2019高考数学专题九数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题配套作业文

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2019高考数学二轮复习专题八数学思想数学核心素养与数学文化第3讲分类讨论转化与化归思想练习

地地道道的达到第 3 讲分类议论、转变与化归思想数学思想解读1. 分类议论思想是当问题的对象不可以进行一致研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，而后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最后综合各种结果获得整个问题的解答 . 实质上分类议论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想 .2. 转变与化归思想方法用在研究、解决数学识题时，思想受阻或追求简单方法或从一种状况转化到另一种情况，也就是转变到另一种情境使问题获得解决，这类转变是解决问题的有效策略，同时也是获得成功的思想方式 .热门一分类议论思想的应用应用 1由观点、法例、公式、性质惹起的分类议论【例 1】 (1) 若函数 f ( x ) ＝ a x ( a >0，a ≠1) 在 [ －1，2] 上的最大值为 4，最小值为 m ，且函数 ( ) ＝(1 －4 ) x 在 [0 ，＋∞ ) 上是增函数，则＝ ________.g xma3 9(2) 在等比数列 { a n } 中，已知 a 3＝2， S 3＝ 2，则 a 1＝ ________. 分析(1) 若 a >1，有 a 2＝ 4， a －1＝ m .1解得 a ＝ 2， m ＝ 2.此时 g ( x ) ＝－ x 为减函数，不合题意 .若 0<a <1，有 a －1＝ 4， a 2＝ m ，11故 a ＝ 4， m ＝ 16，查验知切合题意 .39(2) 当 q ＝ 1 时， a 1＝ a 2＝ a 3＝ 2， S 3＝ 3a 1＝2，明显建立 .39当 q ≠1时，由 a 3＝ 2，S 3＝ 2，12＝ 3 ， ①a q 2∴92a （ 1＋ q ＋ q ）＝2. ②1②1＋ q ＋ q 2由 ① ，得q 2＝ 3，即 2q 2－ q － 1＝ 0，11a 3所以 q ＝－ 2或 q ＝ 1( 舍去 ). 当 q ＝－ 2时， a 1＝ q 2＝ 6，地地道道的达到综上可知， a 1＝3或 a 1＝ 6.2 1 3答案 (1)(2) 或642研究提升1. 指数函数、对数函数的单一性取决于底数 a ，所以，当底数 a 的大小不确准时，应分 0<a <1， a >1 两种状况议论 .2. 利用等比数列的前 n 项和公式时，若公比 q 的大小不确立，应分 q ＝ 1 和 q ≠1两种状况进行议论，这是由等比数列的前 n 项和公式决定的 .【训练 1】 (1)(2018 ·长沙一中质检) 已知 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和且 S n ＝ 2a n － 2，则 S 5－4的值为 ()SA.8B.10C.16D.32sin （ π x 2），－ 1<x <0，(2)函数 f (x )＝e x － 1， x ≥0.若 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2，则 a 的全部可能取值的会合是________.分析(1) 当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝ 2a 1－2，解得 a 1＝ 2.因为 S n ＝ 2a n － 2，当 n ≥2时， S n － 1＝ 2a n － 1－ 2，两式相减得， a n ＝ 2a n － 2a n － 1，即 a n ＝ 2a n － 1，则数列 { a n } 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，则 S 5－ S 4＝ a 5＝ 25＝32.