大学物理-稳恒磁场习题思考题及答案

习题14-1. 如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B . 解：圆弧在O 点的磁感应强度 R6IR 4I B 001μπθμ==方向垂直纸面向外直导线在O 点的磁感应强度 R 2I 3)]60sin(60[sin 60cos R 4I B 000002πμπμ=--=方向垂直纸面向里 总场强 )313(R 2I B 0-=πμ 方向垂直纸面向里14-2. 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A 、B 两点，并与很远处的电源相连，如图所示.求环中心O 点的磁感应强度B .解：设两段圆弧电流对O 的磁感应强度大小分别为1B 、 2B ，导线长度分别为1L 和2L ，横截面积为S ，电阻 率为ρ，电流1I 和2I 的关系12121221L L SL S L R R I I ===ρρ即 2211L I L I = r L I 4r dl 4I B 110L 21011⋅==⎰πμπμ r L I 4r dl 4I B 220L 22022⋅==⎰πμπμ由于两段圆弧电流对O 的磁感应强度方向相反，所以 0B =14-3. 无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时o 点的磁感应强度。

解： a 段 R4IB 01πμ=b 段 0B 2=c 段 R4IB 03μ=O 点的总场强 0044I IB R Rμμπ=-j +k 方向如图 14-4. 无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j 的方向平行于轴线。

求腔内任意点的磁感应强度B 。

解：采用补偿法，以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路20r j d πμ=∙⎰L B 1 2rj B 01μ= 同理还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路20)r a (j d -=∙⎰πμL B 2 2)r a (j B 02-=μ 1201B B B μ=+=⨯j a 14-5.在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A 5=I 自下而上通过，如图所示。

试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为θRd dl =的长直电流 πθπd R dl dI ==在P 点处的磁感应强度 R2Id R 2dI dB 200πθμπμ==θθπμθd sin R2Isin dB dB 20x ==005220sin 6.3710T x x I IB dB d πμμθθππ-====⨯⎰⎰14-6. 如图所示的空心柱形导体，柱的半径分别为a 和b ，导体内载有电流I ，设电流I 均匀分布在导体横截面上。

证明导体内部各点（a <r <b ）的磁感应强度B 由下式给出：r a r a b IB 22220)(2--=πμ 试以0=a 的极限情形来检验这个公式， b r ≥时又如何？解：可根据安培环路定理 )()(2222a r a b II -⨯-='ππr a r a b IB 22220)(2-⋅-=πμ 0=a 202b IrB πμ=实心圆柱载流导线内部的磁感应强度 b r ≥ rIB πμ20=相当于带电直导线 14-7. 一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ。

（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B 的大小；（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的磁场B 和电场E 之间满足下述关系：E v B ⨯=21c （式中001με=c ） 解：（1）垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ,根据安培环路定理有i L d d d d d 0μ=∙+∙+∙+∙=∙⎰⎰⎰⎰⎰dacdbcababcdL B L B L B L B L B其中 v i σ= 20vB σμ=（2）匀速运动的点电荷产生的磁场和电场分别为232222220)s i n 1(4s i n )1(c v r c v qv B θπθμ--= 323222220)s i n 1(14rc v c v q r E ⋅--⋅=θπε θθπεμεθsin 1)sin 1(14sin 12232222200022⋅⋅--⋅==⨯r c v c v q v c vE c E v B cv r c v qv =--=232222220)sin 1(4sin )1(θπθμ 所以 E v B ⨯=21c14-8. 一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R 。

若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为ω，求：（1）圆柱体内距轴线r 处的磁感应强度的大小； （2）两端面中心的磁感应强度的大小。

