不等式恒成立问题.ppt
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人教A版高中数学必修第一册第二章微专题2不等式恒成立、能成立问题课件
等式恒成立，即x2＋mx－4x－m＋4>0恒 成立， 则关于x的方程x2＋mx－4x－m＋4＝0的判别式Δ＝(m－4)2－4(－m＋ 4)<0， 即m2－4m<0，解得0<m<4，所以实数m的取值范围为{m|0<m<4}．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
探究2 在给定范围上的恒成立问题 [典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的 取值范围是___{_m_|m__<_2_}____． (2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
反思领悟 在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的 最小值或最大值，求得参数的取值范围．
[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的
取值范围是( )
√A．{a|a>4，或a<－4}
B．{a|－4<a<4}
C．{a|a≥4，或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值
范围是( )
√A．{a|－1≤a≤4}
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
探究2 在给定范围上的恒成立问题 [典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的 取值范围是___{_m_|m__<_2_}____． (2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
反思领悟 在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的 最小值或最大值，求得参数的取值范围．
[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的
取值范围是( )
√A．{a|a>4，或a<－4}
B．{a|－4<a<4}
C．{a|a≥4，或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值
范围是( )
√A．{a|－1≤a≤4}
高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题
1<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间
为(1,e],f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.
课堂考点探究
变式题1 已知f(x)=ax-ln
ln
x,x∈(0,e],g(x)= ,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,
a∈R.
1
1
上的最大值为- ,f(x)在 ,2
2
2
上的最小值为ln 2-2.
课堂考点探究
变式题2 [2021·重庆八中模拟] 已知函数f(x)=ln
1 2
x- x .
2
(2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解,求实数a的取值范围.
解:原不等式即为ln
1 2
ln
1
ln
1
x- x >(2-a)x2,可化简为2-a< 2 - .记g(x)= 2 - ,则原不等式
用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结
构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
课堂考点探究
(2)可化为不等式恒成立问题的基本类型:
类型1:函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,只需f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
类型2:函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,只需f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式
放缩法等.
课堂考点探究
探究点一
恒成立与能成立问题
例1 [2022·南京调研] 设函数f(x)=(x2-a)ex,a∈R,e是自然对数的底数.
恒成立存在性问题课件
详细描述
不等式证明问题是数学中常见的问题类型，这类问题 通常涉及到比较两个数或两个函数的大小。通过证明 不等式，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的 取值范围，从而解决恒成立存在性问题。
导数综合问题变式
总结词
利用导数性质和函数单调性，解决恒成立存在性问题。
详细描述
导数综合问题涉及到导数的计算、单调性判断以及极值 和最值的求解等知识点。通过利用导数的性质和函数的 单调性，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的取 值范围，从而解决恒成立存在性问题。
转化与化归法
总结词
将问题转化为已知的问题或简单的问题，从而解决问题。
详细描述
转化与化归法是一种常用的解题策略，通过将复杂的问题转化为已知的问题或简单的问题，可以降低问题的难度 。在处理恒成立问题时，可以将问题转化为求最值问题、不等式问题等已知的问题类型，从而利用已知的解题方 法来解决该问题。
03
THANKS
感谢观看
常见错误反思
忽视定义域
在解决恒成立存在性问题时，容易忽 视函数的定义域，导致解题错误。
混淆最值与恒成立