(2) f (1) ＝ e 0＝1，即 f (1) ＝ 1. 由 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2，得 f ( a ) ＝1.当 a ≥0时， f a －1，所以 a ＝1.( a ) ＝ 1＝ e 当－ 1<a <0 时， f ( a ) ＝ sin( πa 2 ) ＝ 1，所以 π a 2＝ 2k π ＋ π( k ∈ Z).22121 所以 a ＝ 2k ＋2( k ∈ Z) ，k 只好取 0，此时 a ＝ 2，2因为－ 1<a <0，所以 a ＝－.2则实数a 取值的会合为2.－ 2 ， 12答案(1)D(2) － 2 ，1地地道道的达到应用 2由图形地点或形状惹起的分类议论x≥0，【例 2】 (1)已知变量x，y 知足的不等式组y≥2x，表示的是一个直角三角形围成的kx－ y＋1≥0平面地区，则实数k＝()A.－1B.1C.0D.－1或 0 22 2(2) 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为F1， F2，若曲线 C 上存在点 P 知足| PF1|∶| F1F2|∶| PF2|＝4∶ 3∶ 2，则曲线C的离心率等于 ________.x≥0，分析(1) 不等式组y≥2x，表示的可行域如图( 暗影部分 ) 所示 .kx－ y＋1≥0x≥0，由图可知，若要使不等式组y≥2x，表平面地区是直角三角形，只有当直线kx－y＋1kx－ y＋1≥01＝0 与直线y轴或y＝ 2x垂直时才知足. 联合图形可知斜率k 的值为0或－2.(2)不如设 | PF1| ＝ 4t，| F1F2| ＝ 3t，| PF2| ＝ 2t，此中t≠0.若该曲线为椭圆，则有| PF| ＋ | PF| ＝ 6t＝ 2a，1 21 2c 2c 3t 1| F F | ＝ 3t＝ 2c，e＝a＝2a＝6t＝2；若该曲线为双曲线，则有| PF1| －| PF2| ＝ 2t＝ 2a，c 2c 3t 3| F1F2 | ＝ 3t＝ 2c，e＝a＝2a＝2t＝2.1 3答案(1)D(2)或2 2研究提升 1. 圆锥曲线形状不确准时，常按椭圆、双曲线来分类议论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的地点不一样来分类议论.2. 有关计算中，波及图形问题时，也常按图形的地点不一样、大小差别等来分类议论.x2y2【训练 2】设1， 2 为椭圆＋＝ 1 的两个焦点，P 为椭圆上一点 . 已知， 1， 2是一个F F4 P F F9呵呵复生复生复生直角三角形的三个极点，且 |1|>|12| ，则 |PF |的值为 ________.PFPF| PF 2|分析若∠ PF 2F 1＝90°. 则 | PF 1| 2＝ | PF 2| 2＋ | F 1F 2| 2，又因为 | PF 1| ＋| PF 2| ＝ 6，| F 1F 2| ＝ 2 5，解得| 1 | ＝ 14，| 2|＝ 4 ，所以 | PF 1| ＝ 7 . PF 3 PF 3 | PF | 22121 2 2＝| 1 22 2若∠ FPF ＝90°，则 | F F | PF | ＋| PF | ，所以 | PF 1 | 2＋ (6 － | PF 1|) 2＝ 20，所以| 1 | ＝4，| 2| ＝2，所以 |PF |＝2.PFPF1| PF 2|综上知， | PF 1|7| PF | ＝或2.22答案7或2 2应用 3 由变量或参数惹起的分类议论【例 3】已知 f ( x ) ＝ x － a e x ( a ∈R ， e 为自然对数的底数 ).(1) 议论函数 f ( x ) 的单一性；2xa 的取值范围 .