不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。
这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。
下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型——利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。
若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。
这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。
能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;若改为：,构造函数，画出图象，得a<3利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。
恒成立问题题型大全(详解详析)
不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
恒成立问题常见类型及其解法
4 令 t x 2， y t (t 2) t
2Leabharlann 函数 y t 4 在 [ 2， ) 上为增函数 t
y y1=(x-1)2 y y1=(x-1)2 y2=logax
例6：当 x 1, 2 时，不等式 x 1 log a x 恒成立，求a 2的范围.
2
1 o 1 2 x y2=logax
1 o 1 2 x
0 a 1
a 1
y 显然 a 1 , 要使对一切 x 1, 2， 1 y2 恒成立，
2
x 1 0
2
则
x 2 x 1 x 1 4 x 1 4 4 p x 1 4 x 1 x 1 x 1
令t=x-1>0,则p>-[t+4+4/t]∈(-∞,-8]
p 8
例4：设 lg x 3 x 7 a 0 ，如果 x R 恒成立， a 的范围. 求 解：原不等式等价于lg x 3 x 7 a
m - 2 0 0 (5) 4m ，解得1 m 2 2( m - 2) 0 f ( 0) 0 y
y
m - 2 0 (6) ，无解 f (0) 0
综上所述， a 3 1
O
x
x
4.已知函数f ( x) (m - 2) x 2 - 4mx 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点，求 实数m的取值范围 .
归纳
不等式恒成立问题的十种解法
一、判别式法若能把所给不等式转化为某个一元二次不等式，并且该一元二次不等式是对于一切实数x都恒成立，则可优先考虑判别式法．例l 设不等式，对于一切实数x都恒成立，求实数m的取值范围．解：因为所以原不等式可变为：因为该不等式对一切实数x都成立，必有整理得说明：若所给的区间并非一切实数时，切记不能使用判别式法．二、三角换元法通过适当的三角换元，把所给问题转化为含有的形式，再利用正弦函数的有界性来求出它的最值，从而使问题得到解决．例2 已知实数x、y满足时恒成立，则实数d的取值范围是( ))]，则y的最大值为，要使x+y+d≥O恒成立，必须有d大于等于y的最大值，即d≥，故选择答案(A)．三、分离参数对于含有参数的不等式，若能把所求的参数分离出来，应优先考虑实行参数分离，然后再在不等式的另一边进行其它变换，如使用均值不等式，或通过函数的单调性来求出它的最值，最后再通过参数与这个最值的关系来使问题得到解决．例3 对于任意恒成立，求实数m的取值范围．四、图象法如果所给不等式能够化为一边是我们熟悉的函数，那么我们可以通过它的图象，结合函数的单调性来求出它在所给区间上的最值，从而使问题得到解决．例4 若关于x的不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m的取值范围是( )(A)m≤一3 (B)m≥一3 (C)一3≤m≤0 (D)m≥一4解：考察函数的图象，当x∈[0，1]时，其函数的值域为y∈[一3，0]，若使不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m必须小于等于它的最小值3，即m≤一3，故选择答案(A)．五、变更主元法主元的选择要因题而异，在有些问题中一旦克服心理定势，标新立异地另选主元，那么问题的解决就会有峰回路转、柳暗花明的效果．例5 对于任意a∈[一l，1]，函数的函数值恒为正数，则实数x的取值范围是( ) (A) (B) (C)分析：由a的取值范围恒成立，可采用分类讨论去寻找 x 的的取值范围，但是这是比较麻烦的，再看a 的取值范围已经知道了,变a为主元，x为参数，反其道而行之．六、几何法含有绝对值的不等式，可利用绝对值的几何意义这一直观使问题加以解决．例6 若不等式恒成立，求实数d的取值范围．解：设由绝对值的几何意义可知，d表示数轴上的点到实数l、4所对应两点距离的和，所以d≥3，要使恒成立，必须有a于等于d的最小值，即a≤3．七、均值不等式法运用均值不等式求出所给代数式的最值，然后再用所给的值与这个最值进行比较．例7 (第l1届希望杯试题)设a>b>c，恒成立，则自然数n的最大值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5八、数学归纳法当不等式中含有自然数凡时，应优先考虑用数学归纳法来探求．由上可得：存在最大的自然数m=13．使不意大于等于2的自然数n都恒成立．九、放缩法把所给不等式进行适当的放缩，从而使问题得到解决．对所有的正整数恒成立．十、二项式定理展开法当不等式中含有所给数的凡次方时，可试着考虑使用二项式定理，通过二项式定理的展开式有选择地选取几项进行放缩，从而使问题得到解决．例l0 求证．对于任意大于等于2的自然数不等式恒成立．。
基本不等式的恒成立问题
基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。
2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。
二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。
- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。
- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。
- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。
2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。
- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。
- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。
- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。
- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。
3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。
