基本不等式及恒成立问题 - 解析版
基本不等式常见题型(解析版)
基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比较大小1．（多选）若10a b -<<<，则（ ） A ．222a b ab +> B ．11a b< C．a b +>D ．11a b a b+>+2．（多选）设0a >，0b >，则下列不等式中成立．．的是（ ） A ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D3．（多选）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++题型二：有基本不等式证明不等式1．（多选）以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x =+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥； C ．y =2； D ．函数12(0)y x x x =++<的最大值为0．2．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1．当0x >时，234xx +的最大值为 __．2．实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为___________.3．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．1．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b +的最小值为（ ）A ．32B 1C ．52D ．32．已知m ，R n ∈，且12nm +=，则93m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．93．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．41．当0x >时，函数231x x y x++=+的最小值为（ ）A ．B ．1C ．1D ．42．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．163．函数25(2)x x y x +-=> 的最小值为______．1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知0x >，0y >，且44x y += ． (1)求xy 的最大值；(2)求12x y+的最小值．1．已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b +≥+恒成立，则m 的最大值为________．2．若“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x <+恒成立”为真命题，则实数a 的取值范围是______．1．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．等于10gD ．以上都有可能【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），第一次称出的黄金2．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由矩形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为10002m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）．当整个项目1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010D ．100m【详解】设m BC x =，则1000m CD x=， 所以()111110001000010000104104041040241440A B C D S x x x x x x ⎛⎫=++=++≥+⋅=⎪⎝⎭矩形， 当且仅当100004x x=，即50x =时，等号成立， 所以当BC 的长度为50m 时，整个项目1111D C B A 占地面积最小．故选：B ．。
第21讲 不等式恒成立问题与能成立问题(解析版)
第21讲：不等式恒成立问题与能成立问题【学习目标】1．在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．【基础知识】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；【考点剖析】考点一：二次函数型恒成立问题 例1．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A ．()3,0-B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立； 当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D变式训练1：若不等式()()222240a x a x -+--<对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．[]22-,C ．()2,+∞D ．(]2,2-【答案】D 【详解】当20a -=时，即2a =，此时40-<恒成立，满足条件；当20a -≠时，因为()()222240a x a x -+--<对任意实数x 都成立，所以()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得()2,2a ∈-， 综上可知，(]2,2a ∈-， 故选：D.变式训练2：不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞+∞【答案】C 【详解】因为不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 所以函数()210f x ax ax =++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，函数()10f x =>，满足题意；当0a ≠时，结合二次函数性质易知，2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上所述，实数a 的取值范围是[)0,4， 故选：C.变式训练3：设2()(1)2f x x a x a =--+-.若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；【答案】（1）33a -≤≤+ 【详解】由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0x a x a --+≥对于一切实数x 恒成立.所以20(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+.考点二：二次函数型能成立问题例2．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】A 【详解】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立， 即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈-- 所以2a <- . 故选：A变式训练1：若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】A 【详解】解：关于x 的不等式220x ax +->在区间[1，5]上有解，22ax x ∴>-在[1x ∈，5]上有解，即2a x x>-在[1x ∈，5]上成立； 设函数2()f x x x=-，[1x ∈，5]，()f x ∴在[1x ∈，5]上是单调减函数，又()1211f =-=，()2235555f =-=-所以()f x 的值域为23[5-，1]， 要2a x x >-在[1x ∈，5]上有解，则235a >-， 即实数a 的取值范围为23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．变式训练2：若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】B 【详解】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-， 所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B变式训练3：已知关于x 的不等式210x mx -+>在[2,4]上有解，则实数 m 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞C ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．17,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D不等式210x mx -+>在[2,4]上有解，∴1m x x<+在[2,4]上有解， 1y x x =+在[2,4]单调递增，max 117444y ∴=+=， 174m ∴<. 故选：D.考点三：基本不等式型恒成立问题例3．若正数x 、y 满足22x y xy +=，若不等式2x y m +≥的恒成立，则m 的最大值等于（ ）A ．4B ．92C ．D ．8【答案】A 【详解】已知正数x 、y 满足22x y xy +=，可得211122x y xy x y+==+，所以，()1122222422x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为4，4m ∴≤. 因此，实数m 的最大值为4. 故选：A.变式训练1：已知两个正实数,x y 满足211x y+=，并且222x y m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．(2,4)-B ． []2,4-C ． (,2)(4,)-∞-⋃+∞D ． ][(,24,) -∞-⋃+∞【详解】因为222x y m m +≥-恒成立，则2min 2(2)m m x y -≤+，2142(2)()444228y x x y x y x y x y +=++=++≥+=+⨯=，当且仅当4211y xx y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即42x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以2x y +的最小值为8，所以228m m -≤，即(4)(2)0m m -+≤，解得：24m -≤≤. 故选：B变式训练2：已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<【答案】C 【详解】若222x y m m +>-恒成立，则()2min 22m m x y -<+，因为()42221442284y x x y x y x y x y +⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭≥+=+⨯=， 当且仅当4=y xx y，即4,2x y ==时取等号． 所以()min 82x y +=所以228m m -<，即2280m m --<， 解得：24m -<<． 故选：C变式训练3：已知正实数,x y 满足441x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a a 的取值范围.【答案】（1）164；（2）[]9,4-. 【详解】（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号，∴2536a a +≤，解得94a -≤≤. 即a 的取值范围是[]9,4-.考点四：变换主元例4．已知当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(2,1)-- 【详解】由题意，因为当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立， 可转化为关于a 的函数23()12f a x x a x ⎫⎛=+-++ ⎪⎝⎭，则()0f a <对任意[0,2]a ∈恒成立，则满足2(0)10,(2)2320,f x f x x =+<⎧⎨=+-<⎩ 解得21x -<<-，即x 的取值范围为(2,1)--. 故答案为：(2,1)--.变式训练1：已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ）A ．(-∞，2)∪(3，+∞)B ．(-∞，1)∪(2，+∞)C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)【答案】C 【详解】由题意，因为[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()()2244f a x a x x =-+-+，则()0f a >对应任意[]1,1a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得：1x <或3x >， 即x 的取值范围为()(),13,-∞+∞.故选：C变式训练2：若不等式21634x ax x a -≥--对任意[]2,4a ∈-成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(][),83,-∞-⋃+∞ B ．()[),01,-∞+∞C ．[]8,6-D ．(]0,3【答案】A 【详解】由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，所以22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩，即2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩， 解之得3x ≥或8x ≤-. 故选：A变式训练3：已知当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(2,1)-- 【详解】由题意，因为当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立， 可转化为关于a 的函数23()12f a x x a x ⎫⎛=+-++ ⎪⎝⎭， 则()0f a <对任意[0,2]a ∈恒成立，则满足2(0)10,(2)2320,f x f x x =+<⎧⎨=+-<⎩ 解得21x -<<-，即x 的取值范围为(2,1)--. 故答案为：(2,1)--.【过关检测】1、关于x 的不等式21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．(]4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】解：①当0m =时，则01<成立，故符合题意，②0m ≠时，因为21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，所以0m <，不等式变为：210mx mx m ++-<，()2410m m m ∆=--<，所以：0m <， 综上：0m ≤. 故选：B.2、已知不等式240x ax ++的解集为,R 则a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--+D ．()(),44,-∞-+∞【答案】A 【详解】因为不等式240x ax ++的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯， 解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-， 故选：A.3、不等式(4)(21)x x a x ->+对一切实数x 都成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[)4,1--B ．[]4,1--C ．(4,1)--D ．(]4,1--【答案】C 【详解】不等式(4)(21)x x a x ->+可变形为2(42)0x a x a -+->由不等式2(42)0x a x a -+->对一切实数x 都成立，2(42)4()0a a ∴∆=+-⋅-<，即2540a a ++<，解得41a -<<-所以实数a 的范围是(4,1)--故选：C4、已知函数()()()22224f x a x a x =-+--，若()0f x <对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]2-∞，B ．