2013年高考文科数学山东卷试题与答案word解析版

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2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i 1i +(-)＝( )． A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．164．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．A ．Sn ＝2an －1B ．Sn ＝3an －2C ．Sn ＝4－3anD ．Sn ＝3－2an7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝POF 的面积为( )．A ．2 B．．．49．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 12．已知函数f (x )＝的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______． 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18． (本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19． (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．20． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．21． (本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．答案：C 解析：∵2e =2c a =，即2254c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C. 5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.6．答案：D 解析：11211321113nn n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D. 7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s max ＝4，s min ＝3.∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8．答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P＝∴y P ＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C. 9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．故选D.11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2.∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0.∴12t ＋1－t ＝0.∴t ＝2.14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R，OH ＝3R.又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt△OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫⎪⎝⎭，∴R 2＝98.∴S 球＝4πR 2＝9π2.16．答案：解析：∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φ＝5，cos φ＝5.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2nn na d -+.由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为＝12nn -.18．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1又A1C A1C2＝OC2＋21OA，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3. 20．解：(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4e x(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·1e2x⎛⎫-⎪⎝⎭.令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．21．解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝当k＝4时，将4y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，所以|AB ||x 2－x 1|＝187. 当k＝-|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a-≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013学年高考文科数学年山东卷答案

河南省2013年初中学业水平暨高级中等学校招生中考试试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】2-的相反数是2，故选：A ．【提示】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【考点】相反数 2.【答案】D【解析】A ．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； B ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D ．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选D ．【提示】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【考点】中心对称图形，轴对称图形 3.【答案】D【解析】(2)(3)0x x -+=，20x -=，30x +=，12x =，23x =-，故选D ．【提示】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解．【考点】解一元二次方程的因式分解法故选C ．【提示】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．【考点】中位数 5.【答案】B【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面，“1”与“6”是相对面．故选B ．【提示】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【考点】三视图 6.【答案】B【解析】不等式组解集为12x -<≤，其中整数解为0，1，2．故最小整数解是0．故选B ．【提示】先求出不等式组的解集，再求其最小整数解即可．【考点】一元一次不等式组的整数解 7.【答案】C【解析】A ．∵CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，∴AG BG =，故正确； B ．∵直线EF 与O 相切于点D ，∴CD EF ⊥，又∵AB CD ⊥∴AB EF ∥，故正确； C ．只有当AC AD =弧弧时，AD BC ∥，当两个互不等时，则不平行，故选项错误； D ．根据同弧所对的圆周角相等，可以得到ABC ADC ∠=∠．故选项正确．故选C ．【提示】根据切线的性质，垂径定理即可做出判断．【考点】切线的性质，垂径定理，圆周角定理 8.【答案】A【解析】∵10a =-<，∴二次函数图像开口向下，又对称轴是直线1x =，∴当1x <时，函数图像在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大．