高中数学不等式恒成立问题的8种解题模型
不等式恒成立问题的基本类型及常用解法
不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m ff(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f .例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
解：设f(t)=y=(log 2x-1)t+(log 2x)2-2log 2x+1， t ∈[-2,2] 问题转化为：f(t)＞0对t ∈[-2,2]恒成立 ⇔⎩⎨⎧-0)2(0)2( f f⇔⎪⎩⎪⎨⎧-=-01)(log 03log 4)(log 22222 x x x ⇒0＜x ＜21或x ＞8。
故实数x 的取值范围是（0，21）∪（8，+∞）。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(21)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
解：原不等式等价于x 2+ax<2x+a-1在a ∈[-1,1]上恒成立.设f(a)=(x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)是a 的一次函数或常数函数， 要使f(a)>0在a ∈[-1,1]上恒成立,则须满足⎩⎨⎧-0)1(0)1( f f ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+--023022 x x x x ⇒x>2或x<0 故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式3642222++++x x mmx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：由4x 2+6x+3=(2x+23)2+43＞0,对一切实数x 恒成立，从而，原不等式等价于 2x 2+2mx+m ＜4x 2+6x+3, (x ∈R)即：2x 2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实数x 恒成立。
不等式恒成立问题的基本类型及常用解法
不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)(φφn f m ff(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)(ππn f m f .例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
解：设f(t)=y=(log 2x-1)t+(log 2x)2-2log 2x+1， t ∈[-2,2] 问题转化为：f(t)＞0对t ∈[-2,2]恒成立 ⇔⎩⎨⎧-0)2(0)2(φφf f⇔⎪⎩⎪⎨⎧-=-01)(log 03log 4)(log 22222φφx x x⇒0＜x ＜21或x ＞8。
故实数x 的取值范围是（0，21）∪（8，+∞）。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(21)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
解：原不等式等价于x 2+ax<2x+a -1在a ∈[-1,1]上恒成立.设f(a)=(x -1)a+x 2-2x+1,则f(a)是a 的一次函数或常数函数， 要使f(a)>0在a ∈[-1,1]上恒成立,则须满足⎩⎨⎧-0)1(0)1(φφf f ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+--023022φφx x x x ⇒x>2或x<0 故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式3642222++++x x mmx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：由4x 2+6x+3=(2x+23)2+43＞0,对一切实数x 恒成立，从而，原不等式等价于 2x 2+2mx+m ＜4x 2+6x+3, (x ∈R)即：2x 2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实数x 恒成立。
重难点04不等式恒成立能成立问题(六大题型)(原卷版)
重难点04 不等式恒成立、能成立问题【题型归纳目录】题型一：“Δ”法解决恒成立问题题型二：数形结合法解决恒成立问题题型三：分离参数法解决恒成立问题题型四：主参换位法解决恒成立问题题型五：利用图象解决能成立问题题型六：转化为函数的最值解决能成立问题【方法技巧与总结】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．【典型例题】题型一：“Δ”法解决恒成立问题例1．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意R x ∈恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．(0,1]C ．∞∞(-,0)(1,+)D ．(][),01,∞∞-+例2．已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．{}10m m -<<B ．{}10m m -≤≤C ．