数列通项公式的常见求法
数列求通项的十种方法
数列求通项的十种方法
数列是数学中的一个重要概念，对于求数列通项的问题，有许多不
同的解法。
下面将介绍十种求解数列通项的方法。
1. 暴力求解法：将数列中的前几项写出来，然后根据已知项之间的规
律来推出通项公式。
2. 公式推导法：利用一些已知的数列通项公式，结合这个数列的特点，在此基础上推导出此数列的通项公式。
3. 通项公式分解法：将数列的通项公式分解为元素之和的形式，从而
得到每一项的通项公式。
4. 递推公式求解法：根据数列中一些指定的通项公式，推导出递推公式，并使用递推公式依次求出数列中每一项的通项公式。
5. 差分法：通过对数列求差（即相邻项之差），得到一个新数列，然
后对新数列再次求差，直到差分后的数列为常数列，最后通过累加得
到原数列的通项公式。
6. 微积分法：对数列进行微积分操作，得到导数，然后再对导数积分，通过积分得到原数列的通项公式。
7. 特征方程法：将递推公式转化为特征方程，并求解特征根，然后根
据特征根求得通项公式。
8. 奇怪公式法：有些数列的通项公式看起来十分奇怪，但通过反复验证，发现确实有效。
9. 递归法：通过一个递归的函数，根据某一项的值递归计算其他项的值，最终得到整个数列的通项公式。
10. 牛顿插值法：利用牛顿插值法，通过已知的数列中一部分数值，反
推出整个数列的通项公式。
以上是十种求解数列通项的方法，每种方法都有其适用范围和局限性。
对于不同的数列，选择不同的方法求解，可以得到更加准确和简便的
结果。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
数列求通项公式方法大全
数列求通项公式方法大全数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的通项公式是找出数字之间的规律，从而可以用一个公式表示出数列中第N个数字与N的关系。
这样可以方便地计算数列中的任意项，而不需要逐个计算或列出所有的项。
以下是数列求通项公式的方法大全：1. 等差数列的通项公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
根据等差数列的性质，可以得到通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
2. 等比数列的通项公式：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
根据等比数列的性质，可以得到通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
3. 斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为：an = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)其中，phi = (1 + sqrt(5)) / 2，an表示第n项。
4. 幂次数列的通项公式：幂次数列是指数列中每一项都是某个常数的指数函数。
幂次数列的通项公式为：an = a1 * (b^(n - 1))其中，an表示第n项，a1表示首项，b表示底数，n表示项数。
请注意，以上是一些常见的数列类型和其通项公式。
但实际上，还存在其他更复杂的数列类型，可能需要使用其他方法求解通项公式。
另外，在某些特定的数列中，可能无法找到通项公式，只能通过递推关系计算每一项。
举例说明：以等差数列为例，假设有一个等差数列的首项为2，公差为3。
现在需要求解数列中第10项的值。
根据等差数列的通项公式，可以得到：a10 = 2 + (10 - 1) * 3= 2 + 27= 29在这个例子中，我们利用等差数列的通项公式直接计算出了第10项的值。
如果没有通项公式，我们可能需要逐个计算前10项，而通项公式可以极大地简化计算过程。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列通项公式的求法10种求数列的通项公式方法非常众多，而且这个问题基本上都是高考试卷中第一问，也就是说这一问题做不出来或没有思路，那么即使后面的问题比如求前N 项和的问题，会做也是无济于事的。
我们逐个讲解一下这些重要的方法。
递推公式法：递推公式法是指利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这样的问题有两种类型，（1）题目中给出的是()n S f n =的形式，也就是n S 的表达式是一个关于n 的函数，要将n 改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
这种情况是比较简单的，但是也有值得我们注意的地方，那就是求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下1a 和1S 是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式，只要题中涉及到角标n 不能从n=1开始取值的，都需要检验。
（2）第二种情况是非常常见的，即11(,)n n n a a a -+与n S (1n S -,1n S +)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n 改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）：累加法是在教材上推导等差数列通项公式和前n 项和公式的时候使用的一种方法，其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的，我们可以总结为，只要适合：1()n n a a f n -=+的形式，都是可以使用累加法的，基本的书写步骤是：21324312,(2)3,(3)4,(4)......,()n n n a a f n a a f n a a f n n a a f n -=-==-==-==-=将上述展开后的式子左边累加后总是得到1(2)(3)(4)......()n a a f f f f n -=++++所以重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
