高考数学创新卷小卷
高考数学创新题小题汇编答案
高考数学创新题小题汇编1.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ． 【解析】 4；32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+⎪⎨⎪+<<⎩≥． 先把直线方程改写成：3(1)y k x -=+，则直线是过定点(1, 3)C -且斜率为正的直线．设直线与x 轴交于点P ，与1x =交于点Q ，则PBQ 构成直角三角形．如右图所示．先考虑1k >的情形：此时若M 介于PQ 间例如点3M ，我们有：333333(,)d B M BN N M BN N P BP =+>+=，也就是M 处在PQ 间时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在QP 延长线上例如点1M ：1111(,)d B M BN N M BP =+>，所以此时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在PQ 延长线上例如点2M ：2222(,)d B M BN N M BQ =+>，所以此时(,)d B M 在Q 点取最小值；又由于1k >时BQ BP >，所以综合知3min (,)2d B M BP k==+； 类似地可以知道：若1k <，则M 分别在QP 延长线上、PQ 间、PQ 延长线上时，(,)d B M 分别在P 点，Q 点，Q 点取最小值，又此时BP BQ >，故min (,)23d B M BQ k ==+； 若1k =则BP BQ =，(,)d B M 在PQ 间任意一点都取到最小值．2.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ． 【解析】． 第一问，可直接利用折线距离的几何定义：设直线20x y +-与x 轴、y 轴分别交于点M 、N：则)M，(N ；当点Q 在MN 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O N ≥；当点Q 在NM 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O M ≥；当点Q 在MN 之间时，(,)(,)d O Q d O M ≥，min (,)(,)d O Q d O M ==，当Q 点与M 点重合时取到等号．第二问，类似第一问可知，当1P 在单位圆上固定一点时，对于直线MN 上任一点1Q ，当且仅当11PQ x ∥轴时1111(,)d P Q PQ =取最小； 为了求水平距离11PQ 的最小值，如图所示，过1P 作x 轴的平行线交直线MN 于1Q ，过1P 作直线MN 的垂线垂足为1H ；则1111PHPQ 为定值，为直线MN 的倾角的正弦：∴1111PQ =；求水平距离11PQ 的最小值即为求11PH 的最小值； 过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，则当且仅当1P 与P 重合时，11PH取到最小值PH ；此时过P 作x 轴的平行线交直线MN 于Q ，则11PQ 也取到最小值PQ ；∵2OH ==，1OP =，∴1PH =，PQ =，∴11min (,)d P Q PQ ==，当11,P Q 分别与,P Q 重合时取到等号． 3在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【解析】 ①③④．①设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1x y +=，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P 的“折线距离”等于a 的点的集合同样也是以P 为中心半对角线长为a 的斜45︒正方形，这是欧氏距离下圆的近似；③设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1124x x y ++-+=，整理得1122x x y ++-=-，画出其图像是上图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”和为2()a a c >的点的集合也是类似的对称六边形，以MN 为对称轴，以MN 中点为对称中心，长为2a ，高为2()a c -，水平边长为2c ，面积222()S a c =-，这是欧氏距离下椭圆的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．④设点的坐标为(,)x y ，根据定义有111x x +--=，解得12x =±，这是两条竖直直线，如上图所示．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”差的绝对值为2()a a c <的点的集合也是两条竖直直线，与MN 中点距离为a ，这是欧氏距离下双曲线的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．4.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()sin cos f x x x =+；④2()1xf x x x =++；⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F函数的序号为（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤ 【解析】 C ．()f x m x ≤⇔0x =时(0)0f =，0x ≠时()f x m x≤，即过原点的弦斜率有界．①()0f x =显然满足上面性质；②2()f x x =，(0)0f =但0x ≠时()f x x x=无界；③()sin cos f x x x =+，(0)0f ≠；④2()1xf x x x =++，(0)0f =且0x ≠时2()1413f x x x x =++≤； ⑤如右图所示，()f x 是奇函数则(0)0f =；又1212()()2f x f x x x --≤恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界2，自然2也是过原点的弦的界，所以()2f x x≤（也可以直接取20x =得到）． ．5.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（x π⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ． （γαβ>>）()g x x =，()1g x '=，∴1α=；()ln(1)h x x =+，1()1h x x '=+，∴1ln(1)1ββ+=+；()cos x x ϕ=，()sin x x ϕ'=-，∴cos sin γγ=-，∵γπ⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，，∴3π4γ=因为11y x =+在[)0,+∞内单调递减且从1趋向于0，ln(1)x +在区间[)0,+∞内单调递增从0趋向于+∞，∴两者有唯一交点，即β有唯一解；∵1ln(01)01>++，1ln(11)0.69311<+=+，∴01β<< ∴γαβ>>6.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，；③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，；④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ． 【解析】 ②④．①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ∉； ②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足； ③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=∉；④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．7.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：①()sin πf x x =；②2()π(1)3f x x =-+；③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）答案：②④．