最新高中数学不等式练习题
高中不等式题目30道
高中不等式的题目：1. x2+3x+2/x2+2x+1 的取值范围是什么？2. 对于实数x，求解不等式｜x-1｜+｜x+3｜≥5。
3. 若不等式(k+1)x2-2(k+2)x+4>0 对任意实数x 恒成立，求k 的取值范围。
4. 已知不等式ax2-2x+b<0 的解集是{x|1<x<3}，求a、b 的值。
5. 求下列不等式的解集：（1）3x2-7x-10≥0（2）4x2-12x+9≤0（3）4-3x-5x2≥0（4）6x-10x2≥06. 解不等式｜2x+1｜+｜3x-4｜≥5。
7. 求不等式-2x2+4x-3<0 的解集。
8. 若不等式(a-1)x2+2(a-1)x-3≤0 对于任意实数x 都成立，求a 的取值范围。
9. 解不等式｜x-3｜-｜2x+1｜≤x+2。
10. 求不等式x2+2x+3≥2x2+ x的解集。
11. 求下列不等式的整数解：（1）5x-7<3x+1（2）3(x-1)≥7(x-4)（3）10-4(3x-9)≤2(9-4x)（4）5(6x+1)-7(3x+2)≥012. 求不等式-3≤x< 4 的整数解。
13. 解不等式(x-5)(x+7)≥8(x-3)。
14. 求不等式4(3x-7)≥24(x-5)的解集。
15. 求不等式｜2x-3｜≤x+1 的解集。
16. 求不等式-2x+3>10-3x的解集。
17. 求不等式3(2x-4)≥5(x-1)的解集。
18. 求不等式2(4x-2)≥3(x+1)的解集。
19. 求不等式-3(x+2)≥4(x-3)的解集。
20. 求不等式5(x-1)≥2(x+2)的解集。
21. 求不等式-4(x-3)≥5(x-2)的解集。
22. 求不等式2(3x-1)≥5(x+1)的解集。
23. 求不等式6(x+1)≤7(x-2)的解集。
24. 求不等式5(x-1)≤2(x+3)的解集。
25. 求不等式3(x+1)≥5(x-1)的解集。
(完整)高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋ ＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页 共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16． 当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。
高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题 1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45 C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是()．A ．3B ．27C ．4D ．293．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22 B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4C22≥a ＋bD ．ba ab +2≥ab4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207 B ．207C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa ＋yb＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ．16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长(x －y ＋5)(x ＋y )≥0x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥(第9题)的百分率为p2，若p1＋p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为．三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值；(2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0，∴ 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号．2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y y y x＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x 2＝241x ，x ＝22时取等号；41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号；xyy x ＋≥2xy y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当yx＝xy ，y 2＝x 2时取等号．∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4．3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab +2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立． C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤abab 22＝ab ，即b a ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (x )异号x x f x f )()(－－＜0xx f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0．f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x xx x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x x cos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”．(第4题)∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4． 6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2ba 33⋅＝2ba +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)． 