冀教版数学七年级上册第三部分：函数的综合应用.doc

马鸣风萧萧 马鸣风萧萧 第三部分：函数的综合应用 一、 考点讲解 考点一 函数性质的综合

例1 （08年湖北省）已知()fx在R上是奇函数，且),()4(xfxf当)2,0(x时，22)(xxf，则

)7(f（ ）.

A.-2 B.2 C.-98 D.98 分析 利用函数的奇偶性和周期性将自变量7化为自变量在)2,0(范围内，这样就可以将自变量直接代入解析式. 解 2)1()1()427()7(ffff，故选A.

例2 （07年重庆市）已知定义域为R的函数()fx在(8)，上为减函数，且函数(8)yfx为偶函数，则（ ）. A.(6)(7)ff B.(6)(9)ff C.(7)(9)ff D.(7)(10)ff

分析 由函数(8)yfx为偶函数知)(xfy的图像关于直线8x对称，又函数()fx在(8)，上为减函数知)(xfy在)8,(上是增函数，从而可以比较大小. 解 选D. 例3 （07年上海市）已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．

（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由； （2）若函数)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围． 分析 第（1）小题要注意对常数a进行分类讨论；第（2）小题既可利用单调性的定义又可利用导函数. 解 （1）当0a时，2)(xxf，

对任意(0)(0)x，，，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数． 当0a时，2()(00)afxxaxx，， 取1x，得 (1)(1)20(1)(1)20ffffa，， (1)(1)(1)(1)ffff，，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数． （2）法一：设122xx≤，

22212121)()(xaxxaxxfxf



axxxxxxxx)(

)(

212121

21，

要使函数)(xf在[2)x，上为增函数，必须0)()(21xfxf恒成立． 马鸣风萧萧 马鸣风萧萧 121204xxxx，，即)(2121xxxxa恒成立．

又421xx，16)(2121xxxx． a的取值范围是(16]，．

法二：由题意可知022)(232xaxxaxxf在),2[x上恒成立，02x32xa在),2[x上恒成立，min3)2(xa，.16a

a的取值范围是(16]，．

考点二 函数与方程的综合 例4 （08年湖北省）方程223xx的实数解的个数为 .

分析 利用数形结合，分别作出函数xy2与函数23xy的图像，观察两图像有几个交点，交点的横坐标即为原方程的实数解. 解 填.2 例5 （08年湖北省）已知函数2()2fxxxa,2()962fbxxx,其中xR,,ab为常数，则方程()0faxb的解集为 . 分析 先利用)(),(bxfxf的解析式求出ba,的值，再来解方程. 解 26922)()(2222xxabxxbabxbxbxf， 对比系数得32ba，从而方程()0faxb的解集为.故填.

例6 (08年天津市)设1a，若对于任意的2xaa，，都有2yaa，满足方程loglog3aaxy，这时a的取值的集合为（ ）. A．12aa≤ B．2aa≥ C．23aa≤≤ D．23，

分析 利用方程找出yx,之间的函数关系，再利用x的取值范围求出y的取值范围即值域从而判断出值域是],[2aa的子集.

解 logloaaxy，xayaxyxya333log，当

2xaa，

时，

],2[22aay2,2],,[22aaaaa，故选B. 马鸣风萧萧 马鸣风萧萧 例7 （07年广东省）已知a是实数，函数axaxxf3222，如果函数xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围. 分析 函数xfy在区间1,1上有零点即方程03222axax在在区间1,1上至少有一解，从而将其转化为方程根的分布问题.注意分类讨论，要不重不漏. 解 若0a,则()23fxx,令3()0[1,1]2fxx,不符题意, 故0a

当()fx在[-1,1]上有一个零点时,此时48(3)01112aaa或(1)(1)0ff 解得372a或15a,但当5a时()fx在[-1,1]上有两个零点， 273a或51a.

当()fx在[-1,1]上有两个零点时,则①00)1(0)1(1|21|0ffaa或②00)1(0)1(1|21|0ffaa， 解①得5a，解②得273a， 综上,实数a的取值范围为),1[]273,(. 考点三 函数与不等式的综合 例8 （08年天津市）已知函数0101xxxxxf，则不等式111xfxx的解集是（ ）. A.121|xx B.1|xx

C.12|xx D.1212|xx 分析 分1x与1x两种情况进行讨论.

解 原不等式可化为①1))(1(1xxxx或②1)1(1xxxx，

解①得1x，解②得121x，综上得12x.故选C. 例9 （08年安徽省）若函数(),()fxgx分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()xfxgxe，则有马鸣风萧萧 马鸣风萧萧 （ ）.

A．(2)(3)(0)ffg B．(0)(3)(2)gff

C．(2)(0)(3)fgf D．(0)(2)(3)gff 分析 先利用函数(),()fxgx的奇偶性求出函数(),()fxgx的解析式再来比较大小. 解 由题意可知xexgxf)()(即xexgxf)()(，联立()()xfxgxe解得

2)(xxeexf，2)(xxeexg，发现)(xf在R上单调递增，0)(xg在R上恒成立，

)3()2(0)0(ffg，故选D.

例10 （08年上海市）已知函数f(x)＝2x－12|x|，若2t f(2t)+ mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. 分析 本题的恒成立问题可以将m分离出来，将其转化为求函数的最值问题. 解 当[1,2]t时，22112(2)(2)022tttttm

即24(21)(21)ttm，2210t∵，2(21)tm∴对于t∈[1,2]恒成立, max2)]12([tm，[1,2]t∵，2(21)[17,5]t∴

故m的取值范围是[5,). 考点四 函数的应用题 例11 （07年湖北省）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为

aty



16

1（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克） 与时间t（小时）之间的函数关系式为 . （Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克 以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. 分析 本题主要考查数学建模在实际问题中的应用.第（1）小 题利用待定系数法求出解析式；第（2）小题需建立不等关系 解不等式.

解 （Ⅰ）由图像可知，当1.00t时，ty10；

将（0.1，1）代入aty161得a1.01611，1.0a 马鸣风萧萧 马鸣风萧萧 含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为1.01.00161101.0tttyt；

（Ⅱ）由题意可知，25.01611.0t，解得.6.0t 故第一空填1.01.00161101.0tttyt；第二空填.6.0 例12 （08年湖北省）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有 大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之 和为18000cm2.四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度 为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告 面积最小？ 分析 利用面积的等量关系建立函数关系式再来求最小值.

解 法一：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①

广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2ba4025=18500+2.245001000ab 当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=a85,代入①式得a=120，从而b=75. 即当a=120，b=75时,S取得最小值24500. 故广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告的面积最小. 法二：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，,225y 其中x＞20，y＞25 两栏面积之和为2(x－20)18000225y,由此得y=,252018000x 广告的面积S=xy=x(252018000x)＝252018000xxx, 整理得S=.18500)20(2520360000xx

因为x－20＞0，所以S≥2.2450018500)20(2520360000xx 当且仅当)20(2520360000xx时等号成立， 此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=2018000x+25,得y＝175， 即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500， 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.