①()sin πf x x =：∵sin π0,m m =∈Z ，∴(,0)m 在()f x 上，()f x 经过无穷个格点(,0)m ；②2()π(1)3f x x =-+：(1)3f =，当1,m m ≠∈Z 时易见()f m 为无理数，∴()f x 只经过(1,3)这个格点； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭： 当2,m m ∈Z ≤时221()33m m f m --⎛⎫== ⎪⎝⎭都为整数，∴()f x 经过无穷个格点2(,3)m m -；④0.6()log (1)f x x =+：(0)0f =；若(), ,f m n m n =∈Z ，则315nm ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于3,5互素，左边当且仅当0n =时才为整数，∴()f x 只经过原点这个格点；⑤1()1f x x =-：若(), ,f m n m n =∈Z ，则(1)1m n -=，解得(,)(2,1)m n =或01-（，），∴()f x 经过两个格点．8.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ） A ．直线l 上的所有点都是“A 点” B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点” C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点” 【解析】 A本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型． 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()A m n ，，(1)P x x -， 则(221)B m x n x --+，，∵A ，B 在2y x =上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩ 消去n ，整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= ①∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程①恒有实数解，∴应选A ．9.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，1112155512 55k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩； ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【解析】 (1, 2)，(3, 402) 211x x =+，32112x x x =+=+，…，54114x x x =+=+，65115x x x =+-=，……，于是5111k x x +==，522k x +=，533k x +=，544k x +=，*555()k x k +=∈N ；543211y y y y y =====，6512y y =+=，……，于是51525354551k k k k k y y y y y k +++++=====+． 故第6棵树的种植点的坐标为(1, 2)；200854013=⨯+，20083x =，2008402y =，故第2008棵树的种植点坐标为(3, 402)．10.在平面直角坐标系中，点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|4,0,340B x y x y x y =-≤≥≥，则⑴ 点集{}1111(,)|3,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵ 点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】π；18π+； 点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是如图所示的直角三角形OMN ，其中4OM =，3MN =．⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横坐标加3纵坐标加1得到的，即都进行了一个向量(3,1)n =的平移，所以整体上集合A 也按照向量n 进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(3,1)，所以面积依旧是π； ⑵ 点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y BQ x y A ∈=+，其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集．而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在OMN ∆里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在OMN ∆边界上滑动时，分别得到矩形ONQP ，矩形NMSR ，矩形MOUT ；在顶点滚动时，得到三个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积21111π118π2S ON NM MO OM ON =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+11.一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ．【解析】 21n -； 1 (1)3 (2)4 6 (3)n n n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩≥．11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-； 为了研究所有生成数中不同数的个数，我们用一个双排单链表来考察一下生成数的过程：1n =时，只有1个数x ；2n =时，共有3个数：3x x x →+↓- 3n =起，生成的所有数形成了一个双排单链表3A ，其中箭头代表生成过程：3633x x x x x x →+→+↓-+←---4n =时的链表4A 如下：33696336x x x x x x x x x x -→+→+→+↑↓-+←-+←-←---- 这个链表k A 具有这样的规律：①第一排从左往右，第二排从右往左，都是公差为3的等差数列；第一排的x 与第二排的x -对应；②两排项数相同但是错开1项，除掉第一排的尾项与第二排的首项以外，其余项一一对应且互为相反数；③在生成数的过程中，第一排的数只能生成其右边和下边的数，第二排的数只能生成其左边和上边的数，箭头表明了生成的过程；④从n k =到1n k =+时，根据③，链表k A 的中间段不可能再生成新数，只有第一排尾项与第二排首项能生成新数，第一排尾项为两排右边各加一项，变成1k A +两排的新尾项；k A 第二排首项为两排左边各加一项，变成1k A +两排的新首项；⑤根据④，1k A +的链表每排项数比k A 的链表多2，3A 每排有3项，4A 每排有5项，∴(3)k A k ≥每排有23k -项；⑥当1x =时，k A 的第一排被3除余1，第二排被3除余2，所以两排的项不会重复，从而k A 列出了前k 次生成的所有不同的数；∴n T 为链表n A 的项数，即46(3)n T n n =-≥；另外23T =，11T =． 下面给出了链表k A ：3(3)3(2)3(1)3(2)3(3)3(2)x k x x k x k x k x k x x k --→→+-→+-↑↓-+-←-+-←-←---12.如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“Л型函数”．则下列函数：①()f x ； ②()sin g x x = (0,π)x ∈； ③()ln h x x = [2,)x ∈+∞， 是“Л型函数”的序号为 ． 【解析】 ①③；若,,0a b c >，a b c +>，，故①满足；若,,2a b c ≥，a b c +>，则(1)(1)1a b ab a b --⇒+≥≥，ln ln ln()ln()ln a b ab a b c +=+>≥，故③满足；②反例：3a b ==，π2c =时，,,a b c 构成三角形，但πsin sin 1sin 2a b +<=，故sin ,sin ,sin a b c不构成三角形．