在处理最值问题时，容易将最值与恒 成立混淆，导致解题思路出现偏差。
忽视参数的取值范围
在确定参数的取值范围时，容易忽视 参数的实际取值范围，导致答案不准 确。
缺乏对题目的深入理解
在解题过程中，容易缺乏对题目的深 入理解，导致解题思路不清晰，答案 不完整。
06
总结与反思
解题思路总结
转化思想
将恒成立存在性问题转化为最 值问题，通过求最值来确定参
数的取值范围。
数形结合
利用数形结合的方法，将问题 转化为几何图形，通过观察图 形的性质和变化规律来解决问 题。
专题一单双变量不等式恒(能)成立问题课件-高一数学人教版(2019)必修第一册
【解析】构造二次函数 = 2 ＋＋ ( ≠ 0) ，
图①
2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
(1)
如图①，一元二次不等式
2
注：当不等式 ＋＋ > 0未说明为一元二次不等式时，
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)的解集是R
对任意实数恒成立问题，应分情况讨论：
2
⟺二次函数 ==
= ＋＋ ( ≠ 0) 的图像恒在x轴上方
当 = 时，
>
⟺a>0且Δ<0 >
当 ≠ 时，
2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
∆<
(2) 如图②，一元二次不等式
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)的解集是R
函数 = +
1
在[ , 2]上单调递增，故()
2
= 1 =1+
函数 = − 2 − 3在[1,2]上单调递减，故() = 1 = −4
所以1 + ≥ −4
综上，所求的取值范围为{|�� ≥ −5}
练习
4
练习 设 = − − ， = + 1
，
故() = 2 = −4
函数 = + 1
2
+ 在(−∞, −1]上单调递减，在[−1, +∞)上单
调递增，故() = −1 =
所以−4 ≥
活学活用
例题2 已知函数 1 = 12 , 2 = −22 − ，若∀1 ∈ | − 1 ≤ < 1 ,
≤ ()恒成立⟺ ≤
课堂小结
二、双变量恒成立主要学习了双参数不等式问题的求解方法：
图①
2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
(1)
如图①，一元二次不等式
2
注：当不等式 ＋＋ > 0未说明为一元二次不等式时，
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)的解集是R
对任意实数恒成立问题，应分情况讨论：
2
⟺二次函数 ==
= ＋＋ ( ≠ 0) 的图像恒在x轴上方
当 = 时，
>
⟺a>0且Δ<0 >
当 ≠ 时，
2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
∆<
(2) 如图②，一元二次不等式
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)的解集是R
函数 = +
1
在[ , 2]上单调递增，故()
2
= 1 =1+
函数 = − 2 − 3在[1,2]上单调递减，故() = 1 = −4
所以1 + ≥ −4
综上，所求的取值范围为{|�� ≥ −5}
练习
4
练习 设 = − − ， = + 1
，
故() = 2 = −4
函数 = + 1
2
+ 在(−∞, −1]上单调递减，在[−1, +∞)上单
调递增，故() = −1 =
所以−4 ≥
活学活用
例题2 已知函数 1 = 12 , 2 = −22 − ，若∀1 ∈ | − 1 ≤ < 1 ,
≤ ()恒成立⟺ ≤
课堂小结
二、双变量恒成立主要学习了双参数不等式问题的求解方法：
1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件
①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
高中数学：《不等式恒成立问题》课件
分析：对比变式（1），
将x看成参数引入函数
g(m) (m2)x2 2(m2)x4 (x2 2x)m 2x2 4x 4
由题意，以上函数图像在
m[1,1] 部分的位于x轴下
方，如图 ：
于是只须：g(1) 0 g(1) 0 解略；
xy
x y4
例2：1已知4 两 m个正0 变量 ， ，满m足
1
a
x
“利用最值 数形结合”
（a 1情况相同）
＊（0k9年上海，11）当
0 x 1时 不等式
sin
x
2
kx
成立，则实
数 的取值范围是___________.
分析：利用引入函数，数形结合，
令
y1
x
s在in 区2 间
0y，12 上k的 x 函数值，y1
y2
由题意，
在0，1的部分
2 m 2
解得 2 m 2 综上
f (x) (m2)x2 2(m2)x 4
(m2)x22(m2)x40 xR
若不等式
对 恒成立，则m的
取值范围
（）
变式（1）：若不等式
对
恒成立，求m的(m取值2)x范2 围2(。m2)x40
x [1,1]
， (Ⅰ) 略
(Ⅱ)如果任意 ,
,求 的取值范围。
分析： (Ⅱ)由题意，即 f (x)min 2 由绝对值的几何意义，| x 1| | x a |
表示数轴上的动点到1与a的距离之和，
结合图形f (x)min a 1 可知：
1
x
a
| a 1| 2
x
1
含字母参数的不等式恒成立问题解题策略课件
三角函数实例解析
总结词
利用三角函数的性质和图像，解决含字母参数的不等式恒成立问题。
详细描述
三角函数是数学中一类特殊的函数，具有丰富的性质和图像特征。在解决含字母参数的不等式恒成立 问题时，可以充分利用三角函数的性质和图像，将问题转化为与三角函数相关的问题，从而简化问题 的复杂度，找到解决问题的突破口。
数形结合法
总结词
通过数形结合的方式，将不等式问题转化为几何图形问题，利用几何 意义求解。
详细描述
首先根据不等式的性质和变量的取值范围，画出相应的几何图形，然 后利用几何意义求解不等式的解集。
适用范围
