含绝对值的不等式恒成立问题
高一数学 含有绝对值的不等式解法(启东名师)
含有绝对值的不等式解法江苏省启东中学 王建彬知识精讲1.含绝对值的不等式的同解原理源于实数绝对值的定义． 若x ∈R ，a ∈R ＋，|x|≥0恒成立；a x a a x <<-⇔<||恒成立；a x a x >⇔>||或a x -<恒成立．2.理解不等式||||b a -≤||b a +≤||||b a +，正确应用||||b a -≤||b a ±≤||||b a +，重视“取等号”的条件．3.解含绝对值的不等式的思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解．4.解题的过程仍是转换，化归、化简的过程，具体地表现于运算． 由于绝对值符号束缚了运算，故应化去绝对值符号，以获得运算的自由． 化去绝对值符号的常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等．解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解，但在求解过程中，注意不要丢掉区间端点的讨论．处理与绝对值有关的不等式的基本思路是依据绝对值的定义或性质，化归为不含绝对值的问题来解决． 如解绝对值不等式的基本模式是：)()()(|)(|x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<；)()()()(|)(|x g x f x g x g x f <<-⇔<；22)]([)]([|)(||)(|x g x f x g x f >⇔>．对含多个绝对值的不等式可按照定义，分段讨论． 对于含绝对值的客观题（选择题、填空题等）有时可用特殊化法处理.数学思想 含绝对值的不等式中蕴含了丰富的数学思想方法，其中涉及的有①分类讨论思想.如分区间讨论去绝对值符号，运用的就是分类讨论的思想;②数形结合思想.如利用绝对值的几何意义解决某些最值问题;③等价转化思想.这是我们处理绝对值不等式的基本思想.对数学思想的灵活应用，是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方法.典例精析不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 2233,0 的解集是（ ）(A) {x|0＜x ＜2} B ． {x|0＜x ＜2．5} C ． {x|0＜x ＜6} D ． {x|0＜x ＜3} 分析一 运用分类讨论求解解法一 因为x ＞0，故可分两种情形讨论第二个不等式的解．当0＜x ≤2时，得(2＋x)(3－x)＞(2－x)(3＋x)，即2x ＞0，故得0＜x ≤2 ．当x ＞2时，得(2＋x)(3－x)＞(x －2)(3＋x)，即x 2＜6，故得2＜x ＜6．综合，得不等式组的解集：{x|0＜x ＜6}，故选C ． ．分析二 运用等价转化法求解．解法二 由x x x x +->+-2233 可知033>+-xx ， 两边平方，原不等式组等价于60.0)6)(6(,0<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+>⇔x x x x x ，故选C ． ． 分析三 运用特殊值验算法求解．解法三 由四个选项可知，只要代入2，2.5，6，3即可分晓，x=2代入不等式成立，选项(A)可排除；x=2.5代入得4.5＞5.5不成立，选项B 可以排除；x=3代入得510>不成立，同理排除D ，故C 正确 ．总结 解法一的去掉绝对值号分段讨论，解法二的平方转化法，虽然都是常规解法，但这样解与解答题无异，与选择题的快速、低分值是不相称的，尤其是运算量大的选择题，必须选择解答选择题的最佳方法，如利用选项提供的端点进行半估半算，逐一排除不正确的选项，这样比常规解法更快捷 ．实际上，6=x 代入时，使不等式对应的方程xx x x +-=+-2233成立，与6非常接近的数使得不等式成立，根据函数、方程、不等式三者间的特殊关系，可猜想C ．成立． 这比解法一的常规解法，去掉绝对值符号分类讨论，和解法二中的平方升次求解都简捷．解不等式|x ＋1|－|x －1|＞1．分析 本题含两个绝对值符号，可以通过讨论，或用平方的方法来去绝对值号加以解决． 解法一 （分段讨论）不等式左边有两个零值点x 1=－1，x 2=1，于是可分为三段进行讨论．（1）当x ＜－1时，原不等式可化为⎩⎨⎧>-++--<,11)1(,1x x x 解得 ∅∈x ．（Ⅱ）当－1≤x ≤1时，原不等式可化为解得 x <21≤1 ． （Ⅲ）当x ＞1时，即不等式可化为解得 x ＞1 ．综上，原不等式的解集为 }21|{>x x ． 总结 含两个或两个以上绝对值号的不等式，可先求出每个绝对值的零值点，这些零值点把数轴分为若干区间，可从左到右，对每个区间上的情况进行讨论，得出不等式在各区间上的解集，再把它们并起来，即为原不等式的解集．解法二 （平方法）1|1||1|1|1||1|+->+⇒>--+x x x x ，两边平方可得 1|1|2121222+-++->++x x x x x ，整理得 212|1|-<-x x ， 等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-->--<-).212(1,2121x x x x解得 21>x ． ∴ 原不等式解集为 }21|{>x x ． 总结 移项后，不等式两边均非负，可以使用不等式的性质同解变形，去掉一个绝对值符号，整理后，即转化为已有固定模式而获解决．x 的等式22(1)(1)22a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤（其中a R ∈）的解集依次记为A 与B ．求使A B ⊆的a 的取值范围．分析 先求出两不等式的解集，也就是化简集合A 和B ，然后对字母参数a 进行讨论，再结合数轴求出使A B ⊆的a 的取值范围． 