与直线由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴25＝k ×21＋34，k ＝37． 8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ 解得⎩⎨⎧. 1＝，5＝－00yx ∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， .53＝56＋2， 0＜1－－ ，0＝3＋2＋000000-y x y x y x∴ －m ＝－207，即m ＝207．10．D解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1，∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24．12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成(x －y ＋5)(x ＋y )x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0x －y ＋5≤0 x ＋y ≤0(第11题)立)．14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay，y bx均为正数，∴ x ＋y ＝(x ＋y )(xa ＋yb )＝a ＋b ＋xay＋y bx≥a ＋b ＋ybxx ay ·2＝a ＋b ＋2ab ，即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋＝yb x a y bx x ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，nm 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +．解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21p p ．三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝tt t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交，故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3．S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0．19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元. 20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x －451)＋4． ∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2，(第18题)(第18题)当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．(2)∵ x ＞0，y ＞0，x 1＋y9＝1，∴ x ＋y ＝(x1＋y9)(x ＋y )＝x y ＋yx9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16．当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16． (3)a 2＋1b ＝a⎪⎪⎭⎫⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。
高中不等式练习题及答案
高中不等式练习题及答案1. 解下列不等式，并说明其解集：(1) \( x^2 - 4x + 3 < 0 \)(2) \( 2x - 5 < 0 \)(3) \( 3x^2 - 6x + 2 \geq 0 \)2. 判断下列不等式是否有解，并说明理由：(1) \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)(2) \( x^2 + 2x - 8 < 0 \)3. 已知不等式 \( ax^2 + bx + c < 0 \) 有解，求参数 a, b, c 的取值范围。
4. 求解不等式组：\[\begin{cases}x + 2y \leq 10 \\3x - y \geq 6 \\x \geq 0 \\y \geq 0\end{cases}\]5. 已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \)，求函数值小于 0 的 x 的取值范围。
6. 判断下列不等式是否成立，并说明理由：(1) \( \frac{1}{x} < 1 \) 对于 \( x > 1 \)(2) \( \frac{1}{x} > 1 \) 对于 \( 0 < x < 1 \)7. 已知不等式 \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)，求 x 的取值范围。
8. 求解不等式 \( |x - 2| < 3 \) 并说明其解集。
9. 已知不等式 \( x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \leq 0 \)，求 x 的取值范围。
10. 已知不等式 \( \frac{x^2 - 4}{x - 2} > 0 \)，求 x 的取值范围。
答案：1.(1) \( x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \)，解集为 \( 1 < x < 3 \)。
(2) \( 2x - 5 < 0 \)，解集为 \( x < \frac{5}{2} \)。
高中不等式的试题及答案
高中不等式的试题及答案一、选择题1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集是 \( (-1, 2) \)，则下列不等式中解集为 \( (-∞, -2) ∪ (1, +∞) \) 的是（）。
A. \( 2ax^2 + 2bx + c < 0 \)B. \( 2ax^2 - bx + c < 0 \)C. \( ax^2 - bx + c < 0 \)D. \( 2ax^2 + bx + 2c < 0 \)答案：B解析：已知不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集是 \( (-1, 2) \)，说明 \( a < 0 \) 且 \( -1 \) 和 \( 2 \) 是方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根。
