不等式恒成立
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。
由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。
所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。
平时练习过程中，应注意观察，总结！。
恒成立的不等式
恒成立的不等式一．恒成立的不等式的定义不等式恒成立：不等式对给定区间上的所有的值都成立，则称此不等式在给定区间上恒成立二． 恒成立的不等式的性质a> f(x) 恒成立⇔ a>f max (x) a ≥ f(x) 恒成立⇔ a ≥ f max (x) a< f(x) 恒成立⇔ a< f min (x) a ≤ f(x) 恒成立⇔ a ≤ f min (x) ex1:已知不等式a x x >++-21对一切x ∈R 的值都成立，求实数a 的取值范围 解： 3)2()1(21=+--≥++-x x x x∴ （)21++-x x min=3∴ 不等式a x x >++-21对一切x ∈R 的值都成立⇔ a<3 ∴实数a 的取值范围为（-∞，3）ex2: 定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对任意,,21R x x ∈都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称函数)(x f 是R 上的凹函数.已知二次函数)(x f =).0,(2≠∈+a R a x ax（Ⅰ）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（Ⅱ）如果]1,0[∈x 时，|)(x f |≤1，试求实数a 的范围. 解：（Ⅰ）对任意,0,,21>∈a R x x)]2)2([2)2(2)]()([212212221212121x x x x a x ax x ax x x f x f x f +++-+++=+-+∴=.0)(21)2(212212122212221≥-=++-+x x a x x x x a axax∴+≤+∴)].()([21)2(2121x f x f x x f 函数)(x f 是凹函数.(Ⅱ)由|)(x f |.(*)111)(112≤+≤-⇐⇒≤≤-⇐⇒≤x axx f当0=x 时，;R a ∈ 当]1,0(∈x 时，（*）即 1,122+-≤--≥x axx ax恒成立，即 41)211(11,41)211(112222--=-≤++-=--≥x xxa x xxa 恒成立. .11],1,0(≥∴∈xx∴当11=x时，41)211(2++-x取得最大值是－2，当11=x时，41)211(2--x取得最小值是0.,02≤≤-∴a 结合,0≠a 得.02<≤-a综上,a 的范围是).0,2[-说明：在此题(Ⅱ)中，求a 的范围的方法是分离参数法，即将参数a 放在不等式的一边，而将关于x 的函数式放在另一边，再求出关于x 的函数的最大值（和最小值），最后利用恒成立的不等式的性质求出a 的范围 分离变量法：若关于x 的不等式()0,≥λx f （或()0,≤λx f ）在区间D 上恒成立，求参数λ的取值范围，如果能将原不等式化为()()x G F ≥λ（或()()x G F ≤λ）的形式，而且可以求出()x G 在区间D 上的最大（最小）值，那么原不等式在区间D 上恒成立的充要条件是：()()max x G F ≥λ（或()()min x G F ≤λ）。
基本不等式的恒成立问题
基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。
2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。
二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。
- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。
- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。
- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。
2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。
- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。
- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。
- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。
- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。
3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。
不等式恒成立
不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。
不等式恒成立问题解题方法汇总(含答案)
不等式恒成立问题解题方法汇总（含答案）不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案部分1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。
不等式的恒成立
不等式的恒成立,能成立,恰成立用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,不等式的恒成立【例】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
【解】递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ) 1c <-或2c >. 【例】已知向量),,1(),1,(2t x b x x a -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围【解】 5≥t . 【例】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【分析及解】（Ⅰ）65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）10m ≥ 【例】已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(),13-∞-上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】2232a -≤≤. 【例】 设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
不等式 恒成立问题
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
3.设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
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不等式恒成立问题研究
• 内容分析： “不等式恒成立” 问题一直是中学数学的重要内容。 它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一 个非常活跃的知识点。 “不等式恒成立”问题涉及到一次函数、二次函数的 性质、图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与 方程、分类讨论等数学思想方法。 “不等式恒成立”问题对培养学生的综合解题能力， 培养学生思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
设 f(x)＝x2+ax+2，则
1
a 2
3,
或
a 2
1,
或
a 2
3,
a2 8 0 f (1) a 3 0 f (3) 3a 11 0.