数列通项公式常见9种求法
解：令
，得
，则 是函数
的不动点。
因为
，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将 形式，从而可知数列
最后再求出数列 的通项公式。
的换元为 ，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
，求数列 的通项公式。
解：令
，得
的两个不动点。因为
，则
是函数
。所以数列
是以
为首项，以 为公比的等比数列，故
，
则
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
的不动点，即方程
的两
个根
，进而可推出
，从而可知数列
为等比数
列，再求出数列
的通项公式，最后求出数列 的通项公式。
例 15 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
并整理，得
，
，求数列 的通项公式。
，所以 ⑩
。在
式两边取
11
，则
，两边消去
，故
代入 11 式，得 由 得 则 所以数列 比数列，则
， ，
是以
12 及 12 式，
为首项，以 5 为公比的等 ，因此
则
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为 ，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 公式，最后再求出数列 的通项公式。
解：设
⑥
将
代入⑥式，得
整理得
。
令
，则
，代入⑥式得
⑦
由
及⑦式，
得
，则
，
故数列 因此
是以 ，则
为首项，以 3 为公比的等比数列， 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
数列通项的七种方法
数列通项的七种方法一、递推公式法递推公式法是一种常见的求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以找到递推公式，从而求得数列的通项。
例如，我们考虑一个等差数列，已知首项为a，公差为d。
根据等差数列的性质，我们可以得到递推公式an = an-1 + d。
其中，an 表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项。
利用递推公式，我们可以通过已知的首项和公差，依次求得数列的每一项。
这种方法简单直观，适用于求解各种类型的数列。
二、通项公式法通项公式法是一种通过数学公式来表示数列通项的方法。
对于某些特殊的数列，可以通过观察数列中的规律，建立通项公式，从而直接求得数列的任意项。
例如，斐波那契数列就可以通过通项公式来表示。
斐波那契数列的通项公式为Fn = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)。
其中，Fn表示数列的第n项。
通项公式法适用于某些特殊的数列，可以直接求得数列的任意项，省去了逐项求解的步骤，提高了求解效率。
三、递归关系法递归关系法是一种通过递归关系来求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以建立递归关系式，从而求得数列的通项。
例如，斐波那契数列就可以通过递归关系来表示。
斐波那契数列的递归关系式为Fn = Fn-1 + Fn-2。
其中，Fn表示数列的第n项，Fn-1表示数列的第n-1项，Fn-2表示数列的第n-2项。
利用递归关系，我们可以通过已知的前两项，依次求得数列的每一项。
递归关系法适用于一些特殊的数列，可以通过递归的方式来求解。
四、等差数列通项公式对于等差数列，我们可以通过等差数列的通项公式来求解数列的任意项。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
利用等差数列的通项公式，我们可以直接求解数列的任意项，无需逐项计算，提高了求解效率。
史上最全的数列通项公式的求法13种
最全的数列通项公式的求法数列是高考取的要点内容之一，每年的高考题都会观察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中特别重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一、直接法依据数列的特点，使用作差法等直接写出通项公式。
二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项② 若 已 知 数 列 的 前 n项 和 S n 与 a n 的 关 系 ， 求 数 列 a n的 通 项 a n 可 用 公 式a n S 1 n 1S nSn 1n 求解 .2(注意：求完后必定要考虑归并通项)( 1) n , n 1 ．求数列 a n 的通项公式 .例 2．①已知数列 a n 的前 n 项和 S n 知足 S n 2a n②已知数列 a n 的前 n 项和 S n 知足 S nn2n 1，求数列 a n 的通项公式 .③ 已知等比数列 a n 的首项 a 1 1，公比 0 q 1，设数列 b n 的通项为 b na n 1 a n2，求数列b n 的通项公式。
③ 分析：由题意， b n 1 a n 2 a n 3 ，又 a n 是等比数列，公比为 q∴bn 1an 2an 3q ，故数列 b n 是等比数列， b 1 a 2 a 3a 1q a 1q 2 q(q 1) ，b na n 1 a n 2∴ b nq(q 1) q n 1 q n (q 1)三、概括猜想法假如给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们能够依据前几项的规律，概括猜想出数列的通项公式，而后再用数学概括法证明之。
也能够猜想出规律，而后正面证明。
四、累加（乘）法关于形如 a n 1an f ( n) 型或形如 a n 1 f (n)a n 型的数列，我们能够依据递推公式，写出n取 1 到 n 时的全部的递推关系式，而后将它们分别相加（或相乘）即可获得通项公式。