因此，\( -b/a = -1 + 2 = 1 \) 和 \( c/a = -1 \times 2 = -2 \)。
将这些值代入选项中，只有选项 B 满足条件。
2. 若 \( x^2 - 4x + m < 0 \) 的解集非空，则实数 \( m \) 的取值范围是（）。
A. \( m < 4 \)B. \( m > 4 \)C. \( m < 16 \)D. \( m > 16 \)答案：C解析：要使不等式 \( x^2 - 4x + m < 0 \) 的解集非空，需要判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac > 0 \)，即 \( 16 - 4m > 0 \)，解得 \( m < 4 \)。
但因为 \( m \) 必须使得不等式有实数解，所以 \( m \) 必须小于\( x^2 - 4x \) 的最小值，即 \( m < 4 \)。
因此，\( m \) 的取值范围是\( m < 16 \)。
二、填空题3. 若 \( a > 0 \)，\( b > 0 \)，且 \( a + b = 2 \)，则 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) 的最小值为 ______。
高中数学不等式练习题及参考答案2023
高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。
为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。
1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。
2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。
【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。
因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。
3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。
【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。
解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。
4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。
所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
高中数学基本不等式练习题(含答案)
基本不等式【习题1】已知实数且, 则的最小值是.【习题2】若实数且, 则的最小值是, 的最小值是.【习题3】已知满足方程, 当时, 则的最小值为_______.【习题4】已知为实数, 且, 则的最小值为_______.【习题5】已知, , 则的取值范围为 .【习题6】已知, , 则的最小值为.【习题7】若实数满足, 则的范围是.【习题8】的三边成等差, 且, 则的取值范围是．【习题9】已知二次不等式对任意实数恒成立, 则的最小值为___________【习题10】实数满足, 设, 则 .【习题11】非零向量夹角为, 且, 则的取值范围为．【习题12】已知, 且, 若总成立, 则正实数的取值范围是_______.【习题13】正实数满足, 则的最小值为 .【习题14】已知实数满足则的最小值为, 的最小值为.【习题15】已知直线（其中）与圆相交于、两点, 为坐标原点, 且, 则的最小值为 .【习题16】设, 满足, 则的最小值是______．【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 .【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________.【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______.【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是 .【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 .【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________.【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 .【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________.【习题29】若 , , 则 的最小值为___________.【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________.【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________.【习题36】已知非负实数 满足 ，则 的最大值.....【习题37】若 , , 则 的最大值为_______.【习题38】设正实数, 则的最小值为（）... A...... B...... C...... D.【习题39】已知均为正数, 且, , 则的最小值为_________.【习题40】设实数且满足, 则使不等式恒成立的的最大值为______.【习题41】若, 且, 则的取值范围是______.【习题42】已知正实数满足, 则的最小值为________.【习题43】已知实数满足, 则的取值范围是_________.【习题44】已知实数满足, 且, 则的最大值为___________.【习题45】若正数满足, 则的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【习题46】若正实数满足, 且不等式恒成立, 则实数的取值范围是. 【习题47】已知为正实数, 若, 则的最小值为.【习题48】若正数满足, 则的最大值为_________.【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________.【习题50】设, , 则的最小值是.基本不等式（答案）【习题1】已知实数 且 , 则 的最小值是 .【答案】1【习题2】若实数 且 , 则 的最小值是 , 的最小值是 .【答案】 ,【习题3】已知 满足方程 , 当 时, 则 的最小值为_______.