()f x 的高频部分（细节部分）完全重构。
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换分析范文
小波变换分析范文小波变换（Wavelet Transform，WT）是一种时频分析方法，对信号进行多尺度分析。
它与傅里叶变换不同，不仅能够提供频域信息，还能够提供时间信息。
小波变换能够在不同时间尺度下分析信号的频率成分，具有很强的局部性和稳定性。
本文将介绍小波变换的原理、应用场景和相关算法。
小波变换的基本原理是将信号与一组小波基函数进行卷积计算，通过改变小波基函数的尺度和形状，可以实现对不同频率成分的局部分析。
小波基函数是一组局部化函数，具有有限持续性，且没有周期性，因此能够更好地适应信号的局部特征。
小波基函数常用的有哈尔小波、Daubechies 小波、Morlet小波等。
小波变换相比傅里叶变换具有以下优势：1.时间和频率的局部性：小波变换能够同时提供时间和频率信息，可以更准确地描述信号的瞬态特征。
傅里叶变换将信号映射到频域，无法提供时间信息，而小波变换通过改变小波基函数的尺度，可以在不同时间尺度下分析信号的频率成分。
2.多尺度分析：小波变换是一种多尺度分析方法，通过改变小波基函数的尺度，可以对信号的不同频率成分进行分析。
傅里叶变换只能提供全局频率信息，无法区分不同频率的瞬态成分。
3.离散性：小波变换可以对离散信号进行处理，能够在有限的时间和频率分辨率内对信号进行分析。
傅里叶变换是对连续信号进行处理的，需要对信号进行采样和插值，会引入采样和重建误差。
小波变换在信号处理领域有广泛的应用，包括图像压缩、信号降噪、语音识别、地震勘探等。
其中，小波变换在图像压缩中的应用较为广泛。
传统的图像压缩方法如JPEG采用离散余弦变换（DCT），但其对图像的瞬态特征不敏感。
而小波变换能够更好地提取图像的局部特征，可以实现更高的压缩比和更好的重构质量。
小波变换的具体实现有多种算法，包括离散小波变换（DWT）、连续小波变换（CWT）和快速小波变换（FWT）等。
离散小波变换是最常用的小波变换算法，通过一系列卷积和下采样操作实现小波系数的计算。
小波变换详解
基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。
小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。
具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。
4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。
傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。
在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。
定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。
可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。
尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。
但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
文章编号:167320291(2006)0520024204二维各向同性不可分小波变换特性分析章春娥,裘正定(北京交通大学计算机与信息技术学院,北京100044)摘 要:从滤波器设计、采样方面与标准二维可分小波变换的比较、分析二维各向同性不可分小波变换在图像处理中表现出来的特性,并针对不可分小波提出了新的父子关系定义和改进型零树结构.二维不可分小波变换相对标准可分小波变换而言,尺度函数和小波函数不可分且各向同性,具有更细的渐进尺度,更好的紧支撑特性,各个子带有清晰的频率特征及重建特性.本文通过实验统计分析了二维不可分各向同性小波特性,利用改进型零树结构大大提升了其在图像压缩中的性能;对不可分小波变换在图像处理中的应用具有指导性的意义.