微专题不等式恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。
一、一次函数型给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的图象（线段）可得①0()0>⎧⎨>⎩k f m 或②0()0<⎧⎨>⎩k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>⎧⎨>⎩，同理，若在[,]m n 内恒有()0<f x ，则有f (m)0f (n)0<⎧⎨<⎩.典例1.若不等式2x -1>()21-m x 对一切[]2,2∈-m 都成立，求实数x 的取值范围。
【解析】令f (m)＝（21-x ）m －2x ＋1，则上述问题即可转化为关于m 的一次函数=y ()f m 在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。
考察区间端点，只要(2)(2)-⎧⎨⎩＜0，＜0f x f 即x的取值范围是（12，12）. 二、二次函数型若二次函数2(0,)=++≠∈y ax bx ca x R 的函数值大于（或小于）0恒成立，则有a 00>⎧⎨∆<⎩（或00a ì<ïïíïD <ïî），若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。
【解析】方法1（利用韦达定理）设3x=t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2+(4+a )t+4=0有正根。
1212Δ0(4)040≥⎧⎪∴+=-+>⎨⎪=>⎩g x x a x x ，即2(4a)160a 4⎧+-≥⎨<-⎩，a 0a 8a 4≥≤-⎧∴⎨<-⎩或，解得a ≤-8.方法2（利用根与系数的分布知识）即要求t 2+(4+a )t+4=0有正根。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
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说明：①.只适用于一元二次不等式
例 3.不等式
x0 3x 2
②.若未指明二次项系数不等于 0，注意分类讨论.
2x 2 2mx m
4x2 6x 3
0
2
x
3
0
0
0
.
) x2 ax <( 1 ) 2xa1 恒成立的 x 的取值范围。
例 2.
f f
(log
(2) 0 (2) 0
(log 2
2
x)2 x)2
0＜x＜ 1 或 x＞8。 2
1
故实数 x 的取值范围是（0， ）∪（8，+∞）。
2
对于
1
-1≤a≤1,求使不等式(
解：原不等式等价于 x2+ax<2x+a-1 在 a∈[-1,1]上恒成立.
x
a＜f(x) 恒成立 a＜f(x) min .
x2+2x+a＞0 对 x∈ 1,恒成立。
a＞-（x2+2x）对 x∈ 1,恒成立。
设 (x)= -（x2+2x） x∈ 1,
问题转化为：a＞ (x) max (x)= -（x2+2x）=-(x+1)2+1
∴ (x)在 1,上是减函数。
x2 2x a
例 4.（2000.上海）已知 f(x)=
x
分析 1：当 x∈ 1,时，f(x) ＞0 恒成立，等价于 x2+2x+a＞0 恒成立,只需求出
＞0 在 x∈ 1,上恒成立，求实数 a 的取值范围。
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不等式恒成立问题基本类型及常用解法
类型1：设f(x)=ax+b
f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0
)(0)( n f m f
f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨
⎧0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2
1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)
f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;
f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0.
说明：①.只适用于一元二次不等式
②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.
例3.不等式3
642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)
（1） 当a ＞0时
① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0
)(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩
⎨⎧0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时
① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩
⎨
⎧0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0
)(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式.
类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立⇔a ＞f(x)m ax ，
a ＜f(x)对x ∈D 恒成立⇔ a ＜f(x)m in .
说明：①. f(x) 可以是任意函数
②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。
把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存
在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。
例4.（2000.上海）已知f(x)=x
a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。
例5.已知x ∈(]1,∞-时,不等式1+2x +(a-a 2).4x
＞0恒成立，求实数a 的取值范围。
类型5：①.f(x)＞g(x) 对任意x ∈D 恒成立
②. f (x 1)＞g(x 2) 对任意x 1、x 2∈D 恒成立
例6.已知两个函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=x 2+4x,其中k ∈R
（1） 若对任意的x ∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；
（2） 若对任意的x 21,x ∈[-3,3],都有f(x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。
方法：①.“f(x)＞g(x) 对任意x ∈D 恒成立”可通过分离变量，极端值原理可求得。
②.“ f (x 1)＞g(x 2) 对任意x 1、x 2∈D 恒成立” ⇔ f(x)m in ＞max )(x g。