【答案】8【习题4】已知 为实数, 且 , 则 的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知 , , 则 的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知 , , 则 的最小值为 .【习题7】若实数 满足 , 则 的范围是 .【答案】]0,2[-【习题8】 的三边 成等差, 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]7,6(【习题9】已知 二次不等式 对任意实数 恒成立, 则 的最小值为___________【答案】8【习题10】实数 满足 , 设 , 则 . 【答案】85【习题11】非零向量 夹角为 , 且 , 则 的取值范围为 . 【答案】]3,1(【习题12】已知 , 且 , 若 总成立, 则正实数 的取值范围是_______.【答案】),1[+∞【习题13】正实数 满足 , 则 的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数 满足 则 的最小值为 , 的最小值为 . 【答案】3627+；845【习题15】已知直线 （其中 ）与圆 相交于 、 两点, 为坐标原点, 且 , 则 的最小值为 .【答案】2【习题16】设 , 满足 , 则 的最小值是______. 【答案】332-【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 . 【答案】3332+【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______. 【答案】212+；2【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是. 【答案】16；413-【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【答案】C【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】2【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]23,12[-【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 . 【答案】]716,0[【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【答案】222-【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】5【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若 , , 则 的最小值为___________. 【答案】212- 【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________. 【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则b b a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【答案】 , 1【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数 满足 , 则 的最大值..... 【答案】241+【习题37】若 , , 则 的最大值为_______. 【答案】51【习题38】设正实数 , 则 的最小值为（ ）... A...... B...... C...... D.【答案】A【习题39】已知 均为正数, 且 , , 则 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数 且满足 , 则使不等式 恒成立的 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若 , 且 , 则 的取值范围是______. 【答案】]4,34[ 【习题42】已知正实数 满足 , 则 的最小值为________.【答案】55【习题43】已知实数 满足 , 则 的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数 满足 , 且 , 则 的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数 满足 , 则 的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【习题46】若正实数 满足 , 且不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 .【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知 为正实数, 若 , 则 的最小值为 .【答案】222+【习题48】若正数 满足 , 则 的最大值为_________.【答案】432【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________. 【答案】]2,1(【习题50】设, , 则的最小值是【答案】24。
不等式计算题50道
不等式计算题50道一、一元一次不等式1. 解不等式2x + 3>5- 解析：首先将常数项移到右边，得到2x>5 - 3，即2x>2。
然后两边同时除以2，解得x > 1。
2. 解不等式3x-1<8- 解析：先将常数项移到右边，3x<8 + 1，也就是3x<9。
两边同时除以3，解得x<3。
3. 解不等式(1)/(2)x+5≥slant3- 解析：先将常数项移到右边，(1)/(2)x≥slant3 - 5，即(1)/(2)x≥slant - 2。
两边同时乘以2，解得x≥slant - 4。
4. 解不等式4-(2)/(3)x>2- 解析：先将常数4移到右边，-(2)/(3)x>2 - 4，即-(2)/(3)x>-2。
两边同时乘以-(3)/(2)，不等号方向改变，解得x < 3。
5. 解不等式5x+2≤slant3x - 4- 解析：先将含x的项移到左边，常数项移到右边，5x-3x≤slant - 4 - 2，即2x≤slant - 6。
两边同时除以2，解得x≤slant - 3。
6. 解不等式2(x - 1)+3>3x- 解析：先展开括号2x-2 + 3>3x，即2x + 1>3x。
将2x移到右边，得到1>3x-2x，解得x < 1。
7. 解不等式3(x + 2)-1≥slant5x-2- 解析：展开括号得3x+6 - 1≥slant5x-2，即3x + 5≥slant5x-2。
移项3x-5x≥slant - 2 - 5，-2x≥slant - 7。
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得x≤slant(7)/(2)。
