高中数学 考前归纳总结 导数中的恒成立问题

导数中的恒成立问题

一、常见基本题型：

（1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围； （2）让你去证明某个不等式恒成立。

解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函 数的最值问题。

例1：已知函数2

()2ln =++f x x x a x , 当1≥t 时，不等式(21)2()3-≥-f t f t 恒成立， 求实数a 的取值范围.

解：不等式

(21)2()3-≥-f t f t 可化为22242ln ln(21)-+≥--t t a t a t ，

即2

2

2ln 2(21)ln(21)-≥---t a t t a t . 记()2ln (1)=-≥g x x a x x ，要使上式成立， 只须()2ln (1)=-≥g x x a x x 是增函数即可. 即'()20=-

≥a

g x x

在[1,+∞)上恒成立， 即2≤a x 在[1,)+∞上恒成立，故2≤a ， 所以实数a 的取值范围是（-∞，2] .

例2：已知0>a ，函数x a x a a x x f )13(ln )1(22

)(2

+-++=． （1）若函数)(x f 在1=x 处的切线与直线03=-x y 平行，求a 的值；

（2）在（1）的条件下，若对任意[]2,1∈x ，06)(2

≥--b b x f 恒成立，求实数b 的取

值组成的集合．

解：（1）2(1)

'()(31)a a f x x a x

+=+

-+，由已知'(1)3f =， 即223a a -=，2230a a --=，解得3

2

a =或1a =-,

又因为0a >，所以3

2

a =.

（2）当32a =时，21511()ln 222x x f x x =+-，由（2）知该函数在5(0,)2

上单调递增， 因此在区间[]2,1上()f x 的最小值只能在1=x 处取到.

又52

11

21)1(-=-=

f ， 若要保证对任意[]2,1∈x ，2

()60f x b b --≥恒成立，应该有256b b -≥+， 即2650b b ++≤，解得51b -≤≤-， 因此实数b 的取值组成的集合是{|51}b b -≤≤-.

例3. 函数R ,2)1ln()(2

∈-++=b x x b x x f ，设x x f x g 2)()(+=，若2≥b ，

求证：对任意),1(,21+∞-∈x x ，且21x x ≥，都有)(2)()(2121x x x g x g -≥-. 证明：因为x x b x x f 2)1ln()(2

-++=，

所以)1(1

2

2212)('2->+-+=-++=x x b x x b x x f ，

因为2≥b ，所以0)('≥x f （当且仅当0,2==x b 时等号成立）， 所以)(x f 在区间),1(+∞-上是增函数，

从而对任意),1(,21+∞-∈x x ，当21x x ≥时，)()(21x f x f ≥， 即22112)(2)(x x g x x g -≥-,所以)(2)()(2121x x x g x g -≥-。 二、针对性练习

1.已知函数22

)32()(x m x In x f +

+=在31=x 处取得极值，若对任意]31

,61[∈x ,不等

式0]3)([||/

>++-x x f In Inx a 恒成立, 求实数a 的取值范围． 解：函数的定义域为2|3x x ⎧

⎫>-⎨⎬⎩⎭

又mx x x f ++=2

33

)('，

由题设)(x f 在

31处取得极值，∴0)31('=f ，即或3,031-==+m m 。 ∴x x x f 32

33

)('-+=。

不等式0]3)([||'

>++-x x f In Inx a 恒成立， 即02

33

||>++-x In

Inx a 恒成立。

又],31,61[∈x ∴]5

6,0[233∈+x In ，当且仅当31=x 时0233

=+x In

，

故3

1In a ≠时，不等式0]3)([||'

>++-x x f In Inx a 恒成立。 2、设函数()

ln 1f x x

px

（Ⅰ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； 解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，

x px

p x x f -=-=

'11)(

当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点

当p>0时，令

x x f x f p x x f 随、，)()(),,0(1

0)('+∞∈=

∴='的变化情况如下表：

)

从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点

p x 1=

（Ⅱ）当p>0时在

1

x=

p 处取得极大值11

()

ln

f p p ，此极大值也是最大值， 要使()0f x 恒成立，只需11()

ln

f p

p

，

∴1p

。

3.已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么范

围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m

x x x g 在区间)3,(t 上总存在 极