高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：

（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()

f x 的

下界大于A

（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界

小于A

例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例恒成立,试求实数a 的取值范围;

例数，且当

⎪

⎭⎫

⎝

⎛∈2,0πθ时，有

f .

例4、已知函数

)0(ln )(4

4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；

（3）若对任意0>x ，不等式2

2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2例

例恒成立，求实数x 的取值范围

例若不等式2

()1

f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，

都成立，求实数x 的取值范围．

3、分离参数法

（1）将参数与变量分离，即化为

()()

g f x

λ≥

（或

()()

g f x

λ≤

）恒成立的形式；

（2）求

()

f x

在x D

∈上的最大（或最小）值；

（3）解不等式

()

max

()

g f x

λ≥

(或

()()

min

g f x

λ≤

) ，得λ的取值范围。

适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例8、当

(1,2)

x∈时，不等式240

x mx

++<恒成立，则m的取值范围是 .

例

b

a,满足什么条件时,)

(x

f取a表示出b的取值范围.

4

例________ 例11、当x(1,2)时，不等式

二、不等式能成立问题的处理方法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A

>；

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

例12、已知不等式a

x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围

______

例13、若关于x 的不等式32

-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．

例

a 的取值范围

例a b ⋅=___________

例[)+∞,0,试求实数a 的值.

例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。

（1）对任意x∈[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x∈[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；

（3）对任意x1、x2∈[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习

（请做在另外作业纸上）

1、若不等式

2

(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 2、已知不等式22

6

22kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围

3、设函数329

()62f x x x x a

=-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。

4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式2

12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

5

[]

22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。求实数a 的取值范围。

6的值总是正数，求x 的取值范围 7的取值范围 。

8

910a 的集合是M ；对于

M N ，． 11a 的范围。

③若方程

32x x a

--+=有解，求实数a 的范围。

12、 ①若x,y 满足方程

22

(1)1x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，求实数c 的范围。

②若x,y满足方程

22

(1)1

x y

+-=，0

x y c

++=，求实数c的范围。

13、设函数

432

()2()

f x x ax x b x R

=+++∈，其中,a b R

∈．若对于任意的[]

22

a∈-，

，不

等式

()1

f x≤在[]11

-，

上恒成立，求b的取值范围．

14、设函数

32

1

()(1)424

3

f x x a x ax a

=-+++

，其中常数1

a>，若当0

x≥时，()0

f x>恒

成立，求a的取值范围。

15、已知向量a=(2x，x+1)，b= (1-x，t)。若函数

b

a

x

f⋅

=

)

(在区间（-1，1）上是增函

数，求t的取值范围。