高中数学第2章圆锥曲线与方程章末分层突破学案苏教版选修1-1

第2章 圆锥曲线与方程章末分层突破,[自我校对]①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ②y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) ③(±a,0)，(0，±b )或(0，±a )，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0) ⑦2c ⑧c a ⑨x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0) ⑩y ＝±b ax⑪y ＝±a b x ⑫y 2＝±2px (p >0) ⑬x 2＝±2py (p >0) ⑭(±p 2，0) ⑮y ＝±p2⑯椭圆 ⑰双曲线 ⑱y ＝±a 2c ⑲x ＝±a 2c ⑳y ＝±a 2c圆锥曲线的定义的应用圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略.运用定义解题主要体现在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，且PF 1＞PF 2，求PF 1|PF 2|的值.【精彩点拨】 PF 1→·PF 2→＝0→PF 1F 2是直角三角形――→求出PF 1与PF 2【规范解答】 由PF 1→·PF 2→＝0，知PF 1⊥PF 2，∴F 1F 22＝PF 21＋PF 22， 由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝9－4＝5，F 1F 2＝2 5.因此PF 21＋PF 22＝20.① 又由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝6.②由题意知，PF 1＞PF 2，联立①、②得PF 1＝4，PF 2＝2.从而PF 1PF 2的值为2. [再练一题]1.已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________.【解析】 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由PF 1→·PF 2→ ＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义有PF 1－PF 2＝2a .两边平方并代入PF 1·PF 2＝2得：20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.【答案】x 24－y 2＝1圆锥曲线的方程与性质的应用1.(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点； (2)已知圆锥曲线的性质求其方程.2.对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝ca求离心率；(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 值.3.求曲线方程的基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量.”已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.【精彩点拨】 双曲线的离心率为2→建立a ，b 的等量关系→求出A ，B 两点坐标――→△AOB ＝3求p【规范解答】 ∵e ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p 2×3p ＝3，即p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.【答案】 2 [再练一题]2.(2016·徐州高二检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e＝________.【解析】 在△ABF 中，由余弦定理得，cos ∠ABF ＝AB 2＋BF 2－AF |22AB ·BF，∴BF 2－16BF ＋64＝0，∴BF ＝8，设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴BF 1＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF 1＝14，∴a ＝7，∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点，∴OF ＝12AB ＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.【答案】 57直线与圆锥曲线的位置关系1.判断直线与二次曲线的位置关系，可把直线方程与二次方程联立，消元后的一元二次方程的判别式大于零，则直线与圆锥曲线有两个交点；等于零，则只有一个交点；小于零，则没有交点.2.涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标问题时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代换，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值.【精彩点拨】 (1)利用过点F 且与x 轴垂直的直线方程，根据线段的长度求出交点的坐标并代入椭圆方程求出a 和b ，可得椭圆方程；(2)设出直线方程，和椭圆方程联立得到二次方程，利用韦达定理把向量式用点的坐标表示得到关于k 的方程，解方程可得k 的值.【规范解答】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.[再练一题]3.已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)设FA ＝2BF ，求直线l 的方程. 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4，∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16.(2)∵FA ＝2BF ，∴FA →＝2BF →，而FA →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝21－x 2，y 1＝－2y 2，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝12，∴k ＝±22，∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1).函数与方程思想的突破口.用函数思想求解圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题可以说是高中数学中永恒的话题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解.方程思想是高中数学中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【精彩点拨】 由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程→与椭圆方程联立，求P 点的坐标→由M 到直线AP 的距离等于MB 求出M 点坐标→将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值.【规范解答】 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0).设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.则2x 2＋9x －18＝0.解得x ＝32，或x ＝－6(舍去).所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为：d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15.由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.[再练一题]4.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42).设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.1.(2015·陕西高考改编)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则抛物线焦点坐标为________.【解析】 由抛物线y 2＝2px (p ＞0)得准线x ＝－p2，因为准线经过点(－1,1)，所以p＝2，所以抛物线焦点坐标为(1,0).【答案】 (1,0)2.(2016·天津高考改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为________.【导学号：】【解析】 由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1， 所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.【答案】x 24－y 2＝13.(2016·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________，b ＝________.【导学号：】【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，所以b a＝2.①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2＝5.② 由①②得a ＝1，b ＝2. 【答案】 1 24.(2015·福建高考改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F .短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________.【解析】 设左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1.则四边形BF 1AF 是平行四边形，故|AF 1|＝|BF |，所以|AF |＋|AF 1|＝4＝2a ，所以a ＝2，设M (0，b )，则4b 5≥45，故b ≥1，从而a 2－c 2≥1,0＜c 2≤3,0＜c ≤3，所以椭圆E 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 5.(2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2. 【解】 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)， 代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝23－4k23＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点.f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增.又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3＜k ＜2.章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.) 1.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________.【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2.