不等式恒成立问题经典例题97345教学文稿
[实用参考]高中数学恒成立问题.doc
![[实用参考]高中数学恒成立问题.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/44978f91b9f3f90f76c61bde.png)
高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的P为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.解：由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.四、最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例4 已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例5 对于任意实数P，不等式│P+1│+│P-2│＞a恒成立，求实数a的取值范围.分析①：把左边看作P的函数关系，就可利用函数最值求解.解法1：设f（P）=│P+1│+│P-2│=-2P+1,（P≤1）3，（-1＜P≤2）2P-1,（P＞2）∴f（P）min=3.∴a＜3.分析②：利用绝对值不等式│a│-│b│＜│a±b│＜│a│+│b│求解f（P）=│P+1│+│P-2│的最小值.解法2：设f（P）=│P+1│+│P-2│，∵│P+1│+│P-2│≥│（P+1）-（P-2）│=3，∴f（P）min=3.∴a＜3.分析③：利用绝对值的几何意义求解.解法3：设P、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│P+1│+│P-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│＞3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a＜3时，│PA│+│PB│＞a恒成立，即对任意实数P，不等式│P+1│+│P-2│＞a 恒成立.∴实数a的取值范围为（-∞，3）.小结求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.。
人教版数学高二-备课资料不等式的恒成立的问题
不等式的恒成立的问题053100不等式的恒成立是中学数学的一重点，是数学的一难点，同时也是同学们经常出现错误的问题，下面就恒等式的问题总结如下。
一 一次函数的恒成立问题例 1不等式2(2)0a x a -+>在[0,1]x ∈上恒成立，求a 的取值范围解：设2()(2)f x a x a =-+，则有题意得2(0)0002(1)0(2)0f a a f a a >>⎧⎧⇒⇒<<⎨⎨>-+>⎩⎩ 点评；对于一次函数的恒成立问题，一般是根据单调性，函数在[,]m n 上的恒大于零，应有()0()0f m f n >⎧⎨>⎩，如果恒小于零应有()0()0f m f n <⎧⎨<⎩。
二 分离参数法例2 若关于x 的不等式(1)10k x -+>在(2,1)-内恒成立，求k 的取值范围。
解：先将参数k 分离出来，(2,1),1(3,0)x x ∈-∴-∈-，由(1)10k x -+>得，11k x <-，原问题即为(2,1)x ∈-时，11k x <-恒成立，因为11(2,1),(,)13x x ∈-∴∈+∞-，所以使11k x <-在(2,1)-内恒成立的条件为13k ≤ 点评：解此类问题的方法是将参数分离出来，使参数放到一边，变量放到一边，使()a f x ≥恒成立max [()]a f x ≥；()a f x ≤恒成立min [()]a f x ⇒≤。
三 常量与变量的转化例3 对于满足2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px x p ++>+恒成立的的x 取值范围。
解：把不等式化为2(1)(1)0x p x -+->，并令2()(1)(1)f p x p x =-+-，它是关于p 的一次函数，由222p p ≤⇒-≤≤，由一次函数的单调性可知(2)(1)(3)01(2)(1)(1)0f x x x f x x -=-->⎧⇒<-⎨=-+>⎩或3x > 点评：如果把不等式看作关于x 的二次不等式，则求解过程繁琐，如果把不等式看作关于p 的一次不等式，则可以简化解题过程，这就是变量与常量的转化的好处。
基本不等式的恒成立问题
基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。
2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。
二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。
- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。
- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。
- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。
2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。
- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。
- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。
- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。
- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。
3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。
不等式恒成立
