概率论与数理统计 第一章概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业

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第一章 概率论的基本概念

教学要求：

一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．

二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式．

三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．

重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．

难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理

解与应用；独立性的应用．

练习一 随机试验、样本空间、随机事件

1.写出下列随机事件的样本空间

(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和；

(2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数；

(3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．

解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12

}; （2）{=Ω5；6；7；…};

（3）(){}

1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件：

（1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ；

（2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A ；

(3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A ；

(4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ．

3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵：

（1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21.

（2）21A A ={}次取得黑球次或地第21.

（3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 .

（4）21A A ={}次取得白球次或地第21.

（5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21.

4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件.

解：321A A A B =

练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率）

1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16

3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率.

解：由于 ,AB ABC ⊂ 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是

()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=

16

9163414141=-++= 所以 ()().16

716911=-=-=C B A P C B A P

2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P === 求B A P ().

解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ⊂则()

()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=

所以

()

()()().q r r q p p AB P A P B A P -=-+-=-=

3.已知在8只晶体管中有2只次品，在其中任取三次，取后不放回，求下列事件的概率：

（1）三只都是正品；（2）两只是正品，一只是次品.

解：（1）设=A ｛任取三次三只都是正品｝，则基本事件总数5638==C n ,A 包含基本事件数2036==C m ,于是 ()14

55620==A P . （2）设=B ｛任取三次两只是正品，一只是次品｝，则基本事件总数5638==C n ，B 包

含基本事件数,301226==C C m 于是().28

155630==B P 4.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，（1）求最小号码为6的概率；（2）求最大号码为6的概率．

解：（1）设=A ｛最小号码为6｝,则基本事件总数,120310==C n A 包含基本事件数

,624==C m 于是().20

11206==A P （2）设=B ｛最大号码为6｝，则基本事件总数,120310==C n B 包含基本事件数

,1025==C m 于是().12

112010==B P 5.一盒中有2个黑球1个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到白球}，3,2,1=i . 求)(i A P , 3,2,1=i .

解： ()3

11=A P ; ()=2A P 3

12312=⨯⨯, ()3

11231123=⨯⨯⨯⨯=A P . 6.掷两颗均匀的骰子，问点数之和等于7与等于8的概率哪个大？

解：样本空间基本事件总数,3666=⨯=n 设

=1A ｛点数之和等于7｝

，=2A ｛点数之和等于8｝,则 =1A ｛()()()()()()3,4;4,3;2,5;5,2;1,6;6,1｝，1A 包含基本事件数等于6 ；

=2A ｛()()()()()3,5;5,3;4,4;2,6;6,2｝，2A 包含基本事件数等于5 ;

于是 ()613661==A P ; ()36

52=A P .所以()()21A P A P > . 7.一批产品共100件，对其抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件是废品．如果在该批产品有5﹪是废品，问该批产品被拒收的概率．