第六章 测量误差基本知识

i
偶然误差的特性：
1、有界性 2、趋向性 3、抵偿性
§6-2 评定精度的标准
一、精度 所谓精度，是指误差分布的集中与离散 程度，表示观测成果的精确程度。 二、中误差 真误差的平方的算术平均值的方根
m [] n
三、相对误差
k D D
K m L
四、极限误差
在实际观测中，大于2m出现的概率，大于3m 误差出现的概率‰，有限次观测，小概率出现的 机会很小，因而以2m或3m为极限误差。
2 2
, m2 , mn
2
得到和差函数的中误差： m
Z
m1 mz mn
例3：分段丈量一直线AC上的两段距离AB、BC，丈量结 果 AB=150.15m ， BC=210.24m ， 其 中 误 差 分 别 为 m AB 0.12m mCD 0.16m ，求AC全长及其中误差
设每个角度的测角中误差为 m ，则角度闭合差的中误 差为 m m n


如果以2倍的中误差为极限误差，则允许的n边多边形 的角度闭合差为：
2m n
例1：设水平角的测角中误差 m 18" ，则三角形的角 度闭合差的限差应为： 2m n 2 18" 3 60"

三、水准测量的精度
（一）水准仪两次测定高差的限差
假设我们用DS3水准仪进行了一段普通水准测量，求一 次测定的高差中误差和两次测定高差之差的中误差。 （1）设用DS3级水准仪前视或后视在水准尺上的读数中误 差： m 1mm 则一次测定高差的中误差为： h m 2 1.4mm m （2）两次测定高差之差的计算式为 h h 差的中误差为： m m 2 2mm
2 2 2 2
又得：
mx
m n

12.5" 4
6.25"
倍函数
Z kx
kmx
按照误差传播定律，倍函数的中误差为：mZ
例2：在比例尺为1：500的地形图上量得某两点间的距离 d=134.7mm，图上量距的中误差 md 0.2mm ，则换算为 实地两点间的距离D及其中误差 m D 分别为：
m方 m中 m瞄 m读 m仪 m气
2 2 2 2 2
§6-6 误差传播定律的应用
一、钢尺量距的精度
等精度测量，用长度l的钢卷尺丈量一段水 平距离D，共量n个尺段，设一尺段的量距中误差 为m，求距离D的中误差 mD 函数式为：
D l1 l 2 l n
等精度的和差函数的误差传播定律，得：
1 2 n
1 2 n 1 2 n
x1
k1 ,
x 2
k 2 , ,
x n
kn
按照误差传播定律，得到线性函数的中误差：
m x k1 m k 2 m k n mn
2 1 2 z 2 2 2 2
例1： 设用DJ6经纬仪在相同的观测条件下，对同一个角度
观测4个测回，取得4个合格的观测值 x1、x2、x3、x4，各观测 值中误差均相等即 m m1 m2 m3 m4 12.5' ' ，求该角算术平 均值的中误差。
m D 5 8 14mm
多种独立误差来源的总误差的计算
例如，进行水平角观测时，每一观测方向同时受 到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光等的 影响，观测方向值的偶然误差是这些因素的偶然 误差的代数和：
方 中 瞄 读 仪 气
如果已知各种误差来源的中误差，则可以用和 差函数中误差的公式来估算方向观测值的中误 差：
解：
D=500×134.7mm=67.35m
mD 500 0.2mm 0.1m
m Z m1 m z m n
2 2
2
四、和差函数的中误差
设有和差函数： Z x
x 式中： , x
1 2
1
x2 xn
1
,, xn 为独立变量，其中误差分别为 m
解：算术平均值
x
x1 x 2 x3 x 4 4
由误差传播定律，得：
1 1 1 1 2 2 2 2 m x m1 m2 m3 m4 6.25" 4 4 4 4
2 2 2 2
对某一量进行n次等精度测量，其算术平均值的中 误差为：
m
2m
盘左、盘右半测回水平角值之差为：
左 右
故其的中误差： m m
'
2 17"
取2倍的中误差为极限误差，则为±34″。同 时，又考虑到观测水平角时还有仪器对中和目标 偏心误差的影响，故用DJ6经纬仪观测水平角时， 盘左、盘右半测回水平角之差的允许值，一般规 定为±40″。
1 1 1
p2 b a2 a b2 pn b an a bn
取上列各式的平方和： p p b 2 a a a 2 b b 2ab a b
将上式除以n：
又因
lim
p
p