不等式恒成立问题的几种解法学案内容分析与“不等式恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法，是历年高考的热点 学习目标掌握不等式恒成立问题的几种解法及能够熟练应用解决有关不等式恒成立问题 例1 已知不等式0,0122>>+-a ax x (1)的取值范围是数时不等式恒成立，则实a R x ∈_________ (2)[]的取值范围是数时不等式恒成立，则实a x 2,1∈__________(3)[]的取值范围是数时不等式恒成立，则实a x 1,1-∈__________(4)[]的取值范围是数时不等式恒成立，则实x a 2,1∈___________练习的取值范围求实数单调递减，，在区间设已知函数a x f R x x ax x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+++=31-32-)(.,1)(23[][][]的取值范围成立，求实数都有）（取值范围成立，求实数都有）（已知函数例a x g x f x x a x g x f x x a xa x g ax x x f )()(,4,2,2,12)()(,2,110,0,)(12)(22121,2>∈∈∀>∈∀≠>=+-=[][][]的取值范围恒成立，求实数不等式）（的取值范围成立求实数，不等式a x g x g x x a x g x f x x 2)()(,2,1,4)()(4,2,2,1)3(21212121<>∈∀>∈∀∈∃例3[]____log )1()(,2,12的取值范围是的值恒为负值，则函数当a x x x f x a --=∈练习的取值范围求实数时若当的单调区间时，求函数当已知函数a x f x x f a ax e x x f x ,0)(,0)2()(21)1()1()(.12≥≥=--=________21)()1,1(,)(,1,0.22的取值范围是成立，则实数时均有不等式函数已知a x f x a x x f a a x <-∈-=≠>总结升华 （1）化归最值（2）分离参数（3）数形结合。
高中数学教学论文 例谈恒成立不等式的求解策略
例谈恒成立不等式的求解策略含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点．这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径．通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．下面就其常见类型及解题策略举例说明． 一﹑可化为一次不等式恒成立的问题例1．对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数p x p x y -+-+=3)4(2，于是问题转化为： 当[]4,0∈p 时，0>y 恒成立，求x 的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．解：设函数)34()1()(2+-+-=x x p x p f ，显然1≠x ，则)(p f 是p 的一次函数，要使0)(>p f 恒成立，当且仅当0)0(>f ，且0)4(>f 时，解得x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃--∞． 点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p 的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．二﹑二次不等式恒成立问题例2．已知关于x 的不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论．解：(1)当0542=-+m m 时，即1=m 或5-=m ，显然1=m 时，符合条件， 5-=m 不符合条件;(2) 当0542≠-+m m 时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得222450,16(1)12(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得191<<m ． 综合(1)(2)得，实数m 的取值范围为[)19,1． 三﹑绝对值不等式恒成立问题例3．对于任意实数x ，不等式a x x <--+21恒成立，求实数a 的取值范围．分析1：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解．解法1：设21)(--+=x x x f ，则3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，∴3)(max =x f ，∴3>a ．分析2：利用绝对值的几何意义求解．解法2：设x ﹑1-﹑2在数轴上对应点分别是P ﹑A ﹑B ，则PB PA x x -=--+21 当点P 在线段AB 上时，33≤-≤-PB PA ;当点P 在点A 的左侧时， 3-=-PB PA ;当点P 在点A 的右侧时， 3=-PB PA ;因此，无论点P 在何处，总有33≤-≤-PB PA ，所以当3>a 时， a PB PA <-恒成立， 即对于任意实数x ，不等式a x x <--+21恒成立时，实数a 的取值范围为),3(+∞．分析3：利用绝对值不等式b a b a b a +≤±≤-求解21)(--+=x x x f 的最大值．解法3：设21)(--+=x x x f ． ()()32121=--+≤--+x x x x 且2=x 时等式成立， ∴3)(max =x f ，∴3>a ．四﹑含对数﹑指数﹑三角函数的不等式恒成立问题例4．当)21,0(∈x 时，不等式x x a log 2<恒成立，求a 的取值范围．分析：注意到函数2)(x x f =，x x g a log )(=都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切)21,0(∈x ，)()(x g x f <恒成立，只要在)21,0(内， x x g a log )(=的图象在2)(x x f =图象的上方即可．显然10<<a ，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即)21()21(g f ≥． 解：设2)(x x f =，x x g a log )(=，则要使对一切)21,0(∈x ，)()(x g x f <恒成立，由图象可知10<<a ，并且)21()21(g f ≥，故有4121log ≥a ， 161≥∴a ， 又 10<<a 1161<≤∴a 点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用．此外，从图象上直观得到10<<a 后还需考查区间)21,0(右端点21=x 处的函数值的大小．