2022-2023学年上海市八年级上学期数学期末考试典型试卷2含答案

2022-2023学年上学期上海八年级初中数学期末典型试卷2一．选择题（共10小题）1．（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．都不对2．（2021秋•静安区期末）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形3．（2021秋•普陀区期末）如图，已知点B 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB ∥EF ，AB ＝EF ，AC ∥DE ，如果BF ＝6，DC ＝3，那么BD 的长等于（ ）A ．1B ．32C ．2D ．34．（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，点D 、E 在AB 上，如果BC ＝BD ，∠CED ＝∠CDE ，那么图中的等腰三角形共有（ ）个．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∠BAC ＝70°，则∠EAN 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55°6．（2021秋•普陀区期末）如果2（5﹣a ）（6+a ）＝100，那么a 2+a +1的值为（ ） A ．19B ．﹣19C ．69D ．﹣697．（2021秋•宝山区期末）下列运算结果正确的是（ ）A ．a •a 2＝a 2B ．（﹣2a ）2＝2a 2C ．﹣2（a ﹣1）＝2﹣2aD ．a 5﹣a 5＝a 08．（2021秋•宝山区期末）已知分式2ab a+b的值为25，如果把分式2ab a+b中的a 、b 同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ） A ．25B ．45C ．65D ．4259．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ） A ．若A 、B 表示两个不同的整式，则AB 一定是分式B ．如果将分式xyx+y中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C ．单项式23ab 是5次单项式D ．若3m ＝5，3n ＝4，则3m ﹣n =5410．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ） A ．x 6x 2=x 3B ．x 2+y 2x+y=x +yC ．x+my+m=xyD ．15b−5a 2a−6b=−52二．填空题（共10小题）11．（2021秋•普陀区期末）新型冠状病毒颗粒呈球形或者椭圆形，传染性非常强，传播速度非常快，它的直径约为125纳米（0.000000125米）左右，将0.000000125用科学记数法表示为 ．12．（2021秋•宝山区期末）如果关于x 的方程x x−2+2=kx−2无解，那么k ＝ ．13．（2021秋•普陀区期末）因式分解：ax ﹣by +ay ﹣bx ＝ ．14．（2021秋•普陀区期末）已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为 ．15．（2022春•普陀区校级期末）如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝24°，线段AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，联结BE ，则∠CBE ＝ 度．16．（2022春•杨浦区校级期末）如图，G 是直线HA 上的点，若HA ∥BF ，FH ＝FG ，∠HFG＝46°，则∠HFB＝度．17．（2022春•徐汇区校级期末）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是．18．（2022春•徐汇区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．19．（2022春•奉贤区校级期末）一个多边形的内角和等于540度，那么它的边数是．20．（2022春•徐汇区校级期末）三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为．三．解答题（共10小题）21．（2022春•上海期末）在△ABC中，AB＝AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？22．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知：AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，试说明BD平分∠ABC的理由．23．（2022春•普陀区校级期末）已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD 为△ABC 的高，点E 在边AC 上，BE 与AD 交于点F ，且DF ＝DC ．说明BE ⊥AC 的理由． 解：∵AD 为△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° （ ）．∵∠ABD +∠BAD +∠ADB ＝ °，∠ABC ＝45°， ∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°． ∴BD ＝AD （ ）． 在△BDF 与△ADC 中， {BD =AD∠BDF =∠ADC DF =DC， ∴△BDF ≌△ADC （ ）（完成以下说理过程）．24．（2022春•上海期末）在直角坐标系中有P （﹣2，2）和Q （5，8）两点，M 是x 轴上的任意一点，则PM +QM 长度的最小值是？25．（2022春•上海期末）在等边△ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为D ，延长BC 到E ，使CE =12BC ，连结D 、E ．（1）BD 与DE 有怎样的关系？请说明你的理由． （2）把BD 改成什么条件，还能得到（1）中的结论？26．（2021秋•宝山区期末）计算：（x ﹣2y +3）（x +2y ﹣3）． 27．（2021秋•普陀区期末）计算：（a ﹣b ）2﹣（2a ﹣b ）（2a +b ）．28．（2022春•杨浦区校级期末）甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队单独做可以提前2天完工，乙队单独做要延期5天完成，现在两个工程队先合作4天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？29．（2021秋•普陀区期末）解方程：1+11−x2=x x+1．30．（2021秋•普陀区期末）计算：（2xyx+y ）﹣1−2(x−y)x2÷x2−y2xy．2022-2023学年上学期上海八年级初中数学期末典型试卷2参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算．【解答】解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，故选：C．【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．2．（2021秋•静安区期末）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝3×360，解得：n＝8．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键．3．（2021秋•普陀区期末）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（）A ．1B ．32C ．2D ．3【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．