不等式恒成立
基本不等式的恒成立问题
基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。
2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。
二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。
- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。
- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。
- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。
2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。
- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。
- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。
- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。
- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。
3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。
不等式恒成立
不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。
不等式的恒成立
不等式的恒成立,能成立,恰成立用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,不等式的恒成立【例】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
【解】递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ) 1c <-或2c >. 【例】已知向量),,1(),1,(2t x b x x a -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围【解】 5≥t . 【例】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【分析及解】（Ⅰ）65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）10m ≥ 【例】已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(),13-∞-上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】2232a -≤≤. 【例】 设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
不等式 恒成立问题
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
3.设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
如何解不等式恒成立问题
如何解不等式恒成立问题不等式恒成立问题是中学数学中常见问题之一，也是各级各类考试中常见的题型之一，解答这类问题常常有如下三种常用技巧和思路．一、利用判别式例1 若不等式210mx mx ++>对一切实数恒成立，求实数m 的取值范围． 解：当0m =时，10>显然对一切实数恒成立；当0m ≠时，要使不等式210mx mx ++>对一切实数恒成立，须有00m >⎧⎨∆<⎩，，，即2040m m m >⎧⎨-<⎩，，解得04m <<． 综上可知，所求实数m 的取值范围是[04)，．说明：①不等式20ax bx c ++>对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨>⎩，，或00a >⎧⎨∆<⎩，；；②不等式20ax bx c ++<对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨<⎩，或00.a <⎧⎨∆<⎩，二、借助形的直观例2 已知当(12]x ∈，时，不等式2(1)log a x x -≤恒成立，求实数a 的取值范围． 分析：本题若直接求解，则较为繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数2()(1)f x x =-与函数()log a g x x =在(12]，上的图象，借助图形可直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数2()(1)f x x =-与函数()log a g x x =在(12]，上的图象（如图），从图象中易看出：当01a <<，且(12]x ∈，时，函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的上方，不合题意；当1a >，且(12]x ∈，时，欲使函数()f x 的图象在()g x 的图象的下方或重合，须满足log 2a 1≥，即2a ≤， 故所求实数a 的取值范围为(12]，．