(2) 若 f ( x ) ≤e 对 x ∈ R 恒建立，务实数解 (1) f ′(x ) ＝ 1－a e x ，当 a ≤0时， f ′(x )>0 ，函数 f ( x ) 是 ( －∞，＋∞ ) 上的单一递加函数；当 a >0 时，由 f ′(x ) ＝ 0 得 x ＝－ ln a ，若 x ∈ ( －∞，－ lna ) ，则 f ′( )>0 ；当 x ∈ ( － lna ，＋∞ ) ，则 f ′( )<0.xx所以函数 f ( x ) 在 ( －∞，－ ln) 上的单一递加，在 ( － ln a ，＋∞ ) 上的单一递减 .a2xxx(2) f ( x ) ≤ea ≥ e x － e ，xx1－ e 2x －x设 g ( x ) ＝e x －e ，则 g ′(x ) ＝ e x .当 x <0 时， 1－ e 2x >0， g ′(x )>0 ，∴g ( x ) 在 ( －∞， 0) 上单一递加 . 当 x >0 时， 1－ e 2x <0， g ′(x )<0 ，∴g ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递减 .所以 g ( x ) max ＝ g (0) ＝－ 1，所以 a ≥－ 1.故 a 的取值范围是 [ － 1，＋∞ ).研究提升1.(1) 参数的变化取值致使不一样的结果，需对参数进行议论，如含参数的方程、不等式、函数等.(2) 分析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在，波及直线与圆锥曲线地点关系要进行议论.2.分类议论要标准明确、一致，有条有理，分类要做到“不重不漏”.【训练 3】已知函数 f ( x)＝4x3＋3tx 2－6t 2x＋t －1，x∈R，此中 t ∈R.当 t ≠0时，求 f ( x) 的单一区间 .解 f ′(x)＝12x2＋6tx －6t 2.t令 f ′(x)＝0，解得 x＝－ t 或 x＝.2因为 t ≠0，所以分两种状况议论：t①若 t <0，则2<－ t .当 x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：t tx －∞，2 2，－ t ( －t，＋∞)f ′(x) ＋－＋f ( x)所以， f ( x)的单一递加区间是t， ( －t，＋∞ ) ；－∞，2f ( x)的单一递减区间是t，－ t . 2t②若 t >0，则－ t <2.当 x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：t tx ( －∞，－t ) －t ，2 2，＋∞′( ) ＋－＋fxf ( x)所以， f ( x)的单一递加区间是t，＋∞；( －∞，－t ) ，2tf ( x)的单一递减区间是－ t ，2.热门二转变与化归思想应用 1 特别与一般的转变【例 4】(1) 过抛物线y＝ax2( a>0) 的焦点F，作向来线交抛物线于P，Q两点.若线段 PF1 1与 FQ的长度分别为 p， q，则p＋q等于( )1 4呵呵复生复生复生地地道道的达到(2)(2017 ·浙江卷 ) 已知向量 a ， b 知足 | a | ＝ 1， | b | ＝ 2，则 | a ＋ b | ＋ | a － b | 的最小值是________，最大值是 ________.221 1分析 (1) 抛物线 y ＝ ax ( a >0) 的标准方程为 x＝ a y ( a >0) ，焦点 F 0， 4a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则| |＝|| ＝ 1 ，PFQF2a∴1＋ 1＝4 .p qa(2) 由题意，不如设 b ＝ (2 ， 0) ，a ＝ (cos θ ， sin θ ) ，则 a ＋ b ＝ (2 ＋cos θ ，sin θ ) ， a － b ＝(cos θ －2， sin θ).令 y ＝ | a ＋b | ＋ | a － b |＝（ 2＋ cos θ ） 2＋ sin 2θ ＋（ cos θ － 2） 2＋sin 2θ＝ 5＋ 4cos θ ＋ 5－ 4cos θ ，令 y ＝ 5＋ 4cos θ＋ 5－4cos θ，则 y 2＝ 10＋ 2 25－ 16cos 2θ ∈[16 ， 20].