五、形如“()a f x ≥”型不等式形如“()a f x ≥”或“()a f x ≤”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“)(x f a ≥在D x ∈上恒成立，则max )]([x f a ≥(D x ∈);)(x f a ≤在D x ∈上恒成立，则min )]([x f a ≤(D x ∈)”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型． 例5．已知二次函数x ax x f +=2)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 的取值范围．解： 1)(≤x f ，∴112≤+≤-x ax ， 即x ax x -≤≤--112（1）当0=x 时，不等式101≤⨯≤-a 显然成立， ∴R a ∈（2）当10≤<x 时，由x ax x -≤≤--112得xx a x x 111122-≤≤--．041)211(1122≥--=-x x x ，0)11(min 2=-x x，0≤∴a ． 又 241)211(1122-≤++-=--x x x ，2)11(max 2-=--x x，2-≥∴a ． 02≤≤-∴a ． 综上得，a 的取值范围为20a -≤≤．六、形如“12()()()f x f x f x ≤≤”型不等式例6．已知函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为 ． 解： 对任意R x ∈，不等式)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，∴)(1x f ，)(2x f 分别是)(x f 的最小值和最大值． 对于函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是2，即半个周期． ∴21x x -的最小值为2 七、形如“1212()()()22x x f x f x f ++>”型不等式 例7．在x y 2=，x y 2log =，2x y =，x y cos =这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件2)()()2(2121x f x f x x f +>+的函数应是凸函数的性质，画草图即知x y 2log =，x y cos =符合题意，故此题选（C ）．八、形如“()()f x g x <”型不等式例8．已知函数)1lg(21)(+=x x f ，)2lg()(t x x g +=，若当[]1,0∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数t 的取值范围．解：)()(x g x f ≤在[]1,0∈x 20x t -≤在[]1,0∈x 恒成立⇔ t x x ---21在[]1,0上的最大值小于或等于零．令()2F x x t -，121412121)(++-=-+='x x x x F []1,0∈x ， ∴0)(<'x F 即)(x F 在[]1,0上单调递减， )0(F 是最大值．∴01)0()(≤-=≤t F x f ，即1≥t ．九、形如“12()()f x g x <”型不等式例9．已知函数34331)(23+--=x x x x f ，29)(c x x g +-=，若对任意[]2,2,21-∈x x ，都有)()(21x g x f <，求c 的范围．解：∵对任意[]2,2,21-∈x x ，都有)()(21x g x f <成立，min max )]([)]([x g x f <∴． 32)(2--='x x x f ，令0)(>'x f 得3>x 或1-<x ;0)(<'x f 得31<<-x ． ∴ )(x f 在[]1,2--为增函数，在[]2,1-为减函数．(1)3,f -= 3)]([max =∴x f 2183c +-<∴，24-<∴c ．。
不等式恒成立问题经典例题
解：原不等式可化为：m(x2 1) 2x 1 0
令 f (m) m(x2 1) 2x 1, m2, 2
由题意得：
f (2) 2x2 2x 3 0 f (2) 2x2 2x 1 0
所以
1 7 x 1 3
2
2
例2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成立，
解：若1-m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
若1-m≠0即m≠1时， 令
f (x) (1 m)x2 (m 1)x 3, x2, 2
由题意得：
1m 0 f (1) 1 m 11 0 或
24 4
1m 0 f (2) 6m 9 0
所以 11 m 3 2
例2、若对于任意 m 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0 恒
成立，求实数x的取值范围
解： 原不等式可化为： (x2 x)m x2 x 3 0
令 f (m) (x2 x)m x2 x 3,m2,2
由题意得：
f (2) x2 3x 3 0 f (2) x2 x 3 0
所以
1 13 x 1 13
2
2
例2、若对于任意
，不等式
恒
成立，求实数x的取值范围
求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x2 ( p 2)x p 1 0
令 f (p) (x 1)p x2 2x 1, p2,2
由题意得：
f (2) x2 4x 3 0 f (2) x2 1 0
所以
x 1 或 x 3
例2、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0 恒成立，求实数m的取值范围
例1：不等式x²-2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a的范 围。
不等式恒成立问题的大全