例 4.若在数列 a n 中， a 1 3 ， a n 1 a n n ，求通项 a n 。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式方法大全一、累加法适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L 所以3 1.nn a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++L L L因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322nn n a n =⨯⨯+⨯- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
数列通项公式的十种求法(非常经典)
数列通项公式的十种求法（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的八种典型方法
求数列通项公式的方法数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样；有了解析式便可研究函数性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项，前n 项和以及数列的性质等。
因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口，关键点.一、观察法即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。
过程：观察→概括、推广→猜出一般性结论.例1、数列{}n a 的前四项为：11、102、1003、10004、……，则n a = .二、公式法命题点1、等差数列的判定例2、（1）已知数列{}n a 满足*11262,(2,),4,8n n n a a a n n N a a +-+=≥∈==，求n a .（2）已知数列{}n a 满足*11111,2()n na n N a a +==+∈，求n a .命题点2、等比数列的判定例3、已知数列{}n a 满足2*1123,(2,),4,8n n n a a a n n N a a +-⋅=≥∈==，求n a .三、利用n a 的前n 项和n S 求n a命题点1、已知n S 求n a1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即已知数列的前n 项和，便可求通项. 例4、（1）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：*2log (1)1()n S n n N +=+∈，求数列{}n a 的通项公式.（2）正项数列 * + 的前 项和 满足： ( ) ( ) ．求数列 * + 的通项公式；命题点2、由n S 与n a 的关系求n a例5、（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*131()22n n S a n n n N +=--+∈，令n n b a n =+，证明{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（3）已知数列中，*1123111,23()2n n n a a a a na a n N ++=++++=∈，求数列{}n a 的通项公式；}{n a（4）数列*+满足，．Ⅰ求的值；Ⅱ求数列*+的前项和；例6、已知数列{}n a满足2121,21nnnSa aS==-*(2,)n n N≥∈，求na.求形如1()n n a a f n +=+（()f n 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令2,3,n n =得到1n -个式子累加求得通项. 例7、(1)设数列{}n a 满足21*112,32()n n n a a a n N -+=-=⋅∈，求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中，11a =，111(1)()2n n n n a a n N n *++=++∈，求数列{}n a 的通项公式．对形如1()n na f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令2,3,n n =得到1n -个式子累乘求得通项. 例8、(1)在数列{}n a 中, *112(1)()2n n n a a n N a n ++=∈=，，求数列{}n a 的通项公式.(2)已知数列{}n a 中，113a =，前n 项和n S 与n a 的关系是*(21)()n n S n n a n N =-∈，求{}n a 的通项公式．六、构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+命题点1、递推关系式为1n n a pa q +=+(,p q 为常数) 思路：递推式可化为1(),n n a x p a x ++=+得1(1),n n a pa p x +=+-解得1q x p =-；构造出{}n a x +为等比数列，首项为1a x +，公比为.p 例9、(1已知数列{}n a 满足*111,21(),n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；命题点2、递推式为1n n n a pa q +=+ (,p q 为常数)思路：在1nn n a pa q +=+两边同时除以1n q +得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+ 构造数列{}n b ,n n na b q =可得11n n p b b q q +=⋅+. 故可利用上类型的解法得到()n b f n =再将代入上式即可得n a .例10、(1)已知数列{}n a 满足*111,22(),n n n a a a n N +==+∈求n a .(2)已知数列{}n a 满足*111,32(),n n n a a a n N +==+∈求n a .