适用于涉及多个变量和参数的不等式问题，可以通过数形结合将问题 直观化。
注意事项
在数形结合时，需要注意图形的准确性和不等式的性质，以及几何意 义的应用条件。
含字母参数的不等式恒 成立问题解题策略课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 含字母参数不等式恒成立的性质 • 解题策略和技巧 • 实例解析 • 总结与展望
01 引言
问题的背景和重要性
01
含字母参数的不等式恒成立问题 在数学中具有广泛的应用，是数 学教学中的重要内容。
02
解决这类问题需要学生掌握不等 式的性质、函数的最值求法等知 识，有助于提高学生的数学思维 能力和解决问题的能力。
性。
04 实例解析
代数实例解析
总结词
通过代数方法，利用不等式的性质和转化技巧，解决含字母参数的不等式恒成立问题。
详细描述
在解决含字母参数的不等式恒成立问题时，代数方法是常用的手段之一。通过观察不等式的结构，利用不等式的 性质和转化技巧，如分离参数法、参数讨论法、数形结合法等，可以将问题转化为更易于解决的形式，从而找到 解决问题的途径。
高中数学导数及应用-不等式恒成立问题课件
利用数形结合来解决。
方法1：分离变量法(优先)
方法2：构造函数
，转化为 零点问题
方法3：构造两个函数的图象判断交点个数
方法4：转化为二次函数零点问题
方法5：转化为一次函数零点问题
类型五：利用导数研究函数与不等式问题
1、利用导数证明不等式的方法：证明
构造函数
。如果
，则F(x) 在
函数，同时若
，则由减函数的定义可知，
的值，要注意验证 左右的导数值的符号是否符 合取极值的条件。
（3）已知含参函数的极值点讨论 ①分类讨论根据 解（判断为极值点）
的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、 中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；
②注意数形结合。
注意：（1）在函数的整个定义域内，函数的极 值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极大
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
'( x) mi n
0；
函数f (x)在区间D单调递减 在f ' (x) 0在x D
恒成立 对x D, f ' (x) 0； max
试题研究：
例1、已知函数f (x) x ln x.
(1)若函数g(x) f (x) ax在区间e2, 上的增函数，
求a的取值范围；
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数学123
解法1
f
'x
2x
a x2
要使f x在区间2,是增函数，
只需当x 2时，f 'x 0恒成立
即2x
a x2
0，则a
2x3恒成立。
故当a 16时，f x在区间2,恒成立。
数学123
解法2
设 x2 x1 2，f x1 f x2
x1 x2 x1x2
x1x2
x1
x2 a
数学123
变式思考
（2006 年，全国卷Ⅱ，理） 设函数 f (x) (x 1) ln(x 1).若对所有的 x 0, 都有 f (x) ax 成立，求实数 a 的取值范围。
数学123
【分析及解】构造函数 g x f (x) ax (x 1)ln(x 1) ax.
于是问题转化为：对所有的 x 0, g x 0 恒成立 对所有的
值范围；
【分析及解】由题意 g x 3x2 ax 3a 5。则 g x 3x2 ax 3a 5<0 在 1 a 1上恒成立。
数学123
由题意 g x 3x2 ax 3a 5。由于参数 a 的范围的存在，改为以 a 为变
量的函数，即
令 a 3 xa 3x2 5， 1 a 1 ，
则对 1 a 1，恒有 gx 0 ，即a 0 ，从而转化为对 1 a 1，
当x 0时，a0 0恒成立，a R
当x f 0时，a 1
当x p 0时，a 1
a 1,1 数学123
分类讨论
变式思考
（06江西）对一切实数，不等式
x2 a | x | 1 ≥0恒成立，则实数 a
的取值范围是( C )
A、(-∞，－2］ B、［－2，2］ C、［－2，+∞) D、［0，+∞)
由以上, 实数 a 的取值范围是 a 1 .
数学123
题后反思
类似恒成立问题或是证明形如f(x)>g(x)不等式 模式性非常强。 第一步：构造函数h(x)=f(x)-g(x)。 第二步：求导研究h(x)单调性极值。 第三步：利用不等式性质求解或证明。
数学123
变式思考
当x∈(1,2)时，函数f(x)=(x-1)2--logax函数值恒为负值，
y
y1=(x-1)2
x 0, gmin x 0 成立.下面求 g x 的最小值.
g x ln x 1 1 a. 令 g x 0 得 x ea1 1.
x
, ea1 1 ea1 1
ea1 1,
g x g x
0
减
最小值
增
由以上, g x 在 , ea1 1 上是减函数,而在 ea1 1, 上是
高三一轮复习专题课
数学123
高三数学复习中的恒成立问题，涉及到函数的性 质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数等 思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因 此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热 点。
06年 全国 陕西 湖北 湖南 江西 北京 广东 全国
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷ⅱ
07年 全国 陕西 福建 辽宁 江西 上海 安徽 天津
增函数,注意到 g 0 0 ,
(1) 若 x ea1 1 0 ,即 a 1 ,由 g x 的单调性可知,在 x 0 时,
gmin x g 0 0 , （2）若 x ea1 1 0 ,即 a 1,由 g x 的单调性可知,
gmin x g 0 0 .此时, g x 0 不恒成立.
