高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题
高中数学不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
专题：不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题不等式恒成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上A x f >min )]([ 若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上B x f <max )]([当)(x f 的最值取不到时，注意表达要准确，如1)(<x f ，则)(x f m >恒成立⇔1≥m 不等式中能成立．．．问题（有解） 若在区间D 上存在实数X 使不等式A x f >)(成立，则等价于在区间D 上A x f >max )]([ 若在区间D 上存在实数X 使不等式B x f <)(成立，则等价于在区间D 上B x f <min )]([ 不等式中恰成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式A x f >)(的解集为D 若不等式B x f <)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式B x f <)(的解集为D 利用一次函数的性质对于一次函数]),[)(0()(n m x a b ax x f ∈≠+=有：①0)(>x f ?恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(n f m f ②0)(<x f ?恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(n f m f 结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数例：已知1log 6log )1()(323++⋅--=x a x a x x f ,当]1,0[∈x 时，)(x f 恒为正数，求a 的取值范围。
[3331<<a ]变式：当]4,2[∈x 时，若不等式042)2(2<-+-a a x 恒成立，求实数a 的范围()1,2-∈a变式：已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数且(1)(2)f ax f x +≤+对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数a 的取值范围 (]2,∞- 利用二次函数的判别式对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=有①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆>⇔0402ac b a②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆<⇔0402ac b a结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或分离参数。
高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例恒成立,试求实数a 的取值范围;例数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有f .例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2例例恒成立，求实数x 的取值范围例若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f xλ≥（或()()g f xλ≤）恒成立的形式；（2）求()f x在x D∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f xλ≥(或()()ming f xλ≤) ，得λ的取值范围。
适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。
例8、当(1,2)x∈时，不等式240x mx++<恒成立，则m的取值范围是 .例ba,满足什么条件时,)(xf取a表示出b的取值范围.4例________ 例11、当x(1,2)时，不等式<a恒成立，求a的取值范围。
二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例12、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例13、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．例a 的取值范围例a b ⋅=___________例[)+∞,0,试求实数a 的值.例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。
人教版数学-备课资料 恒成立_能成立_恰成立.
恒成立·能成立·恰成立在平时的学习中，我们经常会遇到“已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立 ，求参数的范围”.这个问题如何解呢?1.恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .例1 （2006江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ）.A.||||||c b c a b a -+-≤-B.aa a a 1122+≥+ C.21||≥-+-ba b a D.a a a a -+≤+-+213 【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
【正确解答】因为()()||||||a b a c b c a c b c -=---≤-+-，所以（A ）恒成立； 在（B ）两侧同时乘以2,a 得()()()()()()2434332*********a a a a a a a a a a a a +≥+⇐-+-≥⇐---≥⇐-++≥所以（B ）恒成立；（C ）中，当a>b 时，恒成立，a<b 时，不成立； （D≤C ）也可运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当a-b<0时不成立。
【解后反思】本题主要考查不等式的相关知识，运用公式一定要注意公式成立的条件 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 【例2】(2005年春考，北京卷，理14)若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6-≤x 或2≥x . 【例3】(2005年，湖北卷，理，文17)已知向量),,1(),1,(2t x x x -=+=若函数()b a x f⋅=在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.【分析及解】 依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则()x f 在区间()1,1-上是增函数等价于()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立;而()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立又等价于x x t 232->在区间()1,1-上恒成立;设()()1,1,232-∈-=x x x x g进而()x g t >在区间()1,1-上恒成立等价于()()1,1,max -∈≥x x g t考虑到()()1,1,232-∈-=x x x x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是增函数,则()()51max =-=g x g .于是, t 的取值范围.是5≥t . 2. 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .【例4】(2005年，湖南卷，理21) 已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=221，0≠a . （Ⅰ）若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； 【分析及解】只研究第（I ）问.x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数h (x )存在单调递减区间，所以)(x h '<0有解. 由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,因此,()0<'x h 有解等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立,即x xa 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中()x xx u 212-=.由()x xx u 212-=1112-⎪⎭⎫⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1 .3. 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D . 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,【例5】 (Ⅰ)已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;(Ⅱ)已知(),22xax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】 本题的第(Ⅰ)问是一个恒成立问题,()022≥++=x a x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a . 第(Ⅱ问是一个恰成立问题,这相当于()022≥++=xax x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾,当0<a 时, ()222++=++=xax x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数. 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a4. 部分成立问题【例6】已知命题P ：对实数a ，不等式: 2540ax x -+>对所有实数x 都成立,命题Q ：a 满足0342≤+-a a ，若命题“P 或Q ”为真，命题“P 且Q ”为假，求实数a 的取值范围.【分析及解】这是不等式的部分成立问题.解命题P 得,1625>a ,解命题Q 得,31≤≤a . 2540ax x -+> 若命题“P 或Q ”为真，命题“P 且Q ”为假,则等价于命题P 与Q 一个为真,一个为假.把P 和Q 的解集画在数轴上,可直观地得出, 实数a 的取值范围是16251≤≤a 或3>a .。
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，作者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题是很好的方法。
一、“恒成立”问题)(4)1()(4)(2m f x f x f m mx f +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 。
【解析】(分离变量法) 依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立，即12341222+--≤-x x m m 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。
当23=x 时函数1232+--=x x y 取得最小值35-，所以354122-≤-m m ， 即0)34)(13(22≥-+m m ，解得23-≤m 或23≥m 。
另解（函数法）： 依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立， 即≤-++--22214123m m x x 0在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。