关键词:各向同性;二维不可分小波;零树结构;图像处理中图分类号:TP391.4 文献标识码:AAnalysis on 2-D Nonseparable and Isotropic W avelet T ransformZHA N G Chun-e ,Q IU Zheng-di ng(School of Computer and Information Technology ,Beijing Jiaotong University ,Beijing 100044,China )Abstract :C ompared with 2-D separable wavelet the properties of 2-D nonseparable wavelet are analyzed from the aspects of filter design ,sampling and others.For s pecial nonseparable wavelet ,a new father-s on relation 2ship and modified zero-tree structure are proposed.For 2-D nonseparable wavelet trans form ,its scale and wavelet functions are nonseparable and is otropic ,and it has more progressive scales and more tight energy sup 2port.Each subband has more s pecific frequency feature and could gain better reconstruction.This paper ana 2lyzes the properties by experimental data ,increasing greatly the image compression performance by the modi 2fied zerotree ,and als o providing guide for 2-D nonseparable wavelet in image processing.K ey w ords :isotropic ;2-D nonseparable wavelet ;zerotree structure ;image processing 小波变换凭借良好的时频局部化特性,其理论和方法在语音分析,模式识别,数据压缩,图像配准、数据融合、数字水印等信号处理方面得到了广泛的应用.一维小波的理论研究比较深入,多维小波通常自然而然地由一维小波的张量积得到,属于多维可分小波,即通常意义上的标准小波.多维标准小波基于成熟的一维小波理论,构造和实现基本上都基于一维小波进行.一维小波张量积形成的多维小波分析同时带来了一些问题[1].当用张量积表示多维尺度空间时,不同基函数的数目将增加为2d (其中d表示空间维数).由于基函数是不同尺度下一维小波和尺度函数的积,一些多维小波将会高度偏离坐标方向,失去与一维小波一致的紧支撑特性.张量积形成的基函数还混淆了尺度的运算表达,降低了多维信号小波表示的稀疏性.换而言之,这类由一维小波张量积形成的多维标准小波引入了各向异质性,且难以从物理上解释相应尺度子带代表的频率信息.一维小波能很好地描述一维序列点的奇异性,却很难将对点序列奇异性的描述通过张量积的形式拓展到二维以上的信号处理.收稿日期:2005212217基金项目:国家中小型企业创新基金资助项目(04C26213301189);北京交通大学创新基金资助项目(2005SM009)作者简介:章春娥(1976—),女,四川达州人,博士生.em ail :z-ce @ 裘正定(1944—),男,浙江嵊县人,教授,博士生导师.第30卷第5期2006年10月 北 京 交 通 大 学 学 报JOURNAL OF BEI J IN G J IAO TON G UN IV ERSIT Y Vol.30No.5Oct.2006 构造二维不可分的非张量积小波可以在一定程度上解决上述问题,这类非张量积小波更可能做到各向同性[123].二维不可分小波的各向同性特性使得空间上各个方向的频率得到很好的表示,带来相对张量积小波更好的稀疏特性,更有利于图像的压缩重建和去噪[125].文献[6]利用各向同性冗余小波变换寻找旋转不变性特征:参与实验的图像具有明显的各向异性特征,二维不可分小波变换各向同性的特点使得实验图像在有旋转的情况下也能得到跟原始图像非常接近的变换系数.本文作者以实例的形式对不可分小波变换相对二维标准小波变换的特性进行了比较和分析,针对不可分小波变换特性提出了新的父子关系定义和改进型零树结构,充分利用不可分小波各向同性的特性,得到了4倍于可分小波的压缩性能.1 二维不可分小波变换1.1 二维不可分小波的构造小波变换中,一般要求基本小波及傅里叶变换都是窗函数.张量积小波的变量可分离,仅在水平和垂直方向能较好地逼近窗函数,因而不可能在任意方向都能很好地描述二维信号的细节.二维不可分小波的思想要求它在各个方向都能相对更好地逼近窗函数,其设计显得十分必要.从滤波器组理论出发,一维滤波器的某些技术和结论并不能直接用来推广设计多维滤波器,对伸缩矩阵D 选择的依赖性也增加了设计的难度.