13.设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ． 【解析】 2m ≥；11a -≤≤．第一问，依定义，22()x m x +≥在[1,)-+∞上恒成立，即220mx m +≥在[1,)-+∞上恒成立；由于0m ≠，分两种情况讨论：①0m <时，若2mx >-，22mx m <-，矛盾；所以这种情形不存在；②0m >时，在[1,)-+∞上，一次函数22mx m +在1x =-处取到最小值22m m -+，根据题意，只需要最小值220m m -+≥即可，解得2m ≥； ∴实数m 的取值范围是2m ≥；第二问，用数形结合的思想来解决．如图所示，先作出()y f x =的图象，其图象是由三条直线构成的折线，与x 轴有三个交点2(2,0)a -、(0,0)、2(2,0)a ；极大值点22(,)a a -；极小值点22(,)a a -； 而(4)f x +是()f x 沿x 轴向左平移4个单位得到的图象，当且仅当(4)f x +的右端直线整体处于()f x 的左端直线上方时，才有(4)()f x f x +≥恒成立（如图所示的实线与虚线）；即当且仅当22242a a --≤时()f x 才是4高调函数，解得a 的取值范围是[]1,1-．)y14.我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a += ；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项． 【解析】 28，640．2412633a a a a ====，同时2525a =，因此242528a a +=；第k 个5出现在第152k -⋅项，因此第8个5是该数列的第752640⋅=． 15.给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． 表1⑴ 已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；⑵ 若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是 ． 【解析】 ⑴ 或⑵84．考虑怎样的映射f 才能构成优映射，设f 是一个优映射，则： 若(1)1f =，不难知道此时()(2)f i i i n =≤≤，即f 是恒等映射；若11(1)(1)f k k =>，则可知1()(21)f i i i k =-≤≤，此时如果1()1f k =，则又有1()(1)f i i k i n =+≤≤；若1221()()f k k k k =>，则又有12()(11)f i i k i k =+-≤≤，此时又转化成对2()1f k =还是23()f k k =的讨论：若2()1f k =，则2()(1)f i i k i n =+≤≤； 若2332()()f k k k k =>，类似地23()(11)f i i k i k =+-≤≤；如此过程反复进行，至多进行1n -次，最终我们可以得到：f 是n n A A →的优映射，当且仅当存在一个单增序列121(0)t k k k t <<<<≥，使得f 在该序列上是右轮换映射，在其余值是恒等映射，即：1(1)f k =，12()f k k =，…，1()t t f k k -=，()1t f k =，1()(1,,,)t f i i i k k =≠．在本题中，满足()f i i =的解恰有6个的优映射，其轮换序列为1231k k k <<<，有39C 84=种情形，所以满足题意的优映射有84个．16.已知满足条件221x y +≤的点()x y ，构成的平面区域的面积为1S ，满足条件22[][]1x y +≤的点()x y ，构成的平面区域的面积为2S ，（其中[]x 、[]y 分别表示不大于x 、y 的最大整数），则点12()S S ，一定在（ ）A ．直线y x =左上方的区域内B ．直线y x =上C ．直线y x =右下方的区域内D ．直线7x y +=左下方的区域内 【解析】 A ．221x y +≤就是单位圆面，所以1=πS ．而求2S 就要费一番周折了：()()()()()()22[][]1[],[]1,0,0,1,0,0,0,1,1,0x y x y +⇔=--≤，根据取整函数的定义可以画出其图像如下：可见22[][]1x y +≤代表的区域是一个十字，所以25S =．所以A ，B ，C 中只有A 对，D 也是错误的，5π7+>．注：此题如果直接根据[], []x x y y ≤≤而试图得到2222121[][]1x y x y S S +⇒+⇒<≤≤是错误的（虽然结果正确）．由图示可以看到，两块区域并不是互相包含的关系，各自都含有对方没有的部分，22221[][]1x y x y +⇒+≤≤是错误的，例如0.5x y ==-．17.对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+；而当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=⨯．例如464610⊕=+=,373710⊕=+=，343412⊕=⨯=．在上述定义中，集合(){}*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．答案：15；,m n 同奇偶时有11组：()()()111,210,,111，，，；,m n 异奇偶时有4组：()()()()112,121,34,43，，，，． 18.示了一个由区间()01，到实数集R 的映射过程：区间()01，中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()01，，如图3．图3中直线AM 与x 轴交于点()0N n ，，则m 的象就是n ，记作()f m n =．⑴ 方程()0f x =的解是x = ；⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．（填出所有正确命题的序号）①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()f x 是奇函数；③()f x 在定义域上单调递增；④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．【解析】 12；③④．解法一（根据f 的映射方式）：⑴ ()0f x =⇔象点N 与原点O 重合⇔AM 是直径⇔12AM =⇔M 点的初始坐标是12⇔12x =； ⑵①14m =⇔14AM =⇔AM 所对的圆心角为90︒⇔直线AM 的倾角为45︒⇔AM 的斜率为1⇔N 点在原点O 左侧且NO OM =⇔N 点坐标为1-⇔114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；B 图 1图 2图 3②()f x 的定义域是(0,1)，所以肯定不是奇函数；③m 增大⇔AM 弧长增大⇔AM 所对的圆心角增大⇔直线AM 的倾角增大⇔直线AM 的截距即N 点坐标增大⇔()f m 的值增大；④如右图，设f 将M 点映射到N ，P 点映射到Q ，设,,,M N P Q 所对的值分别为,,,m n p q ．则,M P 关于y 轴对称当且仅当,N Q 也关于y 轴对称⇔1AM AP +=当且仅当NO OQ =⇔1m p +=当且仅当0n q +=⇔1m p +=当且仅当()()0f m f p +=⇔()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．解法二（写出f 的解析式）：如图所示，f 的映射方式是将弧长AM 映射到ON 的有向长度．设圆心为C ，若M 点对应的值为m ，即弧长AM m =，注意到圆周长为1，则弧长AM所对的圆心角2π2π1mACM m ∠=⋅=，∴ππ2π10222π(2π)π2π11222ACM m m CAM ACM m m ⎧-∠-⎛⎫==< ⎪⎪⎪⎝⎭∠=⎨--∠-+⎛⎫⎪==< ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，∴190π02190π12CAM m m ANO CAM m m ⎧⎛⎫=︒-∠=< ⎪⎪⎪⎝⎭∠=⎨⎛⎫⎪=︒+∠=< ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤根据正切函数的定义，tan tan πA OO N y y ANO m x x -∠==-，其中1A y =，0O O x y ==；解得cot πN x m =-；∴()cot π(01)f m m m =-<<．