{|1m m ≤-或}0m >D ．{}10m m -<≤例3．已知不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A．k >B ．k <C．k >k <D ．k <变式1．已知不等式2620ax x a -++<的解集为{}|12x x <<，且不等式()()225610m m x m x a --+++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．1m ≤-或7m >B ．1m <-或7m ≥C ．1m <-或7m >D ． 1m ≤-或7m ≥变式2．已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围为（ ）A ．{}119k k <<B ．{}119k k ≤<C ．{}119k k <≤D ．{}119k k ≤≤变式3．已知关于x 的不等式2230kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．[]0,3B ．(]0,3C ．[)0,3D ．()0,3题型二：数形结合法解决恒成立问题例4．若关于x 的不等式270x ax -+>在()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．8a <B ．8a ≤C ．a <D ．112a < 例5．当26x ≤≤时，关于x 的不等式2250mx mx --<恒成立，则m 的取值集合是 ． 例6．当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．题型三：分离参数法解决恒成立问题例7．若“()02,∃∈+∞x ，210x x λ-+<”是假命题，则实数λ的取值范围是 ．例8．若0x ≥时，关于x 的一元二次不等式230x tx t --+≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 例9．当40x -≤≤时，关于x 的不等式2150x ax a ++-≥恒成立，则a 的取值范围是 ． 变式4．已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),8∞-B ．(],8∞-C ．[)8,+∞D ．()6,+∞变式5．已知不等式220x a a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A a ≤≤B ．12a -≤≤C ．a ≤或a ≥D ．1a ≤-或2a ≥ 变式6．不等式2220x axy y -+≥，对于任意12x ≤≤及13y ≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|a a ≤B ．{|a a ≥C ．1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭D ．9|2⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤a a 变式7．若存在(]0,2x ∈，使不等式2230ax x a -+<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．aB ．407a ≤≤C ．a >D ．47a > 题型四：主参换位法解决恒成立问题例10．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围．例11．当12m ≤≤时，210mx mx --<恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A x <<B x <<C x <<D x <<例12．若[]1,1m ∀∈-，()24420x m x m +-+->为真命题，则x 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．()1,3C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．[]1,3题型五：利用图象解决能成立问题 例13．当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________． 例14．若关于x 的不等式22860x x a -+-≥在14x ≤≤时有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．6a ≤B ．2a ≥-C ．6a ≥D ．2a ≤-题型六：转化为函数的最值解决能成立问题例15．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞例16．若命题“[]22,1,231x ax ax a ∃∈-++>”为假命题，则a 的最大值为（ ）A ．16B ．13C ．12 D ．14例17．已知对一切[2,3]x ∈，[3,6]y ∈，不等式220mx xy y -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．6m ≤B ．60m -≤≤C ．0m ≥D ．06m ≤≤变式8．若存在04x ≤≤，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围为 ． 变式9．若关于x 的不等式22840x x a ---≤在14x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围为 ． 变式10．若 [0,1]x ∃∈ 使得不等式 24x m x ≥+ 成立，则实数m 的取值范围是变式11．已知不等式240ax ax -+>的解集为M ．（1）若0a >，且R M =，求实数a 的取值范围．（2）若24ax ax a -+>-对于13x <<有解，求实数a 的取值范围．变式12．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．(,∞-C ．[)13,+∞D ．。