故选A ．【提示】抛物线221y x x =-++中的对称轴是直线1x =，开口向下，1x <x ＜1时，y 随x 的增大而增大．【考点】二次函数的性质二、填空题 9.【答案】1【解析】原式32 1.=-= 故答案为：1【提示】分别进行绝对值的运算及二次根式的化简，然后合并即可．【考点】实数的运算 10.【答案】15︒【解析】解：∵60A ∠=︒，45F ∠=︒，∴1906030∠=︒-︒=︒，904545DEF ∠=︒-︒=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，2453015CEF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：15︒【提示】根据直角三角形两锐角互余求出1∠，再根据两直线平行，内错角相等求出2∠，然后根据452CEF ∠=︒-∠计算即可得解．【考点】平行线的性质11.【答案】1故答案为11x - 【提示】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．【考点】分式的加减法12.【答案】8π故答案为：8π3【提示】根据弧长公式求出扇形的弧长．【考点】弧长的计算13.【答案】2故答案为：23【提示】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所求的概率．【考点】列表法与树状图法 22OA ︒=⨯故答案为：12．【提示】根据平移的性质得出四边形APP A ''是平行四边形，进而得出AD ，PP '的长，求出面积即可．【考点】二次函数图像与几何变换15.【答案】3或3【解析】解：当CEB '△为直角三角形时，有两种情况：故答案为：32或3．【提示】当CEB '△为直角三角形时，有两种情况：①当点B '落在矩形内部时，如图1所示，连结AC ，先利用勾股定理计算出5AC =，根据折叠的性质得90AB E B '∠=∠=︒，而当CEB '△为直角三角形时，只能得到90EB C '∠=︒，所以点A 、B '、C 共线，即B ∠沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B '处，则EB EB '=，3AB AB '==，可计算出2CB '=，设B E x =，则E B x '=，4CE x =-，然后在Rt CEB '△中运用勾股定理可计算出x ，②当点B '落在AD 边上时，如图2所示，此时ABEB '为正方形．【考点】翻折变换（折叠问题）三、解答题 16.【答案】5【解析】解：原式22224441443x x x x x x =+-+-=-++，当x =235=+=．【提示】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将整式的混合运算—化简求值的值代入计算即可求出值．【考点】整式的混合运算的化简求值 17.【答案】（1）40，100，15% （2）30万人（3）概率是1答：随机抽查一人，则此人持C 组“观点”的概率是14【提示】求得总人数，然后根据百分比的定义，利用总人数100万，乘以所对应的比例即可求解，利用频率的计算公式．【考点】频数（率）分布表，用样本估计总体，扇形统计图，概率公式18.【答案】（1）证明：∵AG BC ∥，∴EAD DCF ∠=∠，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD CD =，∵在ADE △和CDF △中，EAD DCFAED DFC AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADE CDF AAS △≌△；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有6CF AC AE ===，则此时的时间616()t s =÷=； ②四边形AFCE 为直角梯形时，（Ⅰ）若CE AG ⊥，则3AE =，326BF =⨯=，即点F 与点C 重合，不是直角梯形（Ⅱ）若A F B C ⊥，∵ABC △为等边三角形，∴F 为BC 中点，即3BF =，∴此时的时间为32 1.5()s ÷=；故答案为：6；1.5【提示】由题意得到AD CD =，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证，①若四边形ACFE 是菱形，则有6CF AC AE ===，由E 的速度求出E 运动的时间即可；②分两种情况考虑：若CE AG ⊥，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF BC ⊥，求出BF 的长度及时间t 的值．【考点】菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角梯形．答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC 约为37.3米【提示】在Rt BAE △中，根据162BE =米，68BAE ∠=︒，解直角三角形求出AE 的长度，然后在Rt DCE △中解直角三角形求出CE 的长度，然后根据AC CE AE =-求出AC 的长度即可．【考点】解直角三角形的应用的坡度坡角问题20.【答案】（1）32,2⎛⎫⎪⎝⎭（2）直线FB 的解析式2533y x =+ 【解析】解：（1）∵(2,3)BC x ∥轴，点B 的坐标为(2,3)，∴2BC =，∵点D 为BC 的中点，∴1CD =，∴∴直线FB 的解析式2533y x =+ 【提示】首先根据点B 的坐标和点D 为BC 的中点表示出点D 的坐标，代入反比例函数的解析式求得k 值，然后将点E 的横坐标代入求得E 点的纵坐标即可，根据FBC DEB △∽△，利用相似三角形对应边的比相等确定点F 的坐标后即可求得直线FB 的解析式．【考点】反比例函数综合题21.【答案】（1）A 种品牌计算器30元每个，B 种品牌计算器32元每个（2）124y x =，232,(05)22.448,(5)x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（3）购买超过30个计算器时，B 品牌更合算，购买不足30个计算器时，A 品牌更合算【解析】解：（1）设A 、B 两种品牌的计算器的单价分别为a 元、b 元，根据题意得，231563122a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：3032a b =⎧⎨=⎩，答：A 种品牌计算器30元每个，B 种品牌计算器32元每个；（2）A 品牌：1300.824y x x ==；B 品牌：05x ≤≤，232y x =，5x >时，253232(5)0.722.448y x x =⨯+⨯-⨯=+ 所以，124y x =，232,(05)22.448,(5)x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩；（3）当12y y =时，2422.448x x =+，解得30x =，购买30个计算器时，两种品牌都一样，购买超过30个计算器时，B 品牌更合算，购买不足30个计算器时，A 品牌更合算【提示】设A 、B 两种品牌的计算器的单价分别为a 元、b 元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，A 品牌，根据八折销售列出关系式即可，B 品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理，先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．【考点】一次函数的应用，二元一次方程组的应用．22.【考点】全等三角形的判定与性质23.【答案】（1）272 2y x x=-++．（2）当m为值为1，2时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形FN PFN FN CFM FN tan tan2∠=∠=点p有2个，如图2所示，注意不要漏解．在求点p坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点p的坐标．【考点】二次函数综合题。