(2015·上海高考)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意知c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，所以b ＝ 3. 【答案】33.若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围为________.【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.【答案】 (3,4)∪(4,5)4.以y ＝3为准线的抛物线的标准方程为________.【解析】 设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，则－p2＝3，p ＝－6，则抛物线方程为x 2＝－12y .【答案】 x 2＝－12y5.(2015·上海高考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【解析】 依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，即p ＝2.【答案】 26.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______.【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝2×3＝6，因为PF 1＝4，所以PF 2＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.【答案】 2 120°7.已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是________.【解析】 ∵2c ＝AB ＝2，∴c ＝1，∴CA ＋CB ＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线).因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2).【答案】y 24＋x 23＝1(y ≠±2) 8.(2015·天津高考改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________.【导学号：】【解析】 由双曲线的渐近线bx －ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切得2ba 2＋b 2＝3，由c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. 【答案】 x 2－y 23＝19.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是________.【解析】 ∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)，∴P 的坐标为(5，4). 又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，∴另一个焦点为F 2(5，0). ∴2a ＝|PF 1－PF 2|＝5＋52＋16－5－52＋42＝2.∴a ＝1.又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4.∴双曲线方程为x 2－y 24＝1.【答案】 x 2－y 24＝110.已知抛物线C ：x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是________.【解析】 显然t ≠0，直线AB 的方程为y ＝4tx －1，代入抛物线方程得2tx 2－4x ＋t ＝0.由题意Δ＝16－8t 2<0，解得t <－2或t > 2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________.【解析】 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 【答案】 612.一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.【解析】 x 2＋y 2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则⎭⎪⎬⎪⎫PO ＝r ＋1PA ＝r ＋2⇒PA －PO ＝1＜AO ＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 【答案】 双曲线的一支13.(2015·山东高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2a2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________.【解析】 先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c ).因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.【答案】 2＋ 314.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝2FB ，则k ＝________.【解析】 过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2FB ＝FA ，∴AA 1＝2BB 1，即B 为AC 的中点.从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，⇒消去x 得y 2－8ky ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，，消去y B 得k ＝223.【答案】223二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，若抛物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.(1)求抛物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及离心率e .【解】 设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，则有⎝⎛⎭⎪⎫2632＝2p ×23，所以p ＝2，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，焦点F 的坐标为(1,0). (2)由双曲线C 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23，所以a ＝13，b 2＝89 ，所以双曲线C 2的方程为9x 2－98y 2＝1，离心率e ＝3.16.(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程.【解】 ①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2 ＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.17.(本小题满分14分)如图1所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.图1【解】 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0.所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k2|x 1－x 2| ＝1＋k2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×832－4×5×85＝85.18.(本小题满分16分)如图2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .图2(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2＝1. 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知，c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2.故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m2＝1(m ＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上， 所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.19.(本小题满分16分)已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若AB ＝25，直线OM 的斜率为12(O 为坐标原点)，求椭圆的方程.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 2a 2＋y2b 2＝1，消去y ，整理得(a 2＋4b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2，x 1x 2＝16a 2－4a 2b2a 2＋4b 2. 又设AB 的中点M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝4a 2a 2＋4b 2，y M ＝－12x M ＋2＝8b2a 2＋4b 2. ∵直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝12，∴2b 2a 2＝12，∴a 2＝4b 2，从而x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2＝4，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2＝8－2b 2. 又∵AB ＝25，∴ 1＋14·x 1＋x 22－4x 1x 2＝25，即52×16－48－2b 2＝25，解得b 2＝4，∴a 2＝4b 2＝16，故所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.20.(本小题满分16分)(2016·盐城高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB ＝32F 1F 2. (1)求椭圆的离心率.(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2＝2 2.求椭圆的方程.【解】 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由AB ＝32F 1F 2，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )， 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4c 3，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ －4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－4c 3＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝x 1－02＋y 1－c2＝53c .由已知，有TF 22＝MF 22＋r 2，又MF 2＝22，故有⎝⎛⎭⎪⎫c ＋2c 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－2c 32＝8＋59c 2.解得c 2＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.。