【分析】由平行线的性质得到∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF ，证得△ABC ≌△EFD ，得到BC ＝FD ，进而得到BD ＝FC ，即可得出BD =12（BF ﹣DC ）=32． 【解答】解：∵AB ∥EF ， ∴∠B ＝∠F ， ∵AC ∥DE ， ∴∠ACB ＝∠EDF ， 在△ABC 和△EFD 中， {∠ACB =∠EDF∠B =∠F AB =EF，∴△ABC ≌△EFD （AAS ）， ∴BC ＝FD ，∴BC ﹣DC ＝FD ﹣DC ， ∴BD ＝FC ，∴BD =12（BF ﹣DC ）=12（6﹣3）=32． 故选：B ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得ABC ≌△EFD 是解决问题的关键．4．（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，点D 、E 在AB 上，如果BC ＝BD ，∠CED ＝∠CDE ，那么图中的等腰三角形共有（ ）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝54°，∵BC＝BD，∴∠CDB＝∠DCB＝72°，∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，∴CE＝BE，AE＝CE，∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．5．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．55°【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】三角形；应用意识．【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝70°，∴∠B+∠C＝180°﹣70°＝110°，∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，＝110°﹣70°＝40°．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．6．（2021秋•普陀区期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（）A．19B．﹣19C．69D．﹣69【考点】多项式乘多项式．【专题】整体思想；整式；运算能力．【分析】先根据多项式乘以多项式法则计算2（5﹣a）（6+a）＝100，得：a2+a＝﹣20，最后整体代入可得结论．【解答】解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100，∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50，∴a2+a＝﹣20，∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19．故选：B．【点评】本题考查多项式乘多项式和整体思想的运用，掌握多项式乘多项式的运算法则（用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加）是解题关键．7．（2021秋•宝山区期末）下列运算结果正确的是（）A．a•a2＝a2B．（﹣2a）2＝2a2C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a5﹣a5＝a0【考点】幂的乘方与积的乘方；零指数幂；整式的加减；同底数幂的乘法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A．a•a2＝a3，不合题意；B．（﹣2a）2＝4a2，不合题意；C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a，符合题意；D．a5﹣a5＝0，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2021秋•宝山区期末）已知分式2aba+b 的值为25，如果把分式2aba+b中的a、b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（）A ．25B ．45C ．65D ．425【考点】分式的基本性质． 【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【解答】解：因为a 、b 同时扩大为原来的3倍后变为3a ，3b ， 所以2⋅3a⋅3b 3a+3b =18ab 3a+3b =6ab a+b，∵分式2ab a+b的值为25，∴6ab a+b=3•2aba+b=3×25=65， 故选：C ．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关键． 9．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ） A ．若A 、B 表示两个不同的整式，则AB 一定是分式B ．如果将分式xyx+y中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C ．单项式23ab 是5次单项式D ．若3m ＝5，3n ＝4，则3m ﹣n =54【考点】分式的基本性质；整式；单项式；同底数幂的除法． 【专题】整式；分式；运算能力．【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义即可求出答案．【解答】解：A 、若A 、B 表示两个不同的整式，则AB 不一定是分式，故A 不符合题意．B 、如果将分式xyx+y中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B不符合题意．C 、单项式23ab 是2次单项式，故C 不符合题意．D 、若3m ＝5，3n ＝4，则3m ﹣n =54，故D 符合题意．故选：D ．【点评】本题考查分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义，本题属于基础题型．10．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ）A ．x 6x 2=x 3 B ．x 2+y 2x+y =x +y C ．x+m y+m =x y D ．15b−5a 2a−6b=−52 【考点】约分．【专题】计算题；分式；运算能力．【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．【解答】解：A .x 6x 2=x 4，故此选项不符合题意； B .x 2+y 2x+y的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意； C .x+m y+m 的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；D .15b−5a 2a−6b =−5(a−3b)2(a−3b)=−52，正确，故此选项符合题意； 故选：D ．【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•普陀区期末）新型冠状病毒颗粒呈球形或者椭圆形，传染性非常强，传播速度非常快，它的直径约为125纳米（0.000000125米）左右，将0.000000125用科学记数法表示为 1.25×10﹣7 ． 【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7． 故答案为：1.25×10﹣7． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．12．（2021秋•宝山区期末）如果关于x 的方程x x−2+2=k x−2无解，那么k ＝ 2 ．