2013年高考(新课标I卷)文科数学试卷(word版含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，第小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}3,3,2,1{=A ，},|{2A n n x x B ∈==，则=⋂B A（A ）}4,1{ （B ）}3,2{ （C ） }16,9{ （D ）}2,1{（2）2)1(21i i-+＝（A ）i 211-- （B ）i 211+- （C ）i 211+ （D ）i 211- （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）61 (4) 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ）x y 21±= （D ）x y ±= （5）已知命题;32,:xxR x p <∈∀命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝ （C ）q p ⌝∧ （D ）q p ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为32的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则（A ）12-=n n a S （B ）23-=n n a S （C ）n n a S 34-= （D ）n n a S 23-=（7）执行右边的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s 属于(A) ]4,3[- (B) ]2,5[- (C) ]3,4[- (D) ]5,2[-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则POF ∆的面积为(A) 2 (B) 22 (C) 32 (D) 4 （9）函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为（10）已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，,7,02cos cos 232==+a A A 6=c ，则=b（A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）16+8π（B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π(12) 已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>+≤+-.0),1ln(,0,22x x x x x 若|)(|x f ≥ax ，则a 的取值范围是(A) ]0,(-∞ (B) ]1,(-∞ (C) ]1,2[-(D) ]0,2[-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A. −1−12i B ．11+i 2- C ．1+12i D ．1−12i【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ． y =±14i B ．y =±13i C ．12y x =± D ．y =±i【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵2e =2c a =，即2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

2013年山东省高考数学试卷(文科)学生版

2013 年山东省高考数学试卷（文科）一．选择题：此题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分．．（分）（ 2013? 山东）复数 z= （ i 为虚数单位），则 | z| =（）1 5A ．25B ．C ．5D ．2．（ 5 分）（ 2013?山东）已知会合、全集 U={ 1、2、3、4}（A ∪B ）={ 4} ， A B ，且?UB={ 1，2} ，则 A ∩?U B=（）A ．{ 3}B ．{ 4}C ．{ 3，4}D ．?（）为奇函数，且当 x ＞02+ ， 3．（ 5 分）（2013?山东）已知函数 f x时，f （x ）=x 则 f （﹣ 1） =（）A ．2B ．1C ．0D ．﹣ 24．（ 5 分）（ 2013?山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如下图该四棱锥侧面积和体积分别是（）A ．4 ，8B ．，C ．，D ．8，8．（分）（ 2013?山东）函数 f （） =+的定义域为（）5 5 xA ．（﹣ 3，0]B ．（﹣ 3，1]C ．（﹣∞，﹣ 3）∪（﹣ 3， 0]D ．（﹣∞，﹣ 3）∪（﹣ 3，1]6．（5 分）（2013?山东）履行两次如下图的程序框图，若第一次输入的a 的值为﹣ 1.2，第二次输入的 a 的值为 1.2，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为（）A．0.2，0.2B．0.2，0.8C．0.8，0.2D．0.8，0.8 7．（ 5 分）（ 2013?山东）△ABC的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 B=2A，a=1，b=，则 c=（）A．B．2C．D．18．（5 分）（2013?山东）给定两个命题p， q．若￢ p 是 q 的必需而不充足条件，则 p 是￢ q 的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件9．（5 分）（2013?山东）函数y=xcosx+sinx 的图象大概为（）A．B．C．D．10．（ 5 分）（2013?山东）将某选手的9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分， 7 个节余分数的均匀分为91，现场做的 9 个分数的茎叶图以后有一个数据模糊，没法辨识，在图中以x 表示：则7 个节余分数的方差为（）A．B．C．36D．11．（ 5分）（ 2013?山东）抛物线C1：＞的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若 C1在点 M 处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．12．（ 5 分）（ 2013?山东）设正实数x，y，z 知足x2﹣3xy+4y2﹣ z=0，则当获得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．0B．C．2D．二．填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分13．（ 4 分）（2013?山东）过点（ 3，1）作圆（ x﹣ 2）2+（y﹣2）2=4 的弦，此中最短的弦长为．14（．4 分）（ 2013?山东）在平面直角坐标系xOy中，M 为不等式组所表示的地区上一动点，则线段| OM| 的最小值为．15．（ 4分）（ 2013?山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，，若∠ ABO=90°，则实数t 的值为．16．（ 4 分）（2013?山东）定义“正对数”：ln+x=，＜＜，现有四个命题：，①若 a＞0，b＞0，则 ln+（a b） =bln+；a②若 a＞0，b＞0，则 ln+（ab）=ln+；+a+ln b③若 a＞0，b＞0，则；④若 a＞0，b＞0，则 ln+（a+b）≤ ln．++a+ln b+ln2此中的真命题有（写出全部真命题的序）三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，17．（12 分）（2013?山东）某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/ 米2）如表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9（Ⅰ）从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [ 18.5，23.9）中的概率．18．（ 12 分）（2013?山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sin ω xcos ωx（＞ 0），且 y=f（ x）的图象的一个对称中心到近来的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求 f（ x）在区间 [，] 上的最大值和最小值．19．（ 12 分）（ 2013?山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中， AB⊥ AC，AB⊥PA，AB∥ CD，AB=2CD，E， F，G，M ，N 分别为 PB、AB、 BC、 PD、PC的中点．（Ⅰ）求证： CE∥平面 PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面 EMN．20．（12 分）（ 2013?山东）设等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { b n } 知足=1﹣，n∈N*，求{ b n } 的前n 项和T n．221．（ 12 分）（ 2013?山东）已知函数 f （x）=ax +bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅱ）设 a＞0，且关于随意 x＞ 0，f （x）≥ f（1）．试比较 lna 与﹣ 2b 的大小．22．（ 14 分）（2013?山东）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点O，焦点在（Ⅰ）求椭圆x 轴上，短轴长为 C 的方程2，离心率为（Ⅱ）A，B 为椭圆 C 上知足△AOB的面积为的随意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆 C 于点P，设，务实数t 的值．。