()2-∞-，C ．[]22-，D ．(]22-，【答案】D【详解】由题知不等式()()222240a x a x -+--<,对一切x ∈R 恒成立所以当2a =时, ()40f x =-<,满足；当2a ≠时，由二次函数性知220224(2)16(2)0a a a a -<⎧⇒-<<⎨∆=-+-<⎩，所以实数a 的取值范围为：22a -<≤，故选:D5、已知关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C【详解】因为不等式22(4)(2)10a x a x -+--≥的解集为空集，所以不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上恒成立，当240a -≠时：240a -<且22(2)4(4)0a a ∆=-+-< 解得：265a -<<；当240a -=时即2a =±，当2a =时，不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上恒成立；当2a =-时，不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上不恒成立；综上：实数a 的取值范围6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：C.6、若关于x 的不等式2210ax ax ++>对一切的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是（） A ．(1,)+∞ B ．(,0)(1,)-∞+∞ C ．(0,1) D ．[0,1)【答案】D【详解】原不等式等价于2(2)10a x x ++>对一切的实数x 恒成立，①当0a =时，原不等式等价于10>对一切的实数x 恒成立，②当0a ≠时，20440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<．综上所述，实数a 的取值范围是[0，1)．故选：D ．7、已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤- B ．1a <-C ．314a -<≤ D ．1a ≤-【答案】B【详解】2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x ≠时，20x >，则2min 414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭ 令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <-故选：B8、若对满足8a b ab +=的任意正数a b ，及任意x ∈R ，不等式22218a b x x m +≥-++-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)6,-+∞B ．(],6-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 【答案】A【详解】∵正数a b ，满足8a b ab +=， ∴811b a +=，()812822171725b a a b a b b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当28b a a b =，即2b a =，510a b ==，时，等号成立， ∴225218x x m ≥-++-，即2270x x m -++≥对任意实数x 恒成立，∴()4470m ∆=-+≤，解得6m ≥-．故选：A ．9、（多选）对于正数a ，b ，且4a b +=，若34abm b a ≤++恒成立，则m 可以为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．1【答案】BCD【详解】因为对于正数a ，b ，满足4a b +=，所以34abm b a ≤++恒成立化为，34324b a b a a b m ab ab a b+++++≤==+恒成立 ，又因为()24124124644b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13642⎛≥+=+ ⎝48a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时 等号成立， 所以322m ，选项BCD 都符合题意，故选：BCD.10、（多选）已知00x y >>，，且22x y +=，若21+-mxy x y m ≤对任意的00x y >>，恒成立，则实数m 的可能取值为（ ）A ．12B ．98C ．107D ．2【答案】ACD【详解】0,0x y >>，212211mxy m x y x y m m xy y x+∴≤+⇔≤=+--， 即min121m m y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭， ()12112122192552222x y x y y x y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当22x y y x =，即23x y ==时，等号成立， 即912m m ≤-，()997001221m m m m --≤⇔≤-- 解得：97m ≥或1m <，选项中满足条件的有ACD. 故选：ACD11、已知x 、y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(],4-∞【详解】因为x 、y 为两个正实数，由11m x y x y ≤++可得()11m x y x y ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 因为()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立. 所以，4m ≤，因此，实数m 的取值范围是(],4-∞.故答案为：(],4-∞.12、已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b ≤++恒成立，则m 的最大值为__________． 【答案】16【详解】由题意，不等式313m a b a b≤++恒成立，且0,0a b >>，即为31(3)()≤++m a b a b 恒成立，即min 31(3)()⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦m a b a b 成立，由3133(3)()101016++=++≥+=a b a b a b b a ，当且仅当33=a b b a，即a b =，取得等号，即有16m ≤，则m 的最大值为16. 故答案为：1613、若正实数,x y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【详解】解：因为正实数x ，y 满足22x y xy +=，所以2xy ≥2xy ≥；又因不等式(2)10x y a xy +-+恒成立，所以(2)10xy a xy -+恒成立，即12a xy xy +恒成立， 则1(2)min a xy xy+， 因为1922xy xy +， 当且仅当2xy =时取等号，此时12xy xy +取得最小值92 ， 故92a ． 故答案为：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14、0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b +-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【答案】32m ≤【详解】解：因为21a b +=，所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++ 322a b b b a b+=+++333222≥+=+=当且仅当2a b b b a b +=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b+-≥+恒成立， 所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤，故答案为：32m ≤15、若不等式22x mx ->对满足1m ≤的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】2x <-或2x >【详解】解：因为22x mx ->，所以220mx x -+<令()22f m mx x =-+，即()0f m <在1m ≤恒成立，即11m -≤≤时()0f m <恒成立，所以()()1010f f ⎧<⎪⎨-<⎪⎩，即222020x x x x ⎧-+<⎨--+<⎩，解220x x -+<得2x >或1x <-；解220x x --+<得1x >或2x <-，所以原不等式组的解集为()(),22,x ∈-∞-⋃+∞故答案为：()(),22,-∞-+∞16、对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 【答案】()(),02,-∞+∞【详解】 ()()2221121x a x a x a x x +-+-=-+-+，令()()2121f a x a x x =-+-+，11a -≤≤， 当1x =时，()1210f a =-+=，则()0f a >不成立；当1x >时，()()22min 1121320f a f x x x x x =-=-+-+=-+>，解得：1x <或2x >； 当1x <时，()()22min 11210f a f x x x x x ==-+-+=->，解得：0x <或1x >； 综上所述：()(),02,x ∈-∞+∞. 故答案为：()(),02,-∞+∞.17、已知2()3f x x ax =-+.（1）当2a =时，解不等式()6f x >；（2）当()0,x ∈+∞时，2()1f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{1x x <-或3x；（2）4a ≤.【详解】 （1）当2a =时，()6f x >，即 2236x x -+>，2230x x ∴-->，即()()130x x +->，解得1x <-或3x >， ∴原不等式的解集为{|1x x <-或3}x >.（2）当()0,x ∈+∞时2()1f x x ≥-恒成立， 2231x ax x ∴-+≥-，即2a 2x x≤+，设2()24g x x x =+≥=，当且仅当1x =时等号成立， 4a ∴≤.18、已知二次函数()223f x x ax =-+. （1）若()f x 在(],1-∞上单调递减，求实数a 的最小值；（2）存在[]4,2x ∈--，使得()f x a ≥有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）197a ≥-【详解】（1）()223f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上， 若()f x 在(],1-∞上单调递减，则1a ≥，故a 的最小值为1；（2）()f x a ≥，即2230x ax a -+-≥在[]4,2x ∈--有解，令()223g x x ax a =-+-，对称轴为x a =，开口向上， 当3a ≤-时，()()max 2370g x g a =-=+≥，解得73a ≥-，此时无解；当3a >-时，()()max 47190g x g a =-=+≥，解得197a ≥-， 综上，197a ≥-.19、设函数2()(2)3f x ax b x =+-+. （1）若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值；（2）若()10f =，且存在x ∈R ，使()4f x >成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）32a b =-⎧⎨=⎩；（2）()(),91,-∞--+∞.【详解】 解：（1）由题意可知：方程()2230ax b x +-+=的两根是1-，1 所以21103(1)11b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩ 解得32a b =-⎧⎨=⎩（2）由()10f =得1b a =--存在x ∈R ，()4f x >成立，即使()2210ax b x +-->成立， 又因为1b a =--，代入上式可得()2310ax a x -+->成立. 当0a ≥时，显然存在x ∈R 使得上式成立；当0a <时，需使方程()2310ax a x -+-=有两个不相等的实根 所以()2340a a ∆=++>即21090a a ++>解得9a <-或10a -<<综上可知a 的取值范围是()(),91,-∞--+∞．。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数不等式恒成立与能成立(解析版)
专题拓展：函数不等式恒成立与能成立一、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、∀∈x D ，()()min ≤⇔≤m f x m f x 2、∀∈x D ，()()max ≥⇔≥m f x m f x 3、∃∈x D ，()()max ≤⇔≤m f x m f x 4、∃∈x D ，()()min≥⇔≥m f x m f x 二、双变量不等式与等式一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈1、不等关系（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <．2、相等关系记()[],,y f x x a b =∈的值域为A ,()[],,y g x x c d =∈的值域为B,（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊆；（2）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊇；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，故A B ⋂≠∅；考点一：单变量不等式恒成立例1．（23-24高一上·广东湛江·月考）若不等式10x a -++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．2-C ．52-D ．12-【答案】D【解析】若不等式10x a -++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦成立，则max (1)a x ≥-+，当12x =时，1x -+取最大值12-，故12a ≥-，故a 的最小值是12-.故选：D ．【变式1-1】（23-24高一上·河南·月考）若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a的取值范围为（）A ．[)5,+∞B ．()5,+∞C ．(],5-∞D ．(),5-∞【答案】C【解析】不等式()2310x a x +-+≥可化为，231x x a x++≥，令()231x x f x x++=，由题意可得()min a f x ≤，()1335f x x x =++≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，()min 5a f x ≤=，所以实数a 的取值范围为(],5-∞.故选：C.【变式1-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知函数()()lg 31kf x x =+，若不等式()1f x <在()0,33x ∈上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为033x <<，所以131100x <+<，所以()20lg 31x <+<，由()1f x <，得()1lg 31kx <+，即()lg 311k x <+，因为不等式()1f x <在()0,33x ∈上恒成立，所以()min lg 311k x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣<+⎦，()0,33x ∈即可.