【考点】分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k的值．【解答】解：去分母得：x+2x﹣4＝k，由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：k＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．13．（2021秋•普陀区期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝（a﹣b）（x+y）．【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】计算题；因式分解；整式；运算能力；应用意识．【分析】先分组，再提取公因式，再提取公因式．【解答】解：ax﹣by+ay﹣bx＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y）．故答案为：（a﹣b）（x+y）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，提取公因式的熟练应用是解题关键．14．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为±2．【考点】因式分解﹣十字相乘法等．【专题】整式；运算能力．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．15．（2022春•普陀区校级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝24°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，联结BE，则∠CBE＝54度．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】由等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，可求得AE＝BE，即可求得∠ABE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝24°，∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝24°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）＝78°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝78°﹣24°＝54°．故答案为：54．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2022春•杨浦区校级期末）如图，G是直线HA上的点，若HA∥BF，FH＝FG，∠HFG ＝46°，则∠HFB＝113度．【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠H，再根据平行线的性质即可求出∠HFB．【解答】解：∵FH＝FG，∠HFG＝46°，∴∠H＝∠FGH=12（180°﹣∠HFG）＝67°，∵HA∥BF，∴∠HFB＝180°﹣∠H＝113°．故答案为：113．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理已经平行线的性质．掌握各定理是解题的关键．17．（2022春•徐汇区校级期末）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是5．【考点】全等三角形的性质．【分析】先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．【解答】解：∵BE＝4，AE＝1，∴AB＝BE+AE＝4+1＝5，∵△ABC≌△DEF，∴DE＝AB＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解题的关键．18．（2022春•徐汇区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第2块．【考点】全等三角形的应用．【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．19．（2022春•奉贤区校级期末）一个多边形的内角和等于540度，那么它的边数是5．【考点】多边形内角与外角．【专题】方程思想；多边形与平行四边形；运算能力．【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝540°，解得：n＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，考查方程思想，掌握多边形的内角和公式：（n ﹣2）•180°是解题的关键．20．（2022春•徐汇区校级期末）三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为﹣13＜a＜﹣3．【考点】三角形三边关系．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得9﹣5＜1﹣a＜9+5，再解不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：9﹣5＜1﹣a＜9+5，解得﹣13＜a＜﹣3，故答案为：﹣13＜a＜﹣3．【点评】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．三．解答题（共10小题）21．（2022春•上海期末）在△ABC中，AB＝AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形的内角和得到∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC），∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2），代入已知条件即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A），即∠BOC＝90°+12∠A；∵∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°−13（∠ABC+∠ACB）＝180°−13（180°﹣∠A），即∠BOC＝120°+∠A；∵∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°−1n（∠ABC+∠ACB）＝180°−1n（180°﹣∠A），即∠BOC=n−1n180°+1n∠A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．22．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知：AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，试说明BD平分∠ABC的理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】由等腰三角形的判定与性质证出DA＝DC，证明△BAD≌△BCD（SSS），由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD，则可得出结论．【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，又∵BD＝BD，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAD ≌△BCD 是解题的关键．23．（2022春•普陀区校级期末）已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD 为△ABC 的高，点E 在边AC 上，BE 与AD 交于点F ，且DF ＝DC ．