目前得到广泛应用的方法是McClellan 变换法[2];变量变换法(T rans formation of variables )[7]和文献[8]中所谓的新方法,究其实质仍然是McClellan 方法.由于零相位的限制,McClellan 变换方法仅适用于一维对称双正交小波,只能生成双正交二维小波.利用径向基函数进行多维尺度函数和小波设计是设计不可分小波的另一个方向.Dimitri 等人[3]针对二维信号改进了傅里叶变换域N 维信号径向B-样条函数^βγ(ω)=V γ(e j ω)‖ω‖γ(1)式中,V γ(e j ω)=V 2(e j ω)γ/2,V 2(e j ω)=4∑Nk =1sin 2(ωk 2)-83∑N -1k =1∑Nl =k +1sin 2(ωk 2)sin 2(ωl 2),N =2.随着γ的增大,式(1)快速向高斯函数收敛,将其作为尺度函数可生成性能优越的多分辨率小波.1.2 二维采样目前广泛应用于非冗余二维不可分多分辨率小波分解中的采样是梅花采样(Quincunx Sampling ),与传统可分小波的二分采样(Dyadic Sampling )相对应.设梅花采样的2×2整数伸缩矩阵D ,其特征值σ1、σ2满足σ1≥σ2>1,则称该矩阵为尺度矩阵;这个限制保证了尺度矩阵沿着所有维的方向伸缩.根据伸缩矩阵D 的不同,梅花采样有不同的实现方式.最典型的应用即D =111-1(2) 对于这类梅花采样方式,两次采样的结果与传统可分小波的一次采样一样,D 2=2I ,I 为二维单位阵.从采样的角度分析,L 级可分小波分解与2L 级不可分小波分解具可比性.基于径向函数的小波分析设计只需将D 作为尺度因子代入多分辨小波的生成过程,具体细节请参见文献[3].2 二维不可分小波变换特性分析本节从实验的角度对二维可分和不可分小波变换的特性进行比较分析.二维可分标准小波变换采用Daubechies 9/7小波实现,二维不可分小波变换通过以式(1)中的4阶(γ=5)改进多维径向样条函数为尺度函数的小波分析实现,两者均采用式(2)的伸缩矩阵.2.1 父子关系定义和改进型零树结构分别对两幅图做3级可分小波分解和6级不可分小波分解,得到大小均为64×64的近似子图,如图1所示. (a )可分小波变换传统 (b )不可分小波变换改进型图1 父子关系图Fig.1 Father-son relationship除图1(a )中LL 和图1(b )中的L P 分别代表两种变换的近似子图外,图1中其他数字分别代表相应小波分辨率尺度l (Resolution ).尺度越粗分辨率越低,处于较低频率段,用较大的l 表征;0<l ≤L =6.图1(a )示出可分小波变换父子系数的定义,箭头由较粗分解级系数(父系数)指向较精细级系数(子系数),本文称其为传统零树.图1(b )示出不可52第5期 章春娥等:二维各向同性不可分小波变换特性分析分小波的改进型零树结构,父子关系如图1所示,相邻分解级的尺度不再是二分关系.设图1(b )的左上角为坐标原点,C l (x ,y )表示第l 分解级位置(x ,y )上的小波系数,b 表示第l 分解级子带较短边的长度,则父子系数构成的树(Tree )结构如下.如L 为偶数,Tree (C L P (x ,y ))=Tree (C L (x +b ,y )),如L 为奇数,T ree (C LP (x ,y ))=T ree (C L (x ,y +b )).如l 为偶数,Tree (C l (x ,y ))=Tree (C l -1(2(x -b )-1,y +b ))∪Tree (C l -1(2(x -b ),y +b )).如l 为奇数,Tree (C l (x ,y ))=Tree (C l -1(x +2b 2(y -b )-1))∪Tree (C l -1(x +2b ,2(y -b ))).由于侧重水平、垂直和对角方向的频率分析,可分小波变换只能在相同方向形成较多的零树;不可分小波变换对各个方向进行一致的分析,使相邻分解级的系数重要性分布趋于一致.上面这种树结构能充分利用不可分小波变换的各向同性的特征,让更多的非重要系数归属于更少的零树(树根).2.2 分辨率特性由于不同的采样形式,不可分小波相对传统可分小波有着更多的分辨率层次.如图1(b )的尺度1为介于原始图像与尺度2之间的分辨率,尺度3为介于尺度2与尺度4之间的分辨率,尺度5为介于尺度4与尺度6之间的分辨率,可以更好地对图像进行渐进表示.以大小为512×512的Lena (图2(a ))和Zenith (图2(d ))图为实验对象,如图1所示进行可分和不可分小波变换;图2(b )和图2(c )是Lena 经过两种小波分解后的近似子带,大小均为64×64;图2(g )～(j )示出了两种变换重建图像的局部细节比较.图2(g )是原始Lena 图的局部放大后的纹理,图2(h )为不可分小波变换的第一级子带系数置零后得到的重建图的局部放大纹理,分辨率尺度l 为1,图2(i )为不可分小波变换第一、二级子带系数置零后得到的重建图的局部放大纹理,分辨率尺度l 为2,图2(j )为可分小波变换第一级(在图1(a )中标号为2)子带系数置零后得到的重建图局部放大纹理,分辨率尺度l 为2.