高中数学 不等式恒成立问题 教案
不等式恒成立问题教案
教师： 学生： 时间: 2018年 2月 日 时段：高中 一、授课目的与考点分析：授课目的：在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。
同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
本人根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。
法一：转换主元法。
适用于一次型函数。
法二：化归二次函数法。
适用于二次型函数。
法三：分离参数法。
适用于一般初等函数。
法四：数型结合法。
二、授课内容 不等式恒成立问题1) 一、常见类型 1. 1.恒成立问题若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2 2. 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.3 3. 恰成立问题若不等式()f x A >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x A >的解集为D ； 若不等式()f x B <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x B <的解集为D .二、 四种常见的方法法一：转换主元法。
适用于一次型函数。
法二：化归二次函数法。
适用于二次型函数。
法三：分离参数法。
适用于一般初等函数。
法四：数型结合法。
在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。
同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。
高中数学不等式的恒成立问题教案及练习
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题不等式恒成立问题的常规处理方式:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()m i n f x B <.3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .1.设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为___．2.已知f (x )＝2x x 2＋6.若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 3.当x>1时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]4.若对任意恒成立，则的取值范围是_____5.若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 6.已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．7．已知x >0，y >0，2x +y =1，若2240x y m <+恒成立，则m 的取值范围是8.不等式)(322y x ay y x +≥+对任意R y x ∈,恒成立,则实数a 的最大值为.9.已知正实数满足,且恒成立,则的最大值是________.10. 若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．0x >1a ≤+a ,x y ln ln 0x y +=22(2)4k x y x y +≤+k。
高中二年级下学期数学《导数在不等式恒成立问题中的应用》教学设计
（二）数学思想方法
转化化归、分类讨论、数形结合
四、作业布置
1.已知不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
2.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
3.已知函数 ，若函数在区间 上是减函数，求实数 的取值范围.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
春季
课题
《导数在不等式恒成立问题中的应用》
教科书
书 名：《普通高中教科书·数学》(人教A版2017课标版)选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社
教学目标
1.掌握不等式恒成立问题的转化方法。
2.利用导数研究函数的最值问题、曲线的切线问题。
3.培养学生的转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想。
综上所述：实数 的取值范围 .
方法总结：
函数最值法：将不等式恒成立问题转化为某含参函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，然后构建不等式，进而求出参数的取值范围.
一般地， 恒成立 ；
恒成立 .
探究二
例 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围？
思考：能否将参数 与变量 分离开呢？
分析： ，记 ，问题转化 .
对任意 恒成立
函数 的图象在 图象的下方或在 图象上
解法三： ，记 ， ， ，问题转化为 对任意 恒成立，即函数 的图象在 图象的下方或在 图象上.
在 单调递增； 表示恒过定点 的一条直线。
是该直线的斜率.只需过点 求出函数 的切线斜率.
设切点为 ，切线斜率 ，切线方程为 ，将点 代入得： ，解得 .则切线斜率 ，所以实数 的取值范围 .
高中数学恒成立问题教案
高中数学恒成立问题教案
一、教学目标：
1. 理解恒成立问题的概念，并能够应用相关方法解决问题。
2. 掌握常见的恒成立问题解题技巧。
3. 提高分析问题和推理能力。
二、教学内容：
1. 恒成立问题的定义和性质。
2. 常见的恒成立问题的解法。
3. 实际问题中的恒成立问题应用。
三、教学重点：
1. 恒成立问题的理解和应用。
2. 常见恒成立问题的解法。
四、教学难点：
1. 理解恒成立问题的本质。
2. 能够灵活应用解题方法。
五、教学过程：
1. 概念引入（5分钟）：
教师简要介绍恒成立问题的概念和意义，引发学生的兴趣。
2. 例题讲解（15分钟）：
解释一个常见的恒成立问题，并指导学生解题思路和方法。
3. 学生练习（20分钟）：
让学生在教师的指导下，自行解决一些恒成立问题，并在课堂上相互讨论、交流解题思路。
4. 拓展练习（15分钟）：
提供一些更具挑战性的恒成立问题，让学生在课后自行解决。
5. 总结（5分钟）：
回顾本节课学习的内容，强调恒成立问题在数学分析中的重要性。
六、作业：
完成拓展练习题，并写一篇关于恒成立问题的小结。
七、教学反思：
本教案注重引导学生理解恒成立问题的本质，并通过实例讲解和练习巩固学习成果。
同时，引导学生在解题过程中思考，提高解决实际问题的能力。
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
学习过程一、复习预习考纲要求：1．理解导数和切线方程的概念。
2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。
3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。
