不等式恒成立问题及能成立问题
不等式恒成立、能成立问题
不等式恒成立、能成立问题是一种常见题型，会以各种形式出现， 其解法多变，具有一定的技巧性，解答这类题的关键是等价转化(如判 别式法、分离参数法、数形结合法、主参换位法等)，通过转化使恒成 立、能成立问题得到简化，而转化过程往往渗透着多种数学思想和方 法的应用，能提升学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
∴x2－x＋1<63⇔x2－x－1<0⇔1－2
5 1＋ <x< 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
方法二 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数，
∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段，
要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值 范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
原不等式解集为 R 的条件是aΔ2＝－1a<－0，12＋4a2－1<0， 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式的解集为 R.
x2－x＋1·1－6<0， 只需x2－x＋1·3－6<0，
解得1－2
5 1＋ <x< 2
5，
∴x 的取值范围为x1－2
第21讲 不等式恒成立问题与能成立问题(解析版)
第21讲：不等式恒成立问题与能成立问题【学习目标】1．在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．【基础知识】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；【考点剖析】考点一：二次函数型恒成立问题 例1．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A ．()3,0-B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立； 当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D变式训练1：若不等式()()222240a x a x -+--<对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．[]22-,C ．()2,+∞D ．(]2,2-【答案】D 【详解】当20a -=时，即2a =，此时40-<恒成立，满足条件；当20a -≠时，因为()()222240a x a x -+--<对任意实数x 都成立，所以()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得()2,2a ∈-， 综上可知，(]2,2a ∈-， 故选：D.变式训练2：不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞+∞【答案】C 【详解】因为不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 所以函数()210f x ax ax =++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，函数()10f x =>，满足题意；当0a ≠时，结合二次函数性质易知，2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上所述，实数a 的取值范围是[)0,4， 故选：C.变式训练3：设2()(1)2f x x a x a =--+-.若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；【答案】（1）33a -≤≤+ 【详解】由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0x a x a --+≥对于一切实数x 恒成立.所以20(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+.考点二：二次函数型能成立问题例2．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】A 【详解】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立， 即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈-- 所以2a <- . 故选：A变式训练1：若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】A 【详解】解：关于x 的不等式220x ax +->在区间[1，5]上有解，22ax x ∴>-在[1x ∈，5]上有解，即2a x x>-在[1x ∈，5]上成立； 设函数2()f x x x=-，[1x ∈，5]，()f x ∴在[1x ∈，5]上是单调减函数，又()1211f =-=，()2235555f =-=-所以()f x 的值域为23[5-，1]， 要2a x x >-在[1x ∈，5]上有解，则235a >-， 即实数a 的取值范围为23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．变式训练2：若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】B 【详解】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-， 所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B变式训练3：已知关于x 的不等式210x mx -+>在[2,4]上有解，则实数 m 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞C ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．17,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D不等式210x mx -+>在[2,4]上有解，∴1m x x<+在[2,4]上有解， 1y x x =+在[2,4]单调递增，max 117444y ∴=+=， 174m ∴<. 故选：D.考点三：基本不等式型恒成立问题例3．若正数x 、y 满足22x y xy +=，若不等式2x y m +≥的恒成立，则m 的最大值等于（ ）A ．4B ．92C ．D ．8【答案】A 【详解】已知正数x 、y 满足22x y xy +=，可得211122x y xy x y+==+，所以，()1122222422x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为4，4m ∴≤. 