图2中(e )、(f )、(k )、(l )、(m )、(n )对Zenith 图的处理结果,与图2(b )、(c )、(g )、(h )、(i )、(j )的具体处理方式一一对应.图2 两种小波变换的实例比较Fig.2 Comprison between two wavelet transform exam ples 从图2中,我们可以清晰地看到不可分小波变换提供了可分小波变换不可能得到的分辨率层次图2(l )/图2(h ),能够给图像应用提供更多的分辨率选择和更细致的渐进显示.即使在同样的分辨率情况下,图2(i )相对图2(j )以及图2(m )相对图2(n )都有更好的细节表现.由于Zenith 图的主体是圆形,相对Lena 图像在各个方向具有更一致的频率变化,图2(m )、图2(n )的对比更加明显.2.3 能量紧致性和频率分割特性表1分别对Lena 和Zenith 图的可分小波变换和不可分小波变换各级的能量比例做了统计.为了方便比较,表1不可分小波数据包含了与可分小波分解级相对应的能量分布(右列).数据夸张地表明不可分小波具有高度的能量紧致性,几乎100%的能量集中到低频.近似子图由图像的低通滤波得到,更多地反映图像的能量和亮度.图2的(b )/(c )和(e )/(f )从另一个侧面表明了不可分小波变换的近似子图保留了更多的能量:图2(c )相对图2(b )、图2(f )相对图2(e )更亮,系数总体取值更高.特别是图2(f )几乎保持了与Zenith 原图近似的高亮背景,其主要的能量都来自这部分平滑的白色背景,图2(m )的背景则相对变暗.这是因为可分小波仅仅在水平和垂直方向逼近窗函数;不可分小波则尽量在各个方向对窗函数都有较好的逼近,更好地保持窗函数的紧支撑特性.上述同时表明不可分小波变换具有更好的频率分割特性.这同样是因为不可分小波在各个方向都更好地保持了窗函数的紧支撑特性,增强了小波的频率选择性能.明显通过低通滤波得到的近似子图中,图2(c )相对图2(b )、图2(f )相对图2(e )在整个62北 京 交 通 大 学 学 报 第30卷表1 系数能量分布比较Tab.1 Coefficients energy distribution comparison%分辨率尺度lLena小波可分不可分Zenith小波可分不可分1 20.122.0257e-39.3309e-0042.9588e-0030.691.6375e-0024.3627e-0032.0738e-0023 401291.3682e-0041.3123e-0042.6805e-00401726.8345e-0043.2088e-0041.0043e-0035 601551.1759e-0041.4274e-0042.6033e-00401511.2761e-0041.4274e-0042.7506e-00479910499.99799.99798.0899.9899.98变换能量中占据更多比例、更加模糊.在相同的、较高分辨率尺度下,图2(i)、(m)有更好的纹理表现(高频),图2(j)、(n)则表现出一定程度的模糊(低频). 2.4 零树系数分析根据零树小波编码(EZW)[9]对不可分和可分小波系数进行分类:如图1(a)、图1(b)所示,从低频到高频(箭头方向)扫描系数,所有父系数在其子系数之前被扫描,子频带内按照先行后列的方式扫描;给定一个阈值T,当系数|C l(x,y)|≥T时称该系数为重要系数,当系数|C l(x,y)|<T时称该系数为非重要系数.如果在较粗尺度上某系数C l(x,y)关于阈值T为非重要系数,则它在所有较精细尺度上的子系数也关于T为非重要系数,这些系数组成了一个零树结构.当不能根据某个已经发现到的零树来预测系数C l(x,y)为非重要系数时,称该系数为零树根.零数根的数目反映了零树的多少.当某个系数C l(x,y)关于阈值T为非重要系数,且含有重要子系数时,称该系数为孤立零点.EZW只需对重要系数、孤立零和零树进行编码.本文以所有小波系数最大幅值的1/2为阈值初始值T0对系数进行扫描分类,处理完毕后更新T i=T i-1/2,0≤i<4;对上次扫描中重要系数的子系数和其他系数进行再次扫描分类(如果某系数相对阈值T i-1为重要系数的话,则相对阈值T i一定为重要系数,因此无需再扫描).表2中列出对Lena 和Zenith的小波系数进行EZW分类后的统计结果,实验中可分变换小波系数和不可分小波系数的最大幅值处于同一数量级,需用10个比特表示.