不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，数a 的取值围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，数m 的取值围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔1．已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数.(1)若对任意的[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值围； (2)若对任意的[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值围.【分析及解】 (1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .(2)由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x .∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f . 由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或, ∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .(3) 若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由(2)可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+，32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤2．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，数a 的取值围。
专题03 不等式恒成立或有解问题(解析版)
专题03 不等式恒成立或有解问题专题概述含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.典型例题【例1】（2019秋•崇川区校级月考）关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有实数解，则实数a 的取值范围是【分析】关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有解，等价于2()max a x x<-，其中[1x ∈，4]，求出2()f x x x=-在[1x ∈，4]的最大值即可． 【解答】解：关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有实数解， 等价于2()max a x x<-，[1x ∈，4]；设2()f x x x=-，其中[1x ∈，4]， 则函数()f x 在[1x ∈，4]内单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为f （1）1=； 所以实数a 的取值范围是(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．【例2】（2018秋•凌源市期末）不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是 ． 【分析】设21y x kx =-+，将不等式恒成立的问题转化为函数21y x kx =-+图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】解：依题意，设21y x kx =-+， 因为不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， 所以△240k =-<，解得(2,2)k ∈-，故答案为：(2,2)-．【例3】（2018春•朔州期末）已知不等式116a x y x y++对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ．【分析】由题设知1()()16min ax y x y++对于任意正实数x ，y 恒成立，所以116a +，由此能求出正实数a 的最小值． 【解答】解：不等式116a x yx y++对任意正实数x ，y 恒成立， ∴1()()16min ax y x y ++对于任意正实数x ，y 恒成立1()()11a y axx y a a x y x y++=+++++116a ∴+即3)0，又0a >，39min a ∴=． 故答案为：9【变式训练】1.（2019秋•琼山区校级月考）当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是 ．【分析】不等式恒成立等价于2m x x >--恒成立，设2()f x x x =--，(1,2)x ∈，求出()f x 的最大值即可．【解答】解：(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x>--恒成立；设2()f x x x=--，其中(1,2)x ∈；则22()()222f x x x x x=-+-=-x =“=”．()f x ∴的最大值为()max f x =-m ∴的取值范围是m >-故答案为：(-)+∞．2．（2019春•慈溪市期中）关于x 的不等式230x ax a -++在区间[2-，0]上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【分析】先分离参数得4(1)21a x x -++-，再利用基本不等式求右边式子的最大值得解． 【解答】解：由题得234(1)211x a x x x +=-++--因为20x -， 311x ∴---所以44(1)2[1]2224211x x x x-++=--++-=--- 当1x =-时得到等号． 所以2a -． 故答案为：2a -3．（2012•沭阳县校级模拟）对一切正整数n ，不等式211x nx n ->+恒成立，则实数x 的取值范围是 【分析】确定右边对应函数的值域，将恒成立问题转化为具体不等式，即可求得x 的取值范围． 【解答】解：考查1111n y n n ==-++，一切正整数n ，函数为单调增函数，112y ∴> 对一切正整数n ，不等式211x nx n ->+恒成立， ∴211x x - ∴10x x- 0x ∴<或1x∴实数x 的取值范围是(,0)[1-∞，)+∞故答案为：(,0)[1-∞，)+∞专题强化1．（2020•一卷模拟）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞B ．4(,)7-∞C ．)+∞D ．4(,)7+∞【分析】由题意不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可．