导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)

学习过程

一、复习预习

考纲要求：

1．理解导数和切线方程的概念。

2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。

3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。

5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题

二、知识讲解

1.导数的计算公式和运算法则

几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；

x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1

(ln )x x '=； 1

(log )log a a x e x '=，

()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=

求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．

法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=

法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种）

(1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212

()()f x f x k x x -=-，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）；

3.求切线的方程的步骤：（三步走）

（1）求函数()f x 的导函数()f x '；

（2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）；

（3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-；

4.用导数求函数的单调性：

（1）求函数()f x 的导函数()f x '；

（2）()0f x '>，求单调递增区间；

（3）()0f x '<，求单调递减区间；

（4）()0f x '=，是极值点。

考点一 函数的在区间上的最值

【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。

【答案】：最大值为18，最小值为-2.

【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ，取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.

【例题2】:求曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围 。

【答案】:)51,19(-

【解析】:由2,0,063)(212===-='x x x x x f ，该函数在),2()0,(+∞-∞ 上单增，在)2,0(上单减，当1,0==y x ；3,2-==y x ；19,2-=-=y x ；51,5==y x 。曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围为)51,19(-。

考点二 用导数研究函数的单调性

【例题3】：已知函数5)(23-+-=x x ax x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围。

【答案】：3

1≥a 【解析】：123)(2+-='x ax x f ，因为)(x f 在R 上单调递增，所以，0)(≥'x f ，即：

01232

≥+-x ax 在R 上恒成立，即：⎩⎨⎧≤∆>00a ，所以，⎩⎨⎧<->01240a a 所以，31≥a 。 【例题4】：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间；

【答案】：若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭

时，()'0f x <，函数()f x 单调递减。

【解析】：由()()'10kx f x kx e =+=，得()10x k k =-

≠， 若0k >，则当1,x k ⎛

⎫∈-∞- ⎪⎝⎭

时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝

⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭

时，()'0f x <，函数()f x 单调递减。

考点三 用导数证明不等式

【例题5】：设函数()1x f x e -=-，证明：当x ＞-1时，()1

x f x x ≥

+ 【答案】：如下

【证明】：当1->x 时，1)(+≥x x x f 当且仅当,令1x g x e x =--（），则 1.x g x e =-，（）当0≥x 时0g x '≥（），）（x g 在[)∞+.0是增函数：当0≤x 时()0g x '≤，)(x g 在(]0.∞-是减函数，于是)(x g 在

0=x 处达到最小值，因而当R x ∈时，)0()(g x g ≥，即1,x e x ≥+所以当1->x 时，.1

)(+≥x x x f 【例题6】：设函数2()ln(1)2x f x x x =+-

+，证明：当x ＞0时，()f x ＞0； 【答案】：如下

【证明】：2

22

12(2)2()0,(1)1(2)(1)(2)x x x f x x x x x x +-'=-=≥>-++++，（仅当0x =时()0f x '=） 故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增，当0x =时，()0f x =，故当0)(,0>>x f x 。

考点四 函数中含参数的问题

【例题7】：设2

1)(ax e x f x

+=，其中a 为正实数，若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围 【答案】：.10≤

【解析】：对)(x f 求导得.)1(1)(222ax ax ax e x f x

+-+=' ①若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知0122≥+-ax ax ，在R 上恒成立，因此,0)1(4442

≤-=-=∆a a a a