表2 Lena和Z enith图小波变换系数统计Tab.2 Wavelet Coefficients Statistics for Lena and Zenith分 类变换类型重要正系数/个重要负系数/个孤立零/个零树/(根・个)编码总数/个可分/传统零树5344124635546914679290 Lena不可分/传统零树4096 0 06307267168不可分/改进零树4096 0 022********可分/传统零树88434919191746930779290 Zenith不可分/传统零树4096 3 66212866242不可分/改进零树4096 3 152117025287 表2中的不可分小波系数表现出了一致的特性,印证了不可分小波的紧支撑特性:图像能量更多地集中到了更少的重要系数上.重要系数数目的减少量直接带来弱至1/10编码比特的节省.孤立零的数目也随着重要系数的减少而显著减少.同时由于不可分小波各向同性、良好的频率选择性以及图1 (b)的父子关系定义,不可分小波系数能将更多的非重要系数归属于更少的零树.经不可分小波变换后,采用传统零树结构时需要编码的系数总数相对可分小波变换需编码系数总数有所变化,减少约10000个系数;采用改进零树结构时需要编码的系数总数则大大减少,相对可分小波变换编码效率提高了4倍左右.可以预见,对不可分小波变换系数进行EZW压缩编码将得到相对更高的压缩比.3 结论本文介绍了不可分小波的构造和二维采样过程,提出适用于不可分小波的改进零树结构,并以Daubechies9/7可分小波和4阶改进多维径向样条函数为尺度函数的不可分小波为例,用实例的形式对二维不可分小波和可分小波变换进行比较.不可分小波:①在各个方向都较好地保持了一维小波的窗口特性,具有良好的各向同性;②能提供更加渐进的多分辨率表示;③具备优异的能量紧致性和频率选择特性;④二维不可分小波的紧支撑性使更少的重要系数承载了更多的图像信息,形成了拥有更多枝叶节点的更少的零树,使二维不可分小波变换具备了很好的压缩潜能.(下转第36页)72第5期 章春娥等:二维各向同性不可分小波变换特性分析Networks[J].MIMI-MICRO SYSTEM,2000(7):706-709.(in Chinese)[2]Ramon Mas Sanso,Daniel Thalmann.A Hand Control andAutomatic Grasping System for Synthetic Actors[J].EU2 RO GRAPHICS’94,1994,13(3);167-177.[3]Jintae Lee,Tosiyasu L Kunii.Model-Based Analysis ofHand Posture[J].Computer Graphics and Applications, 1995,15(5):77-86.[4]Hans Rijpkema,Michael G puter Animation ofKnowledge-Based Human Gras ping[J].Computer Graph2 ics,1991,25(4):339-348.[5]汪成为,高文,王行仁.灵境技术的理论、实现及应用[M].北京:清华大学出版杜,1997.Wang Chen-wen,G ao Wen,Wang Xing-ren.The Theo2 ry,Implement and Application of the Technology of Shad2 owland[M].Beijing:Tsinghua University Press,1997.(in Chinese)[6]张珩.人体手部的建模与分析[J].计算机仿真,1998,15(2):10-13.Zhang Heng.The Modeling and Analysis of Human Hand[J].Computer Simulation,1998,15(2):10-13.(in Chi2 nese)[7]蒋宗礼.人工神经网络导论[M].北京:高等教育出版社,2001.Jiang Z ong-li.Introduction in Artificial Neural Network [M].Beijing:Higher Education Press,2001.(in Chinese) [8]飞思科技产品研发中心.神经网络理论与Matlab7实现[M].北京:电子工业出版社,2005.Fesit Science Product Design Technology Center.Theory of NN and Matlab7Application[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2005.(in Chinese)[9]Liang R H,Ouhyoung M.A Real-Time Continuous Alpha2betic Sign Language to S peech Conversion VR System[C]∥Computer Graphics Forum,C67-C77,14,U K,1995.