【解答】解：(0x ∈，2]时，不等式可化为32aax x+<；当0a =时，不等式为02<，满足题意； 当0a >时，不等式化为32x x a+<，则2323x a >=，当且仅当x =所以a <0a <<当0a <时，32x x a+>恒成立；综上知，实数a 的取值范围是(-∞． 故选：A ．2．（2019秋•临渭区期末）若不等式2440x ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(16,0)-B ．(16-，0]C ．(,0)-∞D ．(8,8)-【分析】根据一元二次不等式的解集为R ，△0<，列不等式求出a 的取值范围． 【解答】解：不等式2440x ax ++>的解集为R ， ∴△24440a =-⨯⨯<，解得88a -<<，∴实数a 的取值范围是(8,8)-．故选：D ．3．（2020•乃东区校级一模）若不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立，则a 的最小值为( )A ．52-B ．0C ．2-D ．3-【分析】不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立1()max a x x ⇔--，(0x ∈，1]2．令1()f x x x =--，(0x ∈，1]2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立1()max a x x ⇔--，(0x ∈，1]2．令1()f x x x =--，(0x ∈，1]2． 22211()10x f x x x'-=-+=>，∴函数()f x 在(0x ∈，1]2上单调递增，∴当12x =时，函数()f x 取得最大值，115()2222f =--=-．a ∴的最小值为52-．故选：A ．4．（2019春•黑龙江期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，则实数m 的取值范围为 ( )A ．(3,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,3)-∞-【分析】关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，等价于22240m +->或24440m +->， 求出m 的取值范围即可．【解答】解：关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解， 所以22240m +->或24440m +->， 解答0m >或3m >-，所以实数m 的取值范围是(3,)-+∞． 故选：A ．5．（2019秋•徐州期中）若关于x 的不等式240x x a -->在14x <<内有解，则实数a 的取值范围( ) A ．3a <-B ．0a <C ．4a <-D ．4a -【分析】把不等式化为24a x x <-，求出2()4f x x x =-在(1,4)x ∈的取值范围，即可求得a 的取值范围． 【解答】解：不等式240x x a -->可化为24a x x <-； 设2()4f x x x =-，其中(1,4)x ∈； 则2()(2)4f x x =--， 所以()f x f <（4）0=；所以不等式在14x <<内有解，实数a 的取值范围是0a <． 故选：B ．6．（2019春•舒城县期末）若不等式243x Px x P +>+-当04p 时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[1-，3] B ．(-∞，1]-C ．[3，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【分析】当1x =-时，代入不等可排除A ，B ，当3x =，代入不等式可排除C ，从而得到正确选项． 【解答】解：当1x =-时，由243x Px x P +>+-，得4p <，故1x =-不符合条件，排除A ，B ；当3x =时，由243x Px x P +>+-，得0p >，故3x =不符合条件，排除C ， 故选：D ．7．（2019春•昆都仑区校级期中）若不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m -或0mB ．3m -C ．30m -D ．3m -【分析】不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立，只需2(4)min m x x -，求出2()4f x x x =-的最小值即可． 【解答】解：不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立， ∴只需2(4)min m x x -，[0x ∈，1]函数22()4(2)4f x x x x =-=--，[0x ∈，1]， ()min f x f ∴=（1）3=-，3m ∴-，故选：D ．8．（2019春•思明区校级月考）若关于x 的不等式22840x x a ---在14x 内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．4a -B ．4a -C ．12a -D ．12a -【分析】原不等式化为2284a x x --，问题等价于a 小于或等于2284y x x =--在[1，4]内的最大值时即可．【解答】解：原不等式22840x x a ---化为：2284a x x --， 设函数2284y x x =--，其中14x ；则4x =时函数2284y x x =--取得最大值为是4-， 所以实数a 的取值范围是4a -． 故选：A ．9．（2020春•南昌月考）若关于x 的不等式11()81xxλ有正整数解，则实数λ的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【分析】令()lnx f x x =，由题意，存在正整数x ，使不等式81()ln f x λ能成立．利用导数求出()f x 的最大值，可得实数λ的最小值．【解答】解：关于x 的不等式11()81xxλ有正整数解，∴81x x λ，∴43lnx ln xλ． x 为正整数，0λ>，∴4381lnxln ln xλλ=．令()lnx f x x =，则21()lnxf x x -'=． 当(0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减， 故当x e =时，()f x 取得最大值． 