8. 解不等式(3x - 1)/(2)<(2x+3)/(3)- 解析：两边同时乘以6去分母，得到3(3x - 1)<2(2x + 3)。
展开括号9x-3<4x + 6。
移项9x-4x<6 + 3，5x<9，解得x<(9)/(5)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精品文档高中数学不等式练习题一．选择题（共16小题）1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）+ab）＜log（a+a+b））B＜A．a+．＜＜log（22＜+b））＜a（）＜D．loga+C．a+＜log（a+b22xyz，则（=3=5x、y、z为正数，且2）2．设A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z满足，则x+2y的最大值为（x，y）3．若D．9A．1B．3C．5满足约束条件yx，4的最小值是（）．设，则z=2x+yA．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9满足约束条件，yx）5．已知，则z=x+2y的最大值是（A．0B．2C．5D．6满足约束条件，则z=x+y的最大值为（．设x，y）6A．0 B．1 C．2 D．3满足约束条件y．设x），7z=x则﹣y的取值范围是（A．[﹣3，0]，D ．[03] B．[﹣3，2]]，[C．02满足约束条件﹣，则z=xyy．已知变量x，的最小值为（）8．D．0B．﹣A3 ．C3精品文档．精品文档满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（9．若变量x，y）．﹣DC．﹣3A．1 B．﹣1+的最小值是（，且ab＞0），则10．若a，b∈R2．．2BD．CA．111．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）ccab．D．logc＞B．alog＜bcA．c ＞cC ba yx，则lg8，lg2=lg2+12．已知x ＞0，y＞0的最小值是（）2D．2 C．BA．2．4，则的最小值是（ +b=3）＞0，b＞2，且a13．设a．．．CDA．6B2222﹣xy的最小值是（xy=315，则x+．已知14x，y∈R，xy+y）+A．35 B．105 C．140 D．210+≥m1恒成立，则，不等式m的最．设正实数x，y满足x＞，y＞15）大值为（16D．2 B．．4 C．8Az=y=1，则y 满足x+16．已知两正数x的最小值为（），．D．． B ．CA小题）二．解答题（共102﹣mx+n与不等式x＜0的解集相同．＜17．已知不等式|2x﹣3|x（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．22+x﹣6＜x0的解集为B．，不等式的解集为＜﹣x18．已知不等式﹣2x30A（1）求A∩B；精品文档．精品文档22+x+b，求不等式ax＜0的解集．+ax+b＜0的解集为A∩（2）若不等式xB．解不等式：≥2．192+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．20．已知不等式ax（1）求a，c的值；2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为（2）若不等式axB，且A?B，求实数m的取值范围．均为正数，求证：y；）已知实数x，21．（122．）a∈R﹣1＜0的不等式（2）解关于xx（﹣2ax+a．是全不相等的正实数，求证：3a，b，c＞22．已知．+b23．设a、=2为正实数，且22的最小值；（1）求ab+32的值．≥4（abb））ab，求（2）若（a﹣22．y=xx+y+∈（24．已知x，y0，+∞），的最小值；）求（1（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．25．某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．26．某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．羊毛颜色每匹需要/kg供应量/kg布料B布料A精品文档．精品文档105120180026黄表示每月生产y元．分别用x、40B已知生产每匹布料A、的利润分别为60元、的匹数．、AB布料列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；y（Ⅰ）用x、（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．精品文档．精品文档高中数学不等式练习题参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2017?山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）+ab）＜log（a+a+b））B．A．a+＜＜＜log（22＜+b））＜a（）＜D．logaaC．++＜log（a+b22b=，．代入计算即可得出大小关系．，且ab=1，可取a=2【分析】a＞b＞0【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，b=，．∴可取a=2=∈（1，2+b）=4则=，）=，=，log（a2+．b）＜a∴＜log（a+2故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．xyz，则（2=3）=5．（2017?新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5zzxy z=．，可得可x=y=2=3，=5．=k＞1lgk＞0．zx【分析】、y、为正数，令＞．根据，=得，3y==2x=，5z=．即可得出大小关系．=zyx x=．可得0．lgk2y、、z为正数，令＞=3=51=k＞x另解：，y=，=＞1，可得2x＞3yz=．=，同理可得5z＞2x．精品文档．精品文档【解答】解：x、y、z为正数，xyz=k＞1．lgk=3＞=50．令2z=．y=则，x=，5z=∴．3y=2x=，，=∵＞==．，．＞＞∴lg0＞∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，xyz=k＞1．lgk令2＞=30=5．z=，，．则y=x=＞1，可得∴2x=＞3y，=＞1．可得5z=＞2x=．综上可得：5z＞2x＞3y．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．满足，则x+2y的最大值为（x，y）北京）若3．