高三专题复习不等式恒成立问题
高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。
例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。
例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧
高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
2例1对于某∈R，不等式某2某3m0恒成立，求实数m的取值范围。
2解：不妨设f(某)某2某3m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f(某)0(某R)，只需0，即(2)24(3m)0，解得m2m(，2]。
2变形：若对于某∈R，不等式m某2m某30恒成立，求实数m的取值范围。
此题需要对m的取值进行讨论，设f(某)m某2m某3。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<00m3。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③23)。
知m[0，2关键点拨：对于有关二次不等式a某b某c0（或<0）的问题，可设函数f(某)a某2b某c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与某轴的交点问题，由判别式进行解决。
2例2已知函数f(某)某2k某2，在某1时恒有f(某)k，求实数k的取值范围。
2解：令F(某)f(某)k某2k某2k，则F(某)0对一切某1恒成立，而F(某)是开口向上的抛物线。
24k4(2k)0，解得－2<k<1。
①当图象与某轴无交点满足△<0，即)时F(某)0，只需②当图象与某轴有交点，且在某[1，0k2或k13k2F(1)012k2k0，2kk112由①②知3k1)恒成立，关键点拨：为了使f(某)k在某[1，构造一个新函数F(某)f(某)k是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量某的关系，则可以利用函数的单调性求解。
af(某)恒成立af(某)ma某，即大于时大于函数f(某)值域的上界。
af(某)恒成立af(某)min，即小于时小于函数f(某)值域的下界。
谈不等式恒成立问题的基本类型和常见解法
2013.NO19 2学，都很有兴趣地、积极地、独立地、较好地去完成;通过对作业的完成，他们都能清楚地把握当前身边的——些个体商贩盈利或亏损的原因，并且在讲评课上，他们都能有理有据地说出自己设计的经营方案盈利的可能性。
这—方面利于学生掌握数学知识，同时对他们对生活认识的加深、数学学习兴趣的增强、自信心的养成等等的作用都是不言而喻的。
三、改变数学课外作业的评价方式，发展学生的情感态度和个性品质学生是发展的人，是教育活动的主体，其身心发展具有巨大的发展潜能。
如何去开发学生数学学习的潜能，培养学生积极的态度和情感是一项复杂的工程。
前面所述的各种形式的数学课外作业都能有效地培养学生的态度和情感，但老师对数学课外作业的评价对学生态度、情感的培养，乃至个性品质的形成更为重要。
因为，评价是学生认识自我，建立自信心的最主要的因素。
斯金纳的教学理论就指出“要充分运用积极有效的强化手段，要及时总结，及时讲评，使学生及时知道自己的学习效果，强化正确的学习行为。
传统的数学课外作业的评价方式是采用分数或等级来甄别学生学习的优劣，这种简单的方式不能达到有效强化的目的，容易使那些原来充满学习热情的学生开始怀疑起自己的能力，变得越来越不自信。
长此以往，容易造成部分学生原有的学习热情和愿望一点点消失。
因此，必须改变评价方式。
在对学生数学课外作业的评价时，我不仅仅关注某次学生作业的结果或作品的优劣，更关注他们在整个学习过程中表现出来的情感和态度，努力去发现他们的“好”的方面，通过变化多样的教师个性评语;教师评价与学生自评、互评相结合;书面材料与对学生口头报告、活动、展示的评价相结合;定性评价与定量评价相结合;以定性评价为主等形式加以鼓励、表扬和肯定，让学生看到自己的长处和进步，帮助学生认识自我，建立自信，使学生认识到数学有趣，使他们在数学学习的过程中逐步对数学产生积极的情感和态度，并从中悟出一些对做人和生活有帮助的道理，进而形成良好的个性品质。
求解不等式恒成立问题的三种途径