由()20lg 31x <+<，得()21g 31l 1x >+，即12k ≤，所以k 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e x f x g x +=，且()2e 0x f x m ->-≥在[]1,2x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】(2e ,0-⎤-⎦【解析】因为()()e xf xg x +=，①得()()e xf xg x --+-=，又()f x 和()g x 分别为偶函数和奇函数，所以()()e xf xg x --=，②由①②相加得()2e e x xf x -=+，又()2e 0xf x m ->-≥在[]1,2x ∈上恒成立即e 0x m --<≤在[]1,2x ∈上恒成立，设()e xh x -=-，则只需()max m h x >，易知()h x 在[]1,2上为增函数，()()2max 2e h x h -==-，所以2e 0m --<≤，故答案为：(2e ,0-⎤-⎦.考点二：单变量不等式能成立例2.（23-24高一上·重庆·期末）已知函数()22f x x x =-，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()23f x a a≤+成立，则实数a 的取值范围为.【答案】][(),30,∞∞--⋃+【解析】因为函数()22f x x x =-的对称轴为1x =，所以当[]24x ,∈时，该二次函数单调递增，所以()()min 20f x f ==，因为存在[]24x ,∈，使得不等式()23f x a a ≤+成立，所以有2300a a a +≥⇒≥，或3a ≤-，因此实数a 的取值范围为][(),30,∞∞--⋃+，故答案为：][(),30,∞∞--⋃+【变式2-1】（22-23高一上·四川南充·月考）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()2f x a a ≤-成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(][),34,-∞-⋃+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->，所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++--812≥+=，当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()2f x a a ≤-成立，所以只要()2min f x a a ≤-，即212a a ≤-，得3a ≤-或4a ≥，所以a 的取值范围为(][),34,-∞-⋃+∞.【变式2-2】（22-23高一上·山东枣庄·月考）设函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则实数a 的取值范围是.【答案】(][),12,-∞-⋃+∞【解析】因为函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在[]1,3为增函数，所以min ()(1)112f x f ==+=，即函数的最小值为2,又1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则2min ()a a f x -≥，即22a a -≥，解得：2a ≥或1a ≤-，即实数a 的取值范围是2a ≥或1a ≤-，故答案为：(][),12,-∞-⋃+∞【变式2-3】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知函数()22(0)g x ax ax b a =++>在区间[]0,2上有最大值11和最小值3，且()()g x f x x=．(1)求a b 、的值；(2)若不等式()220x xk f ⋅-≤在[]1,2x ∈-上有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1,3a b ==；(2)17k ≤.【解析】（1）函数()22(0)g x ax ax b a =++>图象的对称轴为=1x -，显然函数()g x 在[]0,2上单调递增，因此min ()(0)3g x g b ===，max ()(2)811g x g a b ==+=，解得1a =，所以1,3a b ==.（2）由（1）知，2()23g x x x =++，()3()2g x f x x x x==++，因此不等式2332)2)012(202(22()22x x x xx x xk f k k ⋅-⋅++≤≤-⇔≤⇔++，令12x t =，由[]1,2x ∈-，得124t ≤≤，则22321321(22)x xt t ++=++，显然函数2321y t t =++在1[,2]4t ∈上单调递增，当2t =时，max 17y =，由不等式()220x xk f ⋅-≤在[]1,2x ∈-上有解，得17k ≤，所以实数k 的取值范围是17k ≤.考点三：任意-任意型不等式成立例3.（21-22高二下·北京·月考）已知()()21,2xf x xg x m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若对任意[]10,2x ∈，任意[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．12m ≥D ．12m ≤【答案】C【解析】由[]10,2x ∈，2()f x x =，所以1()[0,4]f x ∈，对任意的[]10,2x ∈，要使()()12f x g x ≥成立，即要2()0g x ≤，对任意[]21,2x ∈上成立，所以任意[1,2]x ∈，使得1()2x m ≤成立，即max 11()22x m ≥=.故选：C.【变式3-1】（22-23高一上·湖北鄂州·期中）已知()f x 是定义在[]31,3D a a =++上的奇函数，且当(]0,3x a ∈+时，()22f x x ax =+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)设()g x x b =-+，对任意12,x x D ∈，均有()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【答案】(1)()222,020,02,20x x x f x x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪---≤<⎩；(2)(,3]-∞-【解析】（1）因为()f x 是定义在[]313a a ++,上的奇函数，所以3130a a ++=+，解得1a =-，所以()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，可得()00f =，当2(]0,x ∈时，()22f x x x =-.当[2,0)x ∈-时，则(0,2]x -∈，所以()()()2222f x x x x x -=---=+，因为()f x 是奇函数，所以()()22f x f x x x -=-=+，所以()22f x x x =--，所以()222,020,02,20x x x f x x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪---≤<⎩.（2）对任意12,x x D ∈，均有()12()f x g x ≥，只需min max ()()f x g x ≥，由（1）知，当2(]0,x ∈时，()222(1)1f x x x x =-=--，当1x =时，()min 1f x =-；当[2,0)x ∈-时，()222(1)1f x x x x =--=-++，当2x =-时，()min 0f x =，又由()00f =，所以函数min ()(1)1f x f ==-，因为()g x x b =-+在[2,-上为单调递减函数，所以()()max 22g x g b =-=+，所以12b -≥+，解得3b ≤-，故实数b 的取值范围为(,3]-∞-.【变式3-2】（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数()lg f x x =，()2e e x xg x a =-.(1)若对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若函数()()()h x g x g x =+-，求函数()h x 的零点个数.【答案】(1)2a ≥；(2)答案见解析.【解析】（1）对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，只需()()12max min f x g x ≤，由()11lg f x x =在[]11,10x ∈上递增，故()1max (10)1f x f ==，由()2222ee x x g x a =-，在[)20,x ∈+∞上有2[1,)e x t ∈=+∞，所以()22g x y at t ==-且[1,)t ∈+∞，故有21at t -≥在[1,)t ∈+∞上恒成立，所以2max max 211111()[()24a t t t ≥+=+-，而1(0,1]t∈，即2a ≥.（2）由题设()2222e e e )e e e e ()(e x x x x x x x xh a x a a ----=--=+-++，令2e e x x μ-=≥+，当且仅当0x =时等号成立，则2222()2e e e e x x x x μ--+=+=+，即2222e e x x μ-+=-，所以()2()2a a h x ϕμμμ==--且[2,)μ∈+∞，令2()20a a ϕμμμ=--=，则问题等价于2122a μμμμ==--在[2,)μ∈+∞上解的个数，又12y μμ=-在[2,)μ∈+∞上递减，故(0,1]y ∈，当1a >或0a ≤时，22a μμ=-在[2,)μ∈+∞上无解，即()h x 无零点；当1a =时，22(1)(2)0μμμμ--=+-=在[2,)μ∈+∞上有2μ=，所以2e e x x μ-+==，即0x =，故()h x 有1个零点；当01a <<时，220a a μμ--=在[2,)μ∈+∞上有122aμ+=>（负值舍），又e e x x μ-=+为偶函数，此时()h x 有2个零点；综上，1a >或0a ≤时，()h x 无零点；1a =时，()h x 有1个零点；01a <<时，()h x 有2个零点；【变式3-3】（23-24高一上·北京·月考）已知函数()()()()()21122log 1log 1,6R f x x x g x x ax a =++-=-+∈.(1)求函数()f x 的定义域.(2)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.(3)对)[]12,1,2x x ∀∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()1,+∞；(2)函数()f x 为非奇非偶函数，理由见解析；(3)11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由函数()()()1122log 1log 1f x x x =++-有意义，则满足1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为()1,+∞.（2）因为()f x 的定义域为()1,+∞，不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数.（3）由“对)[]12,2,4x x ∀∈+∞∈-，不等式()()12f x g x ≤恒成立”，可得max min ()()f x g x ≤，当x ()()()()2111222log 1log 1log 1f x x x x =++-=-由()f x 在)+∞上单调递减，max ()1f x f==-，根据题意得，对[]21,2,70x x ax ∀∈-+≥法一：可转化为[]71,2,x a x x∀∈≤+，令()7h x x x =+，由()h x 在[]1,2上单调递减得，可得()min 711()2222h x h ==+=，实数a 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.法二：设函数()27g x x ax =-+，①当22a≥，即4a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，可得()min ()21021g x g a ==-≥-，解得112a ≤，则1142a ≤≤；②当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，可得()min ()171g x g a ==-≥-，解得8a ≤，则2a ≤；③当122a<<，即24a <<时，()g x 在[]1,2先减后增，可得()2min ()7122a ag x a =-⨯+≥-，解得a -≤≤24a <<，综上，实数a 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.考点四：任意-存在型不等式成立例4.（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()3f x x =+，[]0,2x ∈，()ag x x x=+，[]1,2x ∈．对[]10,2x ∀∈，都[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的范围是．【答案】9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】函数()3f x x =+，在[]0,2x ∈上单调递增，所以min ()(0)3f x f ==，当a<0时，()ag x x x=+在区间[]1,2上单调递增，min ()1g x a =+，所以31a ≥+，解得2a ≤，又因为a<0，所以031a a <⎧⎨≥+⎩，解得a<0；当01a ≤≤时，()ag x x x=+在区间[]1,2上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有0131a a ≤≤⎧⎨≥+⎩，解得01a ≤≤，当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在上单调增，其最小值为g =，所以有143a <≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得914a <≤，当4a >时，()ag x x x =+在区间[]1,2上单调减，()min ()222a g x g ==+，此时4322a a >⎧⎪⎨≥+⎪⎩，无解；所以a 的取值范围是9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【变式4-1】（23-24高一上·重庆·月考）已知函数()()4,2xf x xg x a x=+=+.若[][]121,3,2,3x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的范围是（）A ．4a ≤B ．3a ≤C ．0a ≤D ．1a ≤【答案】C【解析】因为()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，且0,x >即2x =时等号成立，所以()min 4f x =，又函数()2x g x a =+在[]2,3上单调递增，所以()2min 24g x a a =+=+，由题意可知()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤，故选：C.【变式4-2】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知()221f x x x =--，()log a g x x =（0a >且1a ≠），若对任意的[]11,2x ∈-，都存在[]22,4x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()1,2【答案】D【解析】由题意可知：()()12max max <⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦f x g x ，因为()221f x x x =--的图象开口向上，对称轴为1x =，且[]1,2x ∈-，可知当=1x -时，()f x 取到最大值()12f -=，由题意可得：()22<g x ，可知存在[]22,4x ∈，使得()22<g x 成立，当01a <<，可知()log a g x x =在()0,∞+上单调递减，可得()()2102<=<g x g ，不合题意；当1a >，可知()log a g x x =在()0,∞+上单调递增，可得()2g x 的最大值为()4g ，则()24log 42log =>=a a g a ，即24a <又1a >，解得12a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,2.