方法二、分离变量 （转化为函数求最值）
不等式 x2+ax+2＞0 在 x 1,3 时恒成立
a＞－( x 2 )在 x 1,3 时恒成立．
x
5、当 a 1,3 时，不等式 x2 ax 2 0 恒成立，则
Sn
2
1 2
n1, 对
6 于任意 n N
，总有 Sn
m4 3
成立，则整数
m
的最大值
为
．
4 、（ 2010. 天 津 理 16 ） 设 函 数 f x x2 1, 对 任 意
x
3 2
,
,
立，则实数 m
f x 4m2 m
的取值范围是
f
x
m
f x 1 4
．3或m-
f
m
3
恒
成
2
2
三、自主探究
3、数形结合
f x gx恒成立 函数f x的图象恒在 gx的图象上方
f x gx恒成立 函数f x的图象恒在 gx的图象下方
四、合作探究
例 1、对任意的 x [1 ,1], 函数 y ax2 a2 x 3aa 0的图
2 象均不在直线 x y 0 的上方，求 a 的取值范围．
例 2、当 x 1,2时，不等式 x 12 loga x 恒成立，求 a 的
• 过程与方法： 培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、 分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归 思想。
• 学习重点： 理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌 握不等式恒成立问题的基本技能。
• 学习难点： 利用转化思想，通过函数的性质与图像化归 至最值问题来处理恒成立问题。
一、了解高考
“不等式恒成立”的数学问题，不但在近几 年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以 大题为主。高考试卷中“不等式恒成立”的题 目如下：
x 的范围为
． x＞－1或x＜－2
y
y
y 数形结合
o1
3
x
o
1
3
x o 11 3
xx
X>0
x<0
x=0
设 fa a x x 2 2
f f 1 3 0 0 x x 2 2 3 x x 2 2 0 0 x 1 或 x 2
点评：在不等式中出现了两个字母：x及a,而我们都习惯把x看成是一个变量，a作为 常数.本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题即可转化为关于a的一次型 函数大于0恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线 段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可
为 ． 8a0
4、当 x1,3 时，不等式 x2 ax 2 0恒成立，则 a 的范围
为
．
5、当 a 1,3 时，不等式 x2 ax 2 0恒成立，则 x 的范围
为
．
4、当 x 1,3 时，不等式 x2 ax 2 0 恒成立，则 a 的范围
为
．
a＞ 2 2
方法一、数形结合（转化为函数求最值）
a1
故实数 a＝1．
四、合作探究
例 1、对任意的 x [1 ,1], 函数 y ax2 a2x 3a 的图象均不 2
在直线 x y 0 的上方，求 a 的取值范围．求函数最值
方法 2：由题意知：
ax2 a2 x 3a x ax2 (a2 1)x 3a 0 ，
设 f(x)＝ax2+(a2+1)x－3a，
归纳总结 概括方法
解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法： 1、直接转化为求函数的最值
fx 0 恒 成 fx m 立 i0 n fx 0 恒 成 fx m 立 a 0 x
2、变量分离法（转化为求新函数最值） f (x) g(a) （ a 为参数）恒成立 f (x)min g(a)
f (x) g(a) （ a 为参数）恒成立 f (x)max g(a)
1、已知 x 0, y 0 ，且 2 1 1，若 x 2 y m2 2m 恒 xy
成立，则实数 m 的取值范围为
． 4m2
2、不等式 a x2 ax 2 0 对任意 x R 恒成立，则 a 的取
值范围为
．பைடு நூலகம்
0≤a≤8
3、不等式 ax2 ax 2 0 的解集为 ，则 a 的取值范围
当
a＞0
时，对称轴
x
a2 1 2a
0，
f
x
在
1 2
，1
上单调
递增，f(x)max0 f(1) 0 即 a2 2a 1 0 解得 a＝1；
故所求 a＝1．
例 1、对任意的 x [1 ,1], 函数 y ax2 a2x 3a 的图象均不 2
“不等式恒成立”问题是历年高考的热点。
学习目标：
1、通过本节课，使学生能够掌握“恒成立” 问题的常见解法，提高横向、逆向、创造性 的思维能力。
2、在自主探究和合作交流中，经历知识点产 生和形成过程，不仅重视对研究的掌握和应 用，更重视对研究方法的思想渗透以及分析 问题和解决问题能力的培养。
3、进一步提升理性思维能力，激发学生更积 极主动的学习精神和探究勇气。
取值范围．
四、合作探究
例 1、对任意的 x [1 ,1], 函数 y ax2 a2 x 3aa 0的图
2
象均不在直线 x y 0 的上方，求 a 的取值范围．
方法 1：由题意知：
数形结合
f x ax2 a2 x 3a, gx x ，
f 1 g1 a a2 3a 1 a2 2a 1 0 a 12 0
二、感悟高考
1、 （2010.山东理 14）若对任意 x>0,
1
x2
x 3x
1
a
恒成立，
则 a 的取值范围为
．a
2、（2009.重庆理
5）不等式
5
x3
x 1 a2 3a 对
任意实数 x 恒成立，则 a 的取值范围为 , ． 1 4 ,
3、（2011.乌鲁木齐二模理
17）（2）若设