考点透视不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明某个不等式恒成立；（2）根据恒成立的不等式求参数的取值范围.求解不等式恒成立问题的常用思路有：构造函数、分离参数、数形结合等.对于不同的不等式，往往需采用不同的途径进行求解.下面结合实例来进行探究.一、构造函数在求解不等式恒成立问题时，我们可先将不等式左右两边的式子移项、变形；然后将不等式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，通过研究函数的单调性，求得函数的最值，来证明不等式恒成立.在求函数的最值时，可根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系来判断函数的单调性；也可以利用简单基本函数的单调性来求得函数的最大、最小值，建立使不等式恒成立的式子，即可解题.例1.求证：当x >-1时，1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.证明：设f ()x =ln ()x +1-x ，求导可得f ′()x =1x +1-1=-x x +1，因为当-1<x <0时，f ′()x >0，当x >0时，f ′()x <0，所以函数f ()x 在()-1,0上单调递增，在()0,+∞上单调递减，即f ()x ≤f ()0=0，故f ()x =ln ()x +1-x ≤0，即ln ()x +1≤x .令g ()x =ln ()x +1+1x +1-1，则g ′()x =1x +1-1()x +12=x ()x +12，因为当-1<x <0时，g ′()x <0，当x >0时，g ′()x >0，所以函数g ()x 在()-1,0上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知g ()x ≥g ()0=0，故ln ()x +1+1x +1-1≥0，ln ()x +1≥1-1x +1，综上可知，当x >-1时，不等式1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.要证明目标不等式恒成立，需分两步进行，先证明ln ()x +1≤x ，再证明ln ()x +1≥1-1x +1.在证明这两个不等式时，都需要先将不等式左右两边的式子作差、移项，构造出新函数f ()x =ln ()x +1-x 、g ()x =ln ()x +1+1x +1-1；然后对函数求导，分析导函数与0之间的大小关系，判断出函数的单调性，进而求得函数的极值，从而得出f ()x min =0、g ()x max =0，即可证明f ()x ≤0、g ()x ≥0.例2.设函数f ()x =e x ln x +2e x -1x，曲线y =f ()x 在点()1，f ()1处的切线方程为y =e ()x -1+2，证明：不等式f ()x >1恒成立.证明：由f ()x >1可得x ln x >xe -x -2e，令g ()x =x ln x ，可得g ′()x =ln x +1，∵当x ∈æèöø0,1e 时，g ′()x <0；当x ∈æèöø1e ,+∞时，g ′()x >0，∴函数g ()x 在æèöø0,1e 上单调递减，在æèöø1e ,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g æèöø1e =-1e ，令h ()x =xe -x -2e，则h ′()x =e -x ()1-x ，∵当x ∈()0,1时，h ′()x >0；当x ∈()1,+∞时，h ′()x <0，∴函数h ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴h ()x ≤h ()1=-1e，∴当x >0时，g ()x >h ()x ，即不等式f ()x >1成立.由于不等式x ln x >xe -x -2e左右两侧的式子分别含有对数式、指数式，于是分别令g ()x =x ln x 、h ()x =xe -x -2e，那么只要证明g ()x min ＞h ()x max ，即可证明不等式恒成立.利用导数法求出函数g ()x 、h ()x 在定义域内的最值，即可证明不等式成立.在构造函数时，要注意观察不等式的结构特点，将其进行合理的变形，以便构造出合适的函数模型，从而顺利证明不等式.二、分离参数对于含参不等式恒成立问题，我们通常要采用分离参数法，将不等式中的参数、变量分离，即使不等式一侧的式子中含有参数、另一侧的式子中含有变量，得到形如a ≥f ()x 、a ≤f ()x 的不等式.探讨函数f ()x 在定义域内的最值与参数a 的大小关系，即可求得问赵瑛琦37考点透视题的答案.例3.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x.(1)求函数f ()x 的单调区间；(2)若对于任意n ∈N ∗，不等式æèöø1+1n n +a≤e 恒成立，求参数a 的最大值.解：(1)函数f ()x 的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞；（过程略）(2)不等式æèöø1+1n n +a≤e 等价于()n +a ln æèöø1+1n ≤1，因为1+1n ≥1,所以a ≤1ln æèöø1+1n -n，设g ()x =1ln ()1+x -1x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =-1()1+x ln 2()1+x +1x 2=()1+x ln 2()1+x -x 2x 2()1+x ln 2()1+x ，由(1)可得ln 2()1+x -x 21+x≤0，即()1+x ln 2()1+x -x 2≤0，故当x ∈(]0,1时，g ′()x ≤0，函数g ()x 单调递减，即g ()x 在(]0,1上的最小值为g ()1=1ln 2-1，故a 的最大值为1ln 2-1.由于参数a 为指数，所以考虑对不等式左右两边的式子取对数，以将参数分离，得到a ≤1ln æèöø1+1n -n .只要求得1ln æèöø1+1n -n的最小值，即可求得a 的最大值.于是构造函数g ()x =1ln ()1+x -1x ，利用导数法求得函数的最小值，即可解题.