（2017?9C1A．B．3．5D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．满足y的可行域如图：，【解答】解：x时，取得最大值，由A2yz=x，可得由可行域可知目标函数+经过可行域的精品文档．精品文档A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．满足约束条件，则z=2x+x，yy的最小值是4．（2017?新课标Ⅱ）设（）A．﹣15B．﹣9 C．1D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．满足约束条件的可行域如图：、y【解答】解：xz=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．精品文档．精品文档本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．【点评】的最大值是（）满足约束条件，则z=x+x5．（2017?山东）已知，y2y6．．5D．A．0B2C画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是【分析】的坐标，A由解得的点代入目标函数求出最大值．表示的平面区域，如图所示；解：画出约束条件【解答】，3解得A（﹣，4）由轴上的截距最大，yz在此时直线y=﹣x+的最大值为2y+所以目标函数z=x．4=5+2×3=z﹣max．C故选：本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．【点评】精品文档．精品文档满足约束条件，则z=x+y的最大值为（x（2017?新课标Ⅰ）设，y）6．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．满足约束条件y的可行域如图：解：x，【解答】，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z=x+y 的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是新课标Ⅲ）设7．（2017?x，y）（]，30．20．23[B]，﹣．A[30 ．﹣，]C[，]D[【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．精品文档．精品文档满足约束条件y的可行域如图：【解答】解：x，目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），解得B由（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[﹣3，2]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．满足约束条件，则，yx8．（2017?大石桥市校级学业考试）已知变量）的最小值为（z=x﹣y3．DBA．﹣3 ．0C．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，【解答】精品文档．精品文档，3）A（0，轴时，直线在yz过点A为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣y化目标函数z=x﹣．3有最小值为﹣上的截距最大，z．A故选：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．【点评】z=，则目标函数满足约束条件2017?（天津学业考试）若变量x，y9．）的最大值为（﹣2x+y3 D1 C．﹣．﹣A．1B．﹣数形结合得化目标函数为直线方程的斜截式，由约束条件作出可行域，【分析】到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．作出可行域如图，【解答】解：由约束条件，1）（，解得A1，联立轴y过A时，直线在zy=2xzy=2xy2xz=化目标函数﹣+为+，由图可知，当直线+．1上的截距最大，为﹣精品文档．精品文档故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．+的最小值是（则）b∈R，且ab＞0，10．（2017?明山区校级学业考试）若a，2D．C．BA．12．+进而由基本不等式可得且＞ab＞00可得＞0，【分析】根据题意，首先由2≥，计算可得答案．【解答】解：根据题意，若a，b∈R，且ab＞0，且＞0＞0，则2=2，+≥+的最小值是即2；故选：C．【点评】本题考查基本不等式的性质，注意首先要满足基本不等式的使用条件．11．（2017?资阳模拟）已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）ccab．D．logc．a＞＜blog CA．cc＞c B bax，由指数函数的性质、构造函数y=c【分析】根据题意，依次分析选项：对于A c，由幂函数的性质分析可得B错误，对B、构造函数y=xA分析可得错误，对于于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：xx是减函数，又由a＞b，则函数y=c＞1，A对于、构造函数y=c＜，由于0＜c1ab，故A错误；则有cc＞cc是增函数，又由a＞b＞1c＜，则函数y=x1，、构造函数对于By=x0，由于＜cc，故Bb则有a错误；＞=，又由0＜c＜1，C对于、﹣=a＞b＞1，则（a精品文档．精品文档＜，，故有，进而有﹣＜0﹣c）＞0、（b﹣a）＜0（﹣c）＞0、b错误；故C），又由0＜c＜1，a＞对于D、logc﹣logbc=﹣=lgc＞（1，则有bac=﹣log，则有logclgc＜0，lga＞lgb＞﹣0=lgc0（）＞，即有logc baa＞logc，故D正确；b故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．yx则的最小值是（，，lg2+lg8）=lg2已知12．（2017?全国模拟）x＞0，y＞02D．2 C．A．2B．4【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．xyxyx3y+=2，∴x=lg2，∴2++lg8=lg2，∴lg（23y=1?8．）【解答】解：∵lg2+=40，∴==2，当且仅∵x＞0，y＞时取等号．x=3y=当．故选C熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．【点评】的最小值是（，且a+b=3，则），13．（2017?锦州一模）设a＞0b＞2．A．6B ．CD．