因此，实数m 的最大值为4. 故选：A.变式训练1：已知两个正实数,x y 满足211x y+=，并且222x y m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．(2,4)-B ． []2,4-C ． (,2)(4,)-∞-⋃+∞D ． ][(,24,) -∞-⋃+∞【详解】因为222x y m m +≥-恒成立，则2min 2(2)m m x y -≤+，2142(2)()444228y x x y x y x y x y +=++=++≥+=+⨯=，当且仅当4211y xx y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即42x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以2x y +的最小值为8，所以228m m -≤，即(4)(2)0m m -+≤，解得：24m -≤≤. 故选：B变式训练2：已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<【答案】C 【详解】若222x y m m +>-恒成立，则()2min 22m m x y -<+，因为()42221442284y x x y x y x y x y +⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭≥+=+⨯=， 当且仅当4=y xx y，即4,2x y ==时取等号． 所以()min 82x y +=所以228m m -<，即2280m m --<， 解得：24m -<<． 故选：C变式训练3：已知正实数,x y 满足441x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a a 的取值范围.【答案】（1）164；（2）[]9,4-. 【详解】（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号，∴2536a a +≤，解得94a -≤≤. 即a 的取值范围是[]9,4-.考点四：变换主元例4．已知当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(2,1)-- 【详解】由题意，因为当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立， 可转化为关于a 的函数23()12f a x x a x ⎫⎛=+-++ ⎪⎝⎭，则()0f a <对任意[0,2]a ∈恒成立，则满足2(0)10,(2)2320,f x f x x =+<⎧⎨=+-<⎩ 解得21x -<<-，即x 的取值范围为(2,1)--. 故答案为：(2,1)--.变式训练1：已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ）A ．(-∞，2)∪(3，+∞)B ．(-∞，1)∪(2，+∞)C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)【答案】C 【详解】由题意，因为[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()()2244f a x a x x =-+-+，则()0f a >对应任意[]1,1a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得：1x <或3x >， 即x 的取值范围为()(),13,-∞+∞.故选：C变式训练2：若不等式21634x ax x a -≥--对任意[]2,4a ∈-成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(][),83,-∞-⋃+∞ B ．()[),01,-∞+∞C ．[]8,6-D ．(]0,3【答案】A 【详解】由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，所以22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩，即2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩， 解之得3x ≥或8x ≤-. 故选：A变式训练3：已知当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(2,1)-- 【详解】由题意，因为当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立， 可转化为关于a 的函数23()12f a x x a x ⎫⎛=+-++ ⎪⎝⎭， 则()0f a <对任意[0,2]a ∈恒成立，则满足2(0)10,(2)2320,f x f x x =+<⎧⎨=+-<⎩ 解得21x -<<-，即x 的取值范围为(2,1)--. 故答案为：(2,1)--.【过关检测】1、关于x 的不等式21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．(]4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】解：①当0m =时，则01<成立，故符合题意，②0m ≠时，因为21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，所以0m <，不等式变为：210mx mx m ++-<，()2410m m m ∆=--<，所以：0m <， 综上：0m ≤. 故选：B.2、已知不等式240x ax ++的解集为,R 则a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--+D ．()(),44,-∞-+∞【答案】A 【详解】因为不等式240x ax ++的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯， 解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-， 故选：A.3、不等式(4)(21)x x a x ->+对一切实数x 都成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[)4,1--B ．[]4,1--C ．(4,1)--D ．(]4,1--【答案】C 【详解】不等式(4)(21)x x a x ->+可变形为2(42)0x a x a -+->由不等式2(42)0x a x a -+->对一切实数x 都成立，2(42)4()0a a ∴∆=+-⋅-<，即2540a a ++<，解得41a -<<-所以实数a 的范围是(4,1)--故选：C4、已知函数()()()22224f x a x a x =-+--，若()0f x <对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]2-∞，B ．()2-∞-，C ．[]22-，D ．