解 由2211(1)(1)22x a a -+≤-，得222111(1)(1)(1),222a x a a --≤-+≤- 2222(1)(1)(1)(1)22a a a a x +--++-≤≤, ∴{}221A x a x a =≤≤+．由23(1)2(31)0x a x a -+++≤，得(2)[(31)]0x x a --+≤，当312,a +≥即13a ≥时，得{}|231B x x a =≤≤+． 当312,a +<即13a <，得{}|312B x a x =+≤≤． 当13a ≥时，若使A B ⊆，只要222131a a a ≤⎧⎨+≤+⎩，得13a ≤≤． 当13a <时，若使A B ⊆，只要231212a a a +≤⎧⎨+≤⎩，得a ＝－1． 综上，使A B ⊆的a 的范围是{}|131a a a ≤≤=-或．总结 （１） a ＝－1容易漏掉，由312a a +≤，得1a ≤-，由212a +≤，得11a -≤≤，那么1a ≥-又要1a ≤-，只有a ＝－1．（２）利用条件A B ⊆时，借助数轴进行数形对照转化有助于增强解题的直观性．高考链接(2004年全国高考北京卷)某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=5km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
绝对值不等式的恒成立问题
绝对值不等式的恒成立问题【例4】(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．【解】(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(Ⅱ)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集．(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x >32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，或 ⎩⎨⎧ －12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，或 ⎩⎨⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0，则不等式解集为R.。
第二十二讲 绝对值不等式恒成立能成立问题(经典题型+答案)
第二十二讲 绝对值不等式问题 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。
例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。
例3：3232≤---x x解：222|2|3|2|||2||333x x x x x ---=----+根据同小反大原理负号的绝对值较大，属于反大类型，故有最大值2224|2|||2||23333x x x -----≤-=，不等式解集为R 。
秒杀秘籍:绝对值不等式之最值确定之前谈到绝对值不等式，主要谈及不等式的数轴解法，但对于一些不等式如2236x x x +++>-之类的，就需要另外的解法。
定理1：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =-+-=-+-+-≥-+-，当x b =时取得最小值a b -； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x m x a n x b =-+-()()m x a x b n m x b =-+-+-- ()m a b n m x b ≥-+--；故两个一次绝对值不等式之和能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。
定理2：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =---=-----≤---，当x b =时取得最大值a b -； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x m x a n x b =---()()m x a x b n m x b =------ ()m a b n m x b ≤----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最大值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最大。
定理3：()2f x x a x b x a x b x a x a a b =---=---+-≥---，当x a =时取得最小值a b --； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x n x a m x b =---()()m x a x b n m x a =---+-- ()n m x a m a b ≥----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究
结论 2 关于 x 的不等式 |f (x)| + |g(x)| > h(x) 成立的 充要条件是 |f (x) + g(x)| > h(x) 或 |f (x) − g(x)| > h(x) 成 立.
解析 根据结论 1, 因为 x2 − a + |2x + a| < 10 对 x ∈ [0, 2] 恒成立, 所以 x2 + 2x < 10 且 x2 − 2x − 2a < 10 对 x ∈ [0, 2] 恒成立, 所以 x2 + 2x < 10 对 x ∈ [0, 2]
引理 2 关于 x 的不等式 |f (x)| > g(x) 成立的充要条件 是 f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x) 成立.