2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)6645.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N =（）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ．（2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（）（A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i =+C ．（3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则 ABC ∆的面积为（）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得c =117sin 2sin 2212bc A π=⨯⨯．因为711sin sin())123422πππ=+，所以11sin )1222bc A =+=+，故选B ．（5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以2122tan30,PF c PF ===．又122PF PF a+==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ．（8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ．（9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（）（A ）1y x =-或1y x =-+（B）1)y x =-或1)y x =-（C ）1)y x =-或1)y x =-（D）1)y x =-或1)y x =- 【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．若1y =-，则1(3,()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x =-或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（）（A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____．【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯，解得高h =．=所以OA =2424ππ=．（16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A =，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =90ACB ∠=︒，CD =，1A D =DE =，13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯==．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．解：（1）当[)10,30X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,5X ∈时，50013065000T =⨯=．所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．1（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =的距离为2，求圆P 的方程．解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=．（2）设00()P x y ，2=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜；当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞，，．令()()20h x x x x+=≠，则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，．所以当()02()t ∈-∞+∞，，时，()m t 的取值范围是0()223,⎡⎤+-+∞⎦∞⎣，．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是0()223,⎡⎤+-+∞⎦∞⎣，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号．（22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽，所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ=<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b c a a b c c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b c b c a++≥．。

【高考真题】2013年高考数学(文科)课标卷(二)Ⅱ(Word版,含答案解析)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}2.2=( )A.2 2B.2C. 2D.13.设x,y 满足约束条件 x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( ) A.-7B.-6C.-5D.-34.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π,C=π,则△ABC 的面积为( ) A.2 3+2B. 3+1C.2 3-2D. 3-15.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( ) A. 36B.13C.12D. 336.已知sin 2α=23,则cos 2α+π4 =( ) A.16B.13C.12D.237.执行右面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=( )A.1+12+13+14 B.1+12+13×2+14×3×2 C.1+12+13+14+15D.1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×28.设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>aD.c>a>b9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )10.设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y= 33(x-1)或y=- 33(x-1)C.y= 3(x-1)或y=- 3(x-1)D.y= 22(x-1)或y=- 22(x-1)11.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=012.若存在正数x 使2x (x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞)D.(-1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 . 14.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ·BD = . 15.已知正四棱锥O-ABCD 的体积为3 22,底面边长为则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 .16.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin 2x +π3 的图象重合,则φ= .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD;(Ⅱ)设AA 1=AC=CB=2,AB=2 求三棱锥C-A 1DE 的体积.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;,求圆P的方程.(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为2221.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(Ⅰ)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:x=2cos t,y=2sin t(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ca≤13;(Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.C 由题意得M∩N={-2,-1,0}.选C.2.C21+i=2(1-i )2=|1-i|= 2.选C.3.B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z min =2×3-3×4=-6.故选B.4.B 由正弦定理b sin B =csin C及已知条件得c=2 2.又sin A=sin(B+C)=12× 22+ 32× 22= 2+ 64,从而S △ABC =12bcsin A=12×2×2 2×2+ 64= 3+1.故选B.5.D 在Rt△PF 2F 1中,令|PF 2|=1,因为∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2,|F 1F 2|= 3.所以e=2c 2a =|F 1F 2||PF 1|+|P F 2|= 33.故选D. 6.A cos 2α+π4=1+cos 2α+π22=1-sin 2α2=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.7.B 由框图知循环情况为:T=1,S=1,k=2;T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4;T=12×3×4,S=1+12+12×3+12×3×4,k=5>4,故输出S.