在分离参数时，可通过移项、取对数、取倒数等方式，使参数与变量分离.例4.已知函数f ()x =-x ln x +a ()x +1，若f ()x ≤2a 在[)2,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.解：当x ≥2时，由f ()x ≤2a 可得a ≤x ln xx -1，令g ()x =x ln x x -1,x ≥2，∴g ′()x =ln x -x +1()x -12，令h ()x =ln x -x +1，x ≥2，∴h ′()x =1x-1，∵当x ≥2时，h ′()x ＜0，函数h ()x 单调递减，∴h ()x ≤h ()2=ln 2+1＞0，∴g ′()x ＞0，函数g ()x 在[)2,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g ()2=2ln 2，∴a ≤g ()x min =g ()2=2ln 2，∴实数a 的取值范围为(]-∞,2ln 2.先将不等式变形，使参数a 单独在不等式的左边，得到不等式a ≤x ln xx -1；然后在定义域[)2,+∞内求不含参函数式的最小值，即可求得参数a 的取值范围.三、数形结合有时不等式中的代数式可用几何图形表示出来，如y =kx 表示的是一条直线；y =a x 、y =x a 表示的是两条曲线；x 2+y 2=1表示的是一个圆，此时就可以采用数形结合法，根据代数式的几何意义画出图形，通过分析图形中曲线、直线之间的位置关系，研究图形的性质，来证明不等式成立.例5.若不等式e x ≥kx 对任意x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____.解：设过原点的直线与y =e x相切于点()x 0,ex 0，∵y ′=e x，∴由几何导数的意义可知切线的斜率为k =e x，∴切线的方程为y -e x 0=e x 0()x -x 0，∵切线经过点()0,0，可得x 0=1，∴切线的斜率k =e .由图可知，要使等式e x ≥kx 恒成立，需使y =e x的图象始终在直线y =kx 的上方，∴0≤k ≤e .根据不等式两侧式子的几何意义画出图形，即可将不等式问题看作函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系问题.结合图形讨论函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系，并根据导函数的几何意义求得切线的方程，即可得到关于参数的新不等式.运用数形结合法解题，需密切关注直线、曲线之间的临界情形，如相切、相交的情形，从而确定参数的临界值.可见，解答不等式恒成立问题，需注意以下几点：（1）仔细观察不等式的结构特点，并将其进行合理的变形，如作差、移项、分离参数；（2）合理构造函数模型，将问题转化为函数最值问题，以便利用导数法、函数的单调性求得最值；（3）灵活运用数形结合思想，以直观、便捷的方式来解题.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）38。
高中数学恒成立问题解题思路
高中数学恒成立问题解题思路数学学习中经常碰到不等式恒成立问题，这类问题涉及函数的性质和图象，渗透着换元、化归、数形结合等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力和培养学生思维的灵活性、创造性。
其方法大致有：判别式法，最值法，变换主元法，数形结合法。
一、判别式法：二次不等式在R上恒成立，只需研究开口方向和判别式Δ。
例1？摇关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则a实数的取值范围是_______。
解：因为不等式恒成立，所以Δ二、最值法：不等式恒成立问题转化成求函数最值，分为两种：（1）直接构造函数；（2）分离参数后构造函数。
例2？摇（直接构造函数）已知函数f（x）=x2-2kx+2，当x≥-1时，f（x）≥k恒成立，求实数k的范围。
解：由题，x2-2kx+2-k≥0在x≥-1时恒成立。
令g（x）=x2-2kx+2-k（k≥-1），则[g（x）]min≥0.函数g（x）对称轴为x=k。
（1）k≤-1时，g（x）在[-1，+∞）上单调递增。
[g（x）]min=g（-1）=k+3≥0。
-3≤k≤-1。
（2））k>-1时，g（x）在[-1，k]上单调递减，（k，+∞）上单调递增。
[g（x）]min=g（k）=-k2-k+2≥0。
-1≤k≤1。
综上：k≤1。
例3？摇（分离参数后构造函数）已知函数f（x）=ax-■，当x∈（0，4]时，f（x）解：ax-■a令g（x）=■（0三、变换主元法：已知参数范围求x范围。
例4？摇对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x2+ax+1>2x+a恒成立的x的取值范围。
解：原不等式可转化为（x-1）a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立。
令f（a）=（x-1）a+x2-2x+1（-1≤a≤2），则f（a）>0恒成立。
f（-2）>0f（2）>0即：x2-4x+3>0x2-1>0 解得：x>3或x1或x x>-1或x四、数形结合法：可将不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，作出两函数的图象，通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。