根据()f m 的解析式，易知()0f x =的解为12x =，命题①②③④中只有③④成立．19.个函数：①2cos y x =； ②31y x =-； ③12x y +=． 其中满足性质：“对于任意1x ，2x ∈R ，若102x x x <<，102x x α+=，022x x β+=，则有12()()()()f f f x f x αβ-<-成立”的函数是 ．（写出全部正确结论的序号）【解析】 ②③．设 ()11xf x x +=-，又记()()1f x f x =，()()()1k k f x f f x +=，1,2,k =，则()2009f x =_________．A ．11x x +-B ．11x x -+ C ．x D ．1x -【解析】 A ．① 容易举出反例：∵(0)(2π)2f f ==，∴取102π0,,2π2x x x ===，则π5π,44αβ==，显然12()()()()0f f f x f x αβ=->-=；② 注意到3()1f x x =-在R 上单调递减，∴102()()()()()f x f f x f f x αβ>>>>，12()()()()f f f x f x αβ-<-恒成立； ③1()2x f x +=在R 上单调递增，∴102()()()()()f x f f x f f x αβ<<<<，12()()()()f f f x f x αβ-<-恒成立．20.满足：12a =，111(234)n n a n a -=-=，，，，则4a = ；若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A B ωϕ，，，均为实数，且0A >，0ω>，π2ϕ<，则此通项公式可以为n a = （写出一个即可）．【解析】 2，2(31)ππ1()332n k a n k +⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦N ．12a =，212a =，31a =-，42a =，…，{}n a 是以3为周期的数列，∵3n n a a +=，∴3是sin()A n B ωϕ++的周期，而sin()A n B ωϕ++的最小正周期是2πω，∴存在正整数m ，使得2π3m ω⋅=，∴2π3m ω=且3m （否则通项公式为常数）．∴12332π4πsin sin sin(2π)33233m m a a a A m B B ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．这里利用了恒等式当3m 时，2π4πsin sin sin(2π)033m m m ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由12B =和2a 可得：4πsin 03m A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，于是存在整数t ，使得2ππ3m t ϕ=+； 由ϕ和13,a a 可得4π3sin π32m A t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π3sin π32m A t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭：① 若31m k =+，13,a a 化为4π3sin π32A t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π3sin π32A t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由0A >知只能有A =且21t s =+为奇数；此时,,A B ω都确定，只差ϕ．由ϕ的形式2π2(31)π5π(21)π2()ππ333m k t s k s ϕ+=+=++=++以及π2ϕ<知π3ϕ=-∴2(31)ππ1()332n k a n k +⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦N② 若32m k =+，即有2π3sin π32A t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4π3sin π32A t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，同上可得A =且2t s =为偶数；但此时2π2(32)π4π2π2()ππ333m k t s k s ϕ+=+=+=++，不可能处在π2ϕ<的范围内；所以这种情况不存在．（注意：答案必列出全部情形，如写成2ππ1332n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即可）21.集R 中定义一种运算“*”，具有性质：①对任意,,**a b R a b b a ∈=；②对任意,*0a R a a ∈=； ③对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-；则0*2= ；函数1()*(0)f x x x x=>的最小值为 ．答案：2；3．WORD 完整版----可编辑----教育资料分享----完整版学习资料分享----22.已知函数f x 由下表给出k 01234a a a a a ，，，，k 的次数．则4a = ；0123a a a a +++= ．【解析】 05，．因为k a 等于在总共5个数中k 出现的次数，由于次数必定为整数且最多为5，所以必定有{}0 1 2 3 4 5k a ∈，，，，，； ①不存在5k a =的情形；即{}0 1 2 3 4k a ∈，，，，； 否则若5k a =，则代表k 出现5次，于是这5个数为,,,,k k k k k ；而又5k a =，所以这5个数只能为5,5,5,5,5；于是05a =但0出现0次，矛盾；②01234012345012345a a a a a a a a a a ++++=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎩；一方面，01234a a a a a ，，，，中共5个数，这些数的和为01234a a a a a ++++； 另一方面，01234a a a a a ，，，，中只有0a 个0，1a 个1，2a 个2，3a 个3，4a 个4，除此之外没有别的数（由①），所以总共只有01234a a a a a ++++个数，这些数的和为0123401234a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅；两方面对比即得0123401234012345a a a a a a a a a a ++++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=； ③40a =；01235a a a a +++=； 由②知41a ≤（否则445a >）；下面我们证明40a =； 不然，若41a =，则01230123401231a a a a a a a a +++=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅=⎩，这个方程组只有唯一解（由①）：()01234,,,,(3,1,0,0,1)a a a a a =，于是这里03a =但0出现2次，矛盾；∴40a =，这里已经可以解答原题，如果想求出每个数的值，还要继续往下： ④30a =；由③得01230123501235a a a a a a a a +++=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅=⎩，∴31a ≤；若31a =，则01201240122a a a a a a ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，解得()01234,,,,(3,0,1,1,0)a a a a a =或(2,2,0,1,0)，这两个解都能轻松导出矛盾；∴30a =；⑤()01234,,,,(2,1,2,0,0)a a a a a =；由③④得01201250125a a a a a a ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，解得()01234,,,,(0,5,0,0,0)a a a a a =或(1,3,1,0,0)或(2,1,2,0,0)，前两个解都能轻松导出矛盾，只有最后一组解经检验符合题意：此时(2,1,2,0,0)中正好恰有2个0，1个1，2个2，0个3，0个4．。