选B. 8.D∵ 3 32<log 33,log 51<log 52<log 5 ,log 23>log 22,∴12<a<1,0<b<12,c>1,∴c>a>b.故选D.9.A 在空间直角坐标系中,易知O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点.因此该几何体以zOx 平面为投影面所得的正视图为A.评析本题考查了三视图和直观图,考查了空间想象能力.把几何体补成正方体是求解的关键.10.C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1垂直准线于A 1,BB 1垂直准线于B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC ||AB |=|BC |4t=12,∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y= 3(x-1)或y=- 3(x-1).故选C.11.C 由三次函数的值域为R 知, f(x)=0必有解,A 项正确;因为f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可由曲线y=x 3平移得到,所以y=f(x)的图象是中心对称图形,B 项正确;若y=f(x)有极值点,则其导数y=f '(x)必有2个零点,设为x 1,x 2(x 1<x 2),则有f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),所以f(x)在(-∞,x 1)上递增,在(x 1,x 2)上递减,在(x 2,+∞)上递增,则x 2为极小值点,所以C 项错误,D 项正确.选C.评析本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数的单调性和极值.掌握基本初等函数的图象和性质是解题关键.12.D 由2x(x-a)<1得a>x-12,令f(x)=x-12,即a>f(x)有解,则a>f(x)min ,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.评析本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键.二、填空题13.答案0.2解析任取两个不同的数的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为210=0.2.14.答案 2解析解法一:AE·BD= AD+12AB·(AD-AB)=AD2-12AB2+0=22-12×22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).∴AE=(1,2),BD=(-2,2).从而AE·BD=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.评析本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算.15.答案24π解析设底面中心为E,则|AE|=12|AC|=62,∵体积V=13×|AB|2×|OE|=|OE|=322,∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.从而以|OA|为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π.评析本题考查了正四棱锥和球,考查了表面积和体积,考查了空间想象能力和运算求解能力.计算错误是失分的主要原因.16.答案56π解析令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移π2个单位后得f x-π2=cos2 x-π2+φ =cos(2x+φ-π)=sin(2x+φ-π)+π2=sin2x+φ-π2的图象,因为其与y=sin2x+π3的图象重合,所以φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+56π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=56π.三、解答题17.解析(Ⅰ)设{a n}的公差为d.由题意得,a112=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故a n=-2n+27.(Ⅱ)令S n=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(Ⅰ)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而S n=n2(a1+a3n-2)=n2(-6n+56)=-3n2+28n.18.解析(Ⅰ)证明:连结AC 1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由于AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22得∠ACB=90°,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以VC-A1DE =13×12×6×3×2=1.评析本题考查了三棱柱的性质,考查了直线与平面平行的判定和体积的计算,考查了空间想象能力和运算求解能力.正确地选择方法和规范化解题至关重要.19.解析(Ⅰ)当X∈[100,130)时, T=500X-300(130-X)=800X-39 000.当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T=800X-39000, 100≤X<130, 65000,130≤X≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.20.解析(Ⅰ)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(Ⅱ)设P(x0,y0),由已知得002=22.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1, y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1得x0=0,y0=-1.此时,圆P的半径r=由x0-y0=-1,y02-x02=1得x0=0,y0=1.此时,圆P的半径r=3.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=-e-x x(x-2).①当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时, f '(x)<0;当x∈(0,2)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时, f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时, f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.(Ⅱ)设切点为(t, f(t)),则l的方程为y=f '(t)(x-t)+f(t).所以l 在x 轴上的截距为m(t)=t-f (t )f '(t )=t+tt -2=t-2+2t -2+3.由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(x)=x+2x (x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2 +3,+∞).综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞).评析本题考查了导数的应用,均值定理求最值,考查了综合解题的能力,正确地求导是解题的关键.22.解析 (Ⅰ)证明:因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DC EA ,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12. 23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为 x =cos α+cos2α,y =sin α+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d= x 2+y 2= 2+2cos α(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.证明 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(Ⅱ)因为a 2b +b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a 2b +b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b2c+c2a≥a+b+c.所以a 2b +b2c+c2a≥1.。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}（2） = ( )（A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A．12 B．13 C．14 D．164．已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )．A． B．C．12y x=± D ．5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．A．p∧q B．⌝p∧qC．p∧⌝q D．⌝p∧⌝q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n｝的前n项和为S n，则（）（A）S n=2a n-1 （B）S n =3a n-2 （C）S n=4-3a n（D）S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．