4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解1.导数的计算公式和运算法那么几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法那么：法那么1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法那么2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法那么3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，那么复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'2.求直线斜率的方法〔高中范围内三种〕(1) tan k α=〔α为倾斜角〕； (2) 1212()()f x f x k x x -=-，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；3.求切线的方程的步骤：〔三步走〕〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；〔3〕点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-；4.用导数求函数的单调性：〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕()0f x '>，求单调递增区间；〔3〕()0f x '<，求单调递减区间；〔4〕()0f x '=，是极值点。
高二数学最新教案-恒成立不等式的参数求解类型及方法 精品
恒成立不等式的参数求解类型及方法对于恒成立不等式的参数问题，涉及知识面广，要求有较高的解题技巧.本文通过举例给同学们介绍恒成立不等式中参数问题的常见类型及解法.一、对于一次函数f (x )=kx +b ,若f (m )＞0,f (n )＞0,则当x ∈[m ,n ]时，恒有f (x )＞0.例1 已知P =(log 2x －1)(log a b )2+log 2x －6log 2x ·log a b +1(a ＞0,a ≠1)当x ∈[1,2]内任意取值时，P 的值恒为正，求b 的取值范围.解：P 可变形为P =[(log a b )2－6log a b ＋1]log 2x －(log a b )2＋1设t =log 2x ，则t ∈[0,1]P =f (t )=[(log a b )2－6log a b ＋1]t －(log a b )2＋1.于是，该问题就转化成当t ∈[0,1]时，f (t )＞0恒成立，求b 的取值范围.因为f (t )是一次函数，所以f (t )在[0，1]上恒为正，则有31log 102log 6)1(01)(log )0(2 b b f b f a a a -⇒⎩⎨⎧+-=+-= 故当a ＞1时，a 1＜b ＜3a ;当0＜a ＜1时，3a ＜b ＜a1. 二、不等式ax 2+bx +c ＞0对任意实数x 恒成立的充要条件是⎩⎨⎧⎩⎨⎧==0000 Δa c b a 或 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立的充要条件是⎩⎨⎧⎩⎨⎧==0000 Δa c b a 或 例2 不等式（a 2－1）x 2－(a －1)x －1＜0对x ∈R 恒成立，求a 的变化范围.解：（1）当a =1时，－1＜0，不等式恒成立；当a =－1时，不等式对x ∈R 不恒成立.（2）当a 2≠1时，有153153110)1(4)1(01222 a a a a a Δa -⇒⎪⎩⎪⎨⎧--⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+-=- 综合（1）、（2）得153≤-a 三、若函数f (x )具有最大值，则f (x )≤a 恒成立的充要条件是max )(x f ≤a ;若函数f (x )具有最小值，则f (x )≥a 恒成立的充要条件是min)(x f ≥a .例3 设函数f (x )=ax 2－2x +2对于满足1＜x ＜4的一切x 都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围. 解：原题化为⎪⎩⎪⎨⎧-⇔⎩⎨⎧+-22)1(24102241x x a x x ax x记max 2])1(2[x x M -= 令21)211(2)1(2)(22+--=-=x xx x t ∵1141 x∴当21,2,11===M x x x 时即 ∴a ＞.21 四、有一类对任意实数恒成立的不等式，具有明显的规律不变性，即规律不因数值的改变而变化，利用特殊情形表现这种不变性，可以解决一般性问题.例4 设a 、b ∈R ,不等式a cos x +b cos3x ≤1对任意实数x 恒成立，求b 的变化范围.解：由于x 的任意性，令a cos x +b cos3x ≤1中x =0得a +b ≤1 ①又令x =π得a +b ≥－1∴－1≤a +b ≤1 ② 又当12,12,3-≥+-≤-=b a b a x 即有时π 当121,12,32≤+-≤-≤+-=b a b a x 从而有有时π ∴－2≤－a ＋2b ≤2 ③②＋③得－3≤3b ≤3∴－1≤b ≤1五、根据恒成立不等式的特点，通过挖掘几何图形含意，利用函数图象的高低位置关系找出参数的变化范围.例5 不等式ax ≤)4(x x -在x ∈[0,3]内恒成立，求a 的变化范围.解：画出两个函数y =ax 与y =)4(x x -的图象.（如图）将x =3代入ax =)4(x x -,得a =33 ∴a ∈[33,＋∞].。
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案
教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。
从学生角度分析为什么难1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往往只重视结果，而忽视了它的形成过程。
2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。
难点教学方法数形结合的思想方法教学环节教学过程导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。
分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任何实数不等式都成立，因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取任何实数都要使y≥0，所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-83<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。
分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，也就是实数x取任何值，不等式都成立，因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数都要使y<0，从而得到-3<a<0我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，看是否也能保证题意成立。
(完整版)《不等式恒成立问题》教案
《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。
（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。
（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。
二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。