高考数学创新题(附答案)
高考数学创新题一、选择题（共9题）1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C2． （福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,oC ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选B.3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-解析：由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.4．（辽宁卷）设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。
高三数学创新试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $- \frac{1}{3}$D. $\sqrt{3} +\sqrt{5}$2. 已知函数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则 $f(-1)$ 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 在直角坐标系中，点 $A(1,2)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点为（）A. $(1,2)$B. $(2,1)$C. $(2,2)$D. $(1,1)$4. 下列不等式中，正确的是（）A. $x^2 + 1 > 0$B. $x^2 - 1 > 0$C. $x^2 + 1 < 0$D. $x^2 - 1 < 0$5. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前三项分别为 $1, 3, 5$，则该数列的通项公式为（）A. $a_n = 2n - 1$B. $a_n = n^2$C. $a_n = 2n$D. $a_n = n$二、填空题（每题5分，共50分）6. 若 $\sin A = \frac{3}{5}$，且 $A$ 为锐角，则 $\cos A = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 A}}{1}$。
7. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若 $f(-1) = 2$，$f(1) = 4$，则 $f(0) = \frac{a + b + c}{a}$。
8. 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1 = 3$，$d = 2$，则 $a_5 = \frac{a_1 + a_5}{2}$。
9. 若 $\overrightarrow{a} = (1, 2)$，$\overrightarrow{b} = (2, 3)$，则$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{1}{2} \times|\overrightarrow{a}| \times |\overrightarrow{b}| \times \cos \theta$。
高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)
2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。
高考数学真题-全国卷创新题目汇编解析版
全国卷中的创新题与命题背景汇编1.二进制问题一．重要结论1.定义：设整数1>p ，则每个正整数n 可唯一表示为0111a p a p a p a n k k k k ++⋅⋅⋅++=--，其中i a 满足+∈-≤≤N i p a i ,10，0≠k a ，则称i a 为正整数n 的p 进制表示中的数码.特别地，当2=p 时就可得到正整数n 的二进制表示.2.二进制的运算性质.（1）若0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则称∑==k i i a n 0)(ω为正整数n 的2进制表示中的数码和，显然)()2(n n m ωω=⋅.证明：由于0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则m i ki i ma n +=⋅=⋅∑220，显然可得)()2(n n m ωω=⋅.（）（2）二进制的加法运算：“逢二进一”.待会通过例题予以分析.（3）)()()2(t n t n m ωωω+=+⋅，其中正整数t 的二进制展开式中最高次数小于m .证明：由于0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则m i k i i m a n +=⋅=⋅∑220，另一方面，令j l j j b t 20⋅=∑=，则)()()2(t n t n m ωωω+=+⋅.例如：写出11的二进制表示.解析：由于0123221202111+⨯+⨯+⨯=，故1011)11(2=.注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以2为底的幂级数展开的系数.二．典例分析.例.（2021新高考2卷）设正整数0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，其中}1,0{∈i a ，记∑==k i i a n 0)(ω，则（）A.)()2(n n ωω= B.1)()32(+=+n n ωωC.)34()58(+=+n n ωω D.n n=-)12(ω解析：由上述性质（1），A 正确.（公众号：凌晨讲数学）由于0111222a a a a n k k k k +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=--，则121100010222)1(2222232+=⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++=++⋅=+∑k k i ki i a a a a n ，故2)()32(+=+n n ωω，则B 错误.同理可证，C 正确.最后，由于n n 2221210+⋅⋅⋅++=-，故n n=-)12(ω，D 正确.2.分支过程与灭绝概率一．概率母函数[1]1.设X 是非负整数值的离散型随机变量，其概率分布列为⋅⋅⋅===2,1,0},{k k X P p k ，则定义幂级数1||,)(0≤=∑∞=s s p s k k k φ，称为随机变量X 的概率母函数.2.主要性质[1]：（1）随机变量的概率分布由它的母函数唯一确定.即：)()()()(k Y P k X P s s Y X ===⇔=φφ（2）)1()1()(),1('''2'X X X X E EX φφφ+==.二．分支过程[1]设最初有0n 个物种，每隔一单位时间，一个物种可以分裂成)2,1,0(⋅⋅⋅=l l 个物种，设其对应的概率为1,0:0=≥∑∞=i l l l pp p .假设这些物种分裂是相互独立且具有相同的分布，令j n X ,1+表示在时刻n 存在的第j 个物种在下一时刻（第1+n 时刻）分裂成的物种个数，n Z 表示时刻n 中总物种的个数，则⎪⎩⎪⎨⎧===∑=++n Z j j n n n X Z n Z Z 1,1100下图说明具体的分裂过程：（公众号：凌晨讲数学）三．分支过程的母函数[1]分支过程⋅⋅⋅=2,1,0,n Z n 任一代的任意一个个体繁衍概率母函数均为：j j j s p s ∑∞==0)(φ.四．灭绝概率：分支过程的灭绝概率ρ是方程s s =)(φ的最小正根.注：由四可知，关于该物种分裂的灭绝概率研究等价于去研究方程s s =)(φ的最小正根.五．典例分析例（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．解析：（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.注1.此题实际就是分支过程的经典应用.注2.在最多分裂三个的情况下，32132p p p EX ++=，若使得1>EX ，明显让32,p p 越大，EX 就越大，物种的灭绝概率就会小于1，持续生存下去，这可能就是生二胎，生三胎的一个最直观的解释！参考文献：[1]孙荣恒.随机过程及其应用[M].北京:清华大学出版社，2003.3.概率创新问题例1．