大学物理-稳恒磁场习题思考题及答案

习题

14-1. 如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B . 解：圆弧在O 点的磁感应强度 R

6I

R 4I B 001μπθμ==

方向垂直纸面向外

直导线在O 点的磁感应强度 R 2I 3)]60sin(60[sin 60

cos R 4I B 00

00

02πμπμ=--=

方向垂直纸面向里 总场强 )3

1

3(R 2I B 0-=πμ 方向垂直纸面向里

14-2. 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A 、B 两点，并与很远处的电源相连，如图所示.求环中心O 点的磁感应强度B .

解：设两段圆弧电流对O 的磁感应强度大小分别为1B 、 2B ，导线长度分别为1L 和2L ，横截面积为S ，电阻 率为ρ，电流1I 和2I 的关系

1212

1221L L S

L S L R R I I ===ρρ

即 2

211L I L I = r L I 4r dl 4I B 1

10L 21011⋅==

⎰πμπμ r L I 4r dl 4I B 220L 22022⋅==

⎰πμπ

μ

由于两段圆弧电流对O 的磁感应强度方向相反，所以 0B =

14-3. 无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时o 点的磁感应强度。 解： a 段 R

4I

B 01πμ=

b 段 0B 2=

c 段 R

4I

B 03μ=

O 点的总场强 0044I I

B R R

μμπ=-

j +k 方向如图 14-4. 无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两

轴线平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j 的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁感应强度B 。

解：采用补偿法，以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路

2

0r j d πμ=∙⎰

L B 1 2

r

j B 01μ= 同理还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路

2

0)r a (j d -=∙⎰πμL B 2 2

)

r a (j B 02-=

μ 120

1

B B B μ=+=

⨯j a 14-5.在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流

A 5=I 自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁

感应强度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为θRd dl =的长直电流 π

θπd R dl dI ==

在P 点处的磁感应强度 R

2Id R 2dI dB 200πθ

μπμ==

θθπμθd sin R

2I

sin dB dB 20x ==

005220sin 6.3710T x x I I

B dB d π

μμθθππ-====⨯⎰⎰

14-6. 如图所示的空心柱形导体，柱的半径分别为a 和b ，导体内载有

电流I ，设电流I 均匀分布在导体横截面上。证明导体内部各点（a

的磁感应强度B 由下式给出：

r a r a b I

B 222

20)

(2--=πμ 试以0=a 的极限情形来检验这个公式， b r ≥时又如何？

解：可根据安培环路定理 )()

(222

2a r a b I

I -⨯-=

'ππ

r a r a b I

B 2

22

20)

(2-⋅-=πμ 0=a 2

02b Ir

B πμ=

实心圆柱载流导线内部的磁感应强度 b r ≥ r

I

B πμ20=

相当于带电直导线 14-7. 一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ。

（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B 的大小；

（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的磁场B 和电场E 之间满足下述关系：E v B ⨯=

21c （式中0

01με=c ） 解：（1）垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ,根据安培环路定理有

i L d d d d d 0

μ

=∙+∙+∙+∙=∙⎰⎰⎰⎰⎰da

cd

bc

ab

abcd

L B L B L B L B L B

其中 v i σ= 2

0v

B σμ=

（2）匀速运动的点电荷产生的磁场和电场分别为

232222220)s i n 1(4s i n )1(c v r c v qv B θπθμ--= 3

232222

2

0)

s i n 1(14r

c v c v q r E ⋅--⋅=θπε θθπεμεθsin 1)sin 1(14sin 12

232

222

2

00

022⋅⋅--⋅==⨯r c v c v q v c vE c E v B c

v r c v qv =--=2

322

2222

0)sin 1(4sin )1(θ

πθ

μ 所以 E v B ⨯=2

1

c

14-8. 一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R 。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为ω，求：（1）圆柱体内距轴线r 处的磁感应强度的大小； （2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）过r 点作一个闭合回路，此回路的电流

)(2

1

22r R l dr r l I R

r

-==

⎰

ωρωρ

根据安培环路定理

I d 0

μ

=∙⎰L B

)(2

220r R B -=

ωρ

μ

（2）带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面的磁感应强度 2

04

R B μωρ=

14-9. 如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I ，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S ，两圆柱轴线间的距离d O O =21.试求两导体中部真空部分的磁感应强度.

解：利用补偿法，在真空部分任取一点，真空部分在那一点产生

的磁感应强度为0B ，其中一个阴影在那一点产生的磁场为1B ，另一个为2B

020

12B r

πr πS I μB -=

)()

(2)(020

2B r d πr d πS I

μB ----=

S

Id

μB B B 2021=

+= 14-10. 无限长直线电流1I 与直线电流2I 共面，几何位置如图所示.试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力.