令x t 1=,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈32,0t ∴014123222≥-++--m m t t 在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈32,0t 上恒成立，令=)(t g 22214123m m t t -++-- ∴0)0(≥g 且0)32(≥g ∴得23-≤m 或23≥m 【温馨提示1】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过度离变量的方法分离出变量式使其成为)()(x g m f ≤，然后解)(x g 这个函数的最小值得k x g ≥)(（或k x g >)(），所以k m f ≤)(，若对原有不等式通过度离变量的方法他离出变量式使其成为)()(x g m f <，然后解)(x g 这个函数的最小值得k x g ≥)(或k x g >)(，所以k m f <)(（或k m f ≤)(），其基本步骤：分离变量，构造函数，求最值。
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。
思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
2、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。
3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】 对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒建立、能建立、恰建立问题一、不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：（ 1）若不等式 f x A 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmin A ， f ( x) 的下界大于 A（ 2）若不等式 f x B 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmax B , f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ] 时，都有 f(x) a 恒建立，求 a 的取值范围。
例 2、已知f x x 2 2x a, 对随意 x 1, , f x 0 恒建立,试务实数 a 的取值范围; x例 3 、 R 上的函数 f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos2 2m sinf 2m 2 0 恒建立，务实数m的取值范围.例 4、已知函数f (x) 4 ln 4 ( 0) 在处获得极值3 c，此中 a 、b为常数.（）试ax x bx c x x 1 1确立 a 、b的值；（ 2）议论函数 f ( x) 的单一区间；（ 3）若对随意x 0 ，不等式 f ( x) 2c 2恒建立，求 c 的取值范围。
2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对 x 1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围例 6、若对于随意 a 1 ，不等式x2(a 4) x 4 2a 0 恒建立，务实数x 的取值范围例 7、已知函数a 3 3 2，此中 a 为实数．若不等式2f ( x) x x (a 1)x 1 f ( x) x x a 1对随意3 2 ＞a(0， ) 都建立，务实数 x 的取值范围．3、分别参数法（ 1）将参数与变量分别，即化为g f x （或 g f x ）恒建立的形式；（ 2）求f x在x D 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式g f ( x) max(或 g f x min)，得的取值范围。
合用题型：（ 1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出。
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不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值围。
例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试数a 的取值围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，数m 的取值围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值围。
2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，数a 的取值围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，数x 的取值围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，数x 的取值围．3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max()g f x λ≥(或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值围。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例8、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值围是 .例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值围.4、数形结合例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值围是________例11、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -<log a x 恒成立，求a 的取值围。
二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例12、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，数a 的取值围______例13、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值围是 ．例14、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值围三、不等式恰好成立问题的处理方法例15、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________例16、已知(),22x a x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试数a 的值.例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。
（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值围；（3）对任意x1、x2 [-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，数m 取值围 2、已知不等式22622kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，数k 的取值围3、设函数329()62f x x x x a=-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。
4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值围。
5、已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。
数a 的取值围。
6、对任意的[]2,2a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，求x 的取值围 7、 若不等式2log 0m x x -<在10,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值围 。
8、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 恒成立，数a 的取值围。
9、不等式220kx k +-<有解，求k 的取值围。
10、对于不等式21x x a-++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[05]x ∈，，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，． 11、①对一切实数x,不等式32x x a--+>恒成立，数a 的围。
②若不等式32x x a--+>有解，数a 的围。
③若方程32x x a--+=有解，数a 的围。
12、 ①若x,y 满足方程22(1)1x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，数c 的围。
②若x,y 满足方程22(1)1x y +-=，0x y c ++=，数c 的围。
13、设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值围．14、设函数321()(1)4243f x x a x ax a=-+++，其中常数1a >，若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值围。
15、已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
若函数x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例1、解：a 的取值围为[-3，1]例2、解：等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立. 由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a例3、解：由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ恒成立设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1)②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)故由①②③可知：21-≥m .例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c . 解得23≥c 或1-≤c . ∴c 的取值围为),23[]1,(+∞--∞ .2例5、解：12a <例6、解：(,1)(3,)x ∈-∞⋃+∞例7、解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立。
设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。
220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。
所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值围是{|20}x x -≤≤。
例8、解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==，则2min 4()5x x +->-∴5m ≤-.例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立⇔max1()22ax b x ≥--，(0,1]x ∈。
设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=-，令'()0g x =得x =x =舍去)， 当1>a 时,101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--单调减函数,∴max ()g x=g =。
∴b ≥当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，所以1()22ax g x x =--在区间(0,1]上单调递增，∴max()g x =1(1)2a g +=-，∴12a b +≥-。