(]22-，【答案】D【详解】由题知不等式()()222240a x a x -+--<,对一切x ∈R 恒成立所以当2a =时, ()40f x =-<,满足；当2a ≠时，由二次函数性知220224(2)16(2)0a a a a -<⎧⇒-<<⎨∆=-+-<⎩，所以实数a 的取值范围为：22a -<≤，故选:D5、已知关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C【详解】因为不等式22(4)(2)10a x a x -+--≥的解集为空集，所以不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上恒成立，当240a -≠时：240a -<且22(2)4(4)0a a ∆=-+-< 解得：265a -<<；当240a -=时即2a =±，当2a =时，不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上恒成立；当2a =-时，不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上不恒成立；综上：实数a 的取值范围6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：C.6、若关于x 的不等式2210ax ax ++>对一切的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是（） A ．(1,)+∞ B ．(,0)(1,)-∞+∞ C ．(0,1) D ．[0,1)【答案】D【详解】原不等式等价于2(2)10a x x ++>对一切的实数x 恒成立，①当0a =时，原不等式等价于10>对一切的实数x 恒成立，②当0a ≠时，20440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<．综上所述，实数a 的取值范围是[0，1)．故选：D ．7、已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤- B ．1a <-C ．314a -<≤ D ．1a ≤-【答案】B【详解】2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x ≠时，20x >，则2min 414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭ 令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <-故选：B8、若对满足8a b ab +=的任意正数a b ，及任意x ∈R ，不等式22218a b x x m +≥-++-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)6,-+∞B ．(],6-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 【答案】A【详解】∵正数a b ，满足8a b ab +=， ∴811b a +=，()812822171725b a a b a b b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当28b a a b =，即2b a =，510a b ==，时，等号成立， ∴225218x x m ≥-++-，即2270x x m -++≥对任意实数x 恒成立，∴()4470m ∆=-+≤，解得6m ≥-．故选：A ．9、（多选）对于正数a ，b ，且4a b +=，若34abm b a ≤++恒成立，则m 可以为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．1【答案】BCD【详解】因为对于正数a ，b ，满足4a b +=，所以34abm b a ≤++恒成立化为，34324b a b a a b m ab ab a b+++++≤==+恒成立 ，又因为()24124124644b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13642⎛≥+=+ ⎝48a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时 等号成立， 所以322m ，选项BCD 都符合题意，故选：BCD.10、（多选）已知00x y >>，，且22x y +=，若21+-mxy x y m ≤对任意的00x y >>，恒成立，则实数m 的可能取值为（ ）A ．12B ．98C ．107D ．2【答案】ACD【详解】0,0x y >>，212211mxy m x y x y m m xy y x+∴≤+⇔≤=+--， 即min121m m y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭， ()12112122192552222x y x y y x y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当22x y y x =，即23x y ==时，等号成立， 即912m m ≤-，()997001221m m m m --≤⇔≤-- 解得：97m ≥或1m <，选项中满足条件的有ACD. 故选：ACD11、已知x 、y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(],4-∞【详解】因为x 、y 为两个正实数，由11m x y x y ≤++可得()11m x y x y ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 因为()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立. 所以，4m ≤，因此，实数m 的取值范围是(],4-∞.故答案为：(],4-∞.12、已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b ≤++恒成立，则m 的最大值为__________． 【答案】16【详解】由题意，不等式313m a b a b≤++恒成立，且0,0a b >>，即为31(3)()≤++m a b a b 恒成立，即min 31(3)()⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦m a b a b 成立，由3133(3)()101016++=++≥+=a b a b a b b a ，当且仅当33=a b b a，即a b =，取得等号，即有16m ≤，则m 的最大值为16. 故答案为：1613、若正实数,x y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【详解】解：因为正实数x ，y 满足22x y xy +=，所以2xy ≥2xy ≥；又因不等式(2)10x y a xy +-+恒成立，所以(2)10xy a xy -+恒成立，即12a xy xy +恒成立， 则1(2)min a xy xy+， 因为1922xy xy +， 当且仅当2xy =时取等号，此时12xy xy +取得最小值92 ， 故92a ． 