而e 不是正整数，23e <<，f （2）2826ln ln ==，f （3）3936ln ln ==，f ∴（3）f >（2）． 故只要f （3）81ln λ即可，求得12λ，故选：D ．10．（2019春•兴庆区校级期末）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+恒成立，则a 的取值范围为 ( )A ．11a -B ．1aC ．1a -D ．1a -【分析】由题意可得1a x -在1x >恒成立，求得110x-<-<，即可得到所求范围． 【解答】解：对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+恒成立， 可得10ax +，即1a x-在1x >恒成立， 由1x >可得110x-<-<，则1a -， 故选：D ．11．（2019秋•沭阳县期中）正数a ，b 满足21a b +=，且22142a b t --恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(-∞B ．，)+∞C ．[D ．1[2，)+∞【分析】由0a >，0b >，21a b +=得，22414a b ab +=-，于是问题转化为：1242t ab ab +-恒成立，令1(,)42f a b ab =-，求得(,)f a b 的最大值，只需(,)max t f a b 即可．【解答】解：0a >，0b >，21a b +=， 22414a b ab ∴+=-，22142a b t ∴--恒成立，转化为1242t ab ab +-恒成立，令(f a ，21113)44())2844b ab ab =-==-， 又由0a >，0b >，21a b +=得：1222a b ab =+， 18ab∴（当且仅当14a =，12b =时取“=” )；(f a ∴，213))44max b =-=． 2t． 故选：B ．12．（2019秋•开封期末）已知0m >，0n >，141m n+=，若不等式22m n x x a +-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[8，)+∞B ．[3，)+∞C ．(-∞，3]D ．(-∞，8]【分析】先结合基本不等式求出m n +的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解 【解答】解：144()()5529n m n m n m n m n m n m +=++=+++， 当且仅当4n mm n=时等号成立， 229x x a ∴-++，即2229(1)8a x x x -+=-+， 8a ∴．故选：D ．13．（2019秋•楚雄州期末）已知0x >，0y >，若不等式2(2)()18m x y x y++恒成立，则正数m 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】先结合基本不等式求出前半部分的最小值，再结合恒成立即可求解． 【解答】解：因为0x >，0y >，正数m ；∴24(2)()2222m x my x y m m x y y x++=+++++， 因为不等式2(2)()18m x y x y++恒成立，所以2218m ++，即2)0，2， 所以4m ． 故选：B ．14．（2020•湖北模拟）若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1114x x+-的最小值为9，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，1(0,)4x ∈，则140x ->，则1141414(14)44(1[4(14)]()552914414414414x x x x x x x x x x x x -+=+=+-+=+++⨯----， 当且仅当142x x -=时等号成立， 则1114x x+-的最小值为9， 若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，即式1114m x x +-恒成立，必有9m 恒成立， 故实数m 的最大值为9； 故选：C ．15．（2019秋•呼和浩特期末）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且存在这样的x ，y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,4)-B ．(4,1)-C ．(-∞，4)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，3)(0-⋃，)+∞【分析】由144()()2444y y x yx x x y y x+=++=++，利用基本不等式可求其最小值，存在x ，y 使不等式234y x m m +<+有解，即2()34min yx m m +<+，解不等式可求． 【解答】解：正实数x ，y 满足141x y +=，1444()()2224444y y x y x y x x x y y x y ∴+=++=+++= 当且仅当44x y y x =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号，存在x ，y 使不等式234yx m m +<+有解， 243m m ∴<+，解可得1m >或4m <-，故选：C ．16．（2019秋•怀化期末）若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(,2)[4-∞-，)+∞B ．(,4)[2-∞-，)+∞C ．(2,4)-D ．(4,2)-【分析】由题意和基本不等式可得2x y +的最小值，再由恒成立可得m 的不等式，解不等式可得m 范围． 【解答】解：正实数x ，y 满足211x y+=， 212(2)()x y x y x y∴+=++444428y x y x x y x =+++=， 当且仅当4y xx y=即4x =且2y =时2x y +取最小值8， 222x y m m +>+恒成立，282m m ∴>+，解关于m 的不等式可得42m -<< 故选：D ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。
解:要使函数f(x)有意义,则必有
kx2 6kx (k 8) 0
因为函数f(x)的定义域为R,所以
kx2 6kx (k 8) 0 对一切 x R恒成立. ①当k=0,不等式8>0对一切 x R 恒成立.