四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。
五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。
212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。
25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。
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解：（I）（过程略） ．
（II）（过程略）函数 的单调减区间为 ，函数 的单调增区间为 ．
（III）由（II）可知，函数 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值．要使 （ ）恒成立，只需 ，解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
评注：最值法是我们这里最常用的方法． 恒成立 ； 恒成立 ．
7单调性法
例8．若定义在 的函数 满足 ，且 时不等式 成立，若不等式 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．
解：设 ，则 ，有 ．这样， ，则 ，函数 在 为减函数．
因此 ；而 （当且仅当 时取等号），又 ，所以 的取值范围是 ．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．
解：设 ， ，则原问题转化为 恒成立的问题．
故应该有 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围是 ．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
5 特殊化法
例5．设 是常数，且 （ ）．
（I）证明：对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，求 的取值范围．
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于 的不等式 在 上恒成立，求 实数 的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵ ，∴不等式可以化为 ；下面只要求 在 时的最小值即可，分段处理如下．
当 时， ， ，再令 ， ，它的根为 ；所以在区间 上有 ， 递增，在区间 上有 ， 递减，则就有 在 的最大值是 ，这样就有 ，即 在区间 是递减．同理可以证明 在区间 是递增；所以， 在 时的最小值为 ，即 ．
由通项公式得
当 （ ）时，
当 （ ）时， ，可见总有 ．
故 的取值范围是
评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．
6分段讨论法
例6．已知 ，若当 时，恒有 ＜0，求实数a的取值范围．
解：（i）当 时，显然 ＜0成立，此时，
（ii）当 时，由 ＜0，可得 ＜ ＜ ，
令
分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数 在 上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．
解：在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数 在 上的图象（如右），从图象中容易知道：当 且 时，函数 的图象恒在函数 上方，不合题意；当 且 时，欲使函数 的图象恒在函数 下方或部分点重合，就必须满足 ，即 ．
8判别式法
例9．若不等式 对于任意 恒成立．则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意 恒成立，可以选择判别式法．
解：当 时，不等式化为 ，Fra bibliotek然对一切实数恒成立；
当 时，要使不等式 一切实数恒成立，须有 ，解得 ．
综上可知，所求的实数 的取值范围是 ．
故所求的 的取值范围为 ．
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．
4 变更主元法
例4．对于满足不等式 的一切实数 ，函数 的值恒大于 ，则实数 的取值范围是＿＿＿．
分析：若审题不清，按习惯以 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于 对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．
分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意 有 求出 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．
解：（I）递推式可以化归为 ， ，所以数列 是等比数列，可以求得对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，取 就有 解得 ；
下面只要证明当 时，就有对任意 有
2分离参数法
例2．已知函数
（I）求函数 的单调区间；
（II）若不等式 对于任意 都成立（其中 是自然对数的底数），求 的最大值．
分析：对于（II）不等式 中只有指数含有 ，故可以将函数进行分离考虑．
解：（I）（过程略）函数 的单调增区间为 ， 的单调减区间为
（II）不等式 等价于不等式 ，由于 ，知 ；设 ，则 ．
技巧解：由于 ，所以， ， 两个等号成立都是在 时；从而有 （ 时取等号），即 ．
评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．
则 ＞0，∴ 是单调递增，可知
＜0，∴ 是单调递减，可知
此时 的范围是（—1，3）
综合i、ii得： 的范围是（—1，3） ．
例7．若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围．
解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对 进行分段讨论，
当 时，不等式恒成立，所以，此时 ；
当 时，不等式就化为 ，此时 的最小值为 ，所以 ；
不等式恒成立问题—8种解法探析
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．
1最值法
例1．已知函数 在 处取得极值 ，其中 为常数．（I）试确定 的值；（II）讨论函数 的单调区间；（III）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
当 时，不等式就化为 ，此时 的最大值为 ，所以 ；
由于对上面 的三个范围要求同时满足，则所求的 的范围应该是上三个 的范围的交集即区间
说明：这里对变量 进行分段来处理，那么所求的 对三段的 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．
评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．
由（I）知， ，即 ；于是， ，即 在区间 上为减函数．故 在 上的最小值为 ．
所以 的最大值为 ．
评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．
3 数形结合法
例3．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．