说明BE ⊥AC 的理由．解：∵AD 为△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° （ 三角形高的定义 ）．∵∠ABD +∠BAD +∠ADB ＝ 180 °，∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°．∴BD ＝AD （ 等角对等边 ）．在△BDF 与△ADC 中，{BD =AD ∠BDF =∠ADC DF =DC，∴△BDF ≌△ADC （ SAS ）（完成以下说理过程）．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】利用SAS 证明△BDF ≌△ADC ，根据全等三角形的性质求出∠C +∠FBD ＝90°，进而得到∠BEC ＝90°，据此即可得解．【解答】解：∵AD 为△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° （三角形高的定义），∵∠ABD +∠BAD +∠ADB ＝180°，∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°，∴BD ＝AD （等角对等边），在△BDF 与△ADC 中，{BD =AD ∠BDF =∠ADC DF =DC ，∴△BDF ≌△ADC （SAS ），∴∠BFD ＝∠C ，∵∠FBD +∠BFD ＝90°，∴∠C +∠FBD ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∴BE⊥AC．故答案为：三角形高的定义；180；等角对等边；SAS．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（2022春•上海期末）在直角坐标系中有P（﹣2，2）和Q（5，8）两点，M是x轴上的任意一点，则PM+QM长度的最小值是？【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．【分析】点P关于x轴的对称点为P′（﹣2，﹣2），线段P′M的长就是PM+QM长度的最小值，根据坐标系中两点间的距离公式计算即可．【解答】解：如图，∵点P（﹣2，2）关于x轴的对称点为P′（﹣2，﹣2），∴线段P′Q的长就是PM+QM长度的最小值，∵Q（5，8），∴P′Q=√(5+2)2+(8+2)2=√149，则PM+QM长度的最小值是√149．【点评】本题考查了最短线路问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．25．（2022春•上海期末）在等边△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，延长BC到E，使CE=12BC，连结D、E．（1）BD与DE有怎样的关系？请说明你的理由．（2）把BD改成什么条件，还能得到（1）中的结论？【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】（1）由等边三角形的性质CD=12AC=12BC，∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，由CE=12BC，得CE＝CD，则有∠E＝∠CDE，再由三角形的外角性质∠ACD＝∠E+∠CDE，即有∠E=12∠ACD，从而得∠E＝∠CBD，故得BD＝DE；（2）根据等边三角形的性质，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，据此进行求解即可．【解答】解：（1）BD＝DE，理由如下：∵等边△ABC，BD⊥AC，∴CD=12AC=12BC，∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，∵CE=12BC，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACD是△CDE的外角，∴∠ACD＝∠E+∠CDE，∴∠E=12∠ACD，∴∠E＝∠CBD，∴BD＝DE；（2）∵等边△ABC，∴等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，∴可把BD改为：BD是边BC的中线或BD是∠ABC的平分线．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是对等边三角形的“三线合一”的掌握．26．（2021秋•宝山区期末）计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．【考点】平方差公式．【专题】整式；运算能力．【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣（4y2﹣12y+9）＝x2﹣4y2+12y﹣9．【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．27．（2021秋•普陀区期末）计算：（a﹣b）2﹣（2a﹣b）（2a+b）．【考点】平方差公式；完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【分析】根据完全平方公式和平方差公式化简即可．【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣（4a2﹣b2）＝a2﹣2ab+b2﹣4a2+b2＝﹣3a2﹣2ab+2b2．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．28．（2022春•杨浦区校级期末）甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队单独做可以提前2天完工，乙队单独做要延期5天完成，现在两个工程队先合作4天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】设这项工程规定的时间是x天，则甲队单独做需要（x﹣2）天完工，乙队单独做要（x+5）天完成，由题意：两个工程队先合作4天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设这项工程规定的时间是x天，则甲队单独做需要（x﹣2）天完工，乙队单独做要（x+5）天完成，由题意得：4x−2+xx+5=1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，答：这项工程规定的时间是30天．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．29．（2021秋•普陀区期末）解方程：1+11−x2=x x+1．【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．【解答】解：1+11−x2=x x+1，1﹣x2+1＝x（1﹣x），解得：x＝2，检验：当x＝2时，1﹣x2≠0，∴x＝2是原方程的根．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．30．（2021秋•普陀区期末）计算：（2xy x+y ）﹣1−2(x−y)x 2÷x 2−y 2xy ． 【考点】分式的混合运算；负整数指数幂．【专题】分式；运算能力．【分析】根据负整数指数幂、分式的除法和减法可以解答本题．【解答】解：（2xy x+y ）﹣1−2(x−y)x 2÷x 2−y 2xy =x+y 2xy −2(x−y)x 2⋅xy (x+y)(x−y) =x+y 2xy −2y x(x+y) =(x+y)(x+y)−2y⋅2y 2xy(x+y)=x 2+2xy+y 2−4y 22xy(x+y)=(x+3y)(x−y)2xy(x+y)=x 2+2xy−3y 22x 2y+2xy 2． 【点评】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、熟练掌握运算法则是解答本题的关键．。