故答案为：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14、0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b +-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【答案】32m ≤【详解】解：因为21a b +=，所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++ 322a b b b a b+=+++333222≥+=+=当且仅当2a b b b a b +=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b+-≥+恒成立， 所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤，故答案为：32m ≤15、若不等式22x mx ->对满足1m ≤的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】2x <-或2x >【详解】解：因为22x mx ->，所以220mx x -+<令()22f m mx x =-+，即()0f m <在1m ≤恒成立，即11m -≤≤时()0f m <恒成立，所以()()1010f f ⎧<⎪⎨-<⎪⎩，即222020x x x x ⎧-+<⎨--+<⎩，解220x x -+<得2x >或1x <-；解220x x --+<得1x >或2x <-，所以原不等式组的解集为()(),22,x ∈-∞-⋃+∞故答案为：()(),22,-∞-+∞16、对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 【答案】()(),02,-∞+∞【详解】 ()()2221121x a x a x a x x +-+-=-+-+，令()()2121f a x a x x =-+-+，11a -≤≤， 当1x =时，()1210f a =-+=，则()0f a >不成立；当1x >时，()()22min 1121320f a f x x x x x =-=-+-+=-+>，解得：1x <或2x >； 当1x <时，()()22min 11210f a f x x x x x ==-+-+=->，解得：0x <或1x >； 综上所述：()(),02,x ∈-∞+∞. 故答案为：()(),02,-∞+∞.17、已知2()3f x x ax =-+.（1）当2a =时，解不等式()6f x >；（2）当()0,x ∈+∞时，2()1f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{1x x <-或3x；（2）4a ≤.【详解】 （1）当2a =时，()6f x >，即 2236x x -+>，2230x x ∴-->，即()()130x x +->，解得1x <-或3x >， ∴原不等式的解集为{|1x x <-或3}x >.（2）当()0,x ∈+∞时2()1f x x ≥-恒成立， 2231x ax x ∴-+≥-，即2a 2x x≤+，设2()24g x x x =+≥=，当且仅当1x =时等号成立， 4a ∴≤.18、已知二次函数()223f x x ax =-+. （1）若()f x 在(],1-∞上单调递减，求实数a 的最小值；（2）存在[]4,2x ∈--，使得()f x a ≥有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）197a ≥-【详解】（1）()223f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上， 若()f x 在(],1-∞上单调递减，则1a ≥，故a 的最小值为1；（2）()f x a ≥，即2230x ax a -+-≥在[]4,2x ∈--有解，令()223g x x ax a =-+-，对称轴为x a =，开口向上， 当3a ≤-时，()()max 2370g x g a =-=+≥，解得73a ≥-，此时无解；当3a >-时，()()max 47190g x g a =-=+≥，解得197a ≥-， 综上，197a ≥-.19、设函数2()(2)3f x ax b x =+-+. （1）若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值；（2）若()10f =，且存在x ∈R ，使()4f x >成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）32a b =-⎧⎨=⎩；（2）()(),91,-∞--+∞.【详解】 解：（1）由题意可知：方程()2230ax b x +-+=的两根是1-，1 所以21103(1)11b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩ 解得32a b =-⎧⎨=⎩（2）由()10f =得1b a =--存在x ∈R ，()4f x >成立，即使()2210ax b x +-->成立， 又因为1b a =--，代入上式可得()2310ax a x -+->成立. 当0a ≥时，显然存在x ∈R 使得上式成立；当0a <时，需使方程()2310ax a x -+-=有两个不相等的实根 所以()2340a a ∆=++>即21090a a ++>解得9a <-或10a -<<综上可知a 的取值范围是()(),91,-∞--+∞．。
恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。
不等式恒成立、能成立问题 (1)
√A.{a|－1≤a≤4}
B.{a|－1<a<4}
C.{a|a≥4，或a≤－1}
D.{a|－4≤a≤1}
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0， ∴－1≤a≤4，故选A.
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(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0解集为R，求实数a取值范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
微专题2
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
5 1＋ <x< 2
5
.
反思 感悟
已知参数的取值范围，求变量x的取值范围时，常常把主要变量 x和参数互换身份，构造以参数为变量的函数，根据参变量的取 值范围求解x的范围.
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解：令y=－x2＋2x＋3，由题意，a2－3a≥ymax=4,
a2－3a-4≥0, (a-4)(a+1)≥0 a≤－1或a≥4，∴实数a ϵ{a|a≤－1或a≥4}.