由此可得 (| a ＋ b | ＋ | a －b |) max ＝ 20＝ 2 5， (| a ＋ b | ＋ | a － b |)＝ 16＝ 4，min即|a ＋ |＋| － | 的最小值是 4，最大值是 2 5.b a b答案 (1)C (2)4 2 5研究提升1. 一般问题特别化，使问题办理变得直接、简单 . 特别问题一般化，能够使我们从宏观整体的高度掌握问题的一般规律，进而达到成批办理问题的成效.2. 对于某些选择题、填空题，假如结论独一或题目供给的信息示意答案是一个定值时，能够把题中变化的量用特别值取代，即可获得答案.【训练 4】 (1) 假如 1， 2，，a 8为各项都大于零的等差数列，公差≠0，那么 ()a adA. 18>45B. 1 8< 4 5a a a a a a a a C.a ＋ a >a ＋ a5D. a a ＝ a a1841 84 5cos A ＋cos C(2) 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a ，b ，c 成等差数列，则1＋ cos A cos C＝ ________.分析 (1)n n *取特别数列 { a } ，此中 a ＝ n ( n ∈ N ).明显 a · a ＝ 8<a · a ＝ 20.18451cos A ＋cos C(2) 令 a ＝ b ＝ c ，则△ ABC 为等边三角形，且 cos A ＝ cos C ＝2，代入所求式子，得1＋ cos cosCA1 12＋24＝1 1＝ 5. 1＋2×2答案(1)B(2) 地地道道的达到45应用 2函数、方程、不等式之间的转变【例 5】已知函数 f ( x ) ＝ 3e | x |. 若存在实数 t ∈ [ － 1，＋∞ ) ，使得对随意的 x ∈ [1 ，m ] ，m∈Z 且 m >1，都有 f ( x ＋ t ) ≤3e x ，试求 m 的最大值 .解∵当 t ∈ [ － 1，＋∞ ) 且 x ∈ [1 ， m ] 时， x ＋t ≥0，∴f ( x ＋ t ) ≤3e xx ＋ t≤e x t ≤1＋ ln x － x .∴原命题等价转变为：存在实数 t ∈ [ － 1，＋∞ ) ，使得不等式 t ≤1＋ ln x －x 对随意 x ∈ [1 ，m ] 恒建立 .1令 h ( x ) ＝ 1＋ ln x －x (1 ≤ x ≤m ). ∵ h ′(x ) ＝ x －1≤0，∴函数 h ( x ) 在 [1 ，＋∞ ) 上为减函数，又 x ∈ [1 ，m ] ，∴ h ( x ) min ＝ h ( m ) ＝ 1＋ ln m －m .∴要使得对随意x ∈[1， ]， t 值恒存在，m只要 1＋ ln－ ≥－1.m m∵h (3) ＝ ln 3 － 2＝ ln 1 3 1·e >ln e ＝－ 1，e1 4 1h (4) ＝ ln 4 － 3＝ ln e · e 2 <ln e ＝－ 1，又函数 h ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上为减函数， ∴知足条件的最大整数 m 的值为 3.研究提升1. 函数与方程、不等式联系亲密，解决方程、不等式的问题需要函数帮助 .2. 解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，所以借助于函数与方程、不等式进行转变与化归能够将问题化繁为简，一般可将不等关系转变为最值 ( 值域 ) 问题，进而求出参变量的范围 .【训练 5】在平面直角坐标系 xOy 中， A ( － 12， 0) ，B (0 ，6) ，点 P 在圆 O ：x 2＋ y 2＝50 上 .→ →若PA · PB ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 ________.