结论 1 关于 x 的不等式 |f (x)| + |g(x)| < h(x) 成立的 充要条件是 |f (x) + g(x)| < h(x) 且 |f (x) − g(x)| < h(x) 成 立.
⇔
|g(x)| < f (x) + h(x)
g(x) < −f (x) + h(x) g(x) > f (x) − h(x)
⇔
g(x) < f (x) + h(x) g(x) > −f (x) − h(x)
−h(x) < f (x) + g(x) < h(x)
⇔
−h(x) < f (x) − g(x) < h(x)
点题 不等 式 |f (x)| + |g(x)| < h(x) 对 x ∈ D 恒成
⃝1 当 a < − 9 时, 因为 −x − 2a > 0, 根据参考文献
绝对值不等式恒成立
1． 已知当[]1,3x ∈，不等式21a x a -≥-恒成立，则a 的取值范围是．解法一：结合()2f x a x =-的图象分类讨论： 当21a ≤，即12a ≤时，112a a -≤-，解得12a ≤ 当23a ≥，即32a ≥时，123a a -≤-，解得2a ≥ 当123a <<，即1322a <<时，10a -≤，解得112a <≤ 综上可知： 1a ≤或2a ≥解法二：当1a ≤时显然成立当1a >时，有2121a x a x a a -≥-⇔-≥-或21x a a -≤-进而有：min13x a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()max 1a x ≥-所以23a ≤或2a ≥ 综上：1a ≤或2a ≥2．设实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件a 组成的集合是。
解法一：设()232f x x a x a =-+-当0a ≥时，()53,22,23253,3a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以23a a ≤，解得103a ≤≤ 当0a <时，()253,32,3253,2a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭所以23a a ≤-，解得103a -≤< 综上，1133a -≤≤解法二：由齐次化思想，令()x at t =∈R ，则原不等式为22132a t a t a -+-≥ 转化为2132a t t ≤-+-对任意t ∈R 恒成立易得()min 121323t t -+-= 所以13a ≤，解得1133a -≤≤2015年浙江第18题3.设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值 （1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
考点121 含绝对值不等式的恒成立问题
或 或
或 ．
(2)原命题 在 上恒成立
在 上恒成立
在 上恒成立
．
当 时， ；当 时， ，∴不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，∴ ．
当 ， 时，
∴ 的取值范围是 ．
8．（2018全国Ⅰ文理）已知 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 时不等式 成立，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
(2)当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
（2）当 时， ，∴ 的解集包含 ，等价于当 时 ．
又 在 的最小值必为 与 之一，∴ 且 ，得 ，∴ 的取值范围为 ．
13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围．
【解析】（1） ，
当 时， 无解；
当 时，由 得， ，解得 ；
当 时，由 解得 ．
若 ， 的解集为 ，∴ ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
9．（2018全国Ⅱ文理）设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时，
可得 的解集为 ．
(2) 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，∴ 的取值范围是 ．
10．（2018全国Ⅲ文理）设函数 ．
考点121含绝对值不等式的恒成立问题
6．（2020全国Ⅱ文理22）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【思路导引】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
含绝对值不等式的恒成立的问题
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
例2(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
题型一 绝对值不等式的解法
题型二 利用绝对值不等式求最值
题型三 绝对值不等式的综合应用
例1(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.