故选：D.【变式4-3】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数()()()2222410,2log 123x f x x x g x x m m =-+=+++-，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围为.【答案】[1,2]【解析】对任意[]10,4x ∈，总存在[]22,4x ∈，使()()12f x g x ≥成立,∴对[][]()()1212min min 0,4,2,4,x x f x g x ∈∈≥成立()22410(2)6,f x x x x =-+=-+∴ 当[]10,4x ∈时，()()1min 26f x f ==，()()2222log 123x g x x m m =+++- 在[]2,4上是增函数，∴当[]22,4x ∈时，()()()222222min 22log 212338g x g m m m m ==+++-=-+，()()22638,320,120,12m m m m m m m ∴≥-+∴-+≤∴--≤∴≤≤，故实数m 的取值范围为[1,2].故答案为：[1,2].考点五：存在-存在性不等式成立例5.（22-23高一上·北京丰台·期中）已知函数()f x ax =和221()8g x x a =+（其中0a >），若存在12,(1,1)x x ∈-使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．22,44⎛-+ ⎝⎭D ．22,44⎡+⎢⎣⎦【答案】A【解析】存在12,(1,1)x x ∈-使得()()12f x g x ≥成立，等价于()()max min f x g x ≥在()1,1x ∈-上恒成立，由0a >得，()f x a <，()2min ()0g x g a ==，所以2a a >，解得01a <<，所以实数a 的取值范围是(0,1).故选：A.【变式5-1】（23-24高一上·河北·月考）已知()()[]()()212121,22,,0,1,f x ax g x x x a x x f x g x =+=-+∃∈>，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】[]12,0,1x x ∃∈，()()12f x g x >，所以，()()12max min f x g x >，()()2222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减，所以()2min 21g x a =-，当0a =时，())2122212f x g x x =>=-，即22212x x >-，取210x x ==成立.当a<0时，()1max 1f x =，即211a -<，得1a <，所以a<0当0a >时，()1max 1f x a =+，即121a a +>-，得2a <，所以02a <<，综上：a 的取值范围是(),2-∞.故选：A【变式5-2】（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知函数()4f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)3,∞-+D ．[)1,+∞【答案】C【解析】若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，故只需()()min max f x g x ≤，其中()4f x x x =+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()min 5114f x f ==+=，()2x g x a =+在[]2,3x ∈上单调递增，故()()max 38g x g a ==+，所以58a ≤+，解得：3a ≥-，实数a 的取值范围是[)3,∞-+.故选：C【变式5-3】（23-24高一上·全国·期末）已知2()21,()log (0a f x x x g x x a =--=>且0)a ≠，若存在[]11,2x ∈-,存在[]22,4x ∈,使得12()()f x g x <成立,则实数a 的取值范围是.【答案】()1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为22()21(1)2f x x x x =--=--，当[]1,2x ∈-时,max min ()(1)2,()(1)2f x f f x f =-===-，因为存在[]11,2x ∈-，存在[]22,4x ∈，使得12()()f x g x <成立,所以函数()f x 在[]1,2-上的最小值小于函数()g x 在[]2,4上的最大值.当01a <<时,函数()log a g x x =在[]2,4上单调递减，则2log 2a -<，解得02a <<;当1a >时,函数()log a g x x =在[]2,4上单调递增，则2log 4a -<，解得1a >，综上,实数a 的取值范围是()0,1,2∞⎛⋃+ ⎪⎝⎭.故答案为：()0,1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.考点六：任意-存在型等式成立例6.（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知221()2,()e 1x f x x x m g x -=-+=-，若对[]12130,3,,22x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（）A ．22,e 4⎡⎤-⎣⎦B ．21,e 5⎡⎤-⎣⎦C ．22,e 5⎡⎤-⎣⎦D ．21,e 4⎡⎤-⎣⎦【答案】D【解析】因为22()2(1)1f x x x m x m =-+=-+-，[]0,3x ∈，所以()f x 在[0,1)上递减，在(1,3]上递增，所以()f x 的最小值为(1)1f m =-，因为(0),(3)3f m f m ==+，3m m +>，所以()f x 的最大值为3m +，所以()f x 的值域为[1,3]m m -+，因为21()e 1x g x -=-在13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增，所以()g x 的值域为2[0,e 1]-，因为对[]12130,3,,22x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，所以[1,3]m m -+是2[0,e 1]-的子集，所以2103e 1m m -≥⎧⎨+≤-⎩，解得21e 4m ≤≤-，即m 的取值范围21e 4m ≤≤-故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数()2f x ax =-，()122,13,1,31,x x g x x x -⎧≤≤=⎨-+-≤<⎩对1[3,3]x ∀∈-，2[3,3]x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,1]-B ．[]0,4C ．[]1,3D ．[2,2]-【答案】D【解析】因为()122,13,1,31,x x g x x x -⎧≤≤=⎨-+-≤<⎩所以[)23,1x ∈-时，()[]22218,1g x x =-+∈-，[]21,3x ∈时，()[]21221,4x g x -=∈，综上()[]28,4g x ∈-.当0a >时，1[3,3]x ∀∈-，[]1()32,32f x a a ∈---，由题意，[][]32,328,4a a ---⊆-，即328324a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得02a <≤；当0a =时，1()2f x =-，符合题意；当0a <时，1[3,3]x ∀∈-，[]1()32,32f x a a ∈---，由题意，[][]32,328,4a a ---⊆-，即328324a a -≥-⎧⎨--≤⎩，解得20a -≤<；综上可得[]2,2a ∈-.故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数()f x 为偶函数，且[]2,0x ∈-时，()f x x =-.(1)求(]0,2x ∈时，()f x 的解析式；(2)若函数()()20g x ax a a =+-≠，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x x =--，(]0,2x ∈；(2)6a ≤-或2a ≥.【解析】（1）(]0,2x ∈时，[)2,0x -∈-，所以()f x x x -=--=--，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()f x x =--(]0,2x ∈；（2）因为()f x 为偶函数，所以()f x 在[]2,0-和[]0,2上的值域相同，当(]0,2x ∈时，()f x x =--，令t 23x t =-，t ⎡∈⎣，所以函数化为()222314y t t t =--=--，t ⎡∈⎣，所以1t =时，min 4y =-；t =max y =-即()f x 在[]22-,上的值域为4,⎡--⎣.又对[]12,2x ∀∈-，[]22,2x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，所以()f x 的值域是()g x 的值域的子集，①当0a >时，()g x 在[]22-,上的值域为[]23,2a a -+则4232aa -≥-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩，解得2a ≥②当a<0时，()g x 在[]22-,上的值域为[]2,23a a +-，则4223a a -≥+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，解得6a ≤-综上所述，实数a 的取值范围为6a ≤-或2a ≥.【变式6-3】（21-22高一下·上海黄浦·月考）已知函数2()f x x x k =-+，若2log ()2f a =，2(log )f a k =，1a ≠．(1)求,a k 的值，并求函数(log )a f x 的最小值及此时x 的值；(2)函数()42g x mx m =+-，若对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =，2k =，x (log )a f x 有最小值74；(2)(,4][4,)-∞-+∞【解析】（1）因为2()f x x x k =-+，所以2()f a a a k =-+，所以()2222log 2log 44a a k a a k -+==⇒-+=，①因为2(log )f a k =，所以()2222log log l )og (f k a a a k =-+=，②由②得，()2222log log log 00a a a -=⇒=或21log a =，解得1a =或2a =因为0a >，且1a ≠，所以2a =，代入①得22242k k -+=⇒=，所以2,2a k ==，所以2()2f x x x =-+所以22222217(log )(log )(log )log 2(log )24a f x f x x x x ==-+=-+．所以当21log 2x =，即x =(log )a f x 有最小值74．（2）2()2f x x x =-+，当1[1,3]x ∈时，1()[2,8]f x ∈，因为对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以1()f x 的值域是2()g x 值域的子集，当0m =时，()4g x =，舍去；当0m >时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈-++，所以4248m m -+≤⎧⎨+≥⎩，所以4m ≥；当0m <时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈+-+，所以4248m m +≤⎧⎨-+≥⎩，所以4m -；综上，实数m 的取值范围是(,4][4,)-∞-+∞ ．一、单选题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数2()224x x f x a =-⋅+，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．[4,)+∞D ．[2,)+∞【答案】A【解析】因为()0f x ≥恒成立，即22240x x a -⋅+≥恒成立，所以422xx a ≤+恒成立，又由4242x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），所以4a ≤．故选：A ．2．（23-24高一上·吉林长春·期中）设函数()221(1)f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()212f x x x +=+，()212f x x x -=+，所以()()11f x f x +=-，所以函数()221(1)f x x x =-+-关于直线1x =对称，当1x ≥时，()()2221(1)1f x x x x =-+-=-，则函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以在(),1-∞上单调递减，又不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以12ax x -≤+在(]1,2x ∈上恒成立，即12ax x -≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以212--≤-≤+x ax x 在(]1,2x ∈上恒成立，所以1311--≤≤+a x x 在(]1,2x ∈上恒成立，所以max min1311⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a x x ，因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以max 1131122x ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭，因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以min3351122x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以3522a -≤≤，即35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D3．（22-23高一上·海南·期中）已知函数()24a x x x f =-+，()5g x ax a =+-，若对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()1f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],9-∞-B ．[]9,3-C ．[)3,+∞D ．(][),93,-∞-+∞ 【答案】D【解析】要使对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立，即()f x 在[]1,3-上值域是()g x 在[]1,3-上值域的子集，2()(2)4f x x a =-+-开口向上且对称轴为2x =，则[]1,3-上值域为[4,5]a a -+；对于()5g x ax a =+-：当a<0时()g x 在[]1,3-上值域为[25,52]a a +-，此时，0254525a a a a a <⎧⎪+≤-⎨⎪-≥+⎩，可得9a ≤-；当0a =时()g x 在[]1,3-上值域为{5}，不满足要求；当0a >时()g x 在[]1,3-上值域为[52,25]a a -+；此时，0255524a a a a a >⎧⎪+≥+⎨⎪-≤-⎩，可得3a ≥；综上，a 的取值范围(][),93,-∞-+∞ .故选：D4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知函数()4f x x x=+，()2xg x a =+.若[]11,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤-B ．3a ≤-C ．0a ≤D ．1a ≤【答案】C【解析】设()4f x x x=+在[]1,3上的最小值为()min f x ，()2xg x a =+在[]2,3上的最小值为()min g x .