解：（1）过r 点作一个闭合回路，此回路的电流)(2122r R l dr r l I Rr-==⎰ωρωρ根据安培环路定理I d 0μ=∙⎰L B)(2220r R B -=ωρμ（2）带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面的磁感应强度 204R B μωρ=14-9. 如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I ，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S ，两圆柱轴线间的距离d O O =21.试求两导体中部真空部分的磁感应强度.解：利用补偿法，在真空部分任取一点，真空部分在那一点产生的磁感应强度为0B ，其中一个阴影在那一点产生的磁场为1B ，另一个为2B02012B rπr πS I μB -=)()(2)(0202B r d πr d πS IμB ----=SIdμB B B 2021=+= 14-10. 无限长直线电流1I 与直线电流2I 共面，几何位置如图所示.试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力.解：在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2，此电流元到长直线 的距离为x ，无限长直线电流1I 在小电流元处产生的磁感应强度 xI B πμ210=21021060cos 22dxx I I dl x I I dF ⋅==πμπμ ab I I dxx I I F ba ln 60cos 22100210πμπμ=⋅=⎰14-11. 在电视显象管的电子束中，电子能量为eV 12000，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。

该处地球磁场的垂直分量向下，大小为55.510T B -=⨯，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过cm 20时将偏转多远？解：（1）根据B v f ⨯=q 可判断出电子束将偏向东 （2）221mv E =m E v 2=ma qvB f ==1141028.62-⋅⨯===s m m EmqB m qvB a（3）2211()322Ly at a mm v===14-12.一半径为R 的无限长半圆柱面导体,载有与轴线上的长直导线的电流I 等值反向的电流,如图14-52所示。

试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。

解：B l F ⨯=Id d 而 RI B πμ210=故 dl R I I dl BI dF 2221022πμ==θc o s dF dF x = 0cos 2022210==⎰πθθπμRd R I I F xθsin dF dF y = RI I Rd R I I F y 2210022210sin 2πμθθπμπ==⎰21I I = 所以 RI F y 220πμ=14-13.截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴O O '转动，如图14-53所示。

导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度θ而平衡。

求磁感应强度。

解：设正方形的边长为a ，质量为m ，aS m ρ=。

平衡时重力矩等于磁力矩 B p M m ⨯= 磁力矩的大小θθc o s )90sin(202BIa BIa M =-=重力矩为 θθθs i n 2s i n 22s i nm g a a mg mga M =⋅+= 平衡时 22s i n c o sm g a B I a θθ= θρθt a n 2t a n 2ISgIa mg B ==14-14.有一个U 形导线，质量为m ，两端浸没在水银槽中，导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中，如图14-54所示。

当接通电源时，U 导线就会从水银槽中跳起来。

假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略。

试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。

解：跳起来达到最大高度这个过程机械能守恒mgh mv =221 gh v 2= 接通电流时有 dt dv m BIl = 而 dtdqI =⎰⎰=v q mdv Bldq 00 gh BlmBl mv q 2==14-15.半径为R 的半圆形闭合线圈，载有电流I ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图14-55所示。

求（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置 ，则力矩做功为多少？ 解：（1） n p m IS = B p M m ⨯=IB R B p M m 2212sinππ== 方向为垂直于B 的方向向上 （2） 2221)021(R IB R B I I W ππφ=-⋅=∆=思考题14-1．在图（a ）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路1L 、2L ，圆周内有电流1I 、2I ，其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中2L 回路外有电流3I ，1P 、2P 为两圆形回路上的对应点，则：2121,d d )(P P L L A B B l B l B =⋅=⋅⎰⎰；2121,d d )(P P L L B B B l B l B =⋅≠⋅⎰⎰； 2121,d d )(P P L L C B B l B l B ≠⋅=⋅⎰⎰；2121,d d )(P P L L D B B l B l B ≠⋅≠⋅⎰⎰.答：B 的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。

所以C 对。

14-2． 哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ）答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度232220)(2x R IR B +=μ0=x RIB 20μ=R x 3202x IR B μ≈根据上述两式可判断C 图对14-3. 取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则： (A)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 不变； (B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 改变.答：B 对14-4. 一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管 (r R 2=)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足：r R B B A 2)(=；r R B B B =)( ；r R B B C =2)(；r R B B D 4)(=.答：对于长直螺线管 nI B 0μ=，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。