52几何证明课件-青岛版八年级数学上册
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八年级数学上册 第五章 几何证明初步 5.6.4 几何证明举例课件 (新版)青岛版
A F
B DE
C
图1-34
h
11
课堂小结
1.角平分线的性质定理： ① 角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。 ② 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理： ① 角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。 ② 作用:证明两个角相等或线是角平分线
3.符号语言： 角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上且 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN
h
9
小试身手
• 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC， D、E是垂足。
求证：MD＝ME。
h
10
再试身手
• 如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC 于D，AE平∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF.
• 求证：BF是∠ABC的平分线.
∵AM是∠BAC的角平分线，点O在AM上 （已知）
∴OF=OE（在角平分线上的点到角的两边 的距离相等）
A
F
E
P
O
N
同理 OF=OD. ∴ OD=DE(等量代换） ∵CP是∠ACB的角平分线
B
C
MD
这个交点叫三角形的内心
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上
结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
角平分线的判定定理：∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线)
h
12
祝同学们学习进步！
h
13
P
（3）垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
应用定理的书写格式：
B DE
C
图1-34
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课堂小结
1.角平分线的性质定理： ① 角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。 ② 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理： ① 角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。 ② 作用:证明两个角相等或线是角平分线
3.符号语言： 角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上且 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN
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9
小试身手
• 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC， D、E是垂足。
求证：MD＝ME。
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10
再试身手
• 如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC 于D，AE平∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF.
• 求证：BF是∠ABC的平分线.
∵AM是∠BAC的角平分线，点O在AM上 （已知）
∴OF=OE（在角平分线上的点到角的两边 的距离相等）
A
F
E
P
O
N
同理 OF=OD. ∴ OD=DE(等量代换） ∵CP是∠ACB的角平分线
B
C
MD
这个交点叫三角形的内心
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上
结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
角平分线的判定定理：∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线)
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祝同学们学习进步！
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（3）垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
应用定理的书写格式：
青岛版(六三制)数学八年级上册 5.3几何证明举例 第五课时 课件(共13张PPT)
“斜边、直角边”或“HL” 定理的符号语言
在Rt∆ABC和Rt∆DEF中
A
D
AB=DE
∵
AC=DF
∴ Rt∆ABC ≌ Rt∆DEF （HL） B
CE
F
典型例题
例1.如图，在 △ABC 中， BD＝CD，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足， DE＝DF，
求证：△ABC是等腰三角 形。
随堂练习
3.要认真掌握证明两个三角形全等的推理模式。
谢谢
几何证明举例
第五课时
复习导入
现在你有几种判定直角三角形 全等的方法？
1.边角边 简称 “SAS” 2.角边角 简称 “ASA” 3.边边边 简称 “SSS” 4.角角边 简称 “AAS”
教学目标
1.根据三角形全等推导 “HL”定理；
2.熟练应用“斜边、直角 边”定理。
一、预习诊断
已知，AB=CD、AE⊥BC、DF⊥BC 、
B
D
C
E
（3） 以B为圆心，c为半径画 弧，交射线CE于点A；
M B
DC
E
（4） 连接AB。
M B
DC
A
E
DC
AE
△ABC就是所求作的三角形。
三、系统总结
1.应用斜边直角边（HL）定理判定两个三角形全 等，要按照定理的条件，准确地找出“对应相等” 的边；
2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分 利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、 对顶角等等”；
CE=BF，
求证：CD∥AB
C
D
F E
A
B
二、精讲点拨
直角三角形全等的判定定理：如果一个直角三角形 的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。
青岛版数学八年级上册.5直角三角形全等的证明课件
D C
3.已知：如下图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E， DF⊥AC于点F，且DB=DC. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC(已知)， ∴ ∠AED=∠CFD=90°(垂直的定义). ∴ △BDE与△CDF是直角三角形. ∵ BE=CF，BD=CD (已知) ， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF ( HL ).
直角是时，它们全等.
注意：
(1)“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方 法，只适用于直角三角形全等的判定，对于一 般三角形不适用，而前面学习的一般三角形全 等的四种判定方法都可以在直角三角形中使用.
(2)在用一般方法证明时，由于两个直角三角形 中已具备一对直角相等这一条件，故只需找到另
外两个条件即可.