分析设点 P ( x ， y ) ，且 A ( －12， 0) ，B (0 ， 6).→ →则 PA · PB ＝ ( － 12－ x ，－ y ) ·( － x ， 6－ y ) ＝ x (12 ＋ x ) ＋ y ( y －6) ≤20，又 x 2＋ y 2＝ 50，地地道道的达到∴ 2x － y ＋5≤0，则点 P 在直线 2x － y ＋5＝ 0 上方的圆弧上 ( 含交点 ) ，即点 P 在 MCN 上，y ＝2x ＋ 5，联立x 2＋ y 2＝ 50，解得x ＝－ 5或x ＝1，联合图形知，－ 5 2≤ x ≤1.故点 P 横坐标的取值范围是 [ － 5 2， 1].答案[ －5 2，1]应用 3正与反、主与次的转变【例 6】 (1) 设 y ＝ (log 2x ) 2＋ ( t －2)log 2x － t ＋ 1，若 t 在 [ － 2，2] 上变化时， y 恒取正当，则 x 的取值范围是 ________.3m2(2) 若对于随意 t ∈ [1 ， 2] ，函数 g ( x ) ＝x ＋＋ 2x － 2x 在区间 ( t ，3) 上总不为单一函数，2则实数 m 的取值范围是 ________.分析 (1) 设 y ＝ f ( t ) ＝ (log2x －1) t ＋ (log 2x ) 2－ 2log 2x ＋1，则 f ( t ) 是一次函数，当 t ∈ [ － 2， 2] 时， f ( t )>0 恒建立，f （－ 2） >0，（ log 2 x ） 2－ 4log 2x ＋3>0，则即x ） 2－ 1>0，f （ 2）>0，（ log 21解得 log 2x <－1 或 log 2x >3，即 0<x <2或 x >8，故实数 x 的取值范围是 0， 1 ∪ (8 ，＋∞ ).2(2) g ′(x ) ＝ 3x 2＋ ( m ＋4) x － 2，若 g ( x ) 在区间 ( t ， 3) 上总为单一函数，则① g ′(x ) ≥0在 ( t ，3)上恒建立，或② g ′(x ) ≤0在 ( t ， 3) 上恒建立 .22由①得 3x ＋ ( m ＋ 4) x －2≥0，即 m ＋4≥ x － 3x . 当 x ∈ ( t ，3) 时恒建立，∴ ＋4≥ 2－ 3 t 恒建立，mt则 m ＋4≥－ 1，即 m ≥－ 5；由②得＋4≤ 2－ 3 ，当 x ∈ ( t ，3) 时恒建立，则＋4≤ 2－9，即 ≤－37.m x xmm33∴使函数 g ( x ) 在区间 ( t ， 3) 上总不为单一函数的 m 的取值范围是 37.－，－531 37 答案(1) 0， 2 ∪ (8 ，＋∞) (2) － 3，－5研究提升 1. 第 (1) 题是把对于 x 的函数转变为在 [0 ， 4] 内对于 t 的一次函数大于 0 恒建立2019高考数学二轮复习专题八数学思想、数学核心素养与数学文化第3讲分类讨论、转化与化归思想练习11 / 11地地道道的达到的问题 . 在办理多变元的数学识题时，我们能够选用此中的参数，将其看作是“主元”，而把其余变元看作是参数.2. 第 (2) 题是正与反的转变，因为不为单一函数有多种状况，先求出其反面，表现“正难则反”的原则 .【训练 6】已知函数 f ( x ) ＝ x 3＋ 3ax － 1， g ( x ) ＝ f ′(x ) － ax －5，此中 f ′(x ) 是 f ( x ) 的导函数 . 对知足－ 1≤ a ≤1的全部 a 的值，都有 g ( x )<0 ，则实数 x 的取值范围为 ________.分析由题意，知 g ( x ) ＝ 3x 2－ ax ＋ 3a － 5，令 φ ( a ) ＝(3 － x ) a ＋ 3x 2－ 5，－ 1≤ a ≤1.对－ 1≤ a ≤1，恒有 g ( x )<0 ，即 φ ( a )<0 ，φ （），2－－ 2<0，3xx21<0∴φ （－ 1） <0，即3x 2＋ x － 8<0，解得－3<x <1.故当 x2a 的值，都有( )<0.∈ －， 1 时，对知足－ 1≤ ≤1的全部3 ag x答案 2－， 13呵呵复生复生复生。