七、特殊技巧命题点1、取倒数法例12、已知数列{}n a 满足11a =，*111(),n n n n a a n N a a ++⋅=-∈-求数列{}n a 的通项公式.命题点2、开方法例13、已知数列{}n a满足*11(),n n a a n N +=++∈11a =，求数列{}n a 的通项公式.命题点3、取对数法例14、已知数列{}n a 满足2*13(),n n a a n N +=∈13a =，求数列{}n a 的通项公式.八、分别求奇数项和偶数项的通项公式 例15、（1）已知数列{}n a 满足2()*n n a qa q q n N +=≠∈为实数，且1，，121,2a a ==且233445,,a a a a a a 成等差数列，求q 的值和{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足23n n a a +-=，*n N ∀∈，121,2a a ==，求数列{}n a 的通项公式.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列通项公式的常见求法湖北省黄冈市团风中学 胡建平求通项公式是学习数列时的一个难点。
由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出。
近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本人以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供教学参考.一． 归纳法已知数列前若干项，求该数列的通项时，观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系寻找规律，从而归纳出构成规律，写出通项公式.一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。
例1 已知数列646132291613854121，，，，，-- 写出此数列的一个通项公式。
解 观察数列前若干项可得通项公式为nn nn a 232)1(--=注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。
可归纳成 或 两个不同的数列（ 便不同） 例2定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________ .（备题）1已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则)111(12312lim nn n a a a a a a -++-+-+∞→ =（ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 2已知数列{}a n 中，b a =1（b 为任意正数），),3,2,1(111 =+-=+n a a n n , 能使b a n =的n 的数值是 ( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．1722+-=n n a n n n a 2=4a3数列{}a n 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ,则n n na ∞→lim 等于4一个整整数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中的数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是 （ ）A ．132B ．255C ．259D ．2605已知数列{a n }满足nn n a aa a +==+1,111，求数列{a n }的通项公式。
6已知数列{}a n 中，2,,2,121≥∈==*n N n a a ，有1123-+-=n n n a a a ，则=6a二． 公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 。
用此公式时要注意：结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a 1和a n 合为一个表达式。
例1已知数列{a n }的前n 和n S 满足,1)1(log 2+=+n S n 求此数列的通项公式。
解 由条件可得121-=+n n S 当n n n n n n S S a n a n 2222,31111=-=-=≥==+-时当时 所以⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n n例2设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.解 2)13(,2)13(313414-=-=a S a S 2)13(2)13(3141344---=-=a a S S a 2,2)33(541341=-=a a（备题）1设A n 为数列{a n }的前n 项的和，且)1(23-=n n a A ，求数列{a n }的通项 2设S n 为数列{a n }的前n 项的和，23+=nn S ，求数列{a n }的通项三． 由递推公式求数列的通项由递推公式求数列的通项的问题是高考和竞赛的热点和难点。
由于递推关系的种类繁多，多数情况也没有求通项共识的现成方法，基本思想仍是通过变形、代换等手段，把问题转化为等差、等比数列的通项公式。
由递推关系求通项公式的常用方法有: 累差迭加法, 累商迭乘法, 迭代法, 换元法，求解方程法等等。
1、 累差迭加法若数列{a n }满足)(1n f a a n n +=+的递推式，其中)(n f 又是等差数列或等比数列，即当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，则可用累差迭加法求通项。
例 已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的通项。