+1，根据基本不等式即+﹣2）=2=+（b【分析】）（a+可求出【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，a=（当且仅当b≥+=2b+﹣2）+1+3+2，a）∴=（（+b=1时取等号，，a=2﹣2﹣）时取等号，即2+的最小值是则，3精品文档．精品文档故选：D【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握一正二定三相等，属于中档题2222﹣xyx的最小值+，xy+y+xy=315，则14．（2017?乌鲁木齐模拟）已知x，y∈R 是（）A．35 B．105 C．140 D．2102222=315﹣xy≥2xy，因此+yxy≤yx，∈R，x105+y．即+xy=315，可得x【分析】可得出．22+xy=315+yy∈R，x，，【解答】解：∵x22±时取等号．2xy，当且仅当x=y=，315﹣xy∴x+y≥=315﹣xy．≤105∴xy22．﹣210=105xy=315﹣2xy∴x≥+y315﹣．故选：B属于中档本题考查了重要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，【点评】题．+，不等式满足x，＞y＞1设正实数15．（2017?和平区校级二模）x，y）的最大值为（≥m恒成立，则m16D．．4 C．A．82 B不等式【分析】+≥m+的最小值，可得恒成立，转化为求m y=（a+1），令+12y ﹣1=a，，，则的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=by=b利用基本不等式的性质即可得出．y=（a+1），a＞0，b＞，﹣，令+，则﹣解：设【解答】y1=by=b12y1=a0．那么：==+精品文档．精品文档（当且仅时取等号．x=2，y=1当a=b=1即，+的最小值为∴8．m的最大值为8则．故选：C利用了换元法【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．z=则x+y=1，温江区校级月考）（2017春?已知两正数x，y 满足16．）的最小值为（．．．BD．CA，，并求出x+y=1，可以得到可令t=xy【分析】展开，并根据的最小值．）的最小值，进而求出z而根据的单调性即可求出f（tz=【解答】解：==；=，则t=xy令；，在由上单调递减，故当有最小值t=时有最小值即：时．z．故选B数熟要悉函，条立号意，应式不基考评【点】查本等的用注等成的件的单调性．精品文档．精品文档二．解答题（共10小题）2﹣mx+n＜x与不等式x0的解集相﹣17．（2017?郑州二模）已知不等式|2x3|＜同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m出不等式x、n的值；2的最小值，即c）a+b+），且ab+bc+ac=1，求出（1（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，可得出a+b+c的最小值．≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣30【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥，即x＜x，，∴≤x＜3；解得x＜3＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为32x﹣3＜0，即x﹣2x＜x，当＜；＜x1解得x＞1，∴综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴不等式x2﹣mx+n=0的两实数根为1和∴方程x3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，2222+2（ab+bc=a+b++cca）+∴（ab+c）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；的最小值是c．+∴ab+【点评】本题考查了解不等式以及根与系数的关系应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．精品文档．精品文档2﹣2x﹣3＜0的解集为A春18．（2017?巢湖市校级期中）已知不等式x，不等式2+x﹣6＜0的解集为Bx．（1）求A∩B；22+x+b＜0的解集．＜0的解集为A∩B，求不等式（2）若不等式xax+ax+b【分析】（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合A，B，再利用集合的交集即可求出；（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式与解集的关系即可求出．2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3x【解答】解：（1）由不等式，∴A=（﹣1，3）；2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜由不等式x2，∴B=（﹣3，2）．∴A∩B=（﹣1，2）．2+ax+b＜0的解集为A∩）由不等式xB=（﹣1，2），（2解得∴22﹣x+2＞0，x﹣2＜0可化为x∴不等式﹣x+∵△=1﹣4×2=﹣7＜0，2﹣x+2＞∴x0的解集为R．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．齐河县校级期中）解不等式：≥2．（2017春?．19【分析】把不等式的右边移项到左边，通分后把分子分母都分解因式，得到的式子小于等于0，然后根据题意画出图形，在数轴上即可得到原不等式的解集．解：不等式移项得：﹣2≥0，【解答】，≤0变形得：﹣）（x﹣6）（x﹣3）（x﹣5）≤（即2x0，且x≠3，x≠5，根据题意画出图形，如图所示：精品文档．精品文档，6x≤＜3或5＜根据图形得：≤x．]，6，3）∪（则原不等式的解集为5[考查了转化的思想及数形结合的思此题考查了一元二次不等式的解法，【点评】想．此类题先把分子分母分解因式，然后借助数轴达到求解集的目的．2．3}1＜x＜+c＞0的解集为{x|20．（2017春?涞水县校级期中）已知不等式ax+x 的值；，c（1）求a2AB，且＜0的解集为0的解集为A，不等式3ax+cm（2）若不等式ax+2x+4c＞的取值范围．，求实数m?B利用根与系数的关系即可求）由一元二次不等式和对应方程的关系，【分析】（1的值；c、出a2，再根据真子集的定义求出0+4cc的值求解不等式ax＞+2x（2）由（1）中a、的取值范围．m2，}＜3x|1＜x）∵不等式ax+x+c＞0的解集为{【解答】解：（12分）（10a＜，3是方程ax…+x+c=0的两根，且∴1、分）（3所以；…分）（5﹣a=解得；﹣，c=…，，c=12）由（）得a=﹣﹣（22，03x＞+2x所以不等式ax++2x4c＞0﹣化为﹣，＜6解得2＜x，}＜＜x6∴A={x|2，0m＞＜0，即为x+cm又3ax+，＞﹣m解得x分）8（m＞﹣}，…xxB=∴{|，B?