b
2
a a
线性函数
直角三角形直角边 a c sin 非线性函数
二、一般函数的中误差
例：一个矩形，通过量它的长、宽来计算该矩 形的面积。
面积公式：
P ab
dP P a da P b db
将上式求全微分，可以得到： 用偶然误差代替微分元素：
dP b da a db
改正数的总和为0
§6-4 观测值的精度评定
一、按观测值的改正值计算中误差
m
vv
n 1
二、证明
m
vv
n 1
合理性
§6-5误差传播定律
一、观测值的函数
例如：高 差
h a b
D M d
S 1 n
和差函数 倍函数
sn
实地距离 平均距离
s1 s 2
1、系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测， 若误差的符号和大小有一定规律性或保持恒定不变， 这种性质的误差称为系统误差。 系统误差的特性： （1）同一性 （2）单向性 （3）累积性 结论：系统误差具有这样的规律性，就可以通过一定的 方法来消除或减弱系统误差的影响。
2、偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若 误差出现的符号可正可负，数值可大可小，从表面上看， 没有任何规律性，这种性质的误差称为偶然误差。 偶然误差是无法避免的。对于这种误差，多次重复 测量，取其平均值，可以抵消一部分偶然误差。虽然单 个的偶然误差没有规律，但大量的偶然误差具有统计学 规律。 对于系统误差，通过找到其规律性，采用一定的观 测方法来消除或减小。当系统误差很小，而误差的主要 组成为偶然误差时，则可以根据其统计规律进行处理— —测量上称为“平差”。
§6-3 观测值的算术平均值及改正值
一、算术平均值
在相同观测条件下，对某量进行n次预测 l , l 则
x l1 l 2 l n n
l
n
1
2
,, l n
最或然值
证明：算术平均值作为最或然值得合理性
二、观测值的改正值 算术平均值与观测值之差。
v x l
v nx l 0
mD m n
用尺段数 n D / l代入上式，得到：
令：
m l
mD
m l
D
—单位长度的量距中误差，则
mD D
二、角度测量的精度
（一）水平角观测的精度
DJ6经纬 仪 观测水 平 角 ， 精度 为一测 回 方向中 误 差 ±6″，即用盘左、盘右观测同一方向的中误差为 m 6"
2
f 2 m2 x n
2
2 mn
2
此式即为一般函数的误差计算公式，也是“误差传 播定律”的数学表达式。
三、线性函数和倍函数的中误差
设有线性函数： Z k1 x1 k 2 x2 k n xn 式中， k , k ,, k 为任意常数，x , x ,, x 为独立变 量，其中误差分别为 m , m ,m 。求各独立变量 的偏导数： Z Z Z
用函数的全微分方法求误差的传播，可以推 广到一般多元函数：
Z f x1 , x2 ,, xn
x 式中，1 , x2 ,, xn 为直接观测值（独立变量），它们的 中误差分别为 m1 , m2 ,mn ，则函数Z的中误差为：
f mz x 1 f 2 m1 x 2
（二）多边形水平角闭合差的规定
n边形的内角之和在理论上应该是（n-2）×180°。 由于观测水平角时每个角度都有偶然误差，从而使得内 角之和不等于理论值而产生了角度闭合差：
f 1 2 n n 2 180 n 2 180

一测回水平角：
2 1
一测回水平角观测中误差： m 一测回水平角 则：

'
m 2 6" 2 8.5' '
'
左 右
2
2
设半测回水平角的中误差为 m
2
m m
1 1 2 2

1 2
'
m
'
故，半测回水平角的中误差为
1 1 1 2 2 2 m x m1 m z mn n n n
2 2 2
等精度观测 m m
1
m2 mn
m n
， 得：
mx

vv nn 1
n