因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，且0x >，即2x =时等号成立，所以，()min 4f x =.()2x g x a =+在[]2,3上单调递增，所以()()min 24g x g a ==+.由[]11,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，可得()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤.故选：C.5．（22-23高二上·陕西西安·期中）已知()()()21ln 12xf x xg x m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，，若对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（）A ．14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．14⎛-∞⎤ ⎝，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】C【解析】易知()2(ln 1)f x x =+在[0,3]上单调递增，()()min 00f x f ==，()1()2x g x m =-在[1,2]上单调递减，()()max 112g x g m ==-，对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min maxf xg x ≥所以102m -≤，即12m ≥.故选：C.6．（21-22高一上·福建泉州·期中）已知函数()3f x ax =，0a >，223()2g x x a =+，若存在1x ，211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围为（）A ．25a <<B ．02a <<C．52a <<或2a <-D ．108a <≤【答案】D【解析】设任意的11,,22m n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且m n <，0a >，所以()()()()2233f a m n m m nm f n am a n n -=-++-=()223024n n a m n m ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()()f m f n <，所以()3f x ax =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()max 128a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；因为223()2g x x a =+，其对称轴为0x =，所以根据二次函数的性质可得223()2g x x a =+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦可得到最小值2(0)g a =，若存在1x ，211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥成立，只需()()max min f x g x ≥，所以28a a ≥，解得108a ≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围为108a <≤，故选：D 二、多选题7．（23-24高一上·辽宁丹东·月考）12x x m -++≥对于x ∀∈R 恒成立，则m 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC【解析】设()12f x x x =-++，则()21,1123,2121,2x x f x x x x x x +≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪--≤-⎩，则()f x的图象如下所示：由图可知当21x -≤≤时()f x 取得最小值3，即123x x -++≥当且仅当21x -≤≤时取等号，因为12x x m -++≥对于x ∀∈R 恒成立，所以3m ≤，故符合题意的有A 、B 、C.故选：ABC8．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知函数()21([2,2])f x x x =-+∈-，2()2([0,3])g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（）A ．[2,2]x ∀∈-，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-B ．[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,3)-∞-C ．[0,3]x ∃∈，()g x a =，则a 的取值范围是[1,3]-D ．[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =【答案】AC【解析】对于A ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以min ()3f x =-，又因为()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-，故A 正确；对于B ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以max ()5f x =，又[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,5)-∞，故B 错误；对于C ，2()2([0,3])g x x x x =-∈在[]0,1单调递减，(]1,3单调递增，所以min max ()(1)1,()(3)3,g x g g x g ==-==所以()[1,3]g x ∈-，因为[0,3]x ∃∈，()g x a =，所以a 的取值范围是[1,3]-，故C 正确；对于D ，由上述过程可知[]()3,5f x ∈-，()[1,3]g x ∈-，则不能保证[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =，例如：当2x =-时，不存在[0,3]t ∈，()()f x g t =，故D 错误.故选:AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东·月考）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2()24(0)g x x ax a =-+>，若对任意的1(0,1)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是.【答案】,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，1(0,1)x ∈，故()11,12f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对任意的1(0,1)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，故()2g x 的值域包含1,12⎛⎫⎪⎝⎭，①当02a <<时，()()2min 142g x g a a ==-≤，解得22a ≤<，此时()()max 041g x g ==≥，成立；②当2a ≥时，函数在[]0,2上单调递减，()()max 041g x g ==≥，成立，()()min 12842g x g a ==-≤，解得158a ≥，即2a ≥；综上所述：2a ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数()f x x x =，若对任意[],2x t t ∈+，不等式()()29f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是.【答案】1⎡⎤⎣⎦【解析】因为()f x x x =，则有：当0x ≥时，()2f x x =，此时()f x 单调递增；当0x ≤时，()2f x x =-，此时()f x 单调递增，且()00f =，所以()f x 为R 上的连续函数且在R 上单调递增.又因为()()99333===f x x x x x f x ，则()()()293+≤=f x t f x f x ，可得23+≤x t x ，即23≤-t x x 对任意[],2x t t ∈+恒成立，注意到23y x x =-的图象开口向下，则()()223322t t t t t t ⎧≤-⎪⎨≤+-+⎪⎩，解得01≤≤t ，所以实数t 的取值范围为1⎡⎤⎦.故答案为：1⎡⎤⎣⎦.11．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知函数()()22log 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对于任意[]11,1x ∈-，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x g x ≤，则实数m 的取值范围为.【答案】[)1,-+∞【解析】因为[]11,1x ∈-，所以[]2111,2x ∈+，所以()[]221log 10,1x ∈+，即()[]10,1f x ∈，由[]21,1x ∈-，则211,222xm m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎛⎪⎭⎣⎫ ⎦⎝，即()21,22g x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，因为对于任意[]11,1x ∈-，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x g x ≤，所以()()12max max f x g x ≤，则21m +≥，解得1m ≥-，即[)1,m ∈-+∞.故答案为：[)1,-+∞.四、解答题12．（22-23高一上·江西赣州·期中）函数()log a f x b x =⋅（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点(),4A a ，()4,8B .(1)求函数()f x 的解析式；(2)若不等式110x xm b a ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()4log f x x =；(2)2m ≤【解析】（1）由题意得log 4log 48a a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解之得24a b =⎧⎨=⎩，故2()4log f x x =；（2）由（1）知11042x xm ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，即1142x x m ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，所以max 1142x x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为2211111114222224x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于[]1,2x ∈-得11,224x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当122x =即=1x -时，1142x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有最大值为2，因此m 的取值范围为2m ≤.13．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数()()21log 212x f x x =+-.(1)解不等式()112f x x >+；(2)设()()g x f x x =+，()22h x x x m =-+，若对任意的[]10,4x ∈，存在[]20,5x ∈，使得()()12g x h x ≥，求m 的取值范围.【答案】(1)(),0∞-；(2)(,2]-∞【解析】（1）因为()112f x x >+，所以()211log 21122x x x +->+，所以()22221log 211log log 22x x xx ++->⇔>，由对数函数2log y x =的单调性可知：2122x x +>，所以21x <，由指数函数2x y =的单调性可知：0x <，所以不等式的解集为(),0∞-；（2）()()21log 212x g x x =++，因为对任意的[]10,4x ∈，存在[]20,5x ∈，使得()()12g x h x ≥，所以()g x 在[]0,4上的最小值不小于()h x 在[]0,5上的最小值；因为()21log 21,2x y y x =+=均在[]0,4上单调递增，所以()21()log 212x g x x =++在[]0,4上单调递增，所以()()min 01g x g ==，因为()()22211h x x x m x m =-+=-+-，所以()h x 在[]0,1上单调递减，在[]1,5上单调递增，所以()()min 11h x h m ==-，所以11m ≥-，解得2m ≤，所以m 的取值范围为(,2]-∞.。
第9讲 基本不等式9种常见题型(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)
第9讲基本不等式9种常见题型【考点分析】考点一：重要不等式若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；考点二：基本不等式若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．考点三：几个常见重要的不等式①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).【题型目录】题型一：直接利用基本不等式求最值题型二：“1”的代换，乘1法题型三：常规凑配法题型四：换元法题型五：消参法题型六:双换元题型七：齐次化题型八：和、积、平方和的转化题型九：多选题【典型例题】题型一直接利用基本不等式求最值【例1】（2021·湖南邵阳市）若正实数y x ,满足12=+y x .则xy 的最大值为（）A ．14B ．18C ．19D ．116【答案】B【解析】1218x y xy +≥≥≤ 当且仅当122x y ==时取等号，即xy 的最大值为18故选：B 【例2】（2021·六安市裕安区新安中学）已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（）A ．12B ．14C ．23D ．34【答案】D【解析】因为01x <<，所以10,0x x ->>，所以()1x x +-≥，当且仅当1x x =-，即12x =时，等号成立，所以1≤，整理得()114x x -≤，即3(33)4x x -≤.所以(33)x x -的最大值为34.故选：D.【题型专练】1.（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C【解析】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=，当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立.故选：C ．2.（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A ．4-B ．4C ．8D ．8-【答案】B【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B 题型二“1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【例1】（2021·上海市大同中学）设b a ,为正数，且1a b +=，则ba 11+的最小值为_______.【答案】4【解析】因为b a ,为正数，且1a b +=，所以11111111124a b a b a b a b a b b a +=+⨯=+⨯+=+++≥+=()()(),当且仅当a=b=1时取等号即11a b+的最小值为4.