第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
第5课时 直角三角形全等的证明
学习目标 进一步熟悉证明题的题型，根据三角形全等推导“HL”
定理； 熟练应用“斜边、直角边”定理及其它三角形全等的判
定方法进行证明；
增强合作意识，提高逻辑思维能力.
复习导入
要判定两个三角形全等，你有哪些方法？
边角边 角边角 边边边 角角边
课堂练习 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D， BC=BD，若AC=8 cm，则AE+DE=____8____cm.
分析：由 DE⊥AB知，∠BDE=90°， 所以∠BDE=∠C，又BC=BD， 所以△ BDE ≌△BCE（HL）. 故DE=CE，AE+DE=AE+CE=AC=8 cm.
简称 “SAS” 简称 “ASA” 简称 “SSS” 简称 “AAS”
探究新知
要判定两个直角三角形全等，你有哪些方法？
最新青岛版八年级数学上册精品课件5.6几何证明举例(第1课时)
1、• 单判定击两此个处三角编形辑全母等的版基文本本事实样有式：SAS,ASA,SSS,判定定理是AAS。
2、证•明第两二个级角或两条线段相等时，可以考察它们是否在给出的两个
全等三角•形第中三。级如果不在，应尝试通过添加辅助线构造两个全等三角 形，使待证的•角第或四级线段分别是两个全等三角形的对应角或对应边。
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第5章
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• 第二级
• 第三级
几何证明初步
• 第四级 • 第五级
5.6几何证明举例 第1课时
2019/8/30
1
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一、预习诊断
1.•具单备击下此列处条件编的辑两母个版三文角本形中样，式不一定全等的是( )
(A)有•两第边二一级角对应相等 (B)(B) 三• 第边三对级应相等 (C) 两角一边• 第对四应级 相等
• 第二级
思考•：第怎•三第级样四级添加辅助线才 能使∠A与•∠第五C级存在于两个 全等三角形中而且是两个 三角形的对应角呢？
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••如单图击:已此知处,编AB辑∥母CD版,∠文1本=∠样2式， • 求证• 第：二BC级=AB+CD
• 第三级
• 第四级 • 第五级
∠3=∠4；
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• 第五级
（D）有两直角边对应相等的两个直角三角形
2.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；
⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。
其中正确命题的个数有( )
A、3个 B、2个 C、1个
D、0个
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2、证•明第两二个级角或两条线段相等时，可以考察它们是否在给出的两个
全等三角•形第中三。级如果不在，应尝试通过添加辅助线构造两个全等三角 形，使待证的•角第或四级线段分别是两个全等三角形的对应角或对应边。
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第5章
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• 第三级
几何证明初步
• 第四级 • 第五级
5.6几何证明举例 第1课时
2019/8/30
1
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一、预习诊断
1.•具单备击下此列处条件编的辑两母个版三文角本形中样，式不一定全等的是( )
(A)有•两第边二一级角对应相等 (B)(B) 三• 第边三对级应相等 (C) 两角一边• 第对四应级 相等
• 第二级
思考•：第怎•三第级样四级添加辅助线才 能使∠A与•∠第五C级存在于两个 全等三角形中而且是两个 三角形的对应角呢？
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••如单图击:已此知处,编AB辑∥母CD版,∠文1本=∠样2式， • 求证• 第：二BC级=AB+CD
• 第三级
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∠3=∠4；
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• 第五级
（D）有两直角边对应相等的两个直角三角形
2.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；
⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。
其中正确命题的个数有( )
A、3个 B、2个 C、1个
D、0个
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数学八年级上青岛版几何证明举例课件5
出发，对它们进行证明？
1、等腰三角形常 添的辅助线是底 边上的高
2、利用延长中线 的2、一倍倍长构中造线中法心 对称的两个全等 三角形
练习1、如图：在Rt△ＡＢＣ
中，∠C＝９０°, CD是ＡＢ A
E
边上的中线.
1
求证:CD= 2 AB
D
C
B
练习2 、如图：在△ＡＢＣ A 中，AB＝AC, CD⊥ＡＢ.
下列几个问题： (1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）
(2)等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合（等腰三角形的三线合一）。
43..这上些述性性质质都你是是真怎命么题得吗到？的你？能否轴用对从称基的本性事质实
１1 ２
２．
求证：ＡＢ＝ＡＣ Ｂ
Ｄ
Ｃ
证明△ＡＢD≌△Ａ
CD
行吗?