2019高考数学专题九数学文化与创新应用第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破课件文

2． (2018· 湖南联考)在 R 上定义运算对任意 x>2，不等式(x－a) 值范围是( ) B．(－∞，3]
： x
y＝x(1－y)．若
x≤a＋2 都成立，则实数 a 的取
A．(－∞，7] C．[－1,7]
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
解析
∵运算
：x
y＝x(1－y)，∴(x－a)
x≤a＋2
1
列”，且 b1b2b3…b99＝299，则 b8＋b92 的最小值是( A．2 B ．4 C． 6 D．8
)
解析
依题意可得 bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列． b8· b92＝2b50＝4，当且仅当 b8＝b92，即该
又 b1b2b3…b99＝299＝b99 50，则 b50＝2. b8＋b92≥2 数列为常数列时取等号．
考向3 例3
实际应用型问题 (1)(2018· 南昌模拟)小明在如图 1 所示的跑道上匀
速跑步，他从点 A 出发，沿箭头方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 t(s)，他与教练间的距离为 y(m)，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的( )
当且仅当 x＝4 时，取最小值．∴a≤7，选 A.
考向2 例2
创新型问题 (1)(2018· 抚顺模拟)关于圆周率 π，数学发展史上出
现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 π 的值：先请 360 名同学，每人随机写下一个 x，y 都小于 1 的正实数对 (x，y)；然后统计 x，y 两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数 m；再根据统计数 m 来估计 π 的值．假如统计结果是 m＝102，那么可以估计 π 的值约为( 22 47 51 60 A． 7 B．15 C．16 D．17 )

高考数学二轮复习专题十第十九讲数学文化与核心素养习题文

第十九讲数学文化与核心素养1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V≈136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551132.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=√14[c2c2-(c2+c2-c22)2].若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )A.√3B.2C.3D.√63.3世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的n为(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018贵州贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n 的值为( ) A.20 B.25 C.30D.355.(2018重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π206.(2018云南昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )A.9B.16C.23D.307.(2018吉林长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为( )A.4B.5C.6D.128.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n 层,上底由a×b 个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),其中a 是上底长,b 是上底宽,c 是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )A.83B.84C.85D.869.(2018福建福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》.图中的Mod(N,m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n,例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A.23B.38C.44D.5810.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,他在5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos∠AOB=()A.125B.325C.15D.72512.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√c2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为( )A.①③B.①③④C.②③D.①④13.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是.14.(2018四川成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4,6,1,则输出的k的值为.15.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 .答案精解精析1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=13πr 2h≈7264l 2h=7264(2πr)2h,化简得π≈227.故选A. 2.A 根据正弦定理及a 2sinC=4sinA,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4,则S=√14[c 2c 2-(c 2+c 2-c 22)2]=√16-44=√3,故选A.3.B 按照程序框图执行,n=6,S=3sin60°=3√32,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=12,S=6sin30°=3,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=24,S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,跳出循环,输出n 的值为24,故选B. 4.B 解法一:执行程序框图,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+793≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.解法二:由题意,得{c +c =100,3c +c 3=100,且m,n 都是整数,解得n=25,m=75,故选B.5.D 如图,直角三角形的斜边长为√82+152=17,设其内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3,∴内切圆的面积为πr 2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-9π12×8×15=1-3π20.6.C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·[93]≠2;k=2,a=16,16-3·[163]=1≠2;k=3,a=23,23-3·[233]=2,23-5·[235]=3,满足条件,退出循环,则输出a=23.故选C.7.B 如图所示,由三视图可还原得到几何体ABCDEF,过E,F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN,可将原几何体切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱锥E-ADHG 和四棱锥F-MBCN,易知直三棱柱的体积为12×3×1×2=3,两个四棱锥的体积相同,都为13×1×3×1=1,则原几何体的体积为3+1+1=5.故选B.8.C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),得s=85,故选C. 9.A Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i =21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,结束循环.故输出的i=23.故选A.10.D 设截面与下底面的距离为h,则①中截面内的圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R 2-h 2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R -h)2;③中截面圆的半径为R-c2,则截面圆的面积为π(c -c 2)2;④中截面圆的半径为√c 2-c 2,则截面圆的面积为π(R 2-h 2).所以①④中截面的面积相等,满足祖暅原理,故选D.11.D 如图,AB=6,设CD=x(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5.由余弦定理得cos∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.12.A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x 2+√c 2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sinx 图象的对称中心上,则正弦函数y=sinx 是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.13.答案π8解析设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8. 14.答案 4解析 x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因为4>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因为4>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因为2>2不成立,2=2成立,所以输出的k=4. 15.答案20√5π3解析如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√cc 2+A c 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.。