解①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)
当x<－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，
解绝对值不等式恒成立应注意的问题
值， 因为 点 Ｎ为一 动点 ， 以需求 Ｏ ・ Ｍ 的值 ． 所 Ｎ Ｏ
解 连结 Ｏ 因 为 Ａ Ｃ 是 正方 形 ， 以 Ａ． Ｂ０ 所
０ ＡＭ ＋ Ｃ ＝ ４。 ５．
关 面积 的问题 ， 能抓 住 与 之有 关 的 面积 的基 本 若
图形 ， 析问题 ， 分 常能化 难 为易 ， 繁为简 ， 问题 化 使
迎刃 而解 ．
又由 Ｏ ＡＭ ＋ Ｏ ＡＮ ＝ ４ 。 ５，
解 绝对值 不等 式恒 成 立应 注 意 的 问题
蒋鼎 宏 （ 江苏省 淮 阴中学 ２３０ ） ２ ０ ０
在处 理含绝 对值不 等式 恒成 立 问题 时 ， 常 常 会 遇 到 这 样 两 种 类 型 ： ｌ， ｚ Ｉ ｇ ） 和 （） ≥ （
即 ｎ＞ ｉ ｎ ｚ— Ｉ ｎ
解
将 原 命 题 先 转 化 为 ｆ口一 Ｉ ＋ ｎＸ Ｉ
≥ ｏ 又 Ｉ — ・ ｎ
对 意 ｚ 『，］成 ， ① Ｉ ≤ ｏ， 法 ２知 Ｉ 任 的 ∈百÷恒 立 １ ｎ 由解 ｎ 故ｎ ＞ ｉ ｌ ３ ｎｘｍ ｎ ｚ ｘ ［，］ Ｉ ｌ ０， 以 ｌ 一 Ｉ — Ｉ ／ ∈吉÷或 ｎ ≥ 所 以 ｎＸ ｌ ｎ ｎ （ ＋ ￣３ｒ ∈百号． ② 号的条件是 ｎ— Ｉ ＜ ・ ・ Ｘｉ ［， ｎ ｎ ）Ｘ １ ］ ａ ｎ ｎ÷．
≤ ｇ（ ）一 ５， 以 一 １≤ ｄ≤ ３， 为 所 求 ． ２ 所 即
解法 １是 利用 绝 对值 不 等式 的定义 ， 结 合 再 解不 等式 恒 成 立 的 通 用 方 法 将 其 转 化 为 最 值 问 题 ； 法 ２是 利用数 形结 合的思 想 ， 合 函数 的性 解 结 质 ， 出两个 函数值 的大小 关 系 ， 找 从而解 出 ｎ的取 值 范 围． 这两种 方法 各有千 秋 ， 是解决 这类 问题 都
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(5) f x g x f x g x
2 2
复习
1. 含绝对值不等式的解法 形如
| x a | | x b | c
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
解：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]min
类似的
a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]min a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]max a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)] min a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)]max
1 , x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 1, x 4.
则函数 f ( x) 的最小值为 1 ． 则 a 1 ． 故实数 a 的取值范围是(,1] ．
练习2 已知不等式 2 | x 3 | | x 4 | 2a , 若不等式的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
的取值范围．பைடு நூலகம்
答案： a 3 或
设函数 f ( x) | x 1 | | x a | ．
a5
如果 x R ， f ( x) 2 ，求实数 a 的取值范围． 答案： a 1 或
a3
例2. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围. 解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 令 f ( x) | x 4 | | x 3 | ，则
(或 c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义． 2. 一类函数最值的求法
f ( x) | x a | | x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
1. 分离参数法： 通过参数分离,将问题转化为 a
f ( x) (或 a f ( x) ) 求最值； a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]max
分析：
3 x 1 0, x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 3 x 10, x 4.
．
1 a 2
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅. 分别求出m的范围．
2. 数形结合法： 对于 f ( x) g ( x) 型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象 再处理.
例3.已知函数 f ( x) | 2 x 4 | 1 (1)作出函数 y f ( x) 的图象；
.
(２)若不等式 f ( x ) ax 的解集非空，求实数 a 的取值范围
a 的取值范围.
例1. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 因为 | x 4 | | x 3 || ( x 4) ( x 3) | 1 ，当且仅当
( x 4)( x 3) 0
解:(1)略
(２)令 y f ( x) , y ax
由图象可知,
只需 y f ( x) 的图象有落在
y ax 的图象下方(或有公共点)的部分. 1 故a 的取值范围是 a 或 a 2 . 2
练习3 设函数 f ( x) | x 3 | | x 4 | 若存在实数 a 满足 f ( x) ax 1 ，试求实数
，即
3 x 4 时取等号．
．则
所以 | x 4 | | x 3 | 的最小值为 1 故实数 a 的取值范围是 ( ,1] ．
a 1 ．
练习１
已知函数 f ( x) | 2 x 1 | | 2 x 3 | ． 若关于 x 的不等式 f ( x) | a 1 | 的解集非空，求实数 a
含绝对值不等式恒成立问题
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a (a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g( x ) f x g( x )或f x g( x )
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是 (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 （
B）
(D)k≤-3
2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的 不是空集？ ( , 2] 取值范围是---------（2，+∞）