（2023年新高考2卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，A 正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)βββββ-⋅⋅-=-，B 正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为22323C (1)(1)(1)(12)βββββ-+-=-+，C 错误；对于D，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0的概率2(1)(12)P αα=-+，单次传输发送0，则译码为0的概率1P α'=-，而00.5α<<，因此2(1)(12)(1)(1)(12)0P P αααααα'-=-+--=-->，即P P '>，D 正确.故选：ABD 例2．（2022新高考2卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828解析：（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）（i ）因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅，所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，（ii ）由已知40(|)100P A B =，10(|100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅ 4.数阵问题一．重要结论kk k k k k k a a a a a a a a a a a ,1,3,2,1,3,32,31,32,21,21,1,,,,,,,-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅性质1.显然，第一行一个数，第二行两个数，以此类推，第k 行有k 个数，这样的话，前k 行一共有2)1(+k k 个数.性质2.记t k T ,表示第k 行的前t 个数之和，则+=∈≤≤=∑N t k t a T t j j k t k ,1,1,,.性质3.记k S 表示前k 行所有数之和，则∑==k i ik T S 1.性质4.三角数阵的前N 项和.设存在整数l ，使得：]2)2)(1(,2)1([+++∈l l l l N ，进一步，记2)1(+-=l l N t ，则三角数阵的前N 项和t l l N T S S ,1++=.二．典例分析例.（2017年全国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列⋅⋅⋅8,4,2,1,4,2,1,2,1,1，其中第一项是02，接下来两项是102,2，再下来三项是2102,2,2，以此类推，求满足如下条件的最小整数100:>N N ，且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）解析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k - ，则该数列的前(1)122k k k ++++= 项和为：11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A.5．全概率公式与随机游走1.转移概率：对于有限状态集合S ，定义：)|(1,i n j n j i X X P P ==+=为从状态i 到状态j 的转移概率.2.马尔可夫链：若ij i n j n i i n i n j n P X X P X X X X P n ==⋅⋅⋅==+==-==+-)|(),,,|(101101，即未来状态1+n X 只受当前状态n X 的影响，与之前的021,,,X X X n n ⋅⋅⋅--无关.3.完备事件组：如果样本空间Ω中一组事件组},,{21n A A A ⋅⋅⋅符合下列两个条件：（1）n j i j i A A j i ⋅⋅⋅=≠∅=⋂,2,1,,,；（2）Ω==k nk A 1 .则称},,{21n A A A ⋅⋅⋅是Ω的一个完备事件组，也称是Ω的一个分割.4.全概率公式：设},,{21n A A A ⋅⋅⋅是一个完备事件组，则有)|()()(1k nk k A B P A P B P ∑==二．典例分析.例1.（2019全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i）证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；（ii）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．解析：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii）由（i）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.例2．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．解析：（1）记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.（2）设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315n n n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853n n E Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．6.卡特兰数卡塔兰数：n n n n n n n C n C C C 212211+=-=+例.已知n i x i 2,2,1},1,1{⋅⋅⋅=-∈，并且满足021≥+⋅⋅⋅++i x x x )12,2,1(-⋅⋅⋅=n i ，021=+⋅⋅⋅+n x x ，求有序数组},...,{221n x x x 的个数n C .解：依题，i x 中共有n 个1，n 个1-，先不考虑021≥+⋅⋅⋅++i x x x )12,2,1(-⋅⋅⋅=n i 记为（*）式，则共有n n C 2种，接下来考虑排除法，若},...,{221n x x x 不符合（*）式，则一定存在一个的自然数)(n s s ≤，使得：⎩⎨⎧-==+⋅⋅⋅++--10122221s s x x x x ，现将1221,,-⋅⋅⋅s x x x 全部改变符号，即有f ：),,,(),,,(2212122121n s s f n s s x x x x x x x x ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-−→−⋅⋅⋅⋅⋅⋅--，对应后则有1+n 个1，1-n 个1-，反之，对任一个1+n 个1，1-n 个1-组成的有序数组),...,(221n x x x ，其必然存在一个最小的自然数s ，满足11221=+⋅⋅⋅+-s x x x .作对应),,,(),,,(:2212122121n s s f n s s x x x x x x x x g ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-−→−⋅⋅⋅⋅⋅⋅--，显然，f 与g 互为逆映射，从而不满足（*）式的个数，就是由1+n 个1，1-n 个1-组成的有序数组的个数，从而122+-=n n n n n C C C .点评：卡塔兰数在组合数学中常出现在各种计数问题中，其前几项为⋅⋅⋅，42,14,5,2,1,1，其满足⎪⎩⎪⎨⎧--===∑-=10)1()()(1)1()0(n i i n h i h n h h h 或1)24()1()(+-⋅-=n n h n h n .（2016年全国三卷）定义“规范01数列”}{n a 如下：}{n a 共有m 2项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4=m ，则则不同的“规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个解析：显然，此题考查卡特兰数145148=⋅C .7.高斯取整函数[]x 表示实数x 的整数部分，即[]x 是不大于实数x 的最大整数.{}[]x x x =-，常称为x 的“小数部分”或“尾数部分”.2.高斯函数图像及小数部分图像.取整函数y =[]x 的图象.小数函数：{}y x =的图象性质：①定义域：x R ∈；性质：①定义域：x R∈②值域：y Z ∈；②值域：[)0,1；③图象：台阶型线段.③周期性：1T =.例2.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（1）求111101b b b ，，；（2）求数列{}n b 的前1000项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得1d =．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =．[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==．（2）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000,n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893⨯+⨯+⨯=．。