Ｅ
Ａ
例3、如图：ＡＤ是△ＡＢＣ １ ２ 的边ＢＣ上的中线，∠１＝ ∠ ２．
求证：ＡＢ＝ＡＣ Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
例4、如图：ＡＤ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上的
中Ａ线Ｃ，＝ＢＢＥＦ交．ＡＣ于点Ｅ，交ＡＤ于Ａ 点Ｆ，
求证：ＡＥ＝ＥＦ
Ｆ ２１ Ｅ
分析:
３
先证:△GＢD≌△ＡCD Ｂ (SAS)
3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是19 cm 。
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为3_5_°__，3_5_°_。
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们根据
哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？
2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下
1、等腰三角形常 添的辅助线是底 边上的高
2、利用延长中线 的2、一倍倍长构中造线中法心 对称的两个全等 三角形
练习1、如图：在Rt△ＡＢＣ
中，∠C＝９０°, CD是ＡＢ A
E
边上的中线.
1
求证:CD= 2 AB
D
C
B
练习2 、如图：在△ＡＢＣ A 中，AB＝AC, CD⊥ＡＢ.
下列几个问题： (1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）
(2)等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合（等腰三角形的三线合一）。
43..这上些述性性质质都你是是真怎命么题得吗到？的你？能否轴用对从称基的本性事质实
１1 ２
２．
求证：ＡＢ＝ＡＣ Ｂ
Ｄ
Ｃ
证明△ＡＢD≌△Ａ
CD
行吗?
Ｅ
Ａ
例3、如图：ＡＤ是△ＡＢＣ １ ２ 的边ＢＣ上的中线，∠１＝ ∠ ２．
求证：ＡＢ＝ＡＣ Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
例4、如图：ＡＤ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上的
中Ａ线Ｃ，＝ＢＢＥＦ交．ＡＣ于点Ｅ，交ＡＤ于Ａ 点Ｆ，
求证：ＡＥ＝ＥＦ
Ｆ ２１ Ｅ
分析:
３
先证:△GＢD≌△ＡCD Ｂ (SAS)
3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是19 cm 。
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为3_5_°__，3_5_°_。
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们根据
哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？
2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下
最新青岛版八年级上册数学精品课件第5章 几何证明初步
某风景区改建中,需测量湖两岸游船码头A,B间的距离,于是工 作人员在岸边A,B的垂线AF上取两点E,D,使ED=AE.再过D点作出 AF的垂线OD,并在OD上找一点C,使B,E,C在同一直线上,由全等的判 定方法“ASA”可知△AEB≌△DEC,这时测得CD的长就是AB的距离.
知识点 等腰三角形的判定定理及性质定理
第5章 几何证明初步
5.4 平行线的性质定理和判定定理
知识点 平行线的性质定理
一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向,如果第一次转 弯时∠A=140°,根据定理2可得∠B=140°.
知识点 平行线的判定定理
木工用角尺的一边紧靠木料边缘,沿另一边画两条直线a,b,可 知这两条直线平行。
知识点 互逆命题和逆定理
第5章 几何证明初步
5.5 三角形内角和定理
知识点 三角形的内角和定理
三个内角分别向内折叠,三个内角结合拼成一个平角.
知识点 直角三角形的性定理与判定定理
在直角三角形零件中,可以通过测量的方法得到两个 锐角之间为互余关系.
第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
知识点 全等三角形的判定定理
知识点 证明
在电影《流浪者》中,法官和流浪者有这样一段对话,法官 说:“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以你也是贼.”显然, 这是个荒谬的结论,这个事例说明:推理要有根据,没有根据的推理,得 出的结论也不一定是正确的.
知识点 定理
四色定理又称四色猜想.四色问题是世界近代三大数学猜想之一. 四色定理的本质正是二维平面的固有属性,即平面内不可出现交 叉而没有公共点的两条直线.很多人证明了二维平面内无法构造五个或 五个以上两两相连区域,但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性 的层面,以致出现了很多伪反例.
知识点 等腰三角形的判定定理及性质定理
第5章 几何证明初步
5.4 平行线的性质定理和判定定理
知识点 平行线的性质定理
一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向,如果第一次转 弯时∠A=140°,根据定理2可得∠B=140°.
知识点 平行线的判定定理
木工用角尺的一边紧靠木料边缘,沿另一边画两条直线a,b,可 知这两条直线平行。
知识点 互逆命题和逆定理
第5章 几何证明初步
5.5 三角形内角和定理
知识点 三角形的内角和定理
三个内角分别向内折叠,三个内角结合拼成一个平角.