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷
浙江 重庆 山东 四川
卷
卷
卷
卷
数学123
引例
• 7.若对任意R,不等式 x ax恒成立，则实数a的
取值范围是（ B ） （07安徽卷）
A. a＜-1
B. |a≤| 1
C. a| ＜| 1 D.a≥1
方法1验证法
数学123
引例
方法2
y= x
y
y=ax
O
x
数形结合
方法3 ax x 恒成立，分三种情况
解法1
间接法(验证法); 数学123
解法2
当 x =0时，易知不等式恒成立。 当 x 0时，原式可化为 a x ( x 1) 即a -( x 1 )
x 易得a -( x23
题后反思
1.与恒成立有关的客观题优先考虑验证法。 2.如果作图较易，也可用数形结合。 3.分离变量法解题依据：
求a的取值范围。
分析：题意即不等式(x-1)2<logax恒成立，左边为二次函数，图象 是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，
要使对一切x ∈(1,2),y1<y2恒成立，
显然a>1,并且过（2，1）点的对数函 数图像是临界曲线
ⅰ.若f(x)≥a(x∈D) 恒成立 f(x)min(x∈D)≥a;
ⅱ.若f(x)≤a(x∈D) 恒成立f(x)max(x∈D)≤a;
数学123
变式思考
（2006 年，四川卷）
已知函数 f x x3 3ax 1, g x f ' x ax 5 ，其中 f ' x 是
的导函数
对满足 1 a 1的一切 a 的值，都有 g x 0 ，求实数 x 的取
x12
a x1
x22
a x2
要使f x在区间2,单增，只需f x1 f x2 0
即x1x2 x1 x2 a 0恒成立
a p x1x2 x1 x2 恒成立，即a p x1x2 x1 x2 min
由x2 x1 2得x1x2 x1 x2 16
故a 16
数学123
题后反思
a 0恒成立的问题，又由 a是a 的一次函数，问题就容易解决了.
只需
1 0 1 0
即
3x2
3x
2
x x
2 8
0, 0.
解得
2 3
x
1
故
x
2 3
,1
时，对满足
1
a
1的一切
a
的值，都有
g
x
0
数学123
引例
18.已知函数f(x)=x2 a (x 0,a R). x
若f (x)在区间[2,+)是增函数，求 实数a的取值范围。
1.转化思想：告诉我们函数单调性、奇偶性条 件相当于告诉我们恒成立条件。 2.由二次函数与反比例函数（指数函数，自然 对数）复合成的复合函数一般可用导数法研究 性质。 3 .利用导数法求单调区间与体现单调性的区别
ⅰ.求单调区间，只需解f(x)>0或f(x)<0. ⅱ.给出在某区间上的单调性求变量范围，则需解f(x) ≥0或f(x) ≤ 0.
解法1
f
'x
2x
a x2
要使f x在区间2,是增函数，
只需当x 2时，f 'x 0恒成立
即2x
a x2
0，则a
2x3恒成立。
故当a 16时，f x在区间2,恒成立。
数学123
解法2
设 x2 x1 2，f x1 f x2
x1 x2 x1x2
x1x2
x1
x2 a
数学123
变式思考
（2006 年，全国卷Ⅱ，理） 设函数 f (x) (x 1) ln(x 1).若对所有的 x 0, 都有 f (x) ax 成立，求实数 a 的取值范围。
数学123
【分析及解】构造函数 g x f (x) ax (x 1)ln(x 1) ax.
于是问题转化为：对所有的 x 0, g x 0 恒成立 对所有的
值范围；
【分析及解】由题意 g x 3x2 ax 3a 5。则 g x 3x2 ax 3a 5<0 在 1 a 1上恒成立。
数学123
由题意 g x 3x2 ax 3a 5。由于参数 a 的范围的存在，改为以 a 为变
量的函数，即
令 a 3 xa 3x2 5， 1 a 1 ，
则对 1 a 1，恒有 gx 0 ，即a 0 ，从而转化为对 1 a 1，
当x 0时，a0 0恒成立，a R
当x f 0时，a 1
当x p 0时，a 1
a 1,1 数学123
分类讨论
变式思考
（06江西）对一切实数，不等式
x2 a | x | 1 ≥0恒成立，则实数 a
的取值范围是( C )
A、(-∞，－2］ B、［－2，2］ C、［－2，+∞) D、［0，+∞)
由以上, 实数 a 的取值范围是 a 1 .