三、借用重要结论：“不等式()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；不等式()a f x <恒成立max ()a f x ⇔<”例3 若不等式4210x xa ++>g 对一切(1]x ∈-∞，恒成立，求实数a 的取值范围．解：由于40x>，故本题可转化为1124x xa ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对一切(1]x ∈-∞，恒成立，求a 的范围．令11()24xxh x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于函数11()24xxh x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(1]-∞，上是增函数，所以max 3()(1)4h x h ==-． 故34a >-对一切(1]x ∈-∞，恒成立， 即所求实数a 的取值范围为34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，． 在关于不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
不等式恒成立问题3种基本方法
不等式恒成立问题3种基本方法不等式恒成立问题是指在数学中有特定条件下，当不等式满足某些条件时，就能证明不等式恒成立。
一般来说，要证明不等式恒成立，都是采用一定的技巧和方法，其中，最常用的三种方法包括把不等式化简为等式、归纳法或组合法以及图解法。
1.不等式化简为等式最常用的一种方法是将不等式化简为等式，这种方法最为直观，也是最容易的方法，也就是利用数学语言，利用数学公式将不等式化为等式，然后利用数学推论让等式恒成立。
例1:y+2除以3大于9，则y大于17令y+2=3x得3x除以3大于9化简得 x大于9代入y+2=3x，y大于17所以y+2除以3大于9时，y大于17。
2.纳法或组合法归纳法或组合法是比较常用的一种方法，也称为反演法。
特别是在分析比较复杂的不等式时，往往可以借助这种方法。
归纳法或组合法的步骤是：1首先分析不等式的全部特性，然后根据不等式的特性进行分析，把这些特性分为若干步，每步解决一个特殊问题；2）然后利用反演法，逐步推出最后的结论。
例 2:y>8，则9-y<1第一步： y>8明 y>8成立的第二步：y>8带入y-8>0，即可推出y-8的值大于0第三步：y-8>0带入9-y<1，即可推出9-y的值小于1第四步：以上四步推出，若y>8，则9-y<13.解法图解法是把问题的定义，公式，结果等用图示表示出来，从而把问题用图形化的方式来分析。
例 3:|x-2|≤3，则-1≤x≤5由于|x-2|≤3，即x-2≤3 x-2≥-3，因此可以把上述问题用图形化的方式来分析，即x-2=3时表示x-2≤3，x-2=-3时表示x-2≥-3，两条线在x=5和x=-1的位置相交，由此可以推出-1≤x≤5。
通过以上三种方法可以解决许多不等式恒成立的问题，它们各有优缺点，需要在实际操作中根据不等式本身的特点来选择最合适的方法，以达到最好的解决效果。
但是，无论如何，从本质上来讲，学习和掌握数学，尤其是求解不等式恒成立问题，关键在于不断积累知识，勤加练习，加强技巧。
不等式恒成立
不等式的恒成立一． 什么叫不等式的恒成立？这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。
关于x 的不等式f(x)≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。
常见的有：2(1)0,;(2)0,;0,0xx x R ax R x ≥∈>∈≥≥等等。
其形式与函数的最值关系如下：m in m ax 1.()();2.()()f x m f x m f x m f x m≥∀∈⇔≥≤∀∈⇔≤对x D 恒成立对x D 恒成立变形方法：分离参量即将主变量与参变量分在不等号的两侧。
其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方 练习：1.下列哪些关系是恒成立的？ （1）当x R ∈时26100x x -+>， （2）当0x ≤时，21x≤（3）当1x >时log a x >0(0,1)a a >≠（4）若2()log f x x x =+对任意的12x x >>0，都有12()()f x f x >。
例题一：1.已知函数2()23f x x x =+-，求证当(],2x ∈-∞-时，f(x)的最小值为f(-2) ；说明()(2)f x f ≥-是否恒成立？[]21,3∈->2.对x ,不等式x +2x+1p 恒成立.求p 的取值范变式：2,R ∈>0对x 不等式x +px+1恒成立.求p 的取值范例题二：[]1.1,2x ax ∈>当时,不等式-20恒成立.求a 的取值范围。
变式：若函数()f x = [)1,+∞上有意义，求常数m 的取值范围。
思考：变式与“()f x =的定义域为[)1,+∞，求常数m 的取值”有什么不同？2..已知函数1y x x=-（1）判断函数在()0x ∈+∞上的单调性。
（2）若不等式2x +≤ax-10对任意的1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求常数a 的取值范围。
3．若函数2y kx =图像恒在函数1y kx =-图像的下方，求常数k 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探究二: 形如 ax2 bx c＞0或 ax2 bx c＜0的恒成立问题
例2：不等式 x2 mx 2 0在x R上 恒成立，求实数m 的取值范围。