高考数学创新题举例
[40.50）r （n ）A.12C.24'兀思维的草視高考数学创新题举例【例］】（女排^神茁21天津检测）中国女排的影响力早已超越体育本身的意义「不仅是时代的集体记忆’更是激励国人继续奋斗、自强不息的精神符号某大学组织学生看过电影《夺冠》后「举行了学习女排精神，塑造健康体魄"的主题活动「一段时间后’学生的身体憲质明显提高现随机抽取口0个学生进行体能测试’成绩的频率分布直方图如图所示』数据（单位：分）分成［50,60）—［90.100］六组，则成绩落在［70,80）内的人数为B.120 D.240 点评1. 本题以"电影《夺冠》"为背景，考查频率分布，体现了“德育的素养导向，学习対时”，立德树人.2. 求解的关键是理解频率分布直方图的特征，用频率估计总体分布，特别是,小长方形的面积表示数据分布在对应区间内的频率. 【例2】（智育为先卫021天逮调研）唐代诗人李硕的诗《古从军行》幵头两句>as 登山望烽火/黄昏饮马傍交河“诗中隐含着y 有趣的数学问题一•将军饮马伺题，即檸军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中「设军营所在区域为x 2+y 2<l,若将军从点P （L-2）处岀发，河岸线对应的直线方程为x+3y=5F 并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营』则“将军饮马”问题中的最短总路程为］A ）九4B5U 字D 心鬼维的草袒点评1•本题以“唐代诗人李颀的诗《古从军行》中的数学问题”为背景，考查直线与圆的位置关系、对称性问题与最值问题，体现了智育的素养导向，同时考查中国传统文化，提升学生修养・2•破解此类最值问题的关键在于“化折为直”，即把一动点到两定点的距离和的最小值问题，通过对称思想，转化为两点间的距离问题•Ihi 壮:呂 ||耐人C.②④【例3】(美育为^'2021-湖南衡阳八中检测)攒尖星古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形横尖、三角攒尖、四角攒尖、八甬攒尖，也有单檐和重檐之分’多见于亭阁式建筑、园林建筑以如图所示的建筑物为例』它属重榕四角攒尖「它的上层轮廓可近似看作一？正四棱谁，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍「则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比值为(R ID.V3点评1. 本题以"攒尖"为背景，考查正四棱锥内切球等知识，"攒尖"体现古典建筑之美，反映人民群众的智慧，陶冶情操,体现了美育的素养导向.2. 解题关键:盯"题眼"和细"观图"，会利用所给的实物的特征及题目中的"题眼"，如本例,从题眼"正四棱锥的侧面积是底面积的3倍"，求出正四棱锥的底面边长和斜高的关系式，再利用三角形的相似关系，即可得该正四棱锥的内切球的半径与该正四棱锥的底面边长的关系.【例纣(劳技为本.实践创新｝学校幵展劳动实习课」某班将在如图所示的曲边梯形ABCD 的场地中建矩形花圃EBFH,经建系测绘」收集到以下信息：巩叩儿A(2T 0)F B(2,8)f C(-2r 8).ffl 线匚D 可以近似看件函数y =-x 3图象的一段”AD 丄AB,AD//BC .现要求矩形花圃EBFH 的顶点E ’F,U 分别落在边A 叭边肚和曲边CD 上，若点H 的横坐标为x 且XG(-2,-1］,花圃EBFH 的面积S 与x 的函数关系式记为S 〔K ),则下列四个结论： ①S(x)在(-Z-1］上单调递增；o② SM 在(-2.-1］上先单调递增再单调递减;③ S(x)在(-2.-1)上存在最大值；④ S 仅)的最大值为21.其中正确的命题序号为(B ) A.①③匕①④C.②@点评 1•本题以“测量花圃的面积”为背景，考查函数的早调性与取,1于一N 极关注并开展劳动实践活动.2.解本题抓住两点：(1)准确求出目标函数S(x);⑵利用导数工具讨论函数的单调性和最值•需注意“二次求导”的活用。
高三数学创新题(含答案)
1、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论：min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数， 当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数， ∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．2、对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=∆+。
对自然数k ，规定{}nka ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中)(1111n k n k n k n k a a a a --+-∆∆=∆-∆=∆。
（1）已知数列{}n a 的通项公式),(2N n n n a n ∈+=，试判断{}n a ∆，{}n a 2∆是否为等差或等比数列，为什么？（2）若数列{}n a 首项11=a ，且满足)(212N n a a a n n n n ∈-=+∆-∆+，求数列{}n a 的通项公式。
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微专题1 集合与简易逻辑 总分：100分 建议用时：45分钟 (本大题共20小题，每小题5分，共100分) 1. (2017·江苏高考冲刺卷)若集合A＝{－1，0，3}，B＝{－1，1，2，3}，则A∩B＝________．
2. (2017·无锡一模)设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1＜x≤2}，则A∩B＝________． 3. (2017·丹阳高级中学卷)设全集U＝R，集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝________．
4. (2017·如皋模拟)设全集U＝{x|x≥3，x∈N}，集合A＝{x|x2≥10，x∈N}，则∁UA＝________．
5. 已知命题p：“若a>b>0，则log12a<(log12b)＋1”，则命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为________．
6. (2019·启东中学卷)若命题“x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
7. (2017·启东中学卷)已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
8. (2016·南京学情调研)已知直线l，m，平面α，mα，则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
9. (2019·赣州五校协作体)命题“存在x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是________________________．
10. (2019·连云港期中)命题：“存在x>1，x2－2>0”是________命题．( 填“真”或“假”) 11. (2019·河南实验中学卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是____________________________________________． 12. (2019·深圳模拟)设α，β是两个不重合的平面，m是直线且mα，则“m∥β”是“α∥β”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