知识点 直角三角形的性定理与判定定理
在直角三角形零件中,可以通过测量的方法得到两个 锐角之间为互余关系.
第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
知识点 全等三角形的判定定理
知识点 证明
在电影《流浪者》中,法官和流浪者有这样一段对话,法官 说:“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以你也是贼.”显然, 这是个荒谬的结论,这个事例说明:推理要有根据,没有根据的推理,得 出的结论也不一定是正确的.
知识点 定理
四色定理又称四色猜想.四色问题是世界近代三大数学猜想之一. 四色定理的本质正是二维平面的固有属性,即平面内不可出现交 叉而没有公共点的两条直线.很多人证明了二维平面内无法构造五个或 五个以上两两相连区域,但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性 的层面,以致出现了很多伪反例.
数学八年级上青岛版5几何证明初步复习课件
E
分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一 个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.
解:∵∠1是△BDF的一个外角(
C
D
)
∴ ∠1=∠B+∠D(
)
又∵ ∠2是△EHC的一个外角( ∴ ∠2=∠C+∠E( 又∵∠A+∠1+∠2=180°( ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(
) ) ) )
再见
b
性质定理2:
两直线平行,内错角相等. a
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理3:
a
两直线平行,同旁内角互补.
b
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
c 1 2
c 1
2
c
1 2
角平分线
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相 等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.
❖ 2、两点之间线段最短。 ❖ 3、过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直。
❖ 4、过直线外一点，有且只有一条直线与 已知直线平行
❖ 5、同位角相等，两直线平行。 ❖ 6.两边夹角对应相等的两个三角形全等; ❖ 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全
识回顾
证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实推 理的过程称为证明.
平行线的判定
基本事实:
c
同位角相等,两直线平行. a
1
∵ ∠1=∠2
∴ a∥b
2 b
判定定理1:
内错角相等,两直线平行. a
∵ ∠1=∠2
∴ a∥b
b
判定定理2:
八年级数学上册 5.3 什么是几何证明课件 (新版)青岛版
7
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等. 等式的基本性质和将来要学到的不等式的基本性质也看做 基本事实.
“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一 性质也看作基本事实,简称为“等量代换”.
8
【归纳升华】
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，出图形．
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再根据命题
的结论的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或
推理过程的表达．
第二步：结合图形，根据条件、结论，写出已知、求证.
把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题
的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：找出由已知推出求证的途径，写出“证明” ．
辑推理的方法证实.推理的过程称为证明. 3.定理: 经过推理得到证实的真命题叫做定理.
5
一些条件
+
基本事实
推理的过程 叫证明
经过证明的真 命题叫定理
推理
证实其他命 题的正确性
6
教材中的基本事实
本套教材选用如下命题作为基本事实:
1.两点确定一条直线； 2.两点之间，线段最短； 3.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； 4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么两直 线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
【解析】由平行线的性质和对顶角的性质易得 ∠B=110°. 答案：110°
19
哦……那可 怎么办
这些方法 往往并不
可靠.
能不能根据已 经知道的真命
题证实呢?
那已经知道的 真命题又是如
何证实的?
3
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等. 等式的基本性质和将来要学到的不等式的基本性质也看做 基本事实.
“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一 性质也看作基本事实,简称为“等量代换”.
8
【归纳升华】
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，出图形．
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再根据命题
的结论的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或
推理过程的表达．
第二步：结合图形，根据条件、结论，写出已知、求证.
把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题
的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：找出由已知推出求证的途径，写出“证明” ．
辑推理的方法证实.推理的过程称为证明. 3.定理: 经过推理得到证实的真命题叫做定理.
5
一些条件
+
基本事实
推理的过程 叫证明
经过证明的真 命题叫定理
推理
证实其他命 题的正确性
6
教材中的基本事实
本套教材选用如下命题作为基本事实:
1.两点确定一条直线； 2.两点之间，线段最短； 3.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； 4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么两直 线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
【解析】由平行线的性质和对顶角的性质易得 ∠B=110°. 答案：110°
19
哦……那可 怎么办
这些方法 往往并不
可靠.
能不能根据已 经知道的真命
题证实呢?
那已经知道的 真命题又是如
何证实的?
3