分析：设f x x2 mx 2 m 2 2,2 2
由图象特征，只要△＜0
变式1：不等式 mx 2 mx 2 0在x R上 恒成立，求实数 m 的取值范围。
f
(x)
0
f ( ) 0
f
(
)
0
一次型不等式恒成立问题，利用函数的图 象是直线的特征，转化为区间端点的函数 值求解
探究一:形如ax b＜0,对x, 恒成立
例1：不等式 ax 1 0，对x 1, 2恒成立，
求实数 a 的取值范围。
分析一:设 f x ax 1, x 1,2
由f x 的图象特征寻找 f x取最大值的条件
b 2a
b 2a
0或
或 0 f
b
2a
() 0
变式2：不等式 x2 mx 2 0,在x 1,2
恒成立，求实数 m 的取值范围。
分析一:设 f x x2 mx 2, x 1,2,由 f x 的图象特征寻找
f x 取最小值的条件
f
m 2 (1)
1 或1 0 f
感受生活中的不等式恒成立
考试结束，成绩揭晓,几人欢 喜几人愁！教室外面的那个同学考 试成绩比我们班同学都低，用不等 式的知识怎样概括表达？可以归 结为什么类型的问题？
高一期中复习专题课
探究一:形如ax b＜0,对x, 恒成立
例1：不等式 ax 1 0，对x 1, 2恒成立，
求实数 a 的取值范围。
原不等式恒成立,只要
f (1) 0
f
(2)
0
∴
a＜1 2
分析二:通过分离参数将原不等式化为
a＜1x,x 1,2,设
f x 1
x
,
x 1,2
转化求新函数 f x 的最小值
一次型不等式恒成立问题的处理方法
常常利用函数的图象是直线的特征, 转化为区间端点的函数值的不等式组求 解，
有时也可以考虑参数分离,转化为求 新函数的最值。
例 3:当 x 1,2时，不等式 x 12 loga x 恒成立，
求实数 a 的取值范围．
y
y1=(x-1)2
y2=logax
数形结合
1
x
o
12
分析：设T1 : f x x 12,T2 : gx loga x，则T1 的图象为
上图所示的抛物线，要使对一切 x 1,2, f x gx恒成立，
f x 取最小值的条件
f
m 2 (1)
1 或1 0 f
m2 2 m 0或 2
或 0 f
m2 2 (2) 0
m 1
2
2
m 2 2
x
处理策略：
设 f (x) ax2 bx c
(1)当 a 0 时，f (x) 0在x [, ]上恒成立
f
b 2a
或
( ) 0
f
m 0,8
处理策略：
设 f (x) ax2 bx c
(1) f (x) 0在x R上恒成立
a
0 0
或
a c
b 0
0
(2) f (x) 0 在x R上恒成立
a
00或ca
b 0
0
变式2：不等式 x2 mx 2 0,在x 1,2
恒成立，求实数 m 的取值范围。
分析一:设 f x x2 mx 2, x 1,2,由 f x 的图象特征寻找
m2 2 m 0或 2
或 0 f
m2 2 (2) 0
m 2
2
分析二: 通过分离参数将原不等式化为
m x 2 , x 1,2 x
设
f
x
x
2 x
x 1,2
转化求f
x
的最大值
变式3：不等式 x2 mx 2 0,在x 1,2
恒成立，求实数 m 的取值范围。
分析:设 f x x2 mx 2, x 1,2 ,由 f x 的图象特征寻找
设 f m x • m x2 2, m 3,3
只要
f
3 0 f 3 0
即
则
x 1或x 2 x 2或x 1
x2
x
2
3x 3x
2 2
0 0
∴ x ,2 1,1 2,
小结：一般地将给定范围的变量当作主元，
再分析关于主元的不等式恒成立问题。
探究三: 形如 f (x) gx的恒成立问题
对不同的问题的采取的方法是不一样 的，要根据具体的情境灵活选择。但一 定要借助图象或图象特征分析才能选择 恰当的方法去解题。在分类讨论时要注 意分类的完整性和合理性。
变式4：不等式 x2 mx 2 0,在m 3,3
恒成立，求实数 x的取值范围。
分析：变更主元，把原不等式看作以m为元 的 一次型不等式恒成立
f x 取最大值的条件
12
12 x
12
x
x
结合抛物线图象特征，只要
f f
(1) 0 (2) 0
m ,3
处理策略：
设 f (x) ax2 bx c
(1)当 a 0 时，f (x) 0在x [, ]上恒成立
f
b 2a
或
( ) 0
f
b 2a
b 2a
0或
或 0 f
b
2a
() 0
当 a 0 时，f (x) 0在x [, ] 上恒成立
f ( ) 0
f
(
)
0
(2)当a 0 时， f (x) 0在x [, 上] 恒成立,
当 a 0 时，f (x) 0在x [, 上] 恒成立
分别如何转化?
二次型不等式恒成立问题的处理方法
首先对不等式类型分析,如果是二次不 等式恒成立问题，结合抛物线图象特征， 转化成最值问题;必要时进行分类讨论;有 时也可参数分离转化求新函数的最值.
分析一:设 f x ax 1, x 1,2
由f x 的图象特征寻找 f x取最大值的条件 y
01
2 x
-1
原不等式恒成立,只要
f (1) 0
f
(2)
0
∴ a＜1 2
处理策略：
函数 f (x) kx b 在x , 上恒有
f
(x)
0
f f
( ) 0 ( ) 0
函数 f (x) kx b 在x , 上恒有
即 T1 的图象一定要在 T2 的所在图象的下方，显然 a 1 ，并且
必须也只需 g2 f 2 1 a 2
试一试
若对任意R,不等式 x ax 恒成立，则实数a的取
范围是（ B ） A. a＜-1 B. -1≤a≤1 C. -1<a＜1 D.a≥1
方法1
y= x
y
y=ax
O
x
数形结合
试一试
若对任意R,不等式 x ax 恒成立，则实数a的取