[－3,4]B．[－5,2] C．[－4,3]D．[－2,5]8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为( )．A．2 B．．．49．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．A．10 B．9 C．8 D．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8π C．16＋16πD．8＋16π12已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝______.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.星期一已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．星期二如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．星期三为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？星期四已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 星期五已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．星期六（三选一）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(Ⅰ)证明：DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ．（2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（）（A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ．（3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ．（5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ．（8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ．（9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（）（A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（）（A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____．【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=．（16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=．所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程．解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=．（2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜；当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠，则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，．所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号．（22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽，所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013 年普通高等学校招生全国统一考试( 新课标全国卷I)数学（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4} ，B＝{ x| x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( ) ．A．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2}（2）= ( ) （A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i 3．从1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) ．1 1 1 1A．2 B ．3 C ．4 D ．64．已知双曲线C：2 2x y2 2 =1( a＞0，b＞0) 的离心率为a b52，则C的渐近线方程为( ) ．1A． B ．C．y x D ．2 5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：? x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( ) ．A．p∧q B．p∧qC．p∧q D ．p∧q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n｝的前n 项和为S n，则（）（A）S n =2a n-1 （B）S n =3a n -2 （C）S n =4-3a n （D）S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[ －1,3] ，则输出的s 属于( ) ．A．[ －3,4]B ．[ －5,2] C ．[ －4,3]D ．[ －2,5]2＝4 2x的焦点，P为C上一点，若| PF| ＝4 2 ，8．O为坐标原点，F 为抛物线C：y则△P OF的面积为( ) ．A．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．49．函数 f (x) ＝(1 －cos x)sin x 在[ －π，π]的图像大致为( ) ．10．已知锐角△A BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c, 23cos 2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( ) ．A．10 B ．9 C ．8 D ．5111．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) ．A．16＋8πB．8＋8π C ．16＋16πD．8＋16π12 已知函数 f ( x) ＝( ) ．2 2 , 0,x x xln( x 1),x 0.若| f ( x)| ≥ax，则 a 的取值范围是A．( －∞，0] B ．( －∞，1] C ．[ －2,1] D ．[ －2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题 5 分．13．已知两个单位向量a，b 的夹角为60°，c＝t a＋(1 －t) b. 若b·c＝0，则t ＝______.14．设x，y 满足约束条件1x 3,则z＝2x－y 的最大值为______．1 x y 0,15．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．16．设当x＝θ时，函数 f (x) ＝sin x－2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.已知等差数列{ a n} 的前n 项和S n 满足S3＝0，S5＝－5.(1) 求{ a n} 的通项公式；(2) 求数列1a a2n 1 2n 1的前n 项和．如图，三棱柱ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1) 证明：AB⊥A1C；(2) 若AB＝CB＝2，A1C＝ 6 ，求三棱柱ABC－ A1B1C1 的体积．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药) 的疗效，随机地选取20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间( 单位：h) ．试验的观测结果如下：服用 A 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1) 分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2) 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？已知圆M：( x＋1) 2＋y2＝1，圆N：( x－1) 2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1) 求C的方程；(2) l 是与圆P，圆M都相切的一条直线，l 与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求| AB|.星期五已知函数f( x) ＝e －4x，曲线y＝f ( x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y＝4x＋4.x( ax＋b)－x2(1) 求a，b的值；(2) 讨论 f (x) 的单调性，并求f( x) 的极大值．星期六（三选一）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠A BC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.( Ⅰ) 证明：DB=DC;( Ⅱ) 设圆的半径为1，BC= ，延长C E交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