故答案为：4【例2】（2021·河北石家庄市）已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】B【解析】由350x y xy +-=，得135y x+=，所以1131312134(34)13(135555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,2x y ==，取等号.故选：B.【例3】（2021·北京师范大学万宁附属中学）已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为（）A ．3222-B ．3222+C ．3-D ．3+【答案】B【解析】因为0a >，0b >，且122a b+=，所以()112121322332222b a a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b =即212a +=，222b +=时，a b +有最小值3222+.故选：B.【例4】（2021·浙江高一期末）0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【答案】32m ≤【解析】因为21a b +=，所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++322a b b b a b+=+++333222≥+=+=当且仅当2a b bb a b+=+，即1)a b =-时，取等号，因为不等式1102m b a b +-≥+恒成立，所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤【例5】（2021·浙江）当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立，因为104x <<，所以140x ->，所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++-5≥+549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.所以9m ≤，所以m 的最大值为9.故选：C【例6】若1,0m n >>，3m n +=，则211m n+-的最小值为__________．【答案】232+【解析】因为3=+n m ，所以21=+-n m ，所以1221=+-nm ，所以232232112212111221112112+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-n m m n n m m n n m n m n m 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-3211n m n m m n，等号成立.【例7】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为．【答案】322+【解析】因为1=+b a ，所以()b a b a b a a b a ab b a a ab a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=+1212111111322322122+=+⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+++=b a a b b a a b ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=12b a b aa b ，等号成立.【例8】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是．【答案】43【解析】因为2=+b a ，所以14412444421+=+≥++=++=+aa a ab a a b a a b a a b a b a a ，当0>a 时，45141||||21=+≥+b a a ，当当0<a 时，43141||||21=+-≥+b a a 【题型专练】1.（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】C 【解析】【分析】依题意可得2xy x y =+，则4362xy x y x y --=+，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：由0x >，0y >且211x y+=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y--=+--=+()2142448y x x y x y x y ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即4x =，2y =时取等号．故选：C2.（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a ba b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】【分析】对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解【详解】()()232111a b a b +=⇒-+-=因为12a >，1b >，所以210a ->，10b ->又221111112211211211a b a b a b a b a b -+-++=+=++------所以()()1111211211211a b a b a b ⎛⎫+=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭21122224121a b b a --=++≥+=+=--当且仅当23211121a b a b b a +=⎧⎪--⎨=⎪--⎩即34a =，32b =时，取等号所以21126211211a b a b a b +=++≥----故选：A3.（2022·四川·石室中学三模（文））已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】B 【解析】【分析】将1a 中分子1替换为a +b ，将8b中分子8替换为8(a +b )，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值．【详解】由已知，得188********a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭916262650b a a b =++≥+=，当且仅当916b a a b =，即37a =，47b =时等号成立．因此，1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是50．故选：B ．4.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】由0ab a b --=得111a b +=，则()4141a a b b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+，展开利用基本不等式可求得最值.【详解】由0ab a b --=得111a b +=，所以()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，即32a =，3b =时取等号，故4a b +的最小值为9.故答案为：95.（2022·天津·南开中学模拟预测）设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．1.【解析】【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果.【详解】因为1x y +=，所以2211122222222x x x y x x x y x yxy xy y y x y y x+++++==++=++1122222x x y y y x =++++1112x y y x =++≥=当且仅当1,2x y ==212x xy+1，1.6．（2022·重庆·三模）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】由题得313a b b a+=+，再利用基本不等式求出2(3)a b +的最小值即得解.【详解】解：由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+=.(当且仅当1a b ==时取等)因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4.故答案为：4题型三常规凑配法【例1】（2021·云南文山壮族苗族自治州）已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（）A ．4B ．7C ．2D ．8【答案】B【解析】因为3()x ∈+∞，，所以43003x x ->>-，，44(3)33=733y x x x x =+=-++≥+--当且仅当43=3x x --即5x =时取等号，所以43y x x =+-的最小值为7.故选：B 【例2】（2021·安徽省泗县第一中学）函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（）A ．134B ．3C ．72D ．94【答案】A【解析】因为1x >，所以10x ->，所以9191113()(1)4141444x f x x x x =+=-+++=-- ，当且仅当1941x x -=-，即7x =时等号成立，所以()f x 的最小值为134.故选：A ．【例3】若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.【答案】51≥a 【解析】max221313⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⇔++≥x x x a x x x a ，因51131132≤++=++xx x x x ，所以51≥a 【例4】设0abc >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2（B ）4（C）（D ）5【答案】4【解析】原式()()()()()22251212251011c a b a a b a a ab ab c ac a b a a b a a ab ab -+-⋅-+⋅≥+-+-+-++=4022=++=【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A 【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥+-3=，当且仅当()1311x x -=-，即13x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52+C ．3D ．3+【答案】D 【解析】【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得.【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >，由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=------，当且仅当2111x y =--，即112x y =+=+“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+故选：D3.（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3【解析】【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.题型四换元法【例1】（2021·永丰县永丰中学高一期末）函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5【答案】B【解析】因为1x >，设01>-=x t ，所以1+=t x 所以()()332333311122+≥++=++=++++=tt t t t t t t t f ，当且仅当tt 3=，即3=t ，所以1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+B【例2】（2021·全国高一课时练习）函数2y =___________.【答案】4【解析】令1t =≥，则244y t t==+≥，当且仅当2t =，即x =时，min 4y =.所以函数2y =4.故答案为：4题型五消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例1】已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是．【答案】54【解析】因22451x y y +=，所以42215y x y-=，所以422222222211142425555555y y y x y y y y y y -+=+=-+=+≥=⨯=当且仅当221455y y =，即212y =时取等号【例2】若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．【答案】8【解析】因33xy x +=，所以33x y =+，所以33y x=+，因此311133668333y y x y y y +=++=-++≥+=---当且仅当133y y -=-时取等号【题型专练】1.（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=.【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =，则0t >21262t a b =+++++由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立.故答案为：2.（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22114343xy xy x y z x xy y y x ==-++-，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+ ，当且仅当1y =时取等号，即212x y z+-的最大值是1．故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B．2C．2D ．6【答案】B 【解析】【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842，用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解.【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++88422224222 ，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号.故选：B.题型六双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．【例1】若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为．【答案】1【解析】设21a b x b y +=⎧⎨+=⎩，则121x y a b y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以111x y =+，因此21223a b x y y x y =--+-=+-+因()111124x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以2431a b ≥-=+【例2】已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值.【答案】1【解析】设4x y a x y b +=⎧⎨+=⎩，则343a b x b a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因此441453343333333a b b ax y b a b a x y x y a b a b a b --⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++⎝⎭因2333b a a b +≥=所以421433x x y x y +≥-=++【例3】（2022·浙江省江山中学高三）设0a >，0b >，若221a b +=2ab -的最大值为（）A．3B．C．1D．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()124a b b -+=进而根据三角换元得5cos ,(062sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可.【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()124a b b -+=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧+>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.【题型专练】1.（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