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微专题2
分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
不等恒成立解法总结及例题
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处置方式一、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例一、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例二、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.二、主参换位法例五、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例六、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例八、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .4、数形结合例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________例1一、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。
思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
2、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。
3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】 对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。
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例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略——谈2008年江苏高考数学试卷第14题摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。
《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。
关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。
2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。
解析如下：析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。
解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。
若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥⇔≤-+，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1）若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥⇔≥-+，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+⨯=，4a ∴≥（2）若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3）由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴=解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略:1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。
2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。
该题在考查学生基础知识的同时，注意考查了考生的分类讨论的思想、换元的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。
2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目，解析如下已知函数f(x)=xa x x ++22,x ∈),1[+∞. （1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2） 若对任意的x ∈),1[+∞，0)(>x f 恒成立，试求a 的取值范围。
析：由于x ∈),1[+∞，0)(>x f 220x x a ⇔++>化繁为简。
解：（1）当21=a 时，221)(++=xx x f ，)(x f 在区间[),1+∞上为增函数， )(x f ∴在区间[),1+∞上的最小值为27)1(=f （2）在区间[),1+∞上，02)(2>++=xa x x x f 恒成立022>++⇔a x x 恒成立，设),1[,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。
通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：解不等式恒成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略进行求解。
等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关键。
下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。
一、直接法例1．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．析：本题可利用不等式求最值解： 2142(2)()4()8y x x y x y x y x y+=+⋅+=++≥，而222x y m m +>+对0,0x y >>恒成立，则228m m +<，解得42m -<<例2．若不等式142x x a +--≥0在[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为 。
析：本题可转化为求二次函数的最值解：令[]142,1,2x x y a x +=--∈，则()[]2211,1,24x y a x =---∈≤≤x 而22 所以2min (21)1y a a =---=-，因不等式142x x a +--≥0在[1，2]上恒成立 所以min 0y a =-≥，即0a ≤例3．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 析：()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+解：（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3,()2f x f x ==∴． （2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+， 14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．二、分离参数法例4．关于x 的不等式kx x x x ≥-++3922在]5,1[上恒成立，则实数a 的范围为 ．析：含参问题的考察始终是高考的热点，要善于对问题先观察思考后动手，避免不必要的麻烦。
解析一： 两边同除以x ，则39-++≤x x x k ，69≥+xx ，03≥-x ， 当且仅当3=x ，两等式同时成立，所以3=x 时，右边取最小值6，6≤∴k ． 解析二：（提示）可分3x 1≤≤和5x 3≤<讨论．求分段函数的最小值．答案：6k ≤．例5．若a,bm 的最小值是析：≤⇔m ≥+最后采取不等式恒成立问题的处理策略求m 的最小值解：因a,b ⇔m ≥2222()(),(0,0)a b a b a b +≥+>>≤=⇔min m ≥m ∴≥，则m 三、等价转化法例6．已知函数22()ln (0),f x x a x x x=++> 若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；析：本题的实质由()'0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围。
解： 由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+ 若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()'0f x ≥在[1,)+∞上恒成立 即不等式2220a x x x -+≥在[1,)+∞上恒成立. 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立 令22()2x x x ϕ=-，上述问题等价于max ()a x ϕ≥，而22()2x x xϕ=-为在[1,)+∞上的减函数，则max ()(1)0x ϕϕ==，于是0a ≥为所求例7．已知函数()e x f x kx x =-∈R ，若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； 析：本题可利用()f x 是偶函数．将问题等价转化为：已知()0f x >对任意0x ≥成立，确定实数k 的取值范围．解：由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >． 当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．例8．已知P ：2x 2-9x +a < 0,q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩ 且⌝p 是⌝q 的充分条件,求实数a 的取值范围.析：B ⊆A x B x A ⇔∀∈⇒∈，即A 中的不等式对于B 中的x 恒成立解：由q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩ 得q:2<x<3 设A=｛x ︱p ｝=｛x ︱2x 2-9x+a<0｝，B=｛x ︱q ｝=｛x ︱2<x<3｝⌝p ⇒⌝q, ∴ q ⇒p ∴B ⊆A 即2<x<3满足不等式 2x 2-9x+a<0 ∴2<x<3满足不等式 a<9x-2x 2∵当2<x<3时，9x-2x 2=-2(x 2-29x+1681-1681) =-2(x-49)2+881∴9<9x-2x 2≤881 ∴a≤9 评：以上三例均是将它们转化为不等式恒成立问题。
等价转化就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这将有利于强化解决数学问题的应变能力，提高思维能力和解决数学问题的技能、技巧。
四、数形结合法根据恒成立不等式的特点，通过挖掘几何图形含意，利用函数图象的高低位置关系找出参数的变化范围.例9．不等式ax ≤)4(x x -在x ∈[0,3]内恒成立，求a 的变化范围.解：画出两个函数y =ax 与y =)4(x x -的图象.（如图）将x =3代入ax =)4(x x -,得a =33 ∴a ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-33, 例10．若211()22x k x -<-+对一切01x ≤≤都成立，则k 的取值范围是________ 析：构造两个函数211,()22y x y k x =-=-+，半圆21y x =-应全在直线1()22y k x =-+的下方，，其中直线1L 过点（0，1）斜率为2，直线2L 与21(01)y x x =-≤≤相切斜率为31324--，画图易得：231324≤≤--k评：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离”。