解：在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2，此电流元到长直线 的距离为x ，无限长直线电流1I 在小电流元处产生的磁感应强度 x

I B πμ21

0=

21021060cos 22dx

x I I dl x I I dF ⋅==

πμπμ a

b I I dx

x I I F b

a ln 60cos 22100

210πμπμ=⋅=⎰

14-11. 在电视显象管的电子束中，电子能量为eV 12000，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为55.510T B -=⨯，问：（1）

电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过cm 20时将偏转多远？

解：（1）根据B v f ⨯=q 可判断出电子束将偏向东 （2）22

1

mv E =

m E v 2=

ma qvB f ==

1141028.62-⋅⨯===s m m E

m

qB m qvB a

（3）2211()322L

y at a mm v

===

14-12.一半径为R 的无限长半圆柱面导体,载有与轴线上的长直导线的电

流I 等值反向的电流,如图14-52所示。试求轴线上长直导线单位长度所受的

磁力。

解：B l F ⨯=Id d 而 R

I B πμ21

0=

故 dl R I I dl BI dF 2

22

1022πμ=

=

θc o s dF dF x = 0cos 20222

10==

⎰π

θθπμRd R I I F x

θsin dF dF y = R

I I Rd R I I F y 22

10022210sin 2πμθθπμπ

==⎰

21I I = 所以 R

I F y 22

0πμ=

14-13.截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴O O '转动，如图14-53所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度θ而平衡。求磁感应强度。

解：设正方形的边长为a ，质量为m ，aS m ρ=。平衡时重力矩等于磁力矩 B p M m ⨯= 磁力矩的大小

θθc o s )90sin(202BIa BIa M =-=

重力矩为 θθθs i n 2s i n 2

2s i n

m g a a mg mga M =⋅+= 平衡时 2

2s i n c o s

m g a B I a θθ= θρθt a n 2t a n 2I

Sg

Ia mg B ==

14-14.有一个U 形导线，质量为m ，两端浸没在水银槽中，导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中，如图14-54所示。当接通电源时，U 导线就会从水银槽中跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略。试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。

解：跳起来达到最大高度这个过程机械能守恒

mgh mv =2

2

1 gh v 2= 接通电流时有 dt dv m BIl = 而 dt

dq

I =

⎰⎰=v q mdv Bldq 0

0 gh Bl

m

Bl mv q 2==

14-15.半径为R 的半圆形闭合线圈，载有电流I ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图14-55所示。求

（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；

（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置 ，则力矩做功为多少？ 解：（1） n p m IS = B p M m ⨯=

IB R B p M m 2

2

12sin

ππ

=

= 方向为垂直于B 的方向向上 （2） 2

22

1)021(R IB R B I I W ππφ=-⋅=∆=

思考题

14-1．在图（a ）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路1L 、2L ，圆周内有电流1I 、2I ，其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中2L 回路外有电流3I ，1P 、2P 为两圆形回路上的对应点，则：

212

1

,

d d )(P P L L A B B l B l B =⋅=⋅⎰⎰；212

1

,

d d )(P P L L B B B l B l B =⋅≠⋅⎰⎰； 212

1

,

d d )(P P L L C B B l B l B ≠⋅=⋅⎰⎰；212

1

,

d d )(P P L L D B B l B l B ≠⋅≠⋅⎰⎰.

答：B 的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强

度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以C 对。

14-2． 哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ）

答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度2

32

2

2

0)

(2x R IR B +=

μ

0=x R

I

B 20μ=

R x 3

2

02x IR B μ≈

根据上述两式可判断C 图对

14-3. 取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则： (A)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 不变； (B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的

∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的

∑I 改变，L 上各点的B 改变.

答：B 对

14-4. 一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管 (r R 2=)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足：

r R B B A 2)(=；r R B B B =)( ；r R B B C =2)(；r R B B D 4)(=.

答：对于长直螺线管 nI B 0μ=，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。

14-5. 均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为多少？

答：2r B πφ=

14-6. 如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场

平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？

答：ab 受力方向垂直纸面向里，cd 受力外，在力偶矩的作 用下，ab 垂直纸面向里运动，cd 垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋转。

14-7. 一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则 (A) 两粒子的电荷必然同号； (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号； (C) 两粒子的动量大小必然不同； (D) 两粒子的运动周期必然不同. 答： 应该选 B