基本不等式经典例题学生用
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式典型例题
基本不等式典型例题1、两个不等式：a2+b2≥2ab(a,b∈r)当且仅当a=b时，等号成立；≤a+b(a>0,b>0)当且仅当a=b时，等号成立。
22、常用变形：(1)a+b≥a>0,b>0)⎛a+b⎛(2)⎛≥ab(a,b∈r)⎛2⎛2aba+b(3)≤≤a>0,b>0)a+b2基准1、1.若实数满足用户a+b=2，谋3+3的最小值xy2.若log4+log4=2，求ab211+的最小值xy基准2、未知x＞0,y＞0，且解：利用“1的代换”,∵19+=1，求x+y的最小值.xy1919y9x+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10++.∵x＞0,y＞0,xyxyxy∴y9xy9xy9x+≥2=6.当且仅当=，即y=3x时，挑等号.∙xyxyxy19+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.xy又变式训练1.未知正数a,b,x,y满足用户a+b=10,ab+=1，x+y的最小值为18，谋a,b 的值xy2.已知x,y为正实数，且2x+y=1，则基准3、未知0＜x＜解：∵0＜x＜21+的最小值为xy1，求函数y=x(1-3x)的最大值;31,∴1-3x＞0.3113x+(1-3x)211∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等33212611号成立.∴x=时，函数取得最大值.6121变式训练1.当x＞-1时，谋f(x)=x+的最小值.x+1x4+3x2+33.求函数y=的最小值.x2+1基准4、谋f(x)=3+lgx+4的最小值（0＜x＜1）lgx4444＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2(-lgx)(-)=4.lgxlgxlgxlgx解：∵0＜x＜1,∴lgx ＜0,∴lgx+1444≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时获得等号.100lgxlgxlgx则有f(x)=3+lgx+4(0＜x＜1)的最小值为-1.lgx变式训练1.未知x＜51，求函数y=4x-2+的最大值.44x-512.求函数y=x+的值域x基准5、1.未知a,b,c为不全相等的正实数，求证：a+b+c>2.已知a>0,b>0,ab>0，求证⎛ab⎛+2⎛(a+b)≥42ba⎛⎛⎛1⎛⎛1⎛⎛1⎛-1⎛-1⎛-1⎛≥8⎛a⎛⎛b⎛⎛c⎛3.设a,b,c∈(0,∞)，且a+b+c=1，澄清1.若，且，则下列不等式中，恒成立的是().a.b.c.d.2.未知a.2b.，则的最小值就是().c.4d.53.下列结论正确的是().a.当且时，；b.当时，；c.当时，的最小值为2；d.当时，的最小值为24.设，若是与的等比中项，则的最小值为().a.8b.4c.1d.5.x+y=4,则xy的最大值就是（）22a.1b.1c.2d.421（）a6.若aa．有最小值2b.有最大值2c.存有最小值-2d.存有最大值-2。
初二不等式经典例题
初二不等式经典例题摘要：1.初二不等式的概念和基本性质2.经典例题1：解不等式|x - 3| < 13.经典例题2：解不等式-2x + 3 > 54.经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }5.总结与展望正文：一、初二不等式的概念和基本性质初二不等式是初中数学中的重要内容，主要研究如何解不等式以及如何处理不等式组。
不等式是指用不等号（如"<"、"≤"、">"、"≥"）连接的两个数或代数式。
在初二阶段，我们主要学习解一元一次不等式、一元二次不等式以及不等式组。
二、经典例题1：解不等式|x - 3| < 1这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将绝对值符号拆掉，得到两个不等式：x - 3 < 1 和-(x - 3) < 1。
2.分别解这两个不等式，得到x < 4 和x > 2。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 2 < x < 4}。
三、经典例题2：解不等式-2x + 3 > 5这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将常数项移到不等式左边，得到-2x > 2。
2.将不等式两边同时除以-2，并注意改变不等号方向，得到x < -1。
四、经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }这是一个一元一次不等式组，我们可以通过以下步骤求解：1.解第一个不等式，得到x < 1。
2.解第二个不等式，得到x >3.5。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 3.5 < x < 1}。
五、总结与展望初二不等式是初中数学的基础知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学有着重要意义。
通过解决不等式和不等式组，我们可以提高自己的逻辑思维能力和运算能力。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)
基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式经典例题(学生用)
根本不等式 【2 】 常识点： 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ,则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠,则22-2abab a bb a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）留意：(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”．(2)求最值的前提“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值.比较大小.求变量的取值规模.证实不等式.解决现实问题方面有普遍的运用 运用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技能一：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.技能二：凑系数例： 当时,求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值.技能三： 分别换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.技能五：在运用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情形,. 例：求函数2y =的值域.技能六：整体代换（“1”的运用）多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的前提的一致性,不然就会出错.. 例：已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 技能七例：已知x,y 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y2 的最大值. 技能八：已知a,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求函数y ＝1ab的最小值. 技能九.取平方例: 求函数15()22y x <<的最大值. 运用二：运用均值不等式证实不等式例：已知a.b.c R +∈,且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 运用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模. 运用四：均值定理在比较大小中的运用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是.。