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2013 山东文科数学第1页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013山东，文1)复数z＝22ii(i为虚数单位)，则|z|＝( )． A．25 B．41 C．5 D．5 2．(2013山东，文2)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩＝( )． A．{3} B．{4} C．{3,4} D．

3．(2013山东，文3)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝( )． A．2 B．1 C．0 D．－2 4．(2013山东，文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．

A．45，8

B．45，83 C．4(5+1)，83 D．8,8

5．(2013山东，文5)函数f(x)＝1123xx的定义域为( )． A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 6．(2013山东，文6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )． A．0.2,0.2 B．0.2,0.8 C．0.8,0.2 D．0.8,0.8 7．(2013山东，文7)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B

＝2A，a＝1，b＝3，则c＝( )．

A．23 B．2 C．2 D．1 8．(2013山东，文8)给定两个命题p，q．若p是q的必要而不充分条件，则p是q的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．(2013山东，文9)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )．

10．(2013山东，文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为( )． 2013 山东文科数学第2页

A．1169 B．367 C．36 D．677 11．(2013山东，文11)抛物线C1：y＝212xp(p＞0)的焦点与双曲线C2：2213xy的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )．

A．316 B．38 C．233 D．433 12．(2013山东，文12)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )．

A．0 B．98 C．2 D．94 第2卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．(2013山东，文13)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________．

14．(2013山东，文14)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2360,20,0xyxyy所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是__________． 15．(2013山东，文15)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为__________．

16．(2013山东，文16)定义“正对数”：ln＋x＝0,01,ln,1,xxx现有四个命题： ①若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝bln＋a； ②若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；

③若a＞0，b＞0，则lnab＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a＞0，b＞0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．(2013山东，文17)(本小题满分12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率． 2013 山东文科数学第3页

18．(2013山东，文18)(本小题满分12分)设函数f(x)＝332sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.

(1)求ω的值； (2)求f(x)在区间3ππ,2上的最大值和最小值．

19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD； (2)求证：平面EFG⊥平面EMN. 2013 山东文科数学第4页

20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足1212112nnnbbbaaa，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.

21．(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)． (1)设a≥0，求f(x)的单调区间； (2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小． 2013 山东文科数学第5页

22．(2013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C的方程； (2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为64的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设OP＝tOE，求实数t的值． 2013 山东文科数学第6页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C

解析：44i134i43iiiz，所以|z|＝22(4)(3)＝5.故选C. 2．答案：A

解析：∵(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴A一定含元素3，不含4.

又∵＝{3,4}，∴A∩＝{3}． 3．答案：D 解析：∵f(x)为奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝111＝－2. 4．答案：B 解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：

由图可知PO＝2，OE＝1，所以PE＝22215，所以V＝13×4×2＝83，S＝1425=452. 5．答案：A

解析：由题可知12030xx213xx0,3,xx ∴定义域为(－3,0]． 6．答案：C 解析：第一次：a＝－1.2＜0，a＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2＜0，a＝－0.2＋1＝0.8＞0，a＝0.8≥1不成立，输出0.8. 第二次：a＝1.2＜0不成立，a＝1.2≥1成立，a＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2. 7．答案：B

解析：由正弦定理sinsinabAB得：13sinsinAB，

又∵B＝2A，∴133sinsin22sincosAAAA， ∴cos A＝32，∴∠A＝30°， ∴∠B＝60°，∠C＝90°， ∴c＝2213＝2. 8．答案：A 2013 山东文科数学第7页

解析：由题意：q⇒p，pq，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p是q的充分而不必要条件．故选A. 9．答案：D 解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B，

又x∈π0,2，y＞0，排除C，而x＝π时，y＝－π，排除A，故选D. 10．答案：B 解析：∵模糊的数为x，则： 90＋x＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7， x＝4，

所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，

方差为s2＝222229091291912949187917

＝367. 11．答案：D

解析：设M2001,2xxp，21''2xyxpp，故M点切线的斜率为033xp，故M31,36pp.由31,36pp







，0,2p，(2,0)三点共线，可求得p＝433，故选D.

12．答案：C 解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，

222224443331xyzxyxyxyxyxyxy

，

当且仅当x2＝4y2即x＝2y时，zxy有最小值1，将x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y，当y＝1时有最大值2.故选C. 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．答案：22 解析：如图，当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短，AC＝

2232122

，CB＝r＝2，

∴BA＝22222，∴BD＝22.

14．答案：2 解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．