(also in EURO GRAPHICS’95,Holland).[10]Liang R H,Ouhyoung M.A Sign Language RecognitionSystem Using Hidden Markov Model and Context Sensi2 tive Search[C]∥Proc.of the ACM Symposium on Vir2 tual Reality S oftware and Technology,Hong K ong:1996: 59-66.(上接第27页)⑤基于二维不可分小波改进型零树结构的编码效率提高了4倍左右.希望本文作者针对二维可分小波变换和二维不可分小波变换的比较分析能吸引更多的同行来关注图像的不可分小波变换,使其在诸如图像数字水印领域得到更快的发展.参考文献:[1]Tymczak C J,Anders M N,Niklasson,et al.Se parable andNonseparable Multiwavelets in Multiple Dimensions[J].Journal of Computational Physics,2002,175:363-397.[2]K ovacevic J,Vetterli M.Nonse parable MultidimensionalPerfect Reconstruction Filter Banks and Wavelet Bases for RN[J].IEEE Transactions on Information Theory, 1992,38(2):533-555.[3]Dimitri Van De Ville,Thirrry Blu,Michael Unser.Is otropic-P olyharmonic B-S plines and Wavelets[J].IEEE T ransactions on Image Processing,2005,14(11):1798-1813.[4]Lin En-Bing,Ling Y i.Image Compression and DenoisingVia Nonseparable Wavelet[J].Journal of Com putationaland Applied Mathematics,2003,155:131-152.[5]Van Der Auwera G,Munteanu A,Cornelis J.Evaluation ofa Quincunx Wavelet Filter Design Approach for Quadtree-Based Embedded Image Coding[C]∥Vancouver BC Cana2 da:2000International Conference on Image Processing, 2000,3:190-193.[6]Van de Wouwer G,Scheunders P,Van Dyck D.Rotation-Invariant Texture Characterization Using Isotropic Wavelet Frames[C]∥Brisbane Australia:Fourteen International Conference on Pattern Recognition,1998,1:814-816.[7]David B H,Tay,Nick G.K ingsbury,Flexible Design ofMultidimensional Perfect Reconstruction Fir2-Band Filters Using Tranformations of Variables[J].IEEE Transactions on Image Procesing,1993,2(4):466-480.[8]Dong Wei,Shiguang Guo.A New Approach of the Designof Multidimensional Nonseparable Two-Channel Orthonor2 mal Filterbanks and Wavelets[J].IEEE Signal Processing Letter,2000,7(11):327-330.[9]Jerome M.Shapiro.Embedded Image Coding Using Ze2rotrees of Wavelet Coefficients[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1993,41(12):3445-3462.63北 京 交 通 大 学 学 报 第30卷。