解 ∵,312=-a a ,523=-a a ,734=-a a ……,121-=--n a a n n 各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)(52N n n a n ∈+=（备题）1已知数列{a n }满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，求此数列的通项2、累商迭乘法若数列{a n }能写成1-=n n a a )(n f )2(≥n 的形式，即当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，则可由1-=n n a a )(n f ，21--=n n a a )1(-n f ， 32--=n n a a )2(-n f ，…… 12a a =)2(f 连乘求得通项公式。
例、已知数列{a n }满足)(,2)1(,11N n a n S a nn ∈+==，求{a n }的通项公式。
解 ∵)()1(2N n a n S n n ∈+=, ),2(211N n n n a S n n ∈≥=-- 两式相减得1)1(2--+=n n n na a n a ,，∴11-=-n na a n n ),2(N n n ∈≥ 于是有1,,34,23,121342312-====-n na a a a a a a a n n ),2(N n n ∈≥ 以上各式相乘，得),2(,1N n n n na a n ∈≥==，又a 1=1，∴a n = n (n ∈N)（备题）1已知数列{a n }满足1112,1--==n n n a a a ，求a n3、迭代法若数列{a n }满足=n a )(1-n a f ，循环运用递推关系反复代换，减少项，推导归纳出内在联系，则可通过迭代的方法求得通项公式。
例、 数列{a n }满足)2(121,111≥+==-n a a a n n ，求通项公式。
解=+++=++=+=+=----)21211(2121121)121(211212332221n n n n n a a a a a12221)21(21)2121211(21111211-+=--+=+++++=----n n n n n n a（备题）1已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1, n=1, a n = ,n ≥22若数列{a n }中，11=a 且21n n a a =+( n 是正整数) ，则数列的通项___________ 3已知数列{a n }，满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，那么数列的通项？4、换元法在求解某些数列问题时，按照常规的思维方式去寻求解题途径往往比较困难，这时，如果我们若能根据已知条件中等式的特点构造一个新的数列，或通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式，就能使问题迎刃而解。
例1. 已知数列{}n a 中，01=a ，22=a ，且()()21211≥+=+-+n a a a n n n ，求n a解：由已知得()2211≥+-=--+n a a a a n n n n设n n n a a b -=+1，则21+=-n n b b ，即21=--n n b b∴数列{}n b 是公差d=2、首项2121=-=a a b 的等差数列。
∴()n n b n 2212=⋅-+=∴当2≥n 时，()()()112211a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---＝11221a b b b b n n +++⋅⋅⋅++--＝()()[]()1021221-=+-+-n n n n又 01=a 也适合上式，∴ ()1-=n n a n点评：本题通过设nn n a a b -=+1，构造了一个新的等差数列{}n b ，顺利求出了{}n a 的通项公式。
例2. 已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a ，求{}n a 的通项公式。
解： 121+=+n n a a ， ∴)1(211+=++n n a a ∴2111=+++n n a a 由11=a ，故011≠+a ，易知01≠+n a 。
所以，数列{}1+n a 是以首项211=+a ，公比为2的比数列。
∴nn n a 22211=⋅=+-，即12-=n n a点评: 本例通过将已知等式变形，根据1+n a 与na 前面系数的数量关系（2倍），构造了等比数列{}1+n a ，从而顺利求出了1+n a ，也就求出了n a 。
（备题）1在数列{}n a 中，ns 为数列的前n 项之和，已知2,2321==a a ，并且()N n n s s s n n n ∈≥=++--+,2012311，求{}n a 的通项公式。
2在数列{}n a 中，3,211+==+n nn a a a a ，求na3已知数列 {}n a 的递推关系 为 ，且a 1=1,a 2=3,求通项公式4 已知 a 1=2,a n 不为零，求 na 。
5 在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .6 在数列{a n }中，511=a ，且当1 n 时，有0411=----n n n n a a a a ，求n a5、 求解方程法若数列{a n }满足方程0)(=n a f 时，可通过解方程的思想方法求得通项公式。
例、已知函数,2)(log }{,22)(2n a f a x f n n x x -=-=-满足数列求数列{a n }的通项公式。
解 由条件,2log 2log 2)(22n a a x f nn-=--= 即n a a nn 21-=-∴0122=-+n na n a ，又a n >0，∴n n a n -+=12 （备题）1设{a n }是首项为1的正项数列，且)3,2,1(0)1(1212 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项公式是4212=+-++n n n a a a )(211N n a a a a n n n n ∈∙=-++。