不等式的基本性质例题doc
第五章 一元一次不等式不等式的基本性质 例题例1 将下列不等式化成“x>a ”或“x<a ”的形式：(1) x-5>-1 (2) -2x>3解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 x>-1+5即 x>4(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 -2x ÷(-2)<3÷(-2)即 32x <-例2 若a-b<0，则下列各式中一定成立的是（ D ）>b >0<0 >-b解：将a-b<0 两边同时减去a 得-a>-b 故D 一定成立或者有a b <；而ab 与0的大小关系就不确定例3 若x 是任意实数，则下列不等式中，恒成立的是（ B ）>2x >2x2+x>2 +x2>2解：A 可以化为0x > 两边同时减去2xB 可化为 20x > 两边同时减去22xC 可化为 1x >- 两边减去3D 可化为 21x >-两边减去3又知x 是任意实数 显然20x >恒成立 故选B例4、已知a ＜b,用“＜”或“＞”号填空：(1) a-3_＜__b-3(2) 6a _＜__6b(3)–a_＞__-b(4) a-b_＜__0解：（1）在a b <两边同时减去3（2）在a b <两边同时乘以6（3）在a b <两边同时乘以-1（变号）（4）在a b <两边同时减去b例5 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x - 5＞-1（2）-2x＞3（3）2x- 1＜2（4）-x ＜5/6解：（1）4x>两边同时加5（2）32x<-两边同时除以-2（3）32x<先移项，再两边同时除以2（4）56x>-两边同时乘以-1例6、按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：（一般形式）(1)m＞n，两边都减去3；(2)m＞n，两边同乘以3；(3)m＞n，两边同乘以-3；(4)m＞n，两边同乘以m．解：(1)m-3＞n-3(2) 3m＞3n(3)-3m< -3n(4) m＞0时，不等式成立。
基本不等式经典题目
基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\) 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 \(p\) 和 \(q\) 是大于 \(1\) 的实数且满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于任意 n 维实数序列\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\)，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots,x_n\)，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 \(a\) 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量，\(E(X)\) 为期望，\(V(X)\) 为方差。
5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 \(a > 0\) 和 n 维非负实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量。
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基本不等式
知识点：
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b
a ≥+2 (2)若*,R
b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”
）
3.若0x >，则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11
1
22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
4.若0>ab ，则2≥+a b
b a
(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2
a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (
当且仅当b a =时取“=”）
5.若R b a ∈,，则2)2(2
2
2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值
例：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 （2）y ＝x ＋1
x
技巧一：凑项
例 已知5
4x <，求函数1
4245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数
例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设23
0<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离换元
例：求2710
(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a
f x x x =+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
技巧六：整体代换（“1”的应用）
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
例：已知0,0x y >>，且
191x y +=，求x y +的最小值。
技巧七
例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab
的最小值. 技巧九、取平方
例: 求函数15
()22
y x =<<的最大值。
应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且191x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若
)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .。