2022考研数学讲解之求极限的11种方法

lim a x a x 2 lim x 2 ln 2 a ( x 2 ) ln 2 a .
x0
x2
x0
x2
例 14 求极限 lim 1 (1 cot x) . x0 x x
11
1 sin x x cos x
【解】 lim ( cot x) lim
x0 x x
x0 x x sin x
x
f (u)du
f (0) f (0) 2
0
x f (x)
lim f (x) g(x)
7．用对数恒等式求
极限
2
例 11：极限 lim[1 ln(1 x)]x x0
【解】
2
2 ln[1ln(1 x)]
2 ln[1ln(1 x)] lim
lim[1 ln(1 x)]x = lim e x
= e x0
lim
lim
lim
x0 1 tan x 1 sin x x0
x3
2 x0
x3
4
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分．离．极．限．式．中．的．非．零．因．子．是解 题的关键
4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是 lim
sin x
1 和 lim (1
1)x
lim (1
1)n
lim (1
1 （ sin 2 cos x
2x
x）
1 lim 1 sin x 1
2 x0 2 cos x x
6
【解 2】
原式
lim
x0
e x ln
2cos 3
x3
x
1
lim
ln
2
cos 3
x
x0
x2
4
lim
x0
ln（1
cos x
3 x2
1）
lim
x0
cos x 3x2
1
1 6
8．利用 Taylor 公式求极限
【解】
lnim
1 n2 1
1 n2 2
1 n2 n
因为
n 1 1 1 n
n2 n n2 1 n2 2
n2 n
n2 1
6
又
lim n lim n 1
n n2 n n n2 1
所以
lnim
1 n2 1
1 n2 2
1 n2 n
＝１
11．单调有界数列的极限问题
例 18：设数列xn 满足 0 x1 , xn1 sin xn (n 1, 2,)
例 16：极限 lnim
1 n2 12
1 n2 22
1 n2 n2
【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 f (x) 看成［0,1］定积分。
lim
n
1 n
f
1 n
f
2 n
f
n n
1
f (x)dx
0
【解】原式＝ lim
1
n n
1 1 1 2
n
1 1 2 2
lim
2
0
x x 2 3 x 2 1
例 4：求极限 lim x0
1 tan x x3
1 sin x
【解】 lim 1 tan x 1 sin x lim
tan x sin x
x0
x3
x0 x3 1 tan x 1 sin x
1
tan x sin x 1 tan x sin x 1
xn1 xn
xn2
lim
n
sin xn xn
xn2
，由（Ⅰ）知该极限为1
型，
1
lim 1 sin x x2
lim e 1 x2
1 x
sin
x1
sin xx2
lim e x3
1
e 6
x0 x
x0
x0
(使用了罗必塔法则)
1
1
故
lim
n
xn1 xn
xn2
lim
n
sin xn xn
求极限的各种方法
1．约去零因子求极限 例 1：求极限 lim x4 1
x1 x 1 【说明】 x 1表明 x与1无限接近，但 x 1 ，所以 x 1这一零因子可以约去。
【解】 lim (x 1)( x 1)( x2 1) lim (x 1)( x2 1) 6 =4
x1
x 1
x1
2．分子分母同除求极限
1
x1
1
x1 2
2
1
1 2
x
2
1
2
e2
2
例
6：(1) lim 1 x
1 x2
x
；(2)已知 lim
x
x 2a x
xa
8 ，求 a 。
5．用等价无穷小量代换求极限
【说明】 (1)常见等价无穷小有：
当 x 0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln(1 x) ~ ex 1,
xn2
1
e 6.
7
（Ⅰ）证明
lim
n
xn
存在，并求该极限；
1
（Ⅱ）计算
lim
n
xn1 xn
xn2
.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列
极限的存在.
【详解】 （Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 .
可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2,，则数列xn 有界.
1 cosx ~ 1 x2 , 1 axb 1 ~ abx ；
2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因．式．；
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例 7：求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】
lim x ln(1 x) lim x x 2 . x0 1 cos x x0 1 x2
x x3 (x3) x[1 x2 (x2 )]
lim 3! x0
2! x3
lim
x0
(1 2!
1 )x3 3!
x3
( x3 )
1 3
.