13. (2016·天津卷改) 设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
14. (2017·江苏大联考)设函数y＝f(x)(x∈R)，则“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
15. (2019·山东师大附中)设a，b是非零向量，则“a＝2b”是“a|a|＝b|b|”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
16. 设x∈R，若“log2(x－1)<1”是“x>2m2－1”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
17. (2019·盐城期中)设函数f(x)＝k－2x1＋k·2x，则“k＝－1”是“函数f(x)为奇函数”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
18. 已知命题p：若x∈N，则x∈Z；命题q：x∈R，13x－2＝0，则下列命题为真命题的是________．(填序号) ①(非p)∨(非q)；②(非p)∧(非q)；③(非p)∧q；④p∧q.
19. 给出以下四个结论： ①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”； ②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件； ③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题为真命题； ④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”． 其中错误的是________．(填序号)
20. 记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________． 微专题2 函数的性质 总分：80分 建议用时：45～60分钟 一、 填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. (2019·南通阶段性调研)函数f(x)＝lnx－2的定义域为________．
2. (2019·扬州月考)若函数f(x)＝1＋max－1是奇函数，则m＝________． 3. (2017·苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________．
4. (2017·南京三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，f(x)＝log4x－32，则f12的值为________．
5. (2019·姜堰中学卷)若奇函数f(x)是R上的增函数，且f(1)＝2，则不等式－2≤f(x－1)≤0的解集为__________．
6. (2017·江苏冲刺卷)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f(x＋1)＋f(x)＝0，且当0
7. (2019·广东百校联考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(0)＝0，当x≥0时，f(x)－g(x)＝x2＋2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＋g(－1)＝________．
8. (2019·衡水中学卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，若f(－1)>－2，f(－7)＝a＋13－2a，则实数a的取值范围为________．
9. (2016·苏锡常镇调研(二))已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(log1a3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________． 10. (2019·广东六校联考)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________．
11. (2019·南京六校联考)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)＜4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________．
12. (2016·南通一调)若函数f(x)＝x（x－b），x≥0，ax（x＋2），x<0(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)的值为________． 二、 解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 13. 已知函数f(x)＝x＋2ax. (1) 判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2) 对任意的x∈(1，2)，f(x)>3恒成立，求a的取值范围．
14. 已知函数f(x)＝ax2＋1bx＋c(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3. (1) 求a，b，c的值； (2) 问：函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 微专题3 指数与指数函数 总分：80分 建议用时：45～60分钟 一、 填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 已知函数y＝ax＋2－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，则定点A的坐标为________．
2. 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是____________． 3. (2016·启东中学卷)若函数y＝f(x)是R上的奇函数，满足f(3＋x)＝f(3－x)，当x∈(0，3)时，f(x)＝2x，则f(－5)＝________．
4. 计算：823－12－2＋1681－34－(2－1)0＝________． 5. 设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________． 6. 若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________． 7. 设x<0，且1
8. (2018·徐州考前模拟)若函数f(x)＝4x－ax·2x为奇函数，则实数a的值为________． 9. 若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝________． 10. (2019·镇江一模)已知函数f(x)＝12x－2x，则满足f(x2－5x)＋f(6)>0的实数x的取值范围是________．
11. (2018·苏锡常镇调研(一))已知函数f(x)＝a－ex，x<1，x＋4x，x≥1，若函数y＝f(x)的最小值是4，则实数a的取值范围为________．
12. (2017·镇江期末)已知函数y＝2x＋12x＋1与函数y＝x＋1x的图象共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则∑ki＝1 (xi＋yi)＝________． 二、 解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 13. (2017·启东中学高三月考)已知函数f(x)＝－2x＋m2x＋1＋n(其中m，n为参数)． (1) 当m＝n＝1时，求证：f(x)不是奇函数； (2) 如果f(x)是奇函数，求实数m，n的值；
(3) 已知m＞0，n＞0，在(2)的条件下，求不等式f(f(x))＋f14<0的解集．
14. 已知函数f(x)＝14x－λ2x－1＋3(－1≤x≤2)． (1) 当λ＝32时，求函数f(x)的值域； (2) 若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．