∵A精品文档．精品文档∴{x|2＜x＜6}?{x|x＞﹣m}，∴﹣m≤2，即m≥﹣2，∴m的取值范围是[2，+∞）．…（10分）【点评】本题考查了一元二次不等式和对应方程的应用问题，也考查了真子集的定义与应用问题，是中档题目．21．（2017春?雨城区校级期中）（1）已知实数x，y均为正数，求证：；22﹣1＜0（a∈﹣2ax+aR）（2）解关于x的不等式x．【分析】（1）化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]＜0，求出不等式对应方程的根，再写出不等式的解集．=，…（解：（12）证明：分）【解答】，0，所以x又因为＞0，y＞分）由基本不等式得，（4，…时，取等号，当且仅当即2y=3x时取等号，所以；…（5分）（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]＜0，…（7分）令[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]=0，得x=a+1，x=a﹣1，21又因为a+1＞a﹣1，…（9分）所以原不等式的解集为（a﹣1，a+1）．…（10分）【点评】本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题．22．（2017?泉州模拟）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．精品文档．精品文档全不相等，推断出c全不相等，然a，b，【分析】根据＞2，，三式相加整理求得后利用基本不等式求得＞2，＞2＞3，原式得证．【解答】解：∵a，b，c全不相等，∴全不相等＞，＞2＞，22∴＞6三式相加得，∴3＞即＞3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．=2．a、b+为正实数，且23．（2017?泉州模拟）设22的最小值；）求ab+（132的值．ab）ab﹣）若（ab），求≥4（（2，a=bab时等号成立）1【分析】（）根据基本不等式得出（22（a=b≥时等号成立）求解即可．利用ab+2ab=．+2）根据=2（，∴a23322，即（（（）﹣4ab≥4ab）ab）a+b）﹣4ab≥4代入得出（求解即可得出ab=1=2+a、b．为正实数，且（【解答】解：1）∵（a=b=2时等号成立）≥2．、∴ab为正实数，且+时等号成立）（即aba=b精品文档．精品文档222ab=（a=bb时等号成立）≥∵a．+22的最小值为1a，+b∴=22+）∵且．（a∴23，ab）≥4（∵（a﹣b）23）（ab4ab≥∴（a+b）4﹣23）ab（4ab即（≥2）4﹣22≤01），≤0，（ab即（ab）﹣﹣2ab+1∵a、b为正实数，∴ab=1【点评】本题考查了基本不等式，考查了运用基本不等式求函数的最值，运用基本不等式求函数最值时，要保证：“一正、二定、三相等”，此题是基础题22=x+yxy+．x，y∈（0，+∞），．24（2017?唐山一模）已知）求1的最小值；（（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．）根据基本不等式的性质求出的最小值即可；（2）根据基本不【分析】（1等式的性质得到（x+1）（y+1）的最大值是4，从而判断出结论即可．），（1【解答】解：时，等号成立．当且仅当x=y=1．2所以的最小值为（2）不存在．22≥2xyy+，因为x222）=2（x+y）+xy）≤2（x+y，所以（2﹣2（x+y）+∴（xy）≤0，精品文档．精品文档又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．≤=4）≤y+1，从而有（x+1）（因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道中档题．25．（2017?天津一模）某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C 原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．【分析】（Ⅰ）写出约束条件，画出图象即可，（Ⅱ）设出目标函数，欲求利润最大，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．满足的数学关系式为，x（Ⅰ）由已知，y【解答】解：该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．+，这y=600yz=900xz（Ⅱ）解：设利润为万元，则目标函数+，所以﹣x精品文档．精品文档的一族平行直线．y轴上的截距为是斜率为﹣，在满足约束条件，所以由图可知，当，y的值最大，又因为当取最大值时，zx时，截距Mz=900x+600y经过可行域中的点的值最大，即z的值最大．直线），30，20解方程组，得点M的坐标为（．600×20=39000=900所以Z×30+max39000吨时利润最大，且最大利润为30吨，乙种产品20故每天生产甲种产品元．利利用条件建立二元二次不等式组，【点评】本题主要考查生活中的优化问题，用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．，所有原料是三种和B滨海新区模拟）某家公司每月生产两种布料．（2017?A26以及可供使用的不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，每种颜色的羊毛的总量．/kg/kg供应量羊毛颜色每匹需要B布料布料A105033红120042绿180026黄表示每月生产yx4060BA已知生产每匹布料、的利润分别为元、元．分别用、精品文档．精品文档布料A、B的匹数．（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．【分析】（Ⅰ）根据条件建立不等式关系，利用二元一次不等式组表示平面区域进行作图即可．（Ⅱ）求出目标函数，利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设每月生产布料A、B分别为x匹、y匹，利润为Z元，则，对应的可行域如图：（Ⅱ）设最大利润为z，则目标函数为z=60x+40y，+经过可行域上M﹣x+，平移直线y=时，﹣x+，当直线则y=x﹣y=截距最大，即z 最大．解方程组，得M的坐标为x=250，y=100所以z=60x+40y=19000．max答：该公司每月生产布料A、B分别为250、100匹时，能够产生最大的利润，最大的利润是19000 元．精品文档．精品文档利用线性规划的知识进建立约束条件，【点评】本题主要考查线性规划的应用，行求解是解决本题的关键．精品文档．。