9．数列极限转化成函数极限求解
例
15：极限
lim
n
sin
1
n2
n
n
【说明】这是1 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直 接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。
x0
x
x
f (x t)dt
x0
0
x
x0 f (u)du
x
x
f (t)dt xf (x) xf (x)
f (t)dt
= lim 0 x0
x
f (u)du xf (x)
= lim x0
0 x
f (u)du xf (x)
0
0
x
0 f (t)dt
= lim
x
= f (0) 1 .
x0
例
2：求极限
lim
x
x3 x2 3x3 1
【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】 lim
x3
x2
lim
1
1 x
1
x 3x3 1
x
3
1 x3
3
【注】★(1) 一般分子分母同除 x 的最高次方；
1
0
★(2)
lim
x
an xn bm x m
an1x n1 a0 bm1x m1 b0
lim g ( x) ln(1 f ( x)1)
lim( f ( x)1) g ( x)
例
12：求极限
lim
x0
1 x3
2
cos 3
x
x
1
.
【解 1】
原式
lim
e x ln
2cos 3
x
x0
x3
1
lim
x0
ln
2
cos 3
x2
x
lim ln（2 cos x） ln 3
x0
x2
lim x0
例 13
求极限
ax ax 2
lim
,
x0
x2
(a 0).
【解】 a x e x ln a 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x 2 ) , 2
a x 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x2 ) ; 2
a x a x 2 x 2 ln 2 a ( x 2 ).
x
lim 2 ln(1 x)
e x0 x
e2.
x0
x0
【注】★对于1 型未定式 lim f (x) g(x) 的极限，也可用公式
因为
lim f (x) g (x) (1 ) = elim( f (x)1)g(x)
lim f (x) e e e g(x)
lim g ( x) ln( f ( x))
于是
xn1 xn
sin xn xn
1，（因当 x
0时，sin x
x ）， 则有 xn1
xn ，可见数列
xn
单
调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限
lim
n
xn
存在.
设
lim
n
xn
l
，在
xn1
sin
xn
两边令 n
，得
l
sin l
，解得 l
0 ，即
lim
n
xn
0
.
1
1
（Ⅱ）
因
lim
n
x0
x2
【说明】 或 0 型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
【解】 lim x0
ln
cos 2x
ln(1 sin 2 x2
x)
lim
x0
2sin 2x sin 2x
cos2x 1 sin 2 x 2x
lim
x 0
sin 2x 2x
2 cos 2x
1
1 sin 2
x
3
【注】★许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
1
x) x
e ，第
x0 x
x
x
n
nHale Waihona Puke Baidu
x0
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
例
5：求极限
lim
x
1x
x x 1
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑 1 ，最后凑指 X
数部分。
【解】
lim
x
1x
x x 1
lim 1 x
2 x
x 1
lim
x
n
1
1
n 2
n
1
1
dx 1 ln 2 1
0 1 x2
2 2 1
例 17：极限 lnim
1 n2 1
1 n2 2
1 n2 n
【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成 lim n
1 n
f
1 n
f
2 n
f
n n
的形式，因而用两边夹法则求解；
(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
2
例 8：求极限 lim sin x x x0 tan3 x
【解】 lim sin x x
lim sin x x
lim
cos x 1 lim
1 2
x2
1
x0 tan3 x x0
x3
x0 3x 2
x0 3x 2
6
6．用罗必塔法则求极限
例 9：求极限 lim ln cos 2x ln(1 sin 2 x)
x
(x t) f (t)dt
例 10：设函数 f(x)连续，且 f (0) 0 ，求极限 lim x0
0
x
x
f (x t)dt
.
0
x
xtu 0
x
【解】 由于 f (x t)dt f (u)(du) f (u)du ,于是
0
x
0
3
x
x
x
lim 0 (x t) f (t)dt lim x0 f (t)dt 0 tf (t)dt
an
bn
mn mn mn
3．分子(母)有理化求极限
例 3：求极限 lim ( x2 3 x2 1) x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】 lim ( x2 3 x2 1) lim ( x2 3 x2 1)( x2 3 x2 1)
x
x
x2 3 x2 1
5
【解】考虑辅助极限
lim
x
sin
1
x2
lim
x2 x sin 1 1
e x
lim
e1 y2
1 y
sin
y 1
1
e 6
x
x
x
y0
所以， lim n sin 1 n2
1
e 6
n
n
10．n 项和数列极限问题 n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.