基本不等式的恒成立问题
基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。
2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。
二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。
- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。
- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。
- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。
2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。
- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。
- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。
- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。
- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。
3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。
专题02 不等式有解与不等式恒成立问题(解析版)
2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题02 不等式有解与不等式恒成立问题知识定位含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容。
因此这部分内容是十分重要的。
大致来说这类问题在高考中有两种解法，一种是二次函数法，另一种是分离变量法。
知识诊断1. （★★☆☆）不等式|4||3|x x a -+-<有解，则实数a 的取值范是 ． 答案：有解问题，实际上就有{}min |4||3|a x x >-+-，而利用数形结合的办法我们很容易得到|4||3|y x x =-+-的最小值为1，即得()1,a ∈+∞2. （★★☆☆）若不等式22221463x kx kx x ++<++对任意的x ∈R 都成立，则实数k 的取值范围是 ． 答案：注意到24630x x ++>，所以即为：222224632(62)30x kx k x x x k x k ++<++⇔+-+->恒成立恒成立故由0∆<即知13k <<。
知识梳理➢ 知识点一：不等式有解与不等式恒成立问题✧ 子知识点一：二次函数法。
在之前的讲义中，我们在二次函数那一节已经适当讨论了一些一元二次不等式的恒成立（有解）问题。
事实上，在高考中，很多不等式可以通解变形为一元二次不等式。
因此利用二次函数来求解不等式的恒成立（有解）问题是一个非常有用的方法。
✧ 子知识点二：分离参数法。
所谓分离参数法就是将不等式同解变形为()a f x >或者()a f x <的形式，然后再利用以下命题进行求解。
m min ax ()()(())a f x a x a f x f >⇔>>恒成立（有解） ； m max in ()()(())a f x a x a f x f <⇔<<恒成立（有解）..常见题型和方法解析例1 （★★☆☆）当m 为何值时，2211223x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立？ 解法1：二次函数法： 移项、通分得：22(2)40223x m x x x -++>-+ 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。
专题14 基本不等式(解析版)
专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ． 【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2； （2）abb a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+baa b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。
专题03 不等式恒成立或有解问题(解析版)
专题03 不等式恒成立或有解问题专题概述含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.典型例题【例1】（2019秋•崇川区校级月考）关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有实数解，则实数a 的取值范围是【分析】关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有解，等价于2()max a x x<-，其中[1x ∈，4]，求出2()f x x x=-在[1x ∈，4]的最大值即可． 【解答】解：关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有实数解， 等价于2()max a x x<-，[1x ∈，4]；设2()f x x x=-，其中[1x ∈，4]， 则函数()f x 在[1x ∈，4]内单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为f （1）1=； 所以实数a 的取值范围是(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．【例2】（2018秋•凌源市期末）不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是 ． 【分析】设21y x kx =-+，将不等式恒成立的问题转化为函数21y x kx =-+图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】解：依题意，设21y x kx =-+， 因为不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， 所以△240k =-<，解得(2,2)k ∈-，故答案为：(2,2)-．【例3】（2018春•朔州期末）已知不等式116a x y x y++对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ．【分析】由题设知1()()16min ax y x y++对于任意正实数x ，y 恒成立，所以116a +，由此能求出正实数a 的最小值． 【解答】解：不等式116a x yx y++对任意正实数x ，y 恒成立， ∴1()()16min ax y x y ++对于任意正实数x ，y 恒成立1()()11a y axx y a a x y x y++=+++++116a ∴+即3)0，又0a >，39min a ∴=． 故答案为：9【变式训练】1.（2019秋•琼山区校级月考）当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是 ．【分析】不等式恒成立等价于2m x x >--恒成立，设2()f x x x =--，(1,2)x ∈，求出()f x 的最大值即可．【解答】解：(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x>--恒成立；设2()f x x x=--，其中(1,2)x ∈；则22()()222f x x x x x=-+-=-x =“=”．()f x ∴的最大值为()max f x =-m ∴的取值范围是m >-故答案为：(-)+∞．2．（2019春•慈溪市期中）关于x 的不等式230x ax a -++在区间[2-，0]上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【分析】先分离参数得4(1)21a x x -++-，再利用基本不等式求右边式子的最大值得解． 【解答】解：由题得234(1)211x a x x x +=-++--因为20x -， 311x ∴---所以44(1)2[1]2224211x x x x-++=--++-=--- 当1x =-时得到等号． 所以2a -． 故答案为：2a -3．（2012•沭阳县校级模拟）对一切正整数n ，不等式211x nx n ->+恒成立，则实数x 的取值范围是 【分析】确定右边对应函数的值域，将恒成立问题转化为具体不等式，即可求得x 的取值范围． 【解答】解：考查1111n y n n ==-++，一切正整数n ，函数为单调增函数，112y ∴> 对一切正整数n ，不等式211x nx n ->+恒成立， ∴211x x - ∴10x x- 0x ∴<或1x∴实数x 的取值范围是(,0)[1-∞，)+∞故答案为：(,0)[1-∞，)+∞专题强化1．（2020•一卷模拟）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞B ．4(,)7-∞C ．)+∞D ．4(,)7+∞【分析】由题意不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可．【解答】解：(0x ∈，2]时，不等式可化为32aax x+<；当0a =时，不等式为02<，满足题意； 当0a >时，不等式化为32x x a+<，则2323x a >=，当且仅当x =所以a <0a <<当0a <时，32x x a+>恒成立；综上知，实数a 的取值范围是(-∞． 故选：A ．2．（2019秋•临渭区期末）若不等式2440x ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(16,0)-B ．(16-，0]C ．(,0)-∞D ．(8,8)-【分析】根据一元二次不等式的解集为R ，△0<，列不等式求出a 的取值范围． 【解答】解：不等式2440x ax ++>的解集为R ， ∴△24440a =-⨯⨯<，解得88a -<<，∴实数a 的取值范围是(8,8)-．故选：D ．3．（2020•乃东区校级一模）若不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立，则a 的最小值为( )A ．52-B ．0C ．2-D ．3-【分析】不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立1()max a x x ⇔--，(0x ∈，1]2．令1()f x x x =--，(0x ∈，1]2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立1()max a x x ⇔--，(0x ∈，1]2．令1()f x x x =--，(0x ∈，1]2． 22211()10x f x x x'-=-+=>，∴函数()f x 在(0x ∈，1]2上单调递增，∴当12x =时，函数()f x 取得最大值，115()2222f =--=-．a ∴的最小值为52-．故选：A ．4．（2019春•黑龙江期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，则实数m 的取值范围为 ( )A ．(3,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,3)-∞-【分析】关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，等价于22240m +->或24440m +->， 求出m 的取值范围即可．【解答】解：关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解， 所以22240m +->或24440m +->， 解答0m >或3m >-，所以实数m 的取值范围是(3,)-+∞． 故选：A ．5．（2019秋•徐州期中）若关于x 的不等式240x x a -->在14x <<内有解，则实数a 的取值范围( ) A ．3a <-B ．0a <C ．4a <-D ．4a -【分析】把不等式化为24a x x <-，求出2()4f x x x =-在(1,4)x ∈的取值范围，即可求得a 的取值范围． 【解答】解：不等式240x x a -->可化为24a x x <-； 设2()4f x x x =-，其中(1,4)x ∈； 则2()(2)4f x x =--， 所以()f x f <（4）0=；所以不等式在14x <<内有解，实数a 的取值范围是0a <． 故选：B ．6．（2019春•舒城县期末）若不等式243x Px x P +>+-当04p 时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[1-，3] B ．(-∞，1]-C ．[3，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【分析】当1x =-时，代入不等可排除A ，B ，当3x =，代入不等式可排除C ，从而得到正确选项． 【解答】解：当1x =-时，由243x Px x P +>+-，得4p <，故1x =-不符合条件，排除A ，B ；当3x =时，由243x Px x P +>+-，得0p >，故3x =不符合条件，排除C ， 故选：D ．7．（2019春•昆都仑区校级期中）若不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m -或0mB ．3m -C ．30m -D ．3m -【分析】不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立，只需2(4)min m x x -，求出2()4f x x x =-的最小值即可． 【解答】解：不等式24x m x +，[0x ∈，1]恒成立， ∴只需2(4)min m x x -，[0x ∈，1]函数22()4(2)4f x x x x =-=--，[0x ∈，1]， ()min f x f ∴=（1）3=-，3m ∴-，故选：D ．8．（2019春•思明区校级月考）若关于x 的不等式22840x x a ---在14x 内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．4a -B ．4a -C ．12a -D ．12a -【分析】原不等式化为2284a x x --，问题等价于a 小于或等于2284y x x =--在[1，4]内的最大值时即可．【解答】解：原不等式22840x x a ---化为：2284a x x --， 设函数2284y x x =--，其中14x ；则4x =时函数2284y x x =--取得最大值为是4-， 所以实数a 的取值范围是4a -． 故选：A ．9．（2020春•南昌月考）若关于x 的不等式11()81xxλ有正整数解，则实数λ的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【分析】令()lnx f x x =，由题意，存在正整数x ，使不等式81()ln f x λ能成立．利用导数求出()f x 的最大值，可得实数λ的最小值．【解答】解：关于x 的不等式11()81xxλ有正整数解，∴81x x λ，∴43lnx ln xλ． x 为正整数，0λ>，∴4381lnxln ln xλλ=．令()lnx f x x =，则21()lnxf x x -'=． 当(0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减， 故当x e =时，()f x 取得最大值． 而e 不是正整数，23e <<，f （2）2826ln ln ==，f （3）3936ln ln ==，f ∴（3）f >（2）． 故只要f （3）81ln λ即可，求得12λ，故选：D ．10．（2019春•兴庆区校级期末）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+恒成立，则a 的取值范围为 ( )A ．11a -B ．1aC ．1a -D ．