2019届基于高中数学核心素养下的高考试题研究

壹文化基础
二科学精神
一人文底蕴
主要是学生在学习、理解、运用科学知识和技能等方面所形成的价值标准、思维方式和行为表现。
壹文化基础
一人文底蕴
1 人文积淀
具有古今中外人文领域基本知识和成果的积累；能理解和掌握人文思想中所蕴含的认识方法和实践方法等。
2 人文情怀
具有以人为本的意识，尊重、维护人的尊严和价值；能关切人的生存、发展和幸福等。
9 信息意识
能自觉、有效地获取、评估、鉴别、使用信息；具有数字化生存能力，主动适应“互联网+” 等社会信息化发展趋势；具有网络伦理道德与信息安全意识等。
贰自主发展
四健康生活
10 珍爱生命
理解生命意义和人生价值；具有安全意识与自我保护能力；掌握适合自身的运动方法和技能，养成健康文明的行为习惯和生活方式等。
7 乐学善学
能正确认识和理解学习的价值，具有积极的学习态度和浓厚的学习兴趣；能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法；能自主学习，具有终身学习的意识和能力等。
8 勤于反思
具有对自己的学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验；能够根据不同情境和自身实际，选择或调整学习策略和方法等。
意见直接指出当前教育存在的一些问题：
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重智轻德，单纯追求分数和升学率，学生的社会责任感、创新精神和实践能力较为薄弱；高校、中小学课程目标有机衔接不够，部分学科内容交叉重复，课程教材的系统性、适宜性不强；与课程改革相适应的考试招生、评价制度不配套，制约着教学改革的全面推进；教师育人意识和能力有待加强，课程资源开发利用不足，支撑保障课程改革的机制不健全。
教育改革最迫切的命题：回应技术发展带来的挑战

2019届高三数学(理)二轮专题复习课件：专题八第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化

《创新设计》2018版高三一轮总复习实用课件
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π tanθ＋4＝________.
解析
x－y＋4≥0， (1)作出不等式组x≤2，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示， x＋y＋k≥0
1 z 结合几何直观知，当直线 y＝－ x＋过点 A 时，z 最小. 3 3 x＝2，联立方程，得得 A(2，－2－k)， x ＋ y ＋ k ＝ 0 ，
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核心素养下2019年高考数学试题评析及2020届高三复习备考策略讲座

立德树人
服务选才高考核心功能 1
引导教学
必备知识关键能力学科素养核心价值
考查目标 2
基础性综合性应用性创新性
考查要求 3
“高一考核评四价层体四系翼 ”
5.1、数学科四层、四翼考查目标
学科素养
数学核心素养是数学能力的继承和发展研究核心素养与学科素养的联系和区别根据高考的特点，对课标的数学核心素养进行抽
语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题。
创新能力
能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中的简单数学问题。
按照对象本身的规律来认识对象，即不受制于无关因素的干扰，以概念、判断、推理的方式进行逻辑的思考，从而得出概念清晰、逻辑严密的结论。
归纳等方法进行推理、批判的探究能力；三是运用数学方法进行表达、阐释和论证的核心素养。 2.3.突出统一性要求，不再设置选考内容
今后的全国统一高考主要为本科院校的招生服务，且不再分文理科，考试的同质性增强，因此要扩大考试的共同基础，增强考试的统一性要求，将不再设置选考模块。
一、新高考数学科如何改？
2016年9月13日，中国学生发展核心素养研究成果在北京发布会上正式发布
提出数学6大核心素养
中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，整合了个人、社会和国家三个层面对学生发展的要求。综合表现为六大素养，为方便实践应用，将六大素养进一步细化为 18个基本要点。
01 02 03
新高考数学科如何改？ 2019年全国卷试题特点高三数学一轮复习体会

【创新方案】2019高考数学(理)一轮复习配套文档：第9章第7节数系的扩充与复数的引入

第七节数系的扩充与复数的引入【考纲下载】 1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类

复数z＝a＋bi，b∈



 实数＝，虚数≠

 纯虚数＝0，b≠，

非纯虚数， (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模

向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a、b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． (3)复数的几何表示