②当k≠0时,不等式 kx2 6kx (k 8) 0对一切
x R 恒成立,则必有
k>0
(6k)2 4k(k 8) 0
解得:0<k≤1
综上所述: 0 ≤ k≤1
易错题
1.函数 f (x) log1 (x2 kx 2) 的定义域为R,
2
求实数k的取值范围. (2 2, 2 2)
2.函数 f (x) log1 (x2 kx 2) 的值域为R,
2
求实数k的取值范围.
恒成立，求实数x的取值范围
练习5、若对于任意
x 0,
1 2
，不等式
x2 ax 1 0
恒成
立，求实数a的取值范围
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2x 1 m(x2 1)
恒成立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：m(x2 1) 2x 1 0
令 f (m) m(x2 1) 2x 1, m2, 2
f (x) (1 m)x2 (m 1)x 3, x2, 2
由题意得：
1m 0 f (1) 1 m 11 0 或
24 4
1m 0 f (2) 6m 9 0
所以 11 m 3 2
练习4、若对于任意 m 2，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0
恒成立，求实数x的取值范围
由题意得：
f (2) 2x2 2x 3 0 f (2) 2x2 2x 1 0
所以
1 7 x 1 3
2
2
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成
立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x2 ( p 2)x p 1 0
令 f (p) (x 1)p x2 2x 1, p2,2
(, 2 2] U[2 2, )
例1：不等式 x2 ax 4 0 当 x (1,2) 时恒
成立，求a的范围。
解： 令 f (x) x2 ax 4, x (1,2)
由题意得：
f 1 a 5 0 f 2 2a 8 0
所以 a 5
例2：不等式x²-2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a 的范围。
f x下限 0x D
不等式 f x 0在区间D上恒成立 f xmax 0x D 或
f x上限 0x D
不等式 f a f x在区间D上恒成立 f (a) f xmaxx D 或
f (a) f x上限x D
不等式 f (a) f x在区间D上恒成立 f (a) f xminx D 或
例题选讲
恒成立问题
例1.不等式 (a 2)x2 2(a 2)x 4 0
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
变式1.不等式(a2 4)x2 (a 2)x 1 0 的解为空集 ，求a的取值范围。
变式2.若函数 f (x) kx2 6kx (k 8) 的定义
域为R,求实数k的取值范围.
由题意得：
f (2) x2 4x 3 0 f (2) x2 1 0
所以
x 1 或 x 3
练习3、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 -m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
若1-m≠0即m≠1时， 令
解：原不等式可化为：
x2 2ax a 2 0
令 f (x) x2 2ax a 2, x 1,
x a f x的图像开口向上，且对称轴为
由题意得：
a 1
f 1 a 3 0 或
a 1
f a a2 a 2 0
所以 3 a 1
不等式恒成立问题的解题原理：
不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f xmin 0x D 或
例1、若对于任意 a 1 ，不等式x2 (a 4)x 2a 0 恒成 立，求实数x的取值范围
解：令 f (a) (x 2)a x2 4x, a 1,1
由题意得：
f 1 x2 5x 2 0 f 1 x2 3x 2 0
所以 x 3 17 或 x 5 17
2
2
例2、若对于任意 x 0,1 ，不等式 x2 2mx 2m 1 0
解： 原不等式可化为： (x2 x)m x2 x 3 0
令 f (m) (x2 x)m x2 x 3,m2,2
由题意得：
f (2) x2 3x 3 0 f (2) x2 x 3 0
所以
1 13 x 1 13
2
2
练习5、若对于任意
恒成立，求实数x的取值范围
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成
立，求实数x的取值范围
练习3、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0 恒成立，求实数m的取值范围
练习4、若对于任意 m 2，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0
恒成立，求实数m的取值范围
解 令 f (x) x2 2mx 2m1, x0,1 x m : f (x) 的图像开口向上，且对称轴为
由题意得：
m0
或
f (0) 2m 1 0
0 m1
m 1
f (m) m2 2m 1 0 或 f (1) 2 0
所以 m 1 2
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2x 1 m(x2 1)