1a -【分析】由题意可得1a x -在1x >恒成立，求得110x-<-<，即可得到所求范围． 【解答】解：对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+恒成立， 可得10ax +，即1a x-在1x >恒成立， 由1x >可得110x-<-<，则1a -， 故选：D ．11．（2019秋•沭阳县期中）正数a ，b 满足21a b +=，且22142a b t --恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(-∞B ．，)+∞C ．[D ．1[2，)+∞【分析】由0a >，0b >，21a b +=得，22414a b ab +=-，于是问题转化为：1242t ab ab +-恒成立，令1(,)42f a b ab =-，求得(,)f a b 的最大值，只需(,)max t f a b 即可．【解答】解：0a >，0b >，21a b +=， 22414a b ab ∴+=-，22142a b t ∴--恒成立，转化为1242t ab ab +-恒成立，令(f a ，21113)44())2844b ab ab =-==-， 又由0a >，0b >，21a b +=得：1222a b ab =+， 18ab∴（当且仅当14a =，12b =时取“=” )；(f a ∴，213))44max b =-=． 2t． 故选：B ．12．（2019秋•开封期末）已知0m >，0n >，141m n+=，若不等式22m n x x a +-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[8，)+∞B ．[3，)+∞C ．(-∞，3]D ．(-∞，8]【分析】先结合基本不等式求出m n +的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解 【解答】解：144()()5529n m n m n m n m n m n m +=++=+++， 当且仅当4n mm n=时等号成立， 229x x a ∴-++，即2229(1)8a x x x -+=-+， 8a ∴．故选：D ．13．（2019秋•楚雄州期末）已知0x >，0y >，若不等式2(2)()18m x y x y++恒成立，则正数m 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】先结合基本不等式求出前半部分的最小值，再结合恒成立即可求解． 【解答】解：因为0x >，0y >，正数m ；∴24(2)()2222m x my x y m m x y y x++=+++++， 因为不等式2(2)()18m x y x y++恒成立，所以2218m ++，即2)0，2， 所以4m ． 故选：B ．14．（2020•湖北模拟）若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1114x x+-的最小值为9，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，1(0,)4x ∈，则140x ->，则1141414(14)44(1[4(14)]()552914414414414x x x x x x x x x x x x -+=+=+-+=+++⨯----， 当且仅当142x x -=时等号成立， 则1114x x+-的最小值为9， 若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，即式1114m x x +-恒成立，必有9m 恒成立， 故实数m 的最大值为9； 故选：C ．15．（2019秋•呼和浩特期末）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且存在这样的x ，y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,4)-B ．(4,1)-C ．(-∞，4)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，3)(0-⋃，)+∞【分析】由144()()2444y y x yx x x y y x+=++=++，利用基本不等式可求其最小值，存在x ，y 使不等式234y x m m +<+有解，即2()34min yx m m +<+，解不等式可求． 【解答】解：正实数x ，y 满足141x y +=，1444()()2224444y y x y x y x x x y y x y ∴+=++=+++= 当且仅当44x y y x =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号，存在x ，y 使不等式234yx m m +<+有解， 243m m ∴<+，解可得1m >或4m <-，故选：C ．16．（2019秋•怀化期末）若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(,2)[4-∞-，)+∞B ．(,4)[2-∞-，)+∞C ．(2,4)-D ．(4,2)-【分析】由题意和基本不等式可得2x y +的最小值，再由恒成立可得m 的不等式，解不等式可得m 范围． 【解答】解：正实数x ，y 满足211x y+=， 212(2)()x y x y x y∴+=++444428y x y x x y x =+++=， 当且仅当4y xx y=即4x =且2y =时2x y +取最小值8， 222x y m m +>+恒成立，282m m ∴>+，解关于m 的不等式可得42m -<< 故选：D ．。
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基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。
答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。
知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。
（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。
需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。
答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
★☆☆练习1．若11,1a a a >+−则的最小值是( )A ．2B ．a C.1a − D ．3 答案：D 解析：由题意知10a −>，★☆☆练习2．若5x >−，则45x x ++的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1答案：A★☆☆练习3．已知52x ≥,则24524x x x −+−有 A ．最大值2 B ．最小值2 C ．最大值1 D ．最小值1答案：D知识点要点总结：整式凑分式分母形式的关键是，既需要调整项的符号，又要配凑项的系数，另外使用均值不等式的条件一正二定三相等是否都满足，不要忘记验证。
（三）“1”的代换【知识点】（1）利用两个量的乘积或和为定值，构造“1”的表达式（2）将所求和“1”的表达式相乘，然后利用均值不等式求解。
（3）若条件式是ax by c +=(a ，b ，c 都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．【例题讲解】 ★☆☆例1.若正数,a b 满足121a b +=，则2b a +的最小值为( )A ．B ．C ．8D ．9 答案：D解析：0a >，b 2b b a ⎛=+ ⎝2故选D ．★★☆练习2．若(),0,x y ∞∈+且280x y xy +−=，则x y +的最小值为________答案：18★★☆练习3．设 0x >，1y >，且 22x y +=，则 121x y +− 的最小值为 ________ ． 答案：8知识点要点总结：此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
（四）部分转化【知识点】通过将等式构造形成已知跟所求相类似的形式，寻找其可以使用均值不等式的哪个重要推论，观察新的不等式的两部分，将等式中不需要的那个形式通过不等式转化为所求的形式，利用不等式性质解这个新的不等式即可。
【例题讲解】★☆☆例1．若正数,a b满足3ab a b=++，则ab的最小值是_______ ．答案：9∴≥．9ab★☆☆练习2．若正实数26，满足＋＋＝，则的最小值是________．m n m n mn mn答案：18解析：由26002626＋＋＝，，，得＋＋＋＝，m n mn m n m n mn>>≤知识点要点总结：此类问题的特点是题目给的等式总是和所求量相关，并且可以转化成均值不等式来求解。
解题时注意均值不等式转化的方向，总是把所求量留下，把不需要的那个量消去。
（五）分式同除【知识点】分式函数求最值，一次比二次型，通常用换元法将一次型的分子t 看成一个整体，将分母化成关于t 的二次函数，然后分子分母同除t ，在分母上构造均值不等式求最值。
二次比二次型可以先化简成常数+一次比二次型，再用上面的方法求解。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x y x x =++的最大值；解析：0,94x y x x>== 42x x =，即★☆☆练习1. 已知211,1x x y x x −>=+−求 的最大值。
1,x >511)1x =− 时，等号成立，y 取得最大值★☆☆练习2. 已知1x >，求2233 5x x y x x +−=−+的最大值。
1,x >y=1+4+11x ∴=−）取得最大值知识点要点总结：在解决分式不等问题时，如果所求的是一次比二次，或者二次比二次型，考虑使用分子分母同除分子上的量。
构造出分母上的均值不等式形式，并进行相应求解。
三、一元二次不等式恒成立问题常见一元二次不等式恒成立问题解决策略：1．数形结合法：利用函数图像解决问题；2．参变分离法：注意在分离过程中变量正负及不等号问题；（一）数形结合【例题讲解】★★☆例1. 若−+≥2002390x ax 恒成立,则实数a 的取值范围为________【解析】：由题意知29720a ∆=−≤★★☆例2．若不等式210ax ax ++≤的解集为∅，则实数a 的取值范围是________。
【答案】[0，4）【分析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为∅化为所对应图象均在x 轴上方，列出满足的条件即可求实数a 的取值范围．【解答】解：当a ＝0时，不等式化为1≤0，解集为空集，符合要求；当a ≠0时，因为关于x 的不等式ax 2+ax +1≤0的解集为∅，即所对应图象均在x 轴上方， ∴，204a a a >⎧⎫⎪⎪⎨⎬∆=−⎪⎪⎩⎭ 解得0＜a ＜4；综上，满足要求的实数a 的取值范围是[0，4）．知识点总结一元二次不等式在R 上恒成立的条件2222000000000000ax bx c a ax bx c a ax bx c a ax bx c a >>∆<≥>∆≤<<∆<≤<∆≤不等式类型恒成立条件＋＋，＋＋，＋＋，＋＋，(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．（二）参变分离★☆☆例1.已知对于任意的2(12)520x x x a x a <>>或，都有－－＋，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1，5]【解析】： 设()2()22f x x a x a ＝－－＋. 因为对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有()20)22(f x x a x a >＝－－＋，所以 01250(1)0(5)0a f f ∆≥⎧⎫⎪⎪≤−≤⎪⎪∆<⎨⎬≥⎪⎪⎪⎪≥⎩⎭或解得1445a a <<≤≤或，★★★例2．若对任意的0x >，不等式x 2﹣ax +2＞0恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【分析】把a 分离出来，结合基本不等式即可求解．【解答】解：对任意x ∈（0，+∞），不等式x 2﹣ax +2＞0恒成立，【课后练习】【巩固练习】★☆☆1. 已知3a b +=，且0a ＞，0b ＞，则14a b +的最小值为________ 答案：3★☆☆2. （2014 一中高一（下）6 月月考 12）设 0a >，0b >，且 1a b +=，则 11a b + 的最小值为 ________ ．答案：4备注：1a b +=∴★☆☆3. 若21x y +=，求1+y x y的最小值 答案：4★☆☆4.设0,2a b >>,且3a b +=,则212a b +−的最小值是（ ）A.6B.C. D. 3+答案：D设,2a m b n =−=，且()10,0m n m n +=>>故答案为D★★☆5.已知 0a >，0b >，2a b +=，则 14y a b =+ 的最小值是 ( ) A ．72 B ．4 C ．92D ．5 答案：C即可，本题解题的关键点是把原式变为均值定理形式. 0a >，0b >．又 2a b +=．故选 C★★☆6.已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值________ 答案：()16min x y +=解析：0,x y >>可得4,12x y ==时，()16min x y +=备注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法★☆☆7．若不等式240x ax <＋＋的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【解析】：∵不等式240x ax <＋＋的解集不是空集，∴2244016.4 4.a a a a ∆⨯>>∴><＝－，即或－ 【答案】：(－∞，－4)∪(4，＋∞)【拔高练习】★★☆1.若 0a ≥，0b ≥，且 ()24a a b +=，则 a b + 的最小值为( )A B ．4C ．2D ．答案：C 解析：本题重点考查了基本不等式的应用，应用不等式时，一定要注意“一正、二定、三相等”，等号成立的条件很重要，切勿忽视．因为 0a ≥，0b ≥．所以 20a b +≥．当且仅当 22a a b =+= 时等号成立．所以 2()4a b +≥．所以 2a b +≥．故选 C★★☆2.已知正数 a ，b 满足 230a ab +−=，则 4a b + 的最小值为________ ． 答案：6解析：本题考查了利用基本不等式求最值，正数 a ，b 满足 230a ab +−=，可得 ()39a a b ⨯+=． 变形 ()43a b a a b +=++，利用基本不等式的性质即可得出．正数 a ，b 满足 230a ab +−=． ()39a a b ∴⨯+=．当且仅当 3a a b =+，230a ab +−=，即 22b a == 时取等号． 则 4a b + 的最小值为为 6．故答案为 6．★★☆3.若实数a ，b 满足410(1)ab a b a −−+=>，则()()12a b ++的最小值为________答案：27解析： 410ab a b −−+=，1527(当且仅当备注：先根据410ab a b −−+=求得a 和b 的关系式，进而代入到()()12a b ++利用均值不等式求得答案． 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.解题的关键是配出均值不等式的形式．★★☆4.设正数 a ，b 满足 97ab a b =++，则 ab 的最小值为________ ．答案： 49解析：本题主要是考查由两个变量换成一个变量，即用 b 表示 a ，解出其范围，然后由基本不等式求得 ab 的最小值．本题的关键是把 1b − 看成一个整体，把分子表示成 1b − 的结构a 、b 都为正数且满足 97ab a b =++．a 、b 都是正数．10b ∴−>．故答案为 49．★★★5.已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为_______________；★★★6．若正数,x y 满足，20x y xy +−=，则32x y+的最大值为__________． 取得最大值为3★★☆7.若关于x 的不等式220x ax +−>在区间12x ≤≤上有解，则实数a 的取值范围为 ．【解答】若关于x 的不等式2()20f x x ax =+−>在区间[1，2]上无解， 则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩ 即1010a a −≤⎧⎨+≤⎩解得1a ≤−所以实数a的取值范围是(1,)−+∞．【答案】(1,)−+∞．。