数学123
题后反思
类似恒成立问题或是证明形如f(x)>g(x)不等式 模式性非常强。 第一步：构造函数h(x)=f(x)-g(x)。 第二步：求导研究h(x)单调性极值。 第三步：利用不等式性质求解或证明。
数学123
变式思考
当x∈(1,2)时，函数f(x)=(x-1)2--logax函数值恒为负值，
y
y1=(x-1)2
x 0, gmin x 0 成立.下面求 g x 的最小值.
g x ln x 1 1 a. 令 g x 0 得 x ea1 1.
x
, ea1 1 ea1 1
ea1 1,
g x g x
0
减
最小值
增
由以上, g x 在 , ea1 1 上是减函数,而在 ea1 1, 上是
高三一轮复习专题课
数学123
高三数学复习中的恒成立问题，涉及到函数的性 质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数等 思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因 此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热 点。
06年 全国 陕西 湖北 湖南 江西 北京 广东 全国
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷ⅱ
07年 全国 陕西 福建 辽宁 江西 上海 安徽 天津
增函数,注意到 g 0 0 ,
(1) 若 x ea1 1 0 ,即 a 1 ,由 g x 的单调性可知,在 x 0 时,
gmin x g 0 0 , （2）若 x ea1 1 0 ,即 a 1,由 g x 的单调性可知,
gmin x g 0 0 .此时, g x 0 不恒成立.
高考 卷ⅰ 卷
卷
卷
卷
卷
卷
卷
浙江 重庆 山东 四川
卷
卷
卷
卷
数学123
引例
• 7.若对任意R,不等式 x ax恒成立，则实数a的
取值范围是（ B ） （07安徽卷）
A. a＜-1
B. |a≤| 1
C. a| ＜| 1 D.a≥1
方法1验证法
数学123
引例
方法2
y= x
y
y=ax
O
x
数形结合
方法3 ax x 恒成立，分三种情况
解法1
间接法(验证法); 数学123
解法2
当 x =0时，易知不等式恒成立。 当 x 0时，原式可化为 a x ( x 1) 即a -( x 1 )
x 易得a -( x23
题后反思
1.与恒成立有关的客观题优先考虑验证法。 2.如果作图较易，也可用数形结合。 3.分离变量法解题依据：
求a的取值范围。
分析：题意即不等式(x-1)2<logax恒成立，左边为二次函数，图象 是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，
要使对一切x ∈(1,2),y1<y2恒成立，
显然a>1,并且过（2，1）点的对数函 数图像是临界曲线
ⅰ.若f(x)≥a(x∈D) 恒成立 f(x)min(x∈D)≥a;
ⅱ.若f(x)≤a(x∈D) 恒成立f(x)max(x∈D)≤a;
数学123
变式思考
（2006 年，四川卷）
已知函数 f x x3 3ax 1, g x f ' x ax 5 ，其中 f ' x 是
的导函数
对满足 1 a 1的一切 a 的值，都有 g x 0 ，求实数 x 的取
x12
a x1
x22
a x2
要使f x在区间2,单增，只需f x1 f x2 0
即x1x2 x1 x2 a 0恒成立
a p x1x2 x1 x2 恒成立，即a p x1x2 x1 x2 min
由x2 x1 2得x1x2 x1 x2 16
故a 16
数学123
题后反思
a 0恒成立的问题，又由 a是a 的一次函数，问题就容易解决了.
只需
1 0 1 0
即
3x2
3x
2
x x
2 8
0, 0.
解得
2 3
x
1
故
x
2 3
,1
时，对满足
1
a
1的一切
a
的值，都有
g
x
0
数学123
引例
18.已知函数f(x)=x2 a (x 0,a R). x
若f (x)在区间[2,+)是增函数，求 实数a的取值范围。
1.转化思想：告诉我们函数单调性、奇偶性条 件相当于告诉我们恒成立条件。 2.由二次函数与反比例函数（指数函数，自然 对数）复合成的复合函数一般可用导数法研究 性质。 3 .利用导数法求单调区间与体现单调性的区别
ⅰ.求单调区间，只需解f(x)>0或f(x)<0. ⅱ.给出在某区间上的单调性求变量范围，则需解f(x) ≥0或f(x) ≤ 0.