复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应平面向量OZ . 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝＋－＋－＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)． (2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

2019高考数学(文科)二轮习题：专题十第十九讲数学文化与核心素养 Word版含解析

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第1讲数学文化及核心素养类试题配套作业一、选择题1．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16 答案 A解析记田忌的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c .比赛的所有可能分别为Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共九种情形，其中田忌获胜是Ab ，Ac ，Bc ，故田忌获胜的概率P ＝39＝13，应选A.2．(2018·山西模拟)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75 答案 B解析输入a ＝675，b ＝125，得c ＝50，a ＝125，b ＝50，不满足c ＝0；执行循环，得c ＝25，a ＝50，b ＝25，不满足c ＝0；执行循环，得c ＝0，a ＝25，b ＝0，满足c ＝0，循环结束．故输出的a ＝25，故选B.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A ．48里B ．24里C ．12里D ．6里答案 C解析设第一天的路程为a 1里，则a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，a 1＝192，所以a 5＝192×124＝12.4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析设命题a ：若p ，则q ，其逆否命题为若綈q ，则綈p ，为祖暅原理，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件．设命题b ：若q ，则p ，对此举出反例，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积多一些，且多的总量与少的总量相抵，则它们的体积还是一样的，∴qD ⇒\p ，∴p 是q 的充分不必要条件．故选A.5．(2018·长春模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类比上述过程，则3＋23＋2…＝( )A ．3 B.13＋12C ．6D ．2 2答案 A解析令 3＋23＋2…＝x (x >0)，两边平方，得3＋2 3＋2…＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得x ＝3，x ＝－1(舍去)，故 3＋23＋2…＝3，选A.6．(2018·大连模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为( )(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析执行程序框图，可得n ＝6，S ＝3×sin60°＝332；不满足条件S ≥3.10，n ＝12，S ＝6×sin30°＝3；不满足条件S ≥3.10，n ＝24，S ＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056；满足条件S ≥3.10，退出循环．故输出n 的值为24.故选B.7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.43钱C.32钱D.53钱答案 B解析依题意，设甲所得为a 1，公差为d ，则a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即2a 1＋d ＝3a 1＋9d ＝52，解得a 1＝43.∴甲得43钱．故选B.8．(2018·安徽淮北模拟)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如上图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．6米2B ．9米2C ．12米2D ．15米2答案 B解析解法一：如右图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，可得弦＝2AD ＝2×23＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(米2)．故选B.解法二：由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－4 3.由π≈3，3≈1.7，可得S ≈9.2(米2)，应选B.9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A.120斤 B.125斤 C.130斤 D.136斤答案 B解析假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；第4关收税金15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112x ＝14×5x ；第5关收税金16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112－120x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B.10．(2018·湖北模拟)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.536 B.736 C.36D.336答案 A解析几何体左侧为“堑堵”，底面两直角边长分别为3，1的直角三角形，高为1；右侧为“阳马”，垂直底面的侧棱长为3，底面是边长为1的正方形；因此体积为1×12×3×1＋13×3×1×1＝536，故选A.11．(2018·苏州模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 14033 4031 4029……………119 7 5 38064 8060……………………2016 12 816124…………………………3628 20…………………………A．2017×22016B．2018×22015C．2017×22015D．2018×22016答案 B解析从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20 ＝5×22,48＝6×23，…，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2017行只有一个数，其值为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015，故选B.二、填空题12．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是________．答案 34解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.13．(2018·四川模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．答案 6解析设等差数列{a n }，首项为a 1，公差为3，则S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.14．(2018·长沙模拟)我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为________尺．答案 21.2解析因为250斛＝250×1.62立方尺，设圆锥形的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，解得r ＝9，因此250×1.62＝13×3×92×h ⇒h ＝5，设球的半